Компактная группа

редактировать

Топологическая группа с компактной топологией

Круг с центром 0 и радиусом 1 в комплексная плоскость - это компактная группа Ли с комплексным умножением.

В математике, компактная (топологическая ) группа - топологическая группа , топология которой является компактной. Компактные группы являются естественным обобщением конечных групп с дискретной топологией и обладают свойствами, которые существенно переносятся. Компактные группы имеют хорошо изученную теорию по отношению к действиям групп и теории представлений.

Далее мы будем предполагать, что все группы являются хаусдорфовыми пространствами.

Содержание

1 Компактные группы Ли
- 1.1 Классификация
- 1.2 Максимальные торы и системы корней
- 1.3 Фундаментальная группа и центр
2 Дополнительные примеры
3 Мера Хаара
4 Теория представлений
5 Теория представлений связной компактной группы Ли
- 5.1 Теория представлений T
- 5.2 Теория представлений K
- 5.3 Формула характера Вейля
- 5.4 Случай SU (2)
- 5.5 Схема доказательства
6 Двойственность
7 От компактных к некомпактным группам
8 См. Также
9 Ссылки
10 Библиография

Компактные группы Ли

Группы Ли образуют класс топологических группы, а компактные группы Ли имеют особенно хорошо развитую теорию. Основные примеры компактных групп Ли включают

круговую группу Tи торовые группы T,
, ортогональные группы O (n), специальную ортогональную группу SO (n) и ее покрывающая спиновая группа Spin (n),
унитарная группа U (n) и специальная унитарная группа SU(n),
симплектическая группа Sp (n),
компактные формы исключительных групп Ли : G2, F4, E6, E7 и E8,

Теорема классификации компактных групп Ли утверждает, что до конечных расширений и конечных покрывает, этим исчерпывается список примеров (который уже включает некоторые избыточности). Эта классификация более подробно описана в следующем подразделе.

Классификация

Для любой компактной группы Ли G можно взять ее компонент идентичности G0, которая связана. Фактор-группа G / G 0 - это группа компонентов π 0 (G), которая должна быть конечной, поскольку G компактна. Поэтому у нас есть конечное расширение

1 → G 0 → G → π 0 (G) → 1. {\ displaystyle 1 \ to G_ {0} \ to G \ to \ pi _ {0} (G) \ to 1. \,}

1\to G_{0}\to G\to \pi _{0}(G)\to 1.\,

Между тем, для связных компактных групп Ли мы имеем следующий результат:

Теорема : каждая связная компактная группа Ли является фактор-группой по конечной центральной подгруппе произведения односвязной компактная группа Ли и тор.

Таким образом, классификация связных компактных групп Ли в принципе сводится к знанию односвязных компактных групп Ли вместе с информацией об их центрах. (Информацию о центре см. В разделе ниже, посвященном фундаментальной группе и центру.)

Наконец, каждая компактная, связная, односвязная группа Ли K является произведением компактных, связных, односвязных простые группы Ли Ki, каждая из которых изоморфна ровно одному из следующих:

компактная симплектическая группа $Sp ⁡ (n), n ≥ 1 {\ displaystyle \ operatorname { Sp} (n), \, n \ geq 1}$ $\operatorname {Sp} (n),\,n\geq 1$
Специальная унитарная группа $SU ⁡ (n), n ≥ 3 {\ displaystyle \ operatorname {SU} (n), \, n \ geq 3}$ $\operatorname {SU} (n),\,n\geq 3$
Группа вращения $Spin ⁡ (n), n ≥ 7 {\ displaystyle \ operatorname {Spin} (n), \, n \ geq 7}$ $\operatorname {Spin} (n),\,n\geq 7$

или одна из пяти исключительных групп G2, F4, E6, E7 и E8. Ограничения на n заключаются в том, чтобы избежать специальных изоморфизмов среди различных семейств при малых значениях n. Для каждой из этих групп центр известен явно. Классификация осуществляется через ассоциированную корневую систему (для фиксированного максимального тора), которые, в свою очередь, классифицируются по их диаграммам Дынкина.

Классификация компактных односвязных групп Ли такая же, как и классификация комплексных полупростых алгебр Ли. В самом деле, если K - односвязная компактная группа Ли, то комплексификация алгебры Ли K полупроста. Наоборот, каждая комплексная полупростая алгебра Ли имеет компактную вещественную форму, изоморфную алгебре Ли компактной односвязной группы Ли.

Максимальные торы и системы корней

Ключевой идеей при изучении связной компактной группы Ли K является понятие максимального тора, то есть подгруппы T группы K, изоморфной продукт нескольких копий $S 1 {\ displaystyle S ^ {1}}$ $S^{1}$ и не содержится ни в одной более крупной подгруппе этого типа. Базовым примером является случай $K = SU (n) {\ displaystyle K = SU (n)}$ $K=SU(n)$ , и в этом случае мы можем взять $T {\ displaystyle T}$ $T$ - группа диагональных элементов в $K {\ displaystyle K}$ $K$ . Основным результатом является теорема о торе, которая утверждает, что каждый элемент $K {\ displaystyle K}$ $K$ принадлежит максимальному тору и что все максимальные торы сопряжены.

Максимальный тор в компактной группе играет роль, аналогичную роли подалгебры Картана в комплексной полупростой алгебре Ли. В частности, как только был выбран максимальный тор $T ⊂ K {\ displaystyle T \ subset K}$ $T\subset K$ , можно определить корневую систему и группу Вейля аналогично тому, что есть для полупростых алгебр Ли. Эти структуры затем играют существенную роль как в классификации связных компактных групп (описанной выше), так и в теории представлений фиксированной такой группы (описанной ниже).

Системы корней, связанные с простыми компактными группами, фигурирующими в классификации односвязных компактных групп, следующие:

Специальные унитарные группы $SU ⁡ (n) {\ displaystyle \ operatorname {SU } (n)}$ $\operatorname {SU} (n)$ соответствуют корневой системе $A n - 1 {\ displaystyle A_ {n-1}}$ $A_{n-1}$
Группы нечетных спинов $Spin ⁡ (2 n + 1) {\ displaystyle \ operatorname {Spin} (2n + 1)}$ $\operatorname {Spin} (2n+1)$ соответствуют корневой системе $B n {\ displaystyle B_ {n}}$ $B_{{n}}$
Компактные симплектические группы $Sp ⁡ (n) {\ displaystyle \ operatorname {Sp} (n)}$ $\operatorname {Sp} (n)$ соответствуют корневой системе $C n {\ displaystyle C_ {n}}$ $C_{n}$
Группы четных спинов $Спин ⁡ (2 n) {\ displaystyle \ operatorname {Spin} (2n)}$ $\operatorname {Spin} (2n)$ соответствует корневой системе $D n {\ displaystyle D_ {n}}$ $D_{n}$
Исключительные компактные группы Ли соответствуют пяти исключительным корневым системам G 2, F 4, E 6, E 7 или E 8

Основная группа и центр

Импорт Чтобы узнать, односвязна ли связная компактная группа Ли, а если нет, то определить ее фундаментальную группу. Для компактных групп Ли существует два основных подхода к вычислению фундаментальной группы. Первый подход применяется к классическим компактным группам $SU ⁡ (n) {\ displaystyle \ operatorname {SU} (n)}$ $\operatorname {SU} (n)$ , $U ⁡ (n) {\ displaystyle \ operatorname {U} (n)}$ $\operatorname {U} (n)$ , $SO ⁡ (n) {\ displaystyle \ operatorname {SO} (n)}$ $\operatorname {SO} (n)$ и $Sp ⁡ (n) {\ displaystyle \ operatorname {Sp} (n)}$ $\operatorname {Sp} (n)$ и продолжается индукцией по $n {\ displaystyle n}$ $n$ . Второй подход использует корневую систему и применим ко всем связным компактным группам Ли.

Также важно знать центр связной компактной группы Ли. Центр классической группы $G {\ displaystyle G}$ $G$ можно легко вычислить «вручную», и в большинстве случаев он состоит просто из любых кратных единиц идентичности в $G {\ displaystyle G}$ $G$ . (Группа SO (2) является исключением - центр - это вся группа, даже если большинство элементов не кратны тождеству.) Так, например, центр $SU ⁡ (n) {\ displaystyle \ operatorname {SU} (n)}$ $\operatorname {SU} (n)$ состоит из корней n-й степени из единицы, умноженной на единицу, циклическая группа порядка $n {\ displaystyle n}$ $n$ .

В общем, центр можно выразить в члены решетки корней и ядро экспоненциального отображения максимального тора. Общий метод показывает, например, что односвязная компактная группа, соответствующая исключительной корневой системе $G 2 {\ displaystyle G_ {2}}$ $G_{2}$ , имеет тривиальный центр. Таким образом, компактная $G 2 {\ displaystyle G_ {2}}$ $G_{2}$ группа является одной из очень немногих простых компактных групп, которые одновременно односвязны и свободны от центра. (Остальные: $F 4 {\ displaystyle F_ {4}}$ $F_{4}$ и $E 8 {\ displaystyle E_ {8}}$ $E_{8}$ .)

Дополнительные примеры

Среди групп, которые не являются группами Ли и поэтому не имеют структуры многообразия, примерами являются аддитивная группа Z p из целые p-адические числа и конструкции на их основе. Фактически любая проконечная группа является компактной группой. Это означает, что группы Галуа являются компактными группами, что является основным фактом теории алгебраических расширений в случае бесконечной степени.

Двойственность Понтрягина дает большой запас примеров компактных коммутативных групп. Они находятся в двойственности с абелевыми дискретными группами.

мера Хаара

Все компактные группы несут меру Хаара, которая будет инвариантной как для левого, так и для правого сдвига (функция модуля должна быть непрерывным гомоморфизмом в положительных вещественных чисел (ℝ, ×), и поэтому 1). Другими словами, эти группы унимодулярны. Мера Хаара легко нормируется до вероятностной меры, аналогичной dθ / 2π на окружности.

Такую меру Хаара во многих случаях легко вычислить; например, для ортогональных групп это было известно Адольфу Гурвицу, а в случаях группы Ли всегда может быть задано инвариантной дифференциальной формой. В проконечном случае существует много подгрупп конечного индекса, и мера Хаара смежного класса будет обратной величине индекса. Следовательно, интегралы часто вычисляются напрямую, и этот факт постоянно применяется в теории чисел.

Если $K {\ displaystyle K}$ $K$ - компактная группа и $m {\ displaystyle m}$ $m$ - ассоциированная мера Хаара, теорема Питера – Вейля обеспечивает разложение $L 2 (K, dm) {\ displaystyle L ^ {2} (K, dm)}$ $L^{2}(K,dm)$ как ортогональная прямая сумма конечномерных подпространств матричных элементов для неприводимых представлений $K {\ displaystyle K}$ $K$ .

Теория представлений

Теория представлений компактных групп (не обязательно групп Ли и не обязательно связных) была основана на теореме Питера – Вейля. Герман Вейль продолжил подробно теорию характеров компактных связных групп Ли, основанных на теории максимального тора. Полученная в результате формула символов Вейля была одним из влиятельных результатов математики двадцатого века. Комбинация теоремы Питера – Вейля и формулы характера Вейля привела Вейля к полной классификации представлений связной компактной группы Ли; эта теория описана в следующем разделе.

Комбинация работы Вейля и теоремы Картана дает обзор всей теории представлений компактных групп G. То есть по теореме Питера – Вейля неприводимые унитарные представления ρ группы G находятся в унитарной группе (конечной размерности), и образ будет замкнутой подгруппой унитарной группы по компактности. Теорема Картана утверждает, что Im (ρ) должна быть подгруппой Ли в унитарной группе. Если G сама не является группой Ли, у ρ должно быть ядро. Кроме того, можно сформировать обратную систему для все меньшего и меньшего ядра конечномерных унитарных представлений, которая идентифицирует G как обратный предел компактных групп Ли. Здесь тот факт, что в пределе найдено точное представление группы G, является еще одним следствием теоремы Питера – Вейля.

Таким образом, неизвестная часть теории представлений компактных групп, грубо говоря, отбрасывается назад на комплексные представления конечных групп. Эта теория довольно богата деталями, но качественно понятна.

Теория представлений связной компактной группы Ли

Некоторые простые примеры теории представлений компактных групп Ли могут быть разработаны вручную, например, представления группы вращений SO (3), специальная унитарная группа SU (2) и специальная унитарная группа SU (3). Здесь мы сосредоточимся на общей теории. См. Также параллельную теорию представлений полупростой алгебры Ли.

В этом разделе мы фиксируем связную компактную группу Ли K и максимальный тор T в K.

Теория представлений T

Поскольку T коммутативно, лемма Шура говорит нам, что каждое неприводимое представление $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\rho$ T одно- размерность:

ρ: T → GL (1; C) = C ∗ {\ displaystyle \ rho: T \ rightarrow GL (1; \ mathbb {C}) = \ mathbb {C} ^ {*}}

\rho :T\rightarrow GL(1;\mathbb {C})=\mathbb {C} ^{*}

Так как T также является компактным, $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\rho$ должен фактически отображаться в $S 1 ⊂ C {\ displaystyle S ^ {1} \ subset \ mathbb {C }}$ $S^ {1}\subset \mathbb {C}$ .

Чтобы описать эти представления конкретно, пусть $t {\ displaystyle {\ mathfrak {t}}}$ $\mathfrak{t}$ будет алгеброй Ли T, и мы запишем точки $h ∈ T {\ displaystyle h \ in T}$ $h\in T$ as

h = e H, H ∈ t {\ displaystyle h = e ^ {H}, \ quad H \ in {\ mathfrak {t}}}

h=e^{H},\quad H\in {\mathfrak {t}}

В таких координатах $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\rho$ будет иметь вид

ρ (е H) = ei λ (H) {\ displaystyle \ rho (e ^ {H}) = e ^ {i \ lambda (H)}}

\rho (e^{H})=e^{i\lambda (H)}

для некоторого линейного функционала $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\lambda$ на $t {\ displaystyle {\ mathfrak {t}}}$ $\mathfrak{t}$ .

Теперь, поскольку экспоненциальная карта $H ↦ e H {\ displaystyle H \ mapsto e ^ { H}}$ $H\mapsto e^{H}$ не является инъективным, не каждый такой линейный функционал $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\lambda$ приводит к четко определенному отображению T в $S 1 {\ Displaystyle S ^ {1}}$ $S^{1}$ . Вместо этого пусть $Γ {\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamma$ обозначает ядро экспоненциального отображения:

Γ = {H ∈ t | е 2 π H = Id} {\ displaystyle \ Gamma = \ {H \ in {\ mathfrak {t}} | e ^ {2 \ pi H} = \ operatorname {Id} \}}

\Gamma =\{H\in {\mathfrak {t}}|e^{2\pi H}=\operatorname {Id} \}

где $Id {\ displaystyle \ operatorname {Id}}$ $\operatorname {Id}$ - это тождественный элемент T. (Здесь мы масштабируем экспоненциальную карту в $2 π {\ displaystyle 2 \ pi}$ $2\pi$ , чтобы избежать подобных факторов в другом месте.) Затем для $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\lambda$ , чтобы получить четко определенную карту $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\rho$ , $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\lambda$ должен удовлетворять

λ (H) ∈ Z, H ∈ Γ {\ displaystyle \ lambda (H) \ in \ mathbb {Z}, \ quad H \ in \ Gamma }

\lambda (H)\in \mathbb {Z},\quad H\in \Gamma

где $Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\mathbb {Z}$ - это набор целых чисел. Линейный функционал $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\lambda$ , удовлетворяющий этому условию, называется аналитически интегральным элементом . Это условие целостности связано с понятием интегрального элемента в контексте полупростых алгебр Ли, но не идентично ему.

Предположим, например, что T - это просто группа $S 1 {\ displaystyle S ^ {1}}$ $S^{1}$ комплексных чисел $ei θ {\ displaystyle e ^ {i \ theta}}$ $e^{i\theta }$ абсолютного значения 1. Алгебра Ли представляет собой набор чисто мнимых чисел, $H = i θ, θ ∈ R, {\ displaystyle H = i \ theta, \, \ theta \ in \ mathbb {R},}$ $H=i\theta,\,\theta \in \mathbb {R},$ и ядром (масштабированной) экспоненциальной карты является набор чисел в форме $в {\ displaystyle in}$ $in$ , где $n {\ displaystyle n}$ $n$ - целое число. Линейный функционал $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\lambda$ принимает целые значения для всех таких чисел тогда и только тогда, когда он имеет форму $λ (i θ) = k θ {\ displaystyle \ лямбда (я \ theta) = k \ theta}$ $\lambda (i\theta)=k\theta$ для некоторого целого числа $k {\ displaystyle k}$ $k$ . Неприводимые представления T в этом случае одномерные и имеют вид

ρ (ei θ) = eik θ, k ∈ Z {\ displaystyle \ rho (e ^ {i \ theta}) = e ^ {ik \ theta}, \ quad k \ in \ mathbb {Z}}

\rho (e^{i\theta })=e^{ik\theta },\quad k\in \mathbb {Z}

Теория представлений K

Пример весов представления группы SU (3)

"восьмеричный путь "представление SU (3), используемое в физике элементарных частиц

Черные точки обозначают доминирующие интегральные элементы для группы SU (3)

Теперь допустим $Σ {\ displaystyle \ Sigma}$ $\Sigma$ обозначают конечномерное неприводимое представление K (над $C {\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\mathbb {C}$ ). Затем мы рассматриваем ограничение $Σ {\ displaystyle \ Sigma}$ $\Sigma$ до T. Это ограничение не является несводимым, если $Σ {\ displaystyle \ Sigma}$ $\Sigma$ не является однозначным. размерный. Тем не менее, ограничение разлагается как прямая сумма неприводимых представлений T. (Обратите внимание, что данное неприводимое представление T может встречаться более одного раза.) Теперь каждое неприводимое представление T описывается линейным функционалом $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\lambda$ как в предыдущем подразделе. Если заданное $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\lambda$ встречается хотя бы один раз в разложении ограничения $Σ {\ displaystyle \ Sigma}$ $\Sigma$ на T, мы вызовите $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\lambda$ a вес из $Σ {\ displaystyle \ Sigma}$ $\Sigma$ . Стратегия теории представлений K состоит в том, чтобы классифицировать неприводимые представления по их весам.

Теперь мы кратко опишем структуры, необходимые для формулировки теоремы; более подробную информацию можно найти в статье о весах в теории представлений. Нам понадобится понятие корневой системы для K (относительно данного максимального тора T). Конструкция этой корневой системы $R ⊂ t {\ displaystyle R \ subset {\ mathfrak {t}}}$ $R\subset {\mathfrak {t}}$ очень похожа на конструкцию для сложных полупростых алгебр Ли. В частности, веса - это ненулевые веса для присоединенного действия T на комплексифицированной алгебре Ли K. Корневая система R имеет все обычные свойства корневой системы, за исключением того, что элементы R не могут диапазон $т {\ displaystyle {\ mathfrak {t}}}$ $\mathfrak{t}$ . Затем мы выбираем основание $Δ {\ displaystyle \ Delta}$ $\Delta$ для R и говорим, что целочисленный элемент $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\lambda$ равен доминирующая если $λ (α) ≥ 0 {\ displaystyle \ lambda (\ alpha) \ geq 0}$ $\lambda (\alpha)\geq 0$ для всех $α ∈ Δ {\ displaystyle \ alpha \ in \ Delta }$ $\alpha \in \Delta$ . Наконец, мы говорим, что один вес выше, чем другой, если их различие может быть выражено как линейная комбинация элементов $Δ {\ displaystyle \ Delta}$ $\Delta$ с неотрицательными коэффициенты.

Неприводимые конечномерные представления K затем классифицируются по теореме о наивысшем весе, которая тесно связана с аналогичной теоремой, классифицирующей представления полупростой алгебры Ли. Результат говорит о том, что:

(1) каждое неприводимое представление имеет наивысший вес,

(2) наибольший вес всегда является доминирующим, аналитически целым элементом,

(3) два неприводимых представления с одинаковым старшим весом изоморфны, и

(4) каждый доминирующий, аналитически целостный элемент возникает как старший вес неприводимого представления.

Теорема о старшем весе для представлений K тогда почти то же самое, что и для полупростых алгебр Ли, с одним заметным исключением: концепция интегрального элемента отличается. Веса $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\lambda$ представления $Σ {\ displaystyle \ Sigma}$ $\Sigma$ аналитически интегральны в смысле, описанном в предыдущем подразделе. Каждый аналитически целостный элемент является целым в смысле алгебры Ли, но не наоборот. (Этот феномен отражает то, что, как правило, не каждое представление алгебры Ли $k {\ displaystyle {\ mathfrak {k}}}$ $\mathfrak{k}$ происходит от представления группы K.) С другой стороны, если K односвязен, набор возможных старших весов в смысле группы совпадает с множеством возможных старших весов в смысле алгебры Ли.

Формула характера Вейля

Если $Π: K → GL ⁡ (V) {\ displaystyle \ Pi: K \ rightarrow \ operatorname {GL} (V)}$ $\Pi :K\rightarrow \operatorname {GL} (V)$ является представлением K, мы определяем символ из $Π {\ displaystyle \ Pi}$ $\Pi$ как функция $X: K → C {\ displaystyle \ mathrm {X}: K \ rightarrow \ mathbb {C}}$ $\mathrm {X} :K\rightarrow \mathbb {C}$ задано как

X (x) = trace ⁡ (Π (x)), x ∈ K {\ displaystyle \ mathrm {X} (x) = \ operatorname {trace} (\ Pi (x)), \ quad x \ in K}

\mathrm {X} (x)=\operatorname {trace} (\Pi (x)),\quad x\in K

Эта функция, как легко видеть, является функцией класса, т. Е. $X (xyx - 1) = X (y) {\ displaystyle \ mathrm {X} (xyx ^ {- 1}) = \ mathrm {X} (y)}$ $\mathrm {X} (xyx^{-1})=\mathrm {X} (y)$ для всех l $x {\ displaystyle x}$ $x$ и $y {\ displaystyle y}$ $y$ в K. Таким образом, $X {\ displaystyle \ mathrm {X}}$ $\mathrm{X}$ определяется его ограничением на T.

Изучение характеров является важной частью теории представлений компактных групп. Одним из важнейших результатов, который является следствием теоремы Питера – Вейля, является то, что символы образуют ортонормированный базис для набора интегрируемых с квадратом функций класса в K. Вторым ключевым результатом является Формула символа Вейля, которая дает явную формулу для символа - или, скорее, ограничение символа на T - в терминах наивысшего веса представления.

В тесно связанной теории представлений полупростых алгебр Ли формула характера Вейля является дополнительным результатом, установленным после классификации представлений. Однако в анализе Вейля для случая компактной группы формула характера Вейля фактически является важной частью самой классификации. В частности, в анализе Вейля представлений K самая сложная часть теоремы - показывающая, что каждый доминирующий, аналитически целостный элемент на самом деле является наивысшим весом некоторого представления - доказывается совершенно иначе, чем обычная конструкция алгебры Ли с использованием Верма модули. В подходе Вейля конструкция основана на теореме Питера – Вейля и аналитическом доказательстве формулы характера Вейля. В конечном итоге неприводимые представления K реализуются внутри пространства непрерывных функций на K.

Случай SU (2)

Рассмотрим теперь случай компактной группы SU (2). Представления часто рассматриваются с точки зрения алгебры Ли, но здесь мы смотрим на них с групповой точки зрения. В качестве максимального тора возьмем набор матриц вида

(ei θ 0 0 e - i θ) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} e ^ {i \ theta} 0 \\ 0 e ^ {- i \ theta} \ end {pmatrix}}}

{\begin{pmatrix}e^{i\theta }0\\0e^{-i\theta }\end{pmatrix}}

В соответствии с примером, рассмотренным выше в разделе о представлениях T, аналитически целые элементы помечаются целыми числами, так что доминирующие, аналитически целые элементы являются неотрицательными целыми числами $м {\ displaystyle m}$ $m$ . Затем общая теория говорит нам, что для каждого $m {\ displaystyle m}$ $m$ существует уникальное неприводимое представление SU (2) с наивысшим весом $m {\ displaystyle m}$ $m$ .

Большая часть информации о представлении, соответствующем данному $m {\ displaystyle m}$ $m$ , закодирована в его символе. Теперь формула символа Вейля говорит, в данном случае, что символ задается как

X ((ei θ 0 0 e - i θ)) = sin ⁡ ((m + 1) θ) sin ⁡ (θ). {\ displaystyle \ mathrm {X} \ left ({\ begin {pmatrix} e ^ {i \ theta} 0 \\ 0 e ^ {- i \ theta} \ end {pmatrix}} \ right) = {\ frac {\ sin ((m + 1) \ theta)} {\ sin (\ theta)}}.}

\mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }0\\0e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)={\frac {\sin((m+1)\theta)}{\sin(\theta)}}.

Мы также можем записать символ как сумму экспонент следующим образом:

X ((ei θ 0 0 e - i θ)) = eim θ + ei (m - 2) θ + ⋯ e - i (m - 2) θ + e - im θ. {\ displaystyle \ mathrm {X} \ left ({\ begin {pmatrix} e ^ {i \ theta} 0 \\ 0 e ^ {- i \ theta} \ end {pmatrix}} \ right) = e ^ {im \ theta} + e ^ {i (m-2) \ theta} + \ cdots e ^ {- i (m-2) \ theta} + e ^ {- im \ theta}.}

\mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }0\\0e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)=e^{im\theta }+e^{i(m-2)\theta }+\cdots e^{-i(m-2)\theta }+e^{-im\theta }.

(Если мы используем формула для суммы конечного геометрического ряда по приведенному выше выражению и упрощая, мы получаем предыдущее выражение.)

Из этого последнего выражения и стандартной формулы для символа в терминах весов представление, мы можем считать, что веса представления равны

m, m - 2,…, - (m - 2), - m {\ displaystyle m, m-2, \ ldots, - ( m-2), - m}

m,m-2,\ldots,-(m-2),-m

каждый с кратностью один. (Веса - это целые числа, появляющиеся в показателях экспонент, а кратности - это коэффициенты при экспонентах.) Поскольку существует $m + 1 {\ displaystyle m + 1}$ $m+1$ весов, каждый из которых имеет кратность 1, размерность представления составляет $m + 1 {\ displaystyle m + 1}$ $m+1$ . Таким образом, мы восстанавливаем большую часть информации о представлениях, которая обычно получается при вычислении алгебры Ли.

Схема доказательства

Теперь мы наметим доказательство теоремы о старшем весе, следуя исходным аргументам Германа Вейля. Мы по-прежнему позволяем $K {\ displaystyle K}$ $K$ быть связной компактной группой Ли, а $T {\ displaystyle T}$ $T$ фиксированным максимальным тором в $K. {\ displaystyle K}$ $K$ . Мы сосредотачиваемся на самой сложной части теоремы, показывая, что каждый доминирующий, аналитически целостный элемент является наивысшим весом некоторого (конечномерного) неприводимого представления.

Инструменты для доказательства следующие:

Теорема о торе.
Интегральная формула Вейля.
Теорема Питера – Вейля для функций классов, в которой говорится, что характеры неприводимых представлений образуют ортонормированный базис для пространство функций классов, интегрируемых с квадратом, на $K {\ displaystyle K}$ $K$ .

С этими инструментами мы приступим к доказательству. Первый важный шаг в этом аргументе - доказать формулу символа Вейля. Формула утверждает, что если $Π {\ displaystyle \ Pi}$ $\Pi$ является неприводимым представлением с наибольшим весом $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\lambda$ , то символ $Икс {\ displaystyle \ mathrm {X}}$ $\mathrm{X}$ из $Π {\ displaystyle \ Pi}$ $\Pi$ удовлетворяет:

X (e H) = ∑ w ∈ W det (вес) ei ⟨вес ⋅ (λ + ρ), H⟩ ∑ w ∈ W det (w) ei ⟨w ⋅ ρ, H⟩ {\ displaystyle \ mathrm {X} (e ^ {H}) = {\ frac {\ sum _ {w \ in W} \ det (w) e ^ {i \ langle w \ cdot (\ lambda + \ rho), H \ rangle}} {\ sum _ {w \ in W} \ det ( w) e ^ {i \ langle w \ cdot \ rho, H \ rangle}}}}

\mathrm {X} (e^{H})={\frac {\sum _{w\in W}\det(w)e^{i\langle w\cdot (\lambda +\rho),H\rangle }}{\sum _{w\in W}\det(w)e^{i\langle w\cdot \rho,H\rangle }}}

для всех $H {\ displaystyle H}$ $H$ в алгебре Ли $T {\ Displaystyle T}$ $T$ . Здесь $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\rho$ - половина суммы положительных корней. (В нотации используется соглашение о «действительных весах»; это соглашение требует явного множителя $i {\ displaystyle i}$ $i$ в показателе степени.) Доказательство Вейля формулы символа носит аналитический характер и зависит от того, что норма символа $L 2 {\ displaystyle L ^ {2}}$ $L^{2}$ равна 1. В частности, если бы в числителе были какие-либо дополнительные члены, интегральная формула Вейля заставить норму символа быть больше 1.

Затем мы позволяем $Φ λ {\ displaystyle \ Phi _ {\ lambda}}$ $\Phi_\lambda$ обозначать функцию справа -ручная сторона формулы символа. Мы показываем, что даже если $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\lambda$ не известен как самый высокий вес представления, $Φ λ {\ displaystyle \ Phi _ {\ lambda}}$ $\Phi_\lambda$ - четко определенная, инвариантная по Вейлю функция на $T {\ displaystyle T}$ $T$ , которая, следовательно, расширяется до функции класса на $K {\ displaystyle K}$ $K$ . Затем, используя интегральную формулу Вейля, можно показать, что поскольку $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\lambda$ пробегает набор доминирующих, аналитически интегральных элементов, функции $Φ λ {\ displaystyle \ Phi _ {\ lambda}}$ $\Phi_\lambda$ образуют ортонормированное семейство функций классов. Мы подчеркиваем, что в настоящее время мы не знаем, что каждый такой $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\lambda$ является наивысшим весом представления; тем не менее, выражения в правой части формулы символа дают четко определенный набор функций $Φ λ {\ displaystyle \ Phi _ {\ lambda}}$ $\Phi_\lambda$ , и эти функции являются ортонормированными.

А теперь вывод. Набор всех $Φ λ {\ displaystyle \ Phi _ {\ lambda}}$ $\Phi_\lambda$ - с $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\lambda$ в диапазоне от доминирующего, аналитически интегральные элементы - образует ортонормированное множество в пространстве квадратично интегрируемых функций класса. Но по формуле символов Вейля, символы неприводимых представлений образуют подмножество $Φ λ {\ displaystyle \ Phi _ {\ lambda}}$ $\Phi_\lambda$ . А по теореме Питера – Вейля характеры неприводимых представлений образуют ортонормированный базис для пространства функций классов, интегрируемых с квадратом. Если было какое-то $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\lambda$ , которое не является наивысшим весом представления, то соответствующее $Φ λ {\ displaystyle \ Phi _ {\ lambda}}$ $\Phi_\lambda$ не будет символом представления. Таким образом, символы будут надлежащим подмножеством набора $Φ λ {\ displaystyle \ Phi _ {\ lambda}}$ $\Phi_\lambda$ . Но тогда возникает невозможная ситуация: ортонормированный базис (набор символов неприводимых представлений) содержался бы в строго большем ортонормированном наборе (набор $Φ λ {\ displaystyle \ Phi _ {\ lambda}}$ $\Phi_\lambda$ ). Таким образом, каждый $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\lambda$ фактически должен быть наивысшим весом представления.

Двойственность

Тема восстановления компактной группы из ее теории представлений является предметом двойственности Таннака – Крейна, которая теперь часто переделывается в терминах Таннакиана. категория теория.

От компактных к некомпактным группам

Влияние теории компактных групп на некомпактные группы было сформулировано Вейлем в его унитарном приеме. Внутри общей полупростой группы Ли существует максимальная компактная подгруппа, и теория представлений таких групп, разработанная в основном Хариш-Чандрой, интенсивно использует ограничение представления такой подгруппой, а также модель теории характеров Вейля.

См. Также

References

Bibliography

Bröcker, Theodor; tom Dieck, Tammo (1985), Representations of Compact Lie Groups, Graduate Texts in Mathematics, 98, Springer
Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222(2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
Hofmann, Karl H.; Morris, Sidney A. (1998), The structure of compact groups, Berlin: de Gruyter, ISBN 3-11-015268-1