Базельская задача

редактировать

Базельская проблема - это проблема из математического анализа, имеющая отношение к теория чисел, впервые сформулированная Пьетро Менголи в 1650 году и решенная Леонардом Эйлером в 1734 году, и прочитанная 5 декабря 1735 года в Петербургской Академии наук. Поскольку задача выдержала нападки ведущих математиков того времени, решение Эйлера сразу же принесло ему известность, когда ему было двадцать восемь лет. Эйлер значительно обобщил проблему, и его идеи были поддержаны годами позже Бернхардом Риманом в его основополагающей статье 1859 года «О числе простых чисел, меньших заданной величины », в которой он определил свою дзета-функцию и доказал ее основные свойства. Проблема названа в честь Базеля, родного города Эйлера, а также семьи Бернулли, которые безуспешно взялись за решение проблемы.

Задача Базеля требует точного суммирования обратных квадратов натуральных чисел, т. Е. точная сумма бесконечного ряда :

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + ⋯. {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}} = {\ frac {1} {1 ^ {2}}} + {\ frac { 1} {2 ^ {2}}} + {\ frac {1} {3 ^ {2}}} + \ cdots.}

{\displays tyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots.}

Сумма ряда приблизительно равна 1.644934. Задача Базеля требует точной суммы этого ряда (в закрытой форме ), а также доказательства того, что эта сумма верна. Эйлер нашел точную сумму, равную π / 6, и объявил об этом открытии в 1735 году. Его аргументы были основаны на манипуляциях, которые в то время не были оправданы, хотя позже он оказался правым, и только в 1741 году он смог произвести действительно неопровержимое доказательство.

Содержание

1 Подход Эйлера
- 1.1 Обобщения метода Эйлера с использованием элементарных симметричных многочленов
- 1.2 Последствия доказательства Эйлера
2 Дзета-функция Римана
3 Строгое доказательство с использованием формулы Эйлера и L Правило Гопиталя
4 Строгое доказательство с использованием ряда Фурье
5 Другое строгое доказательство с использованием тождества Парсеваля
- 5.1 Обобщения и рекуррентные соотношения
6 Доказательство Коши
- 6.1 История этого доказательства
- 6.2 доказательство
7 Прочие обозначения
- 7.1 Последовательные представления
- 7.2 Целочисленные представления
- 7.3 Цельные дроби
8 См. также
9 Ссылки
10 Примечания
11 Внешние ссылки

Подход Эйлера

Первоначальный вывод Эйлера значения π / 6 существенно расширил наблюдения о конечных многочленах и предположил, что эти же свойства верны для бесконечных рядов.

Конечно, исходное рассуждение Эйлера требует обоснования (100 лет спустя Карл Вейерштрасс доказал, что представление Эйлера синусоидальной функции как бесконечного произведения действительно, с помощью теоремы факторизации Вейерштрасса ), но даже без обоснования, просто получив правильное значение, он смог численно проверить его по частичным суммам ряда. Соглашение, которое он наблюдал, вселило в него достаточно уверенности, чтобы объявить свой результат математическому сообществу.

Чтобы следовать аргументам Эйлера, вспомните разложение в ряд Тейлора синусоидальной функции

sin ⁡ x = x - x 3 3! + х 5 5! - х 7 7! + ⋯ {\ displaystyle \ sin x = x - {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ Frac {x ^ {5}} {5!}} - {\ frac {x ^ { 7}} {7!}} + \ Cdots}

\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots

Делим на x, получаем

sin ⁡ xx = 1 - x 2 3! + х 4 5! - х 6 7! + ⋯ {\ displaystyle {\ frac {\ sin x} {x}} = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {3!}} + {\ Frac {x ^ {4}} {5!} } - {\ frac {x ^ {6}} {7!}} + \ cdots}

{\frac {\sin x}{x}}=1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+\cdots

Используя теорему факторизации Вейерштрасса, можно также показать, что левая часть - это произведение линейных множителей, задаваемых его корнями, точно так же, как мы делаем для конечных многочленов (которые Эйлер принял как эвристику для разложения бесконечной степени многочлена по его корням, но в общем не всегда верно для общего $P (x) {\ displaystyle P (x)}$ $P(x)$ ):

sin ⁡ xx = (1 - x π) (1 + x π) (1 - x 2 π) (1 + x 2 π) (1 - x 3 π) (1 + x 3 π) ⋯ = (1 - x 2 π 2) (1 - x 2 4 π 2) (1 - x 2 9 π 2) ⋯ {\ displaystyle { \ begin {align} {\ frac {\ sin x} {x}} = \ left (1 - {\ frac {x} {\ pi}} \ right) \ left (1 + {\ frac {x} { \ pi}} \ right) \ left (1 - {\ frac {x} {2 \ pi}} \ right) \ left (1 + {\ frac {x} {2 \ pi}} \ right) \ left ( 1 - {\ frac {x} {3 \ pi}} \ right) \ left (1 + {\ frac {x} {3 \ pi}} \ right) \ cdots \\ = \ left (1 - {\ frac {x ^ {2}} {\ pi ^ {2}}} \ right) \ left (1 - {\ frac {x ^ {2}} {4 \ pi ^ {2}}} \ right) \ left (1 - {\ frac {x ^ {2}} {9 \ pi ^ {2}}} \ right) \ cdots \ end {align}}}

{\begin{aligned}{\frac {\sin x}{x}}=\left(1-{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{3\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{3\pi }}\right)\cdots \\=\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\cdots \end{aligned}}

Если мы формально умножим этот продукт и соберем все члены x (нам разрешено это делать из-за тождества Ньютона ), мы видим по индукции, что x-коэффициент sin x / x равен

- (1 π 2 + 1 4 π 2 + 1 9 π 2 + ⋯) знак равно - 1 π 2 ∑ N знак равно 1 ∞ 1 N 2. {\ displaystyle - \ left ({\ frac {1} {\ pi ^ {2}}} + {\ frac {1} {4 \ pi ^ {2}}} + {\ frac {1} {9 \ pi ^ {2}}} + \ cdots \ right) = - {\ frac {1} {\ pi ^ {2}}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}}.}

-\left({\frac {1}{\pi ^{2}}}+{\frac {1}{4\pi ^{2}}}+{\frac {1}{9\pi ^{2}}}+\cdots \right)=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.

Но из исходного разложения sin x / x в бесконечный ряд, коэффициент при x равен −1/3! = −1/6. Эти два коэффициента должны быть равны; таким образом,

- 1 6 = - 1 π 2 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2. {\ displaystyle - {\ frac {1} {6}} = - {\ frac {1} {\ pi ^ {2}}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}}.}

-{\frac {1}{6}}=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.

Умножение обеих частей этого уравнения на −π дает сумму, обратную положительным квадратным целым числам.

∑ n знак равно 1 ∞ 1 n 2 знак равно π 2 6. {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}} = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}.}

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}.

Этот метод вычисления $ζ (2) {\ displaystyle \ zeta (2)}$ $\zeta (2)$ подробно описан в пояснительной форме, в первую очередь в книге Хэвила «Гамма», в которой подробно описаны многие дзета-функции и логарифм -связанные ряды и интегралы, а также историческая перспектива, связанная с гамма-константой Эйлера.

Обобщения метода Эйлера с использованием элементарных симметричных многочленов

Использование формул, полученных из элементарных симметричных многочленов, этот же подход можно использовать для перечисления формул для четных дзета-констант с четным индексом, которые имеют следующую известную формулу, расширенную с помощью чисел Бернулли :

ζ (2 N) знак равно (- 1) N - 1 (2 π) 2 N 2 ⋅ (2 N)! В 2 п. {\ displaystyle \ zeta (2n) = {\ frac {(-1) ^ {n-1} (2 \ pi) ^ {2n}} {2 \ cdot (2n)!}} B_ {2n}.}

\zeta (2n)={\frac {(-1)^{n-1}(2\pi)^{2n}}{2\cdot (2n)!}}B_{2n}.

Например, пусть частичный продукт для $sin ⁡ (x) {\ displaystyle \ sin (x)}$ $\sin(x)$ , развернутый, как указано выше, определяется как $S n (x) x: = ∏ К знак равно 1 N (1 - Икс 2 К 2 ⋅ π 2) {\ displaystyle {\ frac {S_ {n} (x)} {x}}: = \ prod \ limits _ {k = 1} ^ {n } \ left (1 - {\ frac {x ^ {2}} {k ^ {2} \ cdot \ pi ^ {2}}} \ right)}$ ${\frac {S_{n}(x)}{x}}:=\prod \limits _{k=1}^{n}\left(1-{\frac {x^{2}}{k^{2}\cdot \pi ^{2}}}\right)$ . Затем, используя известные формулы для элементарных симметричных многочленов (иначе говоря, формулы Ньютона, расширенные с помощью тождеств степенной суммы ), мы можем увидеть (например), что

[x 4] S n (x) x = 1 2 π 4 ((H n (2)) 2 - H n (4)) → n → ∞ 1 2 (ζ (2) 2 - ζ (4)) ⟹ ζ (4) = π 4 90 = - 2 π 2 ⋅ [x 4] sin ⁡ (x) x + π 4 36 [x 6] S n (x) x = - 1 6 π 6 ((H n (2)) 3 - 2 H n (2) H n (4) + 2 H n (6)) → n → ∞ 1 6 (ζ (2) 3 - 3 ζ (2) ζ (4) + 2 ζ (6)) ⟹ ζ ( 6) знак равно π 6 945 = - 3 ⋅ π 6 [x 6] sin ⁡ (x) x - 2 3 π 2 6 π 4 90 + π 6 216, {\ displaystyle {\ begin {align} \ left [x ^ {4} \ right] {\ frac {S_ {n} (x)} {x}} = {\ frac {1} {2 \ pi ^ {4}}} \ left (\ left (H_ {n} ^ {(2)} \ right) ^ {2} -H_ {n} ^ {(4)} \ right) \ qquad {\ xrightarrow {n \ rightarrow \ infty}} \ qquad {\ frac {1} {2 }} \ left (\ zeta (2) ^ {2} - \ zeta (4) \ right) \\ \ qquad \ подразумевает \ zeta (4) = {\ frac {\ pi ^ {4}} {90} } = - 2 \ pi ^ {2} \ cdot [x ^ {4}] {\ frac {\ sin (x)} {x}} + {\ frac {\ pi ^ {4}} {36}} \ \\ left [x ^ {6} \ right] {\ frac {S_ {n} (x)} {x}} = - {\ frac {1} {6 \ pi ^ {6}}} \ left (\ left (H_ {n} ^ {(2)} \ right) ^ {3} -2H_ {n} ^ {(2)} H_ {n} ^ { (4)} + 2H_ {n} ^ {(6)} \ right) \ qquad {\ xrightarrow {n \ rightarrow \ infty}} \ qquad {\ frac {1} {6}} \ left (\ zeta (2) ^ {3} -3 \ zeta (2) \ zeta (4) +2 \ zeta (6) \ right) \\ \ qquad \ подразумевает \ zeta (6) = {\ frac {\ pi ^ {6} } {945}} = - 3 \ cdot \ pi ^ {6} [x ^ {6}] {\ frac {\ sin (x)} {x}} - {\ frac {2} {3}} {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} {\ frac {\ pi ^ {4}} {90}} + {\ frac {\ pi ^ {6}} {216}}, \ end {выровнено} }}

{\begin{aligned}\left[x^{4}\right]{\frac {S_{n}(x)}{x}}={\frac {1}{2\pi ^{4}}}\left(\left(H_{n}^{(2)}\right)^{2}-H_{n}^{(4)}\right)\qquad {\xrightarrow {n\rightarrow \infty }}\qquad {\frac {1}{2}}\left(\zeta (2)^{2}-\zeta (4)\right)\\\qquad \implies \zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}}=-2\pi ^{2}\cdot [x^{4}]{\frac {\sin(x)}{x}}+{\frac {\pi ^{4}}{36}}\\\left[x^{6}\right]{\frac {S_{n}(x)}{x}}=-{\frac {1}{6\pi ^{6}}}\left(\left(H_{n}^{(2)}\right)^{3}-2H_{n}^{(2)}H_{n}^{(4)}+2H_{n}^{(6)}\right)\qquad {\xrightarrow {n\rightarrow \infty }}\qquad {\frac {1}{6}}\left(\zeta (2)^{3}-3\zeta (2)\zeta ( 4)+2\zeta (6)\right)\\\qquad \implies \zeta (6)={\frac {\pi ^{6}}{945}}=-3\cdot \pi ^{6}[x^{6}]{\frac {\sin(x)}{x}}-{\frac {2}{3}}{\frac {\pi ^{2}}{6}}{\frac {\pi ^{4}}{90}}+{\frac {\pi ^{6}}{216}},\end{aligned}}

и так далее для последующих коэффициентов $[x 2 k] S n (x) x {\ displaystyle [x ^ {2k}] {\ frac {S_ {n} (x)} {x }}}$ $[x^{2k}]{\frac {S_{n}(x)}{x}}$ . Существуют другие формы тождеств Ньютона, выражающие (конечные) степенные суммы $H n (2 k) {\ displaystyle H_ {n} ^ {(2k)}}$ $H_{n}^{(2k)}$ в члены элементарных симметричных многочленов, $ei ≡ ei (- π 2 1 2, - π 2 2 2, - π 2 3 2, - π 2 4 2, ⋯), {\ displaystyle e_ {i} \ Equiv e_ {i} \ left (- {\ frac {\ pi ^ {2}} {1 ^ {2}}}, - {\ frac {\ pi ^ {2}} {2 ^ { 2}}}, - {\ frac {\ pi ^ {2}} {3 ^ {2}}}, - {\ frac {\ pi ^ {2}} {4 ^ {2}}}, \ cdots \ справа),}$ $e_{i}\equiv e_{i}\left(-{\frac {\pi ^{2}}{1^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{2^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{3^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{4^{2}}},\cdots \right),$ , но мы можем пойти более прямым путем к выражению нерекурсивных формул для $ζ (2 k) {\ displaystyle \ zeta (2k)}$ $\zeta (2k)$ с помощью метод элементарных симметричных многочленов. А именно, у нас есть рекуррентная связь между элементарными симметричными многочленами и заданными как на этой странице по

(- 1) kkek (x 1,…, xn) = ∑ j знак равно 1 К (- 1) к - j - 1 pj (x 1,…, xn) ek - j (x 1,…, xn), {\ displaystyle (-1) ^ {k} ke_ {k} ( x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = \ sum _ {j = 1} ^ {k} (- 1) ^ {kj-1} p_ {j} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) e_ {kj} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}),}

(-1)^{k}ke_{k}(x_{1},\ldots,x_{n})=\sum _{j=1}^{k}(-1)^{k-j-1}p_{j}(x_{1},\ldots,x_{n})e_{k-j}(x_{1},\ldots,x_{n}),

что в нашей ситуации приравнивается к предельному рекуррентному отношению (или производящей функции свертки, или произведение ) в виде

π 2 k 2 ⋅ (2 k) ⋅ (- 1) k (2 k + 1)! = - [x 2 k] sin ⁡ (π x) π x × ∑ i ≥ 1 ζ (2 i) x i. {\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {2k}} {2}} \ cdot {\ frac {(2k) \ cdot (-1) ^ {k}} {(2k + 1)!}} = - [ x ^ {2k}] {\ frac {\ sin (\ pi x)} {\ pi x}} \ times \ sum _ {i \ geq 1} \ zeta (2i) x ^ {i}.}

{\frac {\pi ^{2k}}{2}}\cdot {\frac {(2k)\cdot (-1)^{k}}{(2k+1)!}}=-[x^{2k}]{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\times \sum _{i\geq 1}\zeta (2i)x^{i}.

Затем путем дифференцирования и перестановки членов в предыдущем уравнении получаем, что

ζ (2 k) = [x 2 k] 1 2 (1 - π x cot ⁡ (π x)). {\ displaystyle \ zeta (2k) = [x ^ {2k}] {\ frac {1} {2}} \ left (1- \ pi x \ cot (\ pi x) \ right).}

\zeta (2k)=[x^{2k}]{\frac {1}{2}}\left(1-\pi x\cot(\pi x)\right).

Последствия доказательства Эйлера

Доказательством Эйлера для $ζ (2) {\ displaystyle \ zeta (2)}$ $\zeta (2)$ , объясненным выше, и расширением его метода с помощью элементарных симметричных многочленов в предыдущем в подразделе, мы можем заключить, что $ζ (2 k) {\ displaystyle \ zeta (2k)}$ $\zeta (2k)$ всегда является рациональным кратным $π 2 k {\ displaystyle \ pi ^ {2k}}$ $\pi ^{2k}$ . Таким образом, по сравнению с относительно неизвестными или, по крайней мере, неисследованными до настоящего момента свойствами нечетно-индексированных дзета-констант, включая константу Апери $ζ (3) {\ displaystyle \ zeta (3)}$ $\zeta (3)$ , мы можем сделать гораздо больше об этом классе дзета-констант. В частности, поскольку $π {\ displaystyle \ pi}$ $\pi$ и его целые степени трансцендентны, мы можем сделать вывод, что $ζ (2 k) { \ displaystyle \ zeta (2k)}$ $\zeta (2k)$ является иррациональным, а точнее, трансцендентным для всех $k ≥ 1 {\ displaystyle k \ geq 1}$ $k\geq 1$ .

Дзета-функция Римана

Дзета-функция Римана ζ (s) является одной из наиболее значимых функций в математике из-за ее связи с распределением простых чисел. Дзета-функция определяется для любого комплексного числа s с вещественной частью больше 1 по следующей формуле:

ζ (s) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s. {\ displaystyle \ zeta (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s}}}.}

\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.

Взяв s = 2, мы видим, что ζ (2) равно сумме обратных квадратов всех натуральных чисел:

ζ (2) = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + ⋯ = π 2 6 ≈ 1,644934. {\ displaystyle \ zeta (2) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}} = {\ frac {1} {1 ^ {2}} } + {\ frac {1} {2 ^ {2}}} + {\ frac {1} {3 ^ {2}}} + {\ frac {1} {4 ^ {2}}} + \ cdots = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} \ приблизительно 1.644934.}

\zeta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\f rac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}\approx 1.644934.

Сходимость может быть доказана с помощью интегрального теста или следующего неравенства:

∑ n = 1 N 1 n 2 < 1 + ∑ n = 2 N 1 n ( n − 1) = 1 + ∑ n = 2 N ( 1 n − 1 − 1 n) = 1 + 1 − 1 N ⟶ N → ∞ 2. {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{2}}}<1+\sum _{n=2}^{N}{\frac {1}{n(n-1)}}\\=1+\sum _{n=2}^{N}\left({\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}}\right)\\=1+1-{\frac {1}{N}}\;{\stackrel {N\to \infty }{\longrightarrow }}\;2.\end{aligned}}}

{\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{2}}}<1+\sum _{n=2}^{N}{\frac {1}{n(n-1)}}\\=1+\sum _{n=2}^{N}\left({\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}}\right)\\=1+1-{\frac {1}{N}}\;{\stackrel {N\to \infty }{\longrightarrow }}\;2.\end{aligned}}

Это дает нам верхнюю границу 2, и поскольку бесконечная сумма не содержит отрицательных членов, она должна сходиться к значению строго между 0 и 2. Можно показать, что ζ (s) имеет простое выражение в терминах чисел Бернулли, если s является положительным четным целым числом. При s = 2n:

ζ (2 n) = (2 π) 2 n (- 1) n + 1 B 2 n 2 ⋅ (2 n)!. {\ displaystyle \ zeta (2n) = {\ frac {(2 \ pi) ^ {2n} (- 1) ^ {n + 1} B_ {2n}} {2 \ cdot (2n)!}}.}

\zeta (2n)={\frac {(2\pi)^{2n}(-1)^{n+1}B_{2n}}{2\cdot (2n)!}}.

Строгое доказательство с использованием формулы Эйлера и правила Л'Опиталя

Функция Sinc $sinc (x) = sin ⁡ (π x) π x {\ displaystyle {\ text {sinc}} (x) = {\ frac {\ sin (\ pi x)} {\ pi x}}}$ ${\text{sinc}}(x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}$ имеет представление факторизации Вейерштрасса как бесконечное произведение:

sin ⁡ (π x) π x = ∏ n = 1 ∞ (1 - x 2 n 2). {\ displaystyle {\ frac {\ sin (\ pi x)} {\ pi x}} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {x ^ {2}} {n ^ {2}}} \ right).}

{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right).

Бесконечное произведение является аналитическим, поэтому беря натуральный логарифм обеих частей и дифференцируя, получаем

π cos ⁡ (π x) sin ⁡ (π x) - 1 x знак равно - ∑ n знак равно 1 ∞ 2 xn 2 - x 2. {\ displaystyle {\ frac {\ pi \ cos (\ pi x)} {\ sin (\ pi x)}} - {\ frac {1} {x}} = - \ sum _ {n = 1} ^ { \ infty} {\ frac {2x} {n ^ {2} -x ^ {2}}}.}

{\frac {\pi \cos(\pi x)}{\sin(\pi x)}}-{\frac {1}{x}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2x}{n^{2}-x^{2}}}.

После деления уравнения на $2 x {\ displaystyle 2x}$ $2x$ и при перегруппировке получается

1 2 x 2 - π cot ⁡ (π x) 2 x = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 - x 2. {\ displaystyle {\ frac {1} {2x ^ {2}}} - {\ frac {\ pi \ cot (\ pi x)} {2x}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2} -x ^ {2}}}.}

{\frac {1}{2x^{2}}}-{\frac {\pi \cot(\pi x)}{2x}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}-x^{2}}}.

Мы производим замену переменных ( $x = - it {\ displaystyle x = -it}$ $x=-it$ ):

- 1 2 t 2 + π cot ⁡ (- π it) 2 it = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + t 2. {\ displaystyle - {\ frac {1} {2t ^ {2}}} + {\ frac {\ pi \ cot (- \ pi it)} {2it}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2} + t ^ {2}}}.}

-{\frac {1}{2t^{2}}}+{\frac {\pi \cot(-\pi it)}{2it}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+t^{2}}}.

Формула Эйлера может использоваться для вывода, что

π cot ⁡ (- π it) 2 это = π 2 iti (e 2 π t + 1) e 2 π t - 1 = π 2 t + π t (e 2 π t - 1). {\ displaystyle {\ frac {\ pi \ cot (- \ pi it)} {2it}} = {\ frac {\ pi} {2it}} {\ frac {i \ left (e ^ {2 \ pi t}) +1 \ right)} {e ^ {2 \ pi t} -1}} = {\ frac {\ pi} {2t}} + {\ frac {\ pi} {t \ left (e ^ {2 \ pi t} -1 \ right)}}.}

{\frac {\pi \cot(-\pi it)}{2it}}={\frac {\pi }{2it}}{\frac {i\left(e^{2\pi t}+1\right)}{e^{2\pi t}-1}}={\frac {\pi }{2t}}+{\frac {\pi }{t\left(e^{2\pi t}-1\right)}}.

или используя гиперболическую функцию :

π cot ⁡ (- π it) 2 it = π 2 ti cot ⁡ (π it) = π 2 t coth ⁡ (π t). {\ displaystyle {\ frac {\ pi \ cot (- \ pi it)} {2it}} = {\ frac {\ pi} {2t}} {i \ cot (\ pi it)} = {\ frac {\ pi} {2t}} \ coth (\ pi t).}

{\frac {\pi \cot(-\pi it)}{2it}}={\frac {\pi }{2t}}{i\cot(\pi it)}={\frac {\pi }{2t}}\coth(\pi t).

Тогда

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + t 2 = π (te 2 π t + t) - e 2 π t + 1 2 (t 2 e 2 π t - t 2) = - 1 2 t 2 + π 2 t coth ⁡ (π t). {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2} + t ^ {2}}} = {\ frac {\ pi \ left (te ^ {2 \ pi t} + t \ right) -e ^ {2 \ pi t} +1} {2 \ left (t ^ {2} e ^ {2 \ pi t} -t ^ {2} \ right)}} = - {\ frac {1} {2t ^ {2}}} + {\ frac {\ pi} {2t}} \ coth (\ pi t).}

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+t^{2}}}={\frac {\pi \left(te^{2\pi t}+t\right)-e^{2\pi t}+1}{2\left(t^{2}e^{2\pi t}-t^{2}\right)}}=-{\frac {1}{2t^{2}}}+{\frac {\pi }{2t}}\coth(\pi t).

Теперь возьмем предел поскольку $t {\ displaystyle t}$ $t$ приближается к нулю и трижды используйте правило Л'Опиталя :

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = lim t → 0 π 4 2 π te 2 π t - е 2 π t + 1 π t 2 e 2 π t + te 2 π t - t {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}} = \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {\ pi} {4}} {\ frac {2 \ pi te ^ {2 \ pi t} -e ^ {2 \ pi t} +1} {\ pi t ^ {2} e ^ {2 \ pi t} + te ^ {2 \ pi t} -t}}

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\lim _{t\to 0}{\frac {\pi }{4}}{\frac {2\pi te^{2\pi t}-e^{2\pi t}+1}{\pi t^{2}e^{2\pi t}+te^{2\pi t}-t}}

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = lim t → 0 π 3 те 2 π T 2 π (π T 2 е 2 π t + 2 te 2 π t) + е 2 π t - 1 {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}} = \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {\ pi ^ {3} te ^ {2 \ pi t}} {2 \ pi \ left (\ pi t ^ {2} e ^ {2 \ pi t} + 2te ^ {2 \ pi t} \ right) + e ^ {2 \ pi t} -1}}}

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\lim _{t\to 0}{\frac {\pi ^{3}te^{2\pi t}}{2\pi \left(\pi t^{2}e^{2\pi t}+2te^{2\pi t}\right)+e^{2\pi t}-1}}

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 знак равно lim t → 0 π 2 (2 π t + 1) 4 π 2 t 2 + 12 π t + 6 {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}} = \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {\ pi ^ {2} (2 \ pi t + 1)} {4 \ pi ^ {2} t ^ {2} +12 \ pi t + 6}}}

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\lim _{t\to 0}{\frac {\pi ^{2}(2\pi t+1)}{4\pi ^{2}t^{2}+12\pi t+6}}

∑ ​​n = 1 ∞ 1 п 2 знак равно π 2 6. {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}} = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}.}

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}.

Строгое доказательство с использованием ряда Фурье

Используйте тождество Парсеваля (примененное к функции f (x) = x), чтобы получить

∑ n = - ∞ ∞ | c n | 2 знак равно 1 2 π ∫ - π π Икс 2 dx, {\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} | c_ {n} | ^ {2} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} x ^ {2} \, dx,}

\sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x^{2}\,dx,

где

cn = 1 2 π ∫ - π π xe - inxdx = n π cos ⁡ (N π) - грех ⁡ (N π) π N 2 я = соз ⁡ (N π) ni = (- 1) nni {\ displaystyle {\ begin {align} c_ {n} = {\ frac {1) } {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} xe ^ {- inx} \, dx \\ [4pt] = {\ frac {n \ pi \ cos (n \ pi) - \ sin (n \ pi)} {\ pi n ^ {2}}} i \\ [4pt] = {\ frac {\ cos (n \ pi)} {n}} i \\ [4pt] = {\ frac {(-1) ^ {n}} {n}} i \ end {align}}}

{\begin{aligned}c_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }xe^{-inx}\,dx\\[4pt]={\frac {n\pi \cos(n\pi)-\sin(n\pi)}{\pi n^{2}}}i\\[4pt]={\frac {\cos(n\pi)}{n}}i\\[4pt]={\frac {(-1)^{n}}{n}}i\end{aligned}}

для n ≠ 0 и c 0 = 0. Таким образом,

| c n | 2 = {1 n 2, для n ≠ 0, 0, для n = 0, {\ displaystyle | c_ {n} | ^ {2} = {\ begin {cases} {\ dfrac {1} {n ^ {2 }}}, {\ text {for}} n \ neq 0, \\ 0, {\ text {for}} n = 0, \ end {cases}}}

|c_{n}|^{2}={\begin{cases}{\dfrac {1}{n^{2}}},{\text{for }}n\neq 0,\\0,{\text{for }}n=0,\end{cases}}

∑ n = - ∞ ∞ | c n | 2 знак равно 2 ∑ N знак равно 1 ∞ 1 N 2 знак равно 1 2 π ∫ - π π Икс 2 d Икс. {\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} | c_ {n} | ^ {2} = 2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} { n ^ {2}}} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} x ^ {2} \, dx.}

\sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x^{2}\,dx.

Следовательно,

∑ N = 1 ∞ 1 N 2 знак равно 1 4 π ∫ - π π x 2 dx = π 2 6 {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ { 2}}} = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} x ^ {2} \, dx = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}}

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{4\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x^{2}\,dx={\frac {\pi ^{2}}{6}}

по мере необходимости.

Еще одно строгое доказательство, использующее личность Парсеваля

Учитывая полный ортонормированный базис в пространстве $L на 2 (0, 1) {\ displaystyle L _ {\ operatorname {per}} ^ {2} (0,1)}$ $L_{\operatorname {per} }^{2}(0,1)$ из L2 периодических функций над $(0, 1) {\ displaystyle (0,1)}$ $(0,1)$ (т. Е. Подпространство интегрируемых с квадратом функций, которые также являются периодическими ), обозначаемое ${ei} i = - ∞ ∞ {\ displaystyle \ {e_ {i} \} _ {i = - \ infty} ^ {\ infty}}$ $\{e_{i}\}_{i=-\infty }^{\infty }$ , Тождество Парсеваля говорит нам, что

‖ x ‖ 2 = ∑ i = - ∞ ∞ | ⟨E i, x⟩ | 2, {\ displaystyle \ | x \ | ^ {2} = \ sum _ {i = - \ infty} ^ {\ infty} | \ langle e_ {i}, x \ rangle | ^ {2},}

\|x\|^{2}=\sum _{i=-\infty }^{\infty }|\langle e_{i},x\rangle |^{2},

где $‖ x ‖: = ⟨x, x⟩ {\ displaystyle \ | x \ |: = {\ sqrt {\ langle x, x \ rangle}}}$ $\|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$ определяется в терминах скалярное произведение на этом гильбертовом пространстве, заданное как

⟨f, g⟩ = ∫ 0 1 f (x) g (x) ¯ dx, f, g ∈ L per 2 (0, 1). {\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {0} ^ {1} f (x) {\ overline {g (x)}} \, dx, \ f, g \ in L _ {\ operatorname { per}} ^ {2} (0,1).}

\langle f,g\rangle =\int _{0}^{1}f(x){\overline {g(x)}}\,dx,\ f,g\in L_{\operatorname {per} }^{2}(0,1).

Мы можем рассмотреть ортонормированный базис на этом пространстве, определяемый как $ek ≡ ek (ϑ): = exp ⁡ (2 π ı К ϑ) {\ Displaystyle e_ {k} \ Equiv e_ {k} (\ vartheta): = \ exp (2 \ pi \ imath k \ vartheta)}$ $e_{k}\equiv e_{k}(\vartheta):=\exp(2\pi \imath k\vartheta)$ такой, что $⟨ek, эдж⟩ знак равно ∫ 0 1 е 2 π ı (к - j) ϑ d ϑ = δ к, j {\ displaystyle \ langle e_ {k}, e_ {j} \ rangle = \ int _ {0} ^ {1} e ^ {2 \ pi \ imath (kj) \ vartheta} \, d \ vartheta = \ delta _ {k, j}}$ $\langle e_{k},e_{j}\rangle =\int _{0}^{1}e^{2\pi \imath (k-j)\vartheta }\,d\vartheta =\delta _{k,j}$ . Затем, если мы возьмем $f (ϑ): = ϑ {\ displaystyle f (\ vartheta): = \ vartheta}$ $f(\vartheta):=\vartheta$ , мы можем вычислить и то, и другое, что

‖ f ‖ 2 = ∫ 0 1 ϑ 2 d ϑ знак равно 1 3 ⟨е, эк⟩ = ∫ 0 1 ϑ е - 2 π ı k ϑ d ϑ = {1 2, k = 0 - 1 2 π ı kk ≠ 0, {\ displaystyle {\ begin { выровнено} \ | f \ | ^ {2} = \ int _ {0} ^ {1} \ vartheta ^ {2} \, d \ vartheta = {\ frac {1} {3}} \\\ langle f, e_ {k} \ rangle = \ int _ {0} ^ {1} \ vartheta e ^ {- 2 \ pi \ imath k \ vartheta} \, d \ vartheta = {\ Biggl \ {} {\ begin { array} {ll} {\ frac {1} {2}}, k = 0 \\ - {\ frac {1} {2 \ pi \ imath k}} k \ neq 0, \ end {array}} \ end {выровнено}}}

{\begin{aligned}\|f\|^{2}=\int _{0}^{1}\vartheta ^{2}\,d\vartheta ={\frac {1}{3}}\\\langle f,e_{k}\rangle =\int _{0}^{1}\vartheta e^{-2\pi \imath k\vartheta }\,d\vartheta ={\Biggl \{}{\begin{array}{ll}{\frac {1}{2}},k=0\\-{\frac {1}{2\pi \imath k}}k\neq 0,\end{array}}\end{aligned}}

с помощью элементарного исчисления и интегрирования по частям, соответственно. Наконец, по тождеству Парсеваля, сформулированному в приведенной выше форме, получаем, что

‖ f ‖ 2 = 1 3 = ∑ k ≠ 0 k = - ∞ ∞ 1 (2 π k) 2 + 1 4 Знак равно 2 ∑ k = 1 ∞ 1 (2 π k) 2 + 1 4 ⟹ π 2 6 = 2 π 2 3 - π 2 2 = ζ (2). {\ displaystyle {\ begin {align} \ | f \ | ^ {2} = {\ frac {1} {3}} = \ sum _ {\ stackrel {k = - \ infty} {k \ neq 0} } ^ {\ infty} {\ frac {1} {(2 \ pi k) ^ {2}}} + {\ frac {1} {4}} = 2 \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty } {\ frac {1} {(2 \ pi k) ^ {2}}} + {\ frac {1} {4}} \\ \ подразумевает {\ frac {\ pi ^ {2}} {6} } = {\ frac {2 \ pi ^ {2}} {3}} - {\ frac {\ pi ^ {2}} {2}} = \ zeta (2). \ end {align}}}

{\begin{aligned}\|f\|^{2}={\frac {1}{3}}=\sum _{\stackrel {k=-\infty }{k\neq 0}}^{\infty }{\frac {1}{(2\pi k)^{2}}}+{\frac {1}{4}}=2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(2\pi k)^{2}}}+{\frac {1}{4}}\\\implies {\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {2\pi ^{2}}{3}}-{\frac {\pi ^{2}}{2}}=\zeta (2).\end{aligned}}

Обобщения и рекуррентные отношения

Обратите внимание, что, учитывая высшие степени $fj (ϑ): = ϑ j ∈ L на 2 (0, 1) {\ displaystyle f_ {j} (\ vartheta): = \ vartheta ^ {j} \ in L _ {\ operatorname {per}} ^ {2} (0,1)}$ $f_{j}(\vartheta):=\vartheta ^{j}\in L_{\operatorname {per} }^{2}(0,1)$ мы можем использовать интегрирование по частям, чтобы расширить это метод перечисления формул для $ζ (2 j) {\ displaystyle \ zeta (2j)}$ $\zeta (2j)$ when $j>1 {\ displaystyle j>1}$ $j>1$ . В частности, предположим, что мы разрешили

Я j, к: знак равно ∫ 0 1 ϑ je - 2 π ı К ϑ d ϑ, {\ displaystyle I_ {j, k}: = \ int _ {0} ^ {1} \ vartheta ^ {j} e ^ {- 2 \ pi \ imath k \ vartheta} \, d \ vartheta,}

I_{j,k}:=\int _{0}^{1}\vartheta ^{j}e^{-2\pi \imath k\vartheta }\,d\vartheta,

, так что интегрирование по частям дает рекуррентное соотношение, что

I j, k = {1 j + 1, k = 0; - 1 2 π ı ⋅ k + j 2 π ı ⋅ k I j - 1, k, k ≠ 0 = {1 j + 1, k = 0; - ∑ м = 1 j j! (j + 1 - m)! 1 (2 π ı ⋅ k) m, k ≠ 0. {\ displaystyle {\ begin {align} I_ {j, k} = {\ Biggl \ {} {\ begin {array} {ll} {\ frac {1} {j + 1}}, k = 0; \ \ - {\ frac {1} {2 \ pi \ imath \ cdot k}} + {\ frac {j} {2 \ pi \ imath \ cdot k}} I_ {j-1, k}, k \ neq 0 \ end {array}} \\ = {\ Biggl \ {} {\ begin {array} {ll} {\ frac {1} {j + 1}}, k = 0; \\ - \ sum \ limits _ {m = 1} ^ {j} {\ frac {j!} {(j + 1-m)!}} \ cdot {\ frac {1} {(2 \ pi \ imath \ cdot k) ^ {m} }}, k \ neq 0 \ end {array}}. \ end {align}}}

{\begin{aligned}I_{j,k}={\Biggl \{}{\begin{array}{ll}{\frac {1}{j+1}},k=0;\\-{\frac {1}{2\pi \imath \cdot k}}+{\frac {j}{2\pi \imath \cdot k}}I_{j-1,k},k\neq 0\end{array}}\\={\Biggl \{}{\begin{array}{ll}{\frac {1}{j+1}},k=0;\\-\sum \limits _{m=1}^{j}{\frac {j!}{(j+1-m)!}}\cdot {\frac {1}{(2\pi \imath \cdot k)^{m}}},k\neq 0\end{array}}.\end{aligned}}

Затем, применив идентичность Парсеваля, как мы это сделали для первого случая выше, наряду с линейностью внутренний продукт дает

‖ fj ‖ 2 = 1 2 j + 1 = 2 ∑ k ≥ 1 I j, k I ¯ j, k + 1 (j + 1) 2 = 2 ∑ m = 1 j r = 1 jj! 2 (j + 1 - m)! (j + 1 - r)! (- 1) r ı m + r ζ (m + r) (2 π) m + r + 1 (j + 1) 2. {\ displaystyle {\ begin {align} \ | f_ {j} \ | ^ {2} = {\ frac {1} {2j + 1}} = 2 \ sum _ {k \ geq 1} I_ {j, k} {\ bar {I}} _ {j, k} + {\ frac {1} {(j + 1) ^ {2}}} \\ = 2 \ sum _ {m = 1} ^ {j } \ sum _ {r = 1} ^ {j} {\ frac {j! ^ {2}} {(j + 1-m)! (j + 1-r)!}} {\ frac {(-1) ^ {r}} {\ imath ^ {m + r}}} {\ frac {\ zeta (m + r)} {(2 \ pi) ^ {m + r}}} + {\ frac {1} {(j + 1) ^ {2}}}. \ end {align}}}

{\begin{aligned}\|f_{j}\|^{2}={\frac {1}{2j+1}}=2\sum _{k\geq 1}I_{j,k}{\bar {I}}_{j,k}+{\frac {1}{(j+1)^{2}}}\\=2\sum _{m=1}^{j}\sum _{r=1}^{j}{\frac {j!^{2}}{(j+1-m)!(j+1-r)!}}{\frac {(-1)^{r}}{\imath ^{m+r}}}{\frac {\zeta (m+r)}{(2\pi)^{m+r}}}+{\frac {1}{(j+1)^{2}}}.\end{aligned}}

Доказательство Коши

Хотя в большинстве доказательств используются результаты сложной математики, например Анализ Фурье, комплексный анализ и многомерное исчисление, следующее даже не требует единственного исчисления (до единственного предела взят в конце).

Для доказательства с использованием теоремы о вычетах см. Связанную статью.

История этого доказательства

Доказательство восходит к Огюстен Луи Коши (Cours d'Analyse, 1821, примечание VIII). В 1954 году это доказательство появилось в книге Акивы и Исаака Яглома «Неэлементарные задачи в элементарном изложении». Позже, в 1982 году, оно появилось в журнале Eureka, приписываемом Джону Скоулзу, но Скоулз утверждает, что узнал доказательство от Питера Суиннертон-Дайера, и в любом случае он утверждает, что доказательство было «общеизвестным в Кембридж в конце 1960-х ».

Доказательство

Неравенство.

1 2 r 2 tan ⁡ θ>1 2 r 2 θ>1 2 r 2 sin ⁡ θ {\ displaystyle {\ tfrac {1} { 2}} r ^ {2} \ tan \ theta>{\ tfrac {1} {2}} r ^ {2} \ theta>{\ tfrac {1} {2}} r ^ {2} \ sin \ theta }

${\tfrac {1}{2}}r^{2}\tan \theta>{\ tfrac {1} {2}} r ^ {2} \ theta>{\ tfrac {1} {2}} r ^ {2} \ sin \ theta$ . Показано. Взятие взаимных значений и возведение в квадрат дает.

cot 2 ⁡ θ < 1 θ 2 < csc 2 ⁡ θ {\displaystyle \cot ^{2}\theta <{\tfrac {1}{\theta ^{2}}}<\csc ^{2}\theta }

\cot ^{2}\theta <{\tfrac {1}{\theta ^{2}}}<\csc ^{2}\theta

Основная идея доказательства состоит в том, чтобы ограничить частичные (конечные) суммы

∑ k = 1 m 1 k 2 = 1 1 2 + 1 2 2 + ⋯ + 1 m 2 {\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {m} {\ frac {1} {k ^ {2}}} = {\ frac {1} {1 ^ {2}}} + {\ frac {1 } {2 ^ {2}}} + \ cdots + {\ frac {1} {m ^ {2}}}}

\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{m^{2}}}

между двумя выражениями, каждое из которых будет стремиться к π / 6 по мере приближения m к бесконечности. два выражения являются производными от тождеств, включающих функции котангенса и косеканса. Эти тождества, в свою очередь, получены из формулы де Муавра, а теперь перейдем к установлению этих идентичностей.

Пусть x будет действительным числом с 0 < x < π/2, and let n be a positive odd integer. Then from de Moivre's formula and the definition of the cotangent function, we have

cos ⁡ (nx) + i sin ⁡ (nx) sin n ⁡ x = (cos ⁡ x + i sin ⁡ x) n sin n ⁡ x = (соз ⁡ х + я грех ⁡ х грех ⁡ х) п = (детская кроватка х + я) п. {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ cos (nx) + i \ sin (nx)} {\ sin ^ {n} x}} = {\ frac {(\ cos x + i \ sin x) ^ {n}} {\ sin ^ {n} x}} \\ [4pt] = \ left ({\ frac {\ cos x + i \ sin x} {\ sin x}} \ right) ^ {n} \\ [4pt] = (\ cot x + i) ^ {n}. \ end {align}}}

{\begin{aligned}{\frac {\cos(nx)+i\sin(nx)}{\sin ^{n}x}}={\frac {(\cos x+i\sin x)^{n}}{\sin ^{n}x}}\\[4pt]=\left({\frac {\cos x+i\sin x}{\sin x}}\right)^{n}\\[4pt]=(\cot x+i)^{n}.\end{aligned}}

Из биномиальной теоремы мы имеем

(cot ⁡ x + i) n = (n 0) детская кроватка n ⁡ x + (n 1) (детская кроватка n - 1 ⁡ x) i + ⋯ + (nn - 1) (детская кроватка ⁡ x) в - 1 + (nn) в = ((n 0) детская кроватка n ⁡ x - (n 2) детская кроватка n - 2 ⁡ x ± ⋯) + i ((n 1) детская кроватка n - 1 ⁡ x - (n 3) детская кроватка n - 3 ⁡ x ± ⋯). {\ Displaystyle {\ begin {align} (\ cot x + i) ^ {n} = {n \ choose 0} \ cot ^ {n} x + {n \ choose 1} (\ cot ^ {n-1} x) i + \ cdots + {n \ choose {n-1}} (\ cot x) i ^ {n-1} + {n \ choose n} i ^ {n} \\ [6pt] = {\ Bigg (} {n \ choose 0} \ cot ^ {n} x- {n \ choose 2} \ cot ^ {n-2} x \ pm \ cdots {\ Bigg)} \; + \; i {\ Bigg ( } {n \ choose 1} \ cot ^ {n-1} x- {n \ choose 3} \ cot ^ {n-3} x \ pm \ cdots {\ Bigg)}. \ end {align}}}

{\begin{aligned}(\cot x+i)^{n}={n \choose 0}\cot ^{n}x+{n \choose 1}(\cot ^{n-1}x)i+\cdots +{n \choose {n-1}}(\cot x)i^{n-1}+{n \choose n}i^{n}\\[6pt]={\Bigg (}{n \choose 0}\cot ^{n}x-{n \choose 2}\cot ^{n-2}x\pm \cdots {\B igg)}\;+\;i{\Bigg (}{n \choose 1}\cot ^{n-1}x-{n \choose 3}\cot ^{n-3}x\pm \cdots {\Bigg)}.\end{aligned}}

Объединение двух уравнений и приравнивание мнимых частей дает тождество

sin ⁡ (nx) sin n ⁡ x = ((n 1) cot n - 1 ⁡ x - (n 3) cot n - 3 ⁡ x ± ⋯). {\ displaystyle {\ frac {\ sin (nx)} {\ sin ^ {n} x}} = {\ Bigg (} {n \ choose 1} \ cot ^ {n-1} x- {n \ choose 3 } \ cot ^ {n-3} x \ pm \ cdots {\ Bigg)}.}

{\frac {\sin(nx)}{\sin ^{n}x}}={\Bigg (}{n \choose 1}\cot ^{n-1}x-{n \choose 3}\cot ^{n-3}x\pm \cdots {\Bigg)}.

Возьмем это тождество, зафиксируем положительное целое число m, положим n = 2m + 1 и рассмотрим x r = rπ / 2m + 1 для r = 1, 2,..., m. Тогда nx r делится на π и поэтому sin (nx r) = 0. Итак,

0 = (2 m + 1 1) cot 2 m ⁡ xr - (2 м + 1 3) детская кроватка 2 м - 2 ⁡ xr ± ⋯ + (- 1) м (2 м + 1 2 м + 1) {\ displaystyle 0 = {{2m + 1} \ choose 1} \ cot ^ {2m} x_ {r} - {{2m + 1} \ choose 3} \ cot ^ {2m-2} x_ {r} \ pm \ cdots + (- 1) ^ {m} {{2m + 1} \ выберите {2m + 1}}}

0={{2m+1} \choose 1}\cot ^{2m}x_{r}-{{2m+1} \choose 3}\cot ^{2m-2}x_{r}\pm \cdots +(-1)^{m}{{2m+1} \choose {2m+1}}

для каждого r = 1, 2,..., m. Значения x r = x 1, x 2,..., x m являются различными числами в интервале 0 < xr< π/2. Since the function cot x is один к одному на этом интервале, числа t r = cot x r различны для r = 1, 2,..., m. Согласно приведенному выше уравнению эти m чисел являются корнями многочлена m-й степени

p (t) = (2 m + 1 1) tm - (2 m + 1 3) tm - 1 ± ⋯ + (- 1) м (2 м + 1 2 м + 1). {\ displaystyle p (t) = {{2m + 1} \ choose 1} t ^ {m} - {{2m + 1} \ choose 3} t ^ {m-1} \ pm \ cdots + (- 1) ^ {m} {{2m + 1} \ choose {2m + 1}}.}

p(t)={{2m+1} \choose 1}t^{m}-{{2m+1} \choose 3}t^{m-1}\pm \cdots +(-1)^{m}{{2m+1} \choose {2m+1}}.

По формулам Виета мы можем вычислить сумму корней напрямую, исследуя первые два коэффициента многочлена, и это сравнение показывает, что

детская кроватка 2 ⁡ x 1 + детская кроватка 2 ⁡ x 2 + ⋯ + детская кроватка 2 ⁡ xm = (2 m + 1 3) (2 m + 1 1) = 2 m (2 m - 1) 6. {\ Displaystyle \ cot ^ {2} x_ {1} + \ cot ^ {2} x_ {2} + \ cdots + \ cot ^ {2} x_ {m} = {\ frac {\ binom {2m + 1} {3}} {\ binom {2m + 1} {1}}} = {\ frac {2m (2m-1)} {6}}.}

\cot ^{2}x_{1}+\cot ^{2}x_{2}+\cdots +\cot ^{2}x_{m}={\frac {\binom {2m+1}{3}}{\binom {2m+1}{1}}}={\frac {2m(2m-1)}{6}}.

Подстановка тождества csc x = cot x + 1, имеем

csc 2 ⁡ x 1 + csc 2 ⁡ x 2 + ⋯ + csc 2 ⁡ xm = 2 m (2 m - 1) 6 + m = 2 m (2 m + 2) 6. {\ Displaystyle \ csc ^ {2} x_ {1} + \ csc ^ {2} x_ {2} + \ cdots + \ csc ^ {2} x_ {m} = {\ frac {2m (2m-1)} {6}} + m = {\ frac {2m (2m + 2)} {6}}.}

\csc ^{2}x_{1}+\csc ^{2}x_{2}+\cdots +\csc ^{2}x_{m}={\frac {2m(2m-1)}{6}}+m={\frac {2m(2m+2)}{6}}.

Теперь рассмотрим неравенство cot x < 1/x < csc x (illustrated geometrically above). If we add up all these inequalities for each of the numbers xr = rπ / 2m + 1, и если мы используя два приведенных выше тождества, получаем

2 m (2 m - 1) 6 < ( 2 m + 1 π) 2 + ( 2 m + 1 2 π) 2 + ⋯ + ( 2 m + 1 m π) 2 < 2 m ( 2 m + 2) 6. {\displaystyle {\frac {2m(2m-1)}{6}}<\left({\frac {2m+1}{\pi }}\right)^{2}+\left({\frac {2m+1}{2\pi }}\right)^{2}+\cdots +\left({\frac {2m+1}{m\pi }}\right)^{2}<{\frac {2m(2m+2)}{6}}.}

{\frac {2m(2m-1)}{6}}<\left({\frac {2m+1}{\pi }}\right)^{2}+\left({\frac {2m+1}{2\pi }}\right)^{2}+\cdots +\left({\frac {2m+1}{m\pi }}\right)^{2}<{\frac {2m(2m+2)}{6}}.

Умножая на (π / 2m + 1)., получаем

π 2 6 (2 m 2 m + 1) (2 m - 1 2 m + 1) < 1 1 2 + 1 2 2 + ⋯ + 1 m 2 < π 2 6 ( 2 m 2 m + 1) ( 2 m + 2 2 m + 1). {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}\left({\frac {2m}{2m+1}}\right)\left({\frac {2m-1}{2m+1}}\right)<{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{m^{2}}}<{\frac {\pi ^{2}}{6}}\left({\frac {2m}{2m+1}}\right)\left({\frac {2m+2}{2m+1}}\right).}

{\frac {\pi ^{2}}{6}}\left({\frac {2m}{2m+1}}\right)\left({\frac {2m-1}{2m+1}}\right)<{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{m^{2}}}<{\frac {\pi ^{2}}{6}}\left({\frac {2m}{2m+1}}\right)\left({\frac {2m+2}{2m+1}}\right).

Когда m приближается к бесконечности, каждое из левых и правых выражений приближается к π / 6, поэтому по теореме о сжатии,

ζ (2) = ∑ К знак равно 1 ∞ 1 К 2 знак равно lim м → ∞ (1 1 2 + 1 2 2 + ⋯ + 1 м 2) = π 2 6 {\ Displaystyle \ zeta (2) = \ сумма _ {к = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {k ^ {2}}} = \ lim _ {m \ to \ infty} \ left ({\ frac {1} {1 ^ {2}}} + {\ frac {1} {2 ^ {2}}} + \ cdots + {\ frac {1} {m ^ {2}}} \ right) = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}}

\zeta (2)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}=\lim _{m\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{m^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}

и это завершает доказательство.

Другие идентичности

См. Особые случаи идентичностей для дзета-функции Римана, когда $s = 2. {\ displaystyle s = 2.}$ $s=2.$ Другие примечательные особенности и представления этой константы представлены в разделах ниже.

Последовательные представления

Следующие последовательности представлений константы:

ζ (2) = 3 ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 (2 kk) = ∑ i = 1 ∞ ∑ J знак равно 1 ∞ (я - 1)! (j - 1)! (i + j)!. {\ displaystyle {\ begin {align} \ zeta (2) = 3 \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {k ^ {2} {\ binom {2k} {k }}}} \\ = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ sum _ {j = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(i-1)! (j-1)! } {(i + j)!}}. \\\ конец {выровнено}}}

{\begin{aligned}\zeta (2)=3\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}{\binom {2k}{k}}}}\\=\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {(i-1)!(j-1)!}{(i+j)!}}.\\\end{aligned}}

Существуют также расширения серии типа BBP для ζ (2).

Интеграл представления

Ниже приведены интегральные представления $ζ (2): {\ displaystyle \ zeta (2) {\ text {:}}}$ $\zeta (2){\text{:}}$

ζ (2) = - ∫ 0 1 log ⁡ x 1 - xdx = ∫ 0 ∞ xex - 1 dx = ∫ 0 1 (журнал ⁡ x) 2 (1 + x) 2 dx = 2 + 2 ∫ 1 ∞ ⌊ x ⌋ - xx 3 dx = exp ⁡ (2 ∫ 2 ∞ π (x) x (x 2 - 1) dx) = ∫ 0 1 ∫ 0 1 dxdy 1 - xy = 4 3 ∫ 0 1 ∫ 0 1 dxdy 1 - (xy) 2 = ∫ 0 1 ∫ 0 1 1 - x 1 - xydxdy + 2 3. {\ displaystyle {\ begin {align} \ zeta (2) = - \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ log x} {1-x}} \, dx \\ [6pt] = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {x} {e ^ {x} -1}} \, dx \\ [6pt] = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {(\ log x) ^ {2}} {(1 + x) ^ {2}}} \, dx \\ [6pt] = 2 + 2 \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {\ lfloor x \ rfloor -x} {x ^ {3}}} \, dx \\ [6pt] = \ exp \ left (2 \ int _ {2} ^ {\ infty} {\ frac {\ pi (x)} {x (x ^ {2} -1)}} \, dx \ right) \\ [6pt] = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1 } {\ frac {dx \, dy} {1-xy}} \\ [6pt] = {\ frac {4} {3}} \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {dx \, dy} {1- (xy) ^ {2}}} \\ [6pt] = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1 } {\ frac {1-x} {1-xy}} \, dx \, dy + {\ frac {2} {3}}. \ end {align}}}

{\begin{aligned}\zeta (2)=-\int _{0}^{1}{\frac {\log x}{1-x}}\,dx\\[6pt]=\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx\\[6pt]=\int _{0}^{1}{\frac {(\log x)^{2}}{(1+x)^{2}}}\,dx\\[6pt]=2+2\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor x\rfloor -x}{x^{3}}}\,dx\\[6pt]=\exp \left(2\int _{2}^{\infty }{\frac {\pi (x)}{x(x^{2}-1)}}\,dx\right)\\[6pt]=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {dx\,dy}{1-xy}}\\[6pt]={\frac {4}{3}}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {dx\,dy}{1-(xy)^{2}}}\\[6pt]=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1-x}{1-xy}}\,dx\,dy+{\frac {2}{3}}.\end{aligned}}

Непрерывные дроби

В классической статье ван дер Портена, описывающей доказательство Апери иррациональности $ζ (3) {\ displaystyle \ zeta (3)}$ $\zeta (3)$ , автор отмечает несколько параллелей в доказательстве иррациональности $ζ (2) {\ displaystyle \ zeta (2)}$ $\zeta (2)$ к доказательству Апери. В частности, он документирует рекуррентные отношения для почти целочисленных последовательностей, сходящихся к константе, и непрерывных дробей для константы. Другие непрерывные дроби для этой константы включают

ζ (2) 2 = 1 v 1 - 1 4 v 2 - 2 4 v 3 - 3 4 v 4 - ⋱, {\ displaystyle {\ frac {\ zeta (2)} {2}} = {\ cfrac {1} {v_ {1} - {\ cfrac {1 ^ {4}} {v_ {2} - {\ cfrac {2 ^ {4}} {v_ {3} - { \ cfrac {3 ^ {4}} {v_ {4} - \ ddots}}}}}}}},}

{\frac {\zeta (2)}{2}}={\cfrac {1}{v_{1}-{\cfrac {1^{4}}{v_{2}-{\cfrac {2^{4}}{v_{3}-{\cfrac {3^{4}}{v_{4}-\ddots }}}}}}}},

ζ (2) 5 = 1 v ~ 1 - 1 4 v ~ 2 - 2 4 v ~ 3 - 3 4 v ~ 4 - ⋱, {\ displaystyle {\ frac {\ zeta (2)} {5}} = {\ cfrac {1} {{\ widetilde {v}} _ {1 } - {\ cfrac {1 ^ {4}} {{\ widetilde {v}} _ {2} - {\ cfrac {2 ^ {4}} {{\ widetilde {v}} _ {3} - {\ cfrac {3 ^ {4}} {{\ widetilde {v}} _ {4} - \ ddots}}}}}}}},}

{\frac {\zeta (2)}{5}}={\cfrac {1}{{\widetilde {v}}_{1}-{\cfrac {1^{4}}{{\widetilde {v}}_{2}-{\cfrac {2^{4}}{{\widetilde {v}}_{3}-{\cfrac {3^{4}}{{\widetilde {v}}_{4}-\ddots }}}}}}}},

где $vn = 2 n - 1 ↦ {1, 3, 5, 7, 9,…} {\ displaystyle v_ {n} = 2n-1 \ mapsto \ {1,3,5,7,9, \ ldots \}}$ $v_{n}=2n-1\mapsto \{1,3,5,7,9,\ldots \}$ и $v ~ n = 11 n 2 - 11 n + 3 ↦ {3, 25, 69, 135,…} {\ displaystyle {\ widetilde {v}} _ {n} = 11n ^ {2} -11n + 3 \ mapsto \{3,25,69,135,\ldots \}}$ ${\widetilde {v}}_{n}=11n^{2}-11n+3\mapsto \{3,25,69,135,\ldots \}$ .