Постоянная Эйлера

Не путать с числом Эйлера, e ≈ 2,71828, основанием натурального логарифма.

Постоянная Эйлера

Площадь синей области сходится к постоянной Эйлера
Представления
Десятичный	0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421...
Непрерывная дробь (линейная)	[0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1,...] Неизвестно, если периодично Неизвестно, если конечное
Двоичный	0,1001 0011 1100 0100 0110 0111 1110 0011 0111 1101...
Шестнадцатеричный	0,93C4 67E3 7DB0 C7A4 D1BE 3F81 0152 CB56 A1CE CC3A...

Константа Эйлера (иногда также называемая константой Эйлера – Маскерони) - это математическая константа, встречающаяся в анализе и теории чисел, обычно обозначаемая строчной греческой буквой гамма ( γ).

Он определяется как предельная разница между гармоническим рядом и натуральным логарифмом, обозначаемая здесь как${\ displaystyle \ log:}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ gamma amp; = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (- \ log n + \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k }} \ right) \\ [5px] amp; = \ int _ {1} ^ {\ infty} \ left (- {\ frac {1} {x}} + {\ frac {1} {\ lfloor x \ rfloor }} \ right) \, dx. \ end {выравнивается}}}$

Здесь представляет функцию пола. ${\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}$

Числовое значение постоянной Эйлера с точностью до 50 знаков после запятой:

0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992... 

Нерешенная задача по математике:

Постоянная Эйлера иррациональна? Если да, то трансцендентно ли это?

(больше нерешенных задач по математике)

СОДЕРЖАНИЕ

• 1 История
• 2 Появления
• 3 свойства
  • 3.1 Связь с гамма-функцией
  • 3.2 Связь с дзета-функцией
  • 3.3 Интегралы
  • 3.4 Расширения серии
  • 3.5 Асимптотические разложения
  • 3.6 Экспоненциальный
  • 3.7 Непрерывная дробь
• 4 Обобщения
• 5 опубликованных цифр
• 6 Ссылки
• 7 Дальнейшее чтение
• 8 Внешние ссылки

История

Константа впервые появилась в 1734 году в статье швейцарского математика Леонхарда Эйлера под названием De Progressionibusharmonicis Наблюдения (Eneström Index 43). Эйлер использовал обозначения C и O для константы. В 1790 году итальянский математик Лоренцо Маскерони использовал обозначения A и a для константы. Обозначение γ нигде не встречается в трудах Эйлера или Маскерони и было выбрано позже, возможно, из-за связи константы с гамма-функцией. Например, немецкий математик Карл Антон Бретшнайдер использовал обозначение γ в 1835 году, а Август де Морган использовал его в учебнике, опубликованном частями с 1836 по 1842 год.

Появления

Константа Эйлера появляется, среди прочего, в следующем (где '*' означает, что эта запись содержит явное уравнение):

• Выражения с экспоненциальным интегралом *
• Преобразование Лапласа * натурального логарифма
• Первый член разложения в ряд Лорана для дзета-функции Римана *, где это первая из констант Стилтьеса *
• Расчеты дигамма-функции
• Формула произведения для гамма-функции
• Асимптотическое разложение гамма-функции для малых аргументов.
• Неравенство для тотент-функции Эйлера
• Скорость роста функции делителей
• В размерной регуляризации из диаграмм Фейнмана в квантовой теории поля
• Расчет постоянной Мейселя – Мертенса.
• Третья теорема Мертенса *
• Решение второго рода уравнения Бесселя
• В регуляризации / перенормировках из гармонического ряда в качестве конечного значения
• Среднее из распределения Гумбеля
• Информационная энтропия из Вейбулла и Леви распределения, и, косвенно, из распределения хи-квадрат для одного или двух степеней свободы.
• Ответ на проблему сборщика купонов *
• В некоторых формулировках закона Ципфа
• Определение интеграла косинуса *
• Нижние оценки простого разрыва
• Верхняя оценка энтропии Шеннона в квантовой теории информации

Характеристики

Число γ не было доказано ни алгебраическим, ни трансцендентным. На самом деле даже не известно, является ли γ иррациональным. Использование цепной дроби анализа, Papanikolaou показал в 1997 году, что если γ является рациональным, ее знаменатель должен быть больше, чем 10 ²⁴⁴⁶⁶³. Повсеместность γ, выявленная большим количеством приведенных ниже уравнений, делает иррациональность γ основным открытым вопросом в математике.

Однако некоторый прогресс был достигнут. Курт Малер показал в 1968 году, что число трансцендентно (здесь и - функции Бесселя ). В 2009 году Александр Аптекарев доказал, что по крайней мере одна из постоянной Эйлера γ и постоянной Эйлера – Гомперца δ иррациональна. Этот результат был улучшен в 2012 году Танги Ривоал, который доказал, что по крайней мере один из них трансцендентен. ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {Y_ {0} (2)} {J_ {0} (2)}} - \ gamma}$${\ Displaystyle J _ {\ alpha} (х)}$${\ Displaystyle Y _ {\ alpha} (х)}$

В 2010 году М. Рам Мурти и Н. Сарадха рассмотрели бесконечный список чисел, содержащий γ/4и показал, что все, кроме одного, трансцендентны. В 2013 г. М. Рам Мурти и А. Зайцева снова рассмотрели бесконечный список чисел, содержащих γ, и показали, что все, кроме одного, трансцендентны.

Связь с гамма-функцией

γ связана с функцией дигамма Ф, и, следовательно, производная от гамма - функции Г, когда обе функции вычисляются на 1. Таким образом:

${\ displaystyle - \ gamma = \ Gamma '(1) = \ Psi (1).}$

Это равняется пределам:

${\ Displaystyle {\ begin {align} - \ gamma amp; = \ lim _ {z \ to 0} \ left (\ Gamma (z) - {\ frac {1} {z}} \ right) \\ amp; = \ lim _ {z \ to 0} \ left (\ Psi (z) + {\ frac {1} {z}} \ right). \ end {выравнивается}}}$

Дальнейшие предельные результаты:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ lim _ {z \ to 0} {\ frac {1} {z}} \ left ({\ frac {1} {\ Gamma (1 + z)}} - {\ frac {1} {\ Gamma (1-z)}} \ right) amp; = 2 \ gamma \\\ lim _ {z \ to 0} {\ frac {1} {z}} \ left ({\ frac { 1} {\ Psi (1-z)}} - {\ frac {1} {\ Psi (1 + z)}} \ right) amp; = {\ frac {\ pi ^ {2}} {3 \ gamma ^ {2}}}. \ End {выравнивается}}}$

Предел, связанный с бета-функцией (выраженной через гамма-функции ), составляет

${\ Displaystyle {\ begin {align} \ gamma amp; = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left ({\ frac {\ Gamma \ left ({\ frac {1} {n}} \ right) \ Gamma) (n + 1) \, n ^ {1 + {\ frac {1} {n}}}} {\ Gamma \ left (2 + n + {\ frac {1} {n}} \ right)}} - { \ frac {n ^ {2}} {n + 1}} \ right) \\ amp; = \ lim \ limits _ {m \ to \ infty} \ sum _ {k = 1} ^ {m} {m \ choose k} {\ frac {(-1) ^ {k}} {k}} \ log {\ big (} \ Gamma (k + 1) {\ big)}. \ end {align}}}$

Связь с дзета-функцией

γ также можно выразить как бесконечную сумму, члены которой включают дзета-функцию Римана, вычисленную в положительных целых числах:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ gamma amp; = \ sum _ {m = 2} ^ {\ infty} (- 1) ^ {m} {\ frac {\ zeta (m)} {m}} \\ amp; = \ log {\ frac {4} {\ pi}} + \ sum _ {m = 2} ^ {\ infty} (- 1) ^ {m} {\ frac {\ zeta (m)} {2 ^ {м-1} м}}. \ end {выравнивается}}}$

Другие серии, связанные с дзета-функцией, включают:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ gamma amp; = {\ tfrac {3} {2}} - \ log 2- \ sum _ {m = 2} ^ {\ infty} (- 1) ^ {m} \, {\ frac {m-1} {m}} {\ big (} \ zeta (m) -1 {\ big)} \\ amp; = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left ({\ frac {2n-1} {2n}} - \ log n + \ sum _ {k = 2} ^ {n} \ left ({\ frac {1} {k}} - {\ frac {\ zeta (1-k) } {n ^ {k}}} \ right) \ right) \\ amp; = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left ({\ frac {2 ^ {n}} {e ^ {2 ^ {n }}}} \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} {\ frac {2 ^ {mn}} {(m + 1)!}} \ sum _ {t = 0} ^ {m} {\ frac {1} {t + 1}} - n \ log 2 + O \ left ({\ frac {1} {2 ^ {n} \, e ^ {2 ^ {n}}}} \ right) \ right). \ end {выравнивается}}}$

Член ошибки в последнем уравнении является быстро убывающей функцией n. В результате формула хорошо подходит для эффективного вычисления постоянной с высокой точностью.

Другими интересными ограничениями, равными постоянной Эйлера, являются антисимметричный предел:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ gamma amp; = \ lim _ {s \ to 1 ^ {+}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {n ^ {s}}} - {\ frac {1} {s ^ {n}}} \ right) \\ amp; = \ lim _ {s \ to 1} \ left (\ zeta (s) - {\ frac { 1} {s-1}} \ right) \\ amp; = \ lim _ {s \ to 0} {\ frac {\ zeta (1 + s) + \ zeta (1-s)} {2}} \ end {выровнено}}}$

и следующую формулу, установленную в 1898 году де ла Валле-Пуссеном :

${\ displaystyle \ gamma = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {n}} \, \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left (\ left \ lceil {\ frac {n} {k}} \ right \ rceil - {\ frac {n} {k}} \ right)}$

где находятся потолочные кронштейны. Эта формула показывает, что если взять любое положительное целое число n и разделить его на каждое положительное целое число k, меньшее n, средняя доля, на которую частное n / k отстает от следующего целого числа, стремится к (а не 0,5), когда n стремится к бесконечности. ${\ Displaystyle \ lceil \, \ rceil}$ ${\ displaystyle \ gamma}$

С этим тесно связано выражение рационального дзета-ряда. Взяв по отдельности несколько первых членов вышеприведенного ряда, можно получить оценку предела классического ряда:

${\ displaystyle \ gamma = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}} - \ log n- \ sum _ {m = 2} ^ {\ infty} {\ frac { \ zeta (m, n + 1)} {m}},}$

где ζ ( s, k) - дзета-функция Гурвица. Сумма в этом уравнении включает гармонические числа, Н п. Расширение некоторых членов дзета-функции Гурвица дает:

${\ displaystyle H_ {n} = \ log (n) + \ gamma + {\ frac {1} {2n}} - {\ frac {1} {12n ^ {2}}} + {\ frac {1} { 120n ^ {4}}} - \ varepsilon,}$

где 0 lt; ε lt;1/252 п ⁶.

γ также можно выразить следующим образом, где A - постоянная Глейшера – Кинкелина :

${\ displaystyle \ gamma = 12 \, \ log (A) - \ log (2 \ pi) + {\ frac {6} {\ pi ^ {2}}} \, \ zeta '(2)}$

γ также можно выразить следующим образом, что можно доказать, выразив дзета-функцию в виде ряда Лорана :

${\ displaystyle \ gamma = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ biggl (} -n + \ zeta {\ Bigl (} {\ frac {n + 1} {n}} {\ Bigr)} {\ biggr)}}$

Интегралы

γ равно значению ряда определенных интегралов :

${\ displaystyle {\ begin {align} \ gamma amp; = - \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- x} \ log x \, dx \\ amp; = - \ int _ {0} ^ { 1} \ log \ left (\ log {\ frac {1} {x}} \ right) dx \\ amp; = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {e ^ {x} -1}} - {\ frac {1} {x \ cdot e ^ {x}}} \ right) dx \\ amp; = \ int _ {0} ^ {1} \ left ({\ frac { 1} {\ log x}} + {\ frac {1} {1-x}} \ right) dx \\ amp; = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} { 1 + x ^ {k}}} - e ^ {- x} \ right) {\ frac {dx} {x}}, \ quad kgt; 0 \\ amp; = 2 \ int _ {0} ^ {\ infty } {\ frac {e ^ {- x ^ {2}} - e ^ {- x}} {x}} \, dx, \\ amp; = \ int _ {0} ^ {1} H_ {x} \, dx, \ end {выровнено}}}$

где H x - дробный номер гармоники.

Третья формула в списке интегралов может быть доказана следующим образом:

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {\ exp (x) -1}} - {\ frac {1} {x \ exp (x)}} \ mathrm {d } x = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ exp (-x) + x-1} {x [\ exp (x) -1]}} \ mathrm {d} x = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {x [\ exp (x) -1]}} \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {m + 1} x ^ {m + 1}} {(m + 1)!}} \ mathrm {d} x =}$

${\ displaystyle = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {m + 1} x ^ {m}} {( m + 1)! [\ exp (x) -1]}} \ mathrm {d} x = \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {m + 1} x ^ {m}} {(m + 1)! [\ Exp (x) -1]}} \ mathrm {d} x = \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {m + 1}} {(m + 1)!}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {m}} {\ exp (x) -1}} \ mathrm {d} x =}$

${\ displaystyle = \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {m + 1}} {(m + 1)!}} m! \ zeta (m + 1) = \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {m + 1}} {m + 1}} \ zeta (m + 1) = \ sum _ {m = 1 } ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {m + 1}} {m + 1}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ { m + 1}}} = \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {m + 1}} {m +1}} {\ frac {1} {n ^ {m + 1}}} =}$

${\ displaystyle = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {m + 1}} {m + 1} } {\ frac {1} {n ^ {m + 1}}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ bigl [} {\ frac {1} {n}} - \ ln { \ bigl (} 1 + {\ frac {1} {n}} {\ bigr)} {\ bigr]} = \ gamma}$

Интеграл во второй строке уравнения обозначает значение функции Дебая + бесконечность, то есть m! Ζ (m + 1).

Определенные интегралы, в которых фигурирует γ, включают:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} \ log x \, dx amp; = - {\ frac {(\ gamma +2 \ log 2) {\ sqrt {\ pi}}} {4}} \\\ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- x} \ log ^ {2} x \, dx amp; = \ gamma ^ {2} + {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}. \ end {align}}}$

Можно выразить γ, используя частный случай формулы Хаджикостаса, как двойной интеграл с эквивалентным рядом:

${\ Displaystyle {\ begin {align} \ gamma amp; = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {x-1} {(1-xy) \ log xy }} \, dx \, dy \\ amp; = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {n}} - \ log {\ frac {n + 1} { n}} \ right). \ end {выравнивается}}}$

Интересное сравнение Сондоу - двойной интеграл и знакопеременный ряд

${\ displaystyle {\ begin {align} \ log {\ frac {4} {\ pi}} amp; = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {x- 1} {(1 + xy) \ log xy}} \, dx \, dy \\ amp; = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ((- 1) ^ {n-1} \ left ({\ frac {1} {n}} - \ log {\ frac {n + 1} {n}} \ right) \ right). \ end {выравнивается}}}$

Он показывает, что журнал4/π может рассматриваться как «переменная постоянная Эйлера».

Две константы также связаны парой рядов

${\ displaystyle {\ begin {align} \ gamma amp; = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {N_ {1} (n) + N_ {0} (n)} {2n (2n +1)}} \\\ log {\ frac {4} {\ pi}} amp; = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {N_ {1} (n) -N_ {0 } (n)} {2n (2n + 1)}}, \ end {выровнены}}}$

где N 1 ( n) и N 0 ( n) - количество единиц и нулей, соответственно, в разложении числа n по основанию 2.

У нас также есть каталонский интеграл 1875 г.

${\ displaystyle \ gamma = \ int _ {0} ^ {1} \ left ({\ frac {1} {1 + x}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} x ^ {2 ^ { n} -1} \ right) \, dx.}$

Расширения серии

В основном,

${\ displaystyle \ gamma = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left ({\ frac {1} {1}} + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3} } + \ ldots + {\ frac {1} {n}} - \ log (n + \ alpha) \ right) \ Equiv \ lim _ {n \ to \ infty} \ gamma _ {n} (\ alpha)}$

для любого. Однако скорость сходимости этого расширения существенно зависит от. В частности, сходимость происходит гораздо быстрее, чем при обычном расширении. Это потому что ${\ displaystyle \ alphagt; -n}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle \ гамма _ {п} (1/2)}$${\ displaystyle \ gamma _ {n} (0)}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {2 (n + 1)}} lt;\ gamma _ {n} (0) - \ gamma lt;{\ frac {1} {2n}},}$

в то время как

${\ displaystyle {\ frac {1} {24 (n + 1) ^ {2}}} lt;\ gamma _ {n} (1/2) - \ gamma lt;{\ frac {1} {24n ^ {2} }}.}$

Даже в этом случае существуют другие разложения в ряд, которые сходятся быстрее этого; некоторые из них обсуждаются ниже.

Эйлер показал, что к γ приближается следующий бесконечный ряд :

${\ displaystyle \ gamma = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {k}} - \ log \ left (1 + {\ frac {1} {k}}) \верно-верно).}$

Ряд для γ эквивалентен ряду, найденному Нильсеном в 1897 году:

${\ displaystyle \ gamma = 1- \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} {\ frac {\ left \ lfloor \ log _ {2} k \ right \ rfloor} { k + 1}}.}$

В 1910 году Вакка обнаружил близкую серию

${\ Displaystyle {\ begin {align} \ gamma amp; = \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} {\ frac {\ left \ lfloor \ log _ {2} k \ right \ rfloor} {k}} \\ [5pt] amp; = {\ tfrac {1} {2}} - {\ tfrac {1} {3}} + 2 \ left ({\ tfrac {1} {4} } - {\ tfrac {1} {5}} + {\ tfrac {1} {6}} - {\ tfrac {1} {7}} \ right) +3 \ left ({\ tfrac {1} {8 }} - {\ tfrac {1} {9}} + {\ tfrac {1} {10}} - {\ tfrac {1} {11}} + \ cdots - {\ tfrac {1} {15}} \ вправо) + \ cdots, \ end {выровнены}}}$

где log 2 - логарифм по основанию 2, а ⌊ ⌋ - минимальная функция.

В 1926 году он нашел вторую серию:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ gamma + \ zeta (2) amp; = \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {\ left \ lfloor {\ sqrt { k}} \ right \ rfloor ^ {2}}} - {\ frac {1} {k}} \ right) \\ [5pt] amp; = \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {k- \ left \ lfloor {\ sqrt {k}} \ right \ rfloor ^ {2}} {k \ left \ lfloor {\ sqrt {k}} \ right \ rfloor ^ {2}}} \\ [5pt ] amp; = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {2} {3}} + {\ frac {1} {2 ^ {2}}} \ sum _ {k = 1} ^ {2 \ cdot 2} {\ frac {k} {k + 2 ^ {2}}} + {\ frac {1} {3 ^ {2}}} \ sum _ {k = 1} ^ {3 \ cdot 2} {\ frac {k} {k + 3 ^ {2}}} + \ cdots \ end {align}}}$

Из разложения Мальмстена - Куммера логарифма гамма-функции получаем:

${\ displaystyle \ gamma = \ log \ pi -4 \ log \ left (\ Gamma ({\ tfrac {3} {4}}) \ right) + {\ frac {4} {\ pi}} \ sum _ { k = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k + 1} {\ frac {\ log (2k + 1)} {2k + 1}}.}.}$

Важное разложение постоянной Эйлера принадлежит Фонтане и Маскерони.

${\ displaystyle \ gamma = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {| G_ {n} |} {n}} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac { 1} {24}} + {\ frac {1} {72}} + {\ frac {19} {2880}} + {\ frac {3} {800}} + \ cdots,}$

где G n - коэффициенты Грегори. Этот ряд является частным случаем разложений ${\ displaystyle k = 1}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ gamma amp; = H_ {k-1} - \ log k + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(n-1)! | G_ {n } |} {k (k + 1) \ cdots (k + n-1)}} amp;amp; \\ amp; = H_ {k-1} - \ log k + {\ frac {1} {2k}} + {\ frac {1} {12k (k + 1)}} + {\ frac {1} {12k (k + 1) (k + 2)}} + {\ frac {19} {120k (k + 1) (k + 2) (k + 3)}} + \ cdots amp;amp; \ end {align}}}$

сходится для ${\ Displaystyle к = 1,2, \ ldots}$

Аналогичный ряд с числами Коши второго рода C n имеет вид

${\ displaystyle \ gamma = 1- \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {C_ {n}} {n \, (n + 1)!}} = 1 - {\ frac {1 } {4}} - {\ frac {5} {72}} - {\ frac {1} {32}} - {\ frac {251} {14400}} - {\ frac {19} {1728}} - \ ldots}$

Благушин (2018) нашел интересное обобщение ряда Фонтана-Маскерони.

${\ displaystyle \ gamma = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n + 1}} {2n}} {\ Big \ {} \ psi _ {n} (a) + \ psi _ {n} {\ Big (} - {\ frac {a} {1 + a}} {\ Big)} {\ Big \}}, \ quad agt; -1}$

где ψ n ( a) - многочлены Бернулли второго рода, которые определяются производящей функцией

${\ displaystyle {\ frac {z (1 + z) ^ {s}} {\ log (1 + z)}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} z ^ {n} \ psi _ {n} (s), \ qquad | z | lt;1,}$

Для любого рационального а эта серия содержит только рациональные термины. Например, при a = 1 он становится

${\ displaystyle \ gamma = {\ frac {3} {4}} - {\ frac {11} {96}} - {\ frac {1} {72}} - {\ frac {311} {46080}} - {\ frac {5} {1152}} - {\ frac {7291} {2322432}} - {\ frac {243} {100352}} - \ ldots}$

Другие серии с такими же многочленами включают эти примеры:

${\ displaystyle \ gamma = - \ log (a + 1) - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} \ psi _ {n} (a)} {n}}, \ qquad \ Re (a)gt; - 1}$

а также

${\ displaystyle \ gamma = - {\ frac {2} {1 + 2a}} \ left \ {\ log \ Gamma (a + 1) - {\ frac {1} {2}} \ log (2 \ pi) + {\ frac {1} {2}} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} \ psi _ {n + 1} (a)} { n}} \ right \}, \ qquad \ Re (a)gt; - 1}$

где Γ ( a) - гамма-функция.

Серия, связанная с алгоритмом Акияма-Танигава, это

${\ displaystyle \ gamma = \ log (2 \ pi) -2-2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} G_ {n} (2)} {n}} = \ log (2 \ pi) -2 + {\ frac {2} {3}} + {\ frac {1} {24}} + {\ frac {7} {540}} + {\ frac {17} {2880}} + {\ frac {41} {12600}} + \ ldots}$

где G n (2) - коэффициенты Грегори второго порядка.

Серия простых чисел :

${\ displaystyle \ gamma = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (\ log n- \ sum _ {p \ leq n} {\ frac {\ log p} {p-1}} \ right). }$

Асимптотические разложения

γ соответствует следующим асимптотическим формулам (где H n - номер n- й гармоники ):

${\ displaystyle \ gamma \ sim H_ {n} - \ log n - {\ frac {1} {2n}} + {\ frac {1} {12n ^ {2}}} - {\ frac {1} {120n ^ {4}}} + \ cdots}$( Эйлер)

${\ displaystyle \ gamma \ sim H_ {n} - \ log \ left ({n + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {24n}} - {\ frac {1} {48n ^) {3}}} + \ cdots} \ right)}$( Негой)

${\ displaystyle \ gamma \ sim H_ {n} - {\ frac {\ log n + \ log (n + 1)} {2}} - {\ frac {1} {6n (n + 1)}} + {\ гидроразрыв {1} {30n ^ {2} (n + 1) ^ {2}}} - \ cdots}$( Чезаро )

Третья формула также называется разложением Рамануджана.

Алабдулмохсин вывел замкнутые выражения для сумм ошибок этих приближений. Он показал, что (теорема A.1):

$${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ log n + \ gamma -H_ {n} + {\ frac {1} {2n}} = {\ frac {\ log (2 \ pi) - 1- \ gamma} {2}}}$$ $${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ log {\ sqrt {n (n + 1)}} + \ gamma -H_ {n} = {\ frac {\ log (2 \ pi) -1} {2}} - \ gamma}$$ $${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ Big (} \ log n + \ gamma -H_ {n} {\ Big)} = {\ frac {\ журнал \ pi - \ gamma} {2}}}$$

Экспоненциальный

Константа e ^γ важна в теории чисел. Некоторые авторы обозначают эту величину просто как γ ′. e ^γ равно следующему пределу, где p n - n- е простое число :

${\ displaystyle e ^ {\ gamma} = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {\ log p_ {n}}} \ prod _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {p_ {i}} {p_ {i} -1}}.}$

Это подтверждает третью теорему Мертенса. Числовое значение e ^γ составляет:

1,78107 24179 90197 98523 65041 03107 17954 91696 45214 30343....

Другие бесконечные произведения, относящиеся к e ^γ, включают:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {e ^ {1 + {\ frac {\ gamma} {2}}}} {\ sqrt {2 \ pi}}} amp; = \ prod _ {n = 1 } ^ {\ infty} e ^ {- 1 + {\ frac {1} {2n}}} \ left (1 + {\ frac {1} {n}} \ right) ^ {n} \\ {\ frac {e ^ {3 + 2 \ gamma}} {2 \ pi}} amp; = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} e ^ {- 2 + {\ frac {2} {n}}} \ слева (1 + {\ frac {2} {n}} \ right) ^ {n}. \ end {выравнивается}}}$

Эти продукты являются результатом Barnes G -функции.

Кроме того,

${\ displaystyle e ^ {\ gamma} = {\ sqrt {\ frac {2} {1}}} \ cdot {\ sqrt [{3}] {\ frac {2 ^ {2}} {1 \ cdot 3} }} \ cdot {\ sqrt [{4}] {\ frac {2 ^ {3} \ cdot 4} {1 \ cdot 3 ^ {3}}}} \ cdot {\ sqrt [{5}] {\ frac {2 ^ {4} \ cdot 4 ^ {4}} {1 \ cdot 3 ^ {6} \ cdot 5}}} \ cdots}$

где n- й множитель является ( n + 1) -м корнем из

${\ displaystyle \ prod _ {k = 0} ^ {n} (k + 1) ^ {(- 1) ^ {k + 1} {n \ choose k}}.}$

Это бесконечное произведение, впервые обнаруженное Сер в 1926 году, было переоткрыто Сондоу с помощью гипергеометрических функций.

Также считается, что

${\ displaystyle {\ frac {e ^ {\ frac {\ pi} {2}} + e ^ {- {\ frac {\ pi} {2}}}} {\ pi e ^ {\ gamma}}} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (e ^ {- {\ frac {1} {n}}} \ left (1 + {\ frac {1} {n}} + {\ frac {1} {2n ^ {2}}} \ right) \ right).}$

Непрерывная дробь

Цепная дробь расширение гаммы начинается [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40,...], который не имеет видимого рисунка. Известно, что в непрерывной дроби есть не менее 475 006 членов, и бесконечное количество членов тогда и только тогда, когда γ иррационально.

Обобщения

abm ( x) = γ - x

Обобщенные константы Эйлера даются формулами

${\ displaystyle \ gamma _ {\ alpha} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k ^ {\ alpha}} } - \ int _ {1} ^ {n} {\ frac {1} {x ^ {\ alpha}}} \, dx \ right),}$

для 0 lt; α lt;1, причем γ является частным случаем α = 1. В дальнейшем это можно обобщить на

${\ displaystyle c_ {f} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} f (k) - \ int _ {1} ^ {n} f ( x) \, dx \ right)}$

для произвольной убывающей функции f. Например,

${\ displaystyle f_ {n} (x) = {\ frac {(\ log x) ^ {n}} {x}}}$

дает константы Стилтьеса, а

${\ displaystyle f_ {a} (x) = x ^ {- a}}$

дает

${\ Displaystyle \ гамма _ {е_ {а}} = {\ гидроразрыва {(а-1) \ дзета (а) -1} {а-1}}}$

где снова предел

${\ displaystyle \ gamma = \ lim _ {a \ to 1} \ left (\ zeta (a) - {\ frac {1} {a-1}} \ right)}$

появляется.

Двумерным предельным обобщением является константа Массера – Грамейна.

Константы Эйлера – Лемера даются суммированием обратных чисел в общем классе по модулю:

${\ displaystyle \ gamma (a, q) = \ lim _ {x \ to \ infty} \ left (\ sum _ {0 lt;n \ leq x \ на вершине n \ эквив а {\ pmod {q}}} {\ frac {1} {n}} - {\ frac {\ log x} {q}} \ right).}$

Основные свойства:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ gamma (0, q) amp; = {\ frac {\ gamma - \ log q} {q}}, \\\ sum _ {a = 0} ^ {q-1} \ gamma (a, q) amp; = \ gamma, \\ q \ gamma (a, q) amp; = \ gamma - \ sum _ {j = 1} ^ {q-1} e ^ {- {\ frac {2 \ pi aij} {q}}} \ log \ left (1-e ^ {\ frac {2 \ pi ij} {q}} \ right), \ end {align}}}$

и если gcd ( a, q) = d, то

${\ displaystyle q \ gamma (a, q) = {\ frac {q} {d}} \ gamma \ left ({\ frac {a} {d}}, {\ frac {q} {d}} \ right) - \ log d.}$

Опубликованные цифры

Первоначально Эйлер вычислил значение константы с точностью до 6 знаков после запятой. В 1781 году он вычислил его до 16 знаков после запятой. Маскерони попытался вычислить константу до 32 знаков после запятой, но допустил ошибки в 20–22 и 31–32 знаках после запятой; начиная с 20-й цифры он вычислил... 181 12090082 39 при правильном значении... 065 12090082 40.

Опубликованные десятичные разложения γ

Дата	Десятичные цифры	Автор	Источники
1734	5	Леонард Эйлер
1735 г.	15	Леонард Эйлер
1781	16	Леонард Эйлер
1790	32	Лоренцо Маскерони : 20-22 и 31-32 ошиблись
1809 г.	22	Иоганн Г. фон Зольднер
1811 г.	22	Карл Фридрих Гаусс
1812 г.	40	Фридрих Бернхард Готфрид Николаи
1857 г.	34	Кристиан Фредрик Линдман
1861 г.	41 год	Людвиг Эттингер
1867 г.	49	Уильям Шанкс
1871 г.	99	Джеймс В.Л. Глейшер
1871 г.	101	Уильям Шанкс
1877 г.	262	Джей Си Адамс
1952 г.	328	Джон Уильям Ренч младший
1961 г.	1 050	Гельмут Фишер и Карл Целлер
1962 г.	1 271	Дональд Кнут
1962 г.	3 566	Дура В. Суини
1973	4 879	Уильям А. Бейер и Майкл С. Уотерман
1977 г.	20 700	Ричард П. Брент
1980 г.	30 100	Ричард П. Брент и Эдвин М. Макмиллан
1993 г.	172 000	Джонатан Борвейн
1999 г.	108 000 000	Патрик Демишель и Ксавье Гурдон
13 марта 2009 г.	29 844 489 545	Александр Дж. Йи и Раймонд Чан
22 декабря 2013 г.	119 377 958 182	Александр Дж. Йи
15 марта 2016 г.	160 000 000 000	Питер Труб
18 мая, 2016	250 000 000 000	Рон Уоткинс
23 августа 2017 г.	477 511 832 674	Рон Уоткинс
26 мая 2020	600 000 000 100	Сынмин Ким и Ян Катресс

использованная литература

• Бретшнайдер, Карл Антон (1837) [1835]. "Theoriae logarithmi integralis lineamenta nova". Журнал Крелля (на латыни). 17: 257–285.
• Хэвил, Джулиан (2003). Гамма: исследование константы Эйлера. Издательство Принстонского университета. ISBN   978-0-691-09983-5.
• Рам Мурти, М.; Сарадха, Н. (2010). «Константы Эйлера – Лемера и гипотеза Эрдоша». Журнал теории чисел. 130 (12): 2671–2681. DOI : 10.1016 / j.jnt.2010.07.004. ISSN   0022-314X.

Сноски

дальнейшее чтение

• Borwein, Jonathan M.; Дэвид М. Брэдли; Ричард Э. Крэндалл (2000). «Вычислительные стратегии для дзета-функции Римана» (PDF). Журнал вычислительной и прикладной математики. 121 (1-2): 11. Bibcode : 2000JCoAM.121..247B. DOI : 10.1016 / s0377-0427 (00) 00336-8. Выводит γ как сумму по дзета-функциям Римана.
• Герст, И. (1969). «Некоторые ряды для постоянной Эйлера». Амер. Математика. Ежемесячно. 76 (3): 237–275. DOI : 10.2307 / 2316370. JSTOR   2316370.
• Глейшер, Джеймс Уитбред Ли (1872). «К истории постоянной Эйлера». Вестник математики. 1: 25–30. JFM   03.0130.01.
• Гурдон, Ксавье; Себах, П. (2002). «Сборник формул для постоянной Эйлера γ ».
• Гурдон, Ксавье; Себах, П. (2004). «Постоянная Эйлера: γ ».
• Карацуба, Е.А. (1991). «Быстрая оценка трансцендентных функций». Пробл. Инф. Трансм. 27 (44): 339–360.
• Карацуба, Е.А. (2000). «О вычислении постоянной Эйлера γ ». Журнал численных алгоритмов. 24 (1-2): 83–97. DOI : 10,1023 / A: 1019137125281. S2CID   21545868.
• Кнут, Дональд (1997). Искусство программирования, Vol. 1 (3-е изд.). Эддисон-Уэсли. С. 75, 107, 114, 619–620. ISBN   0-201-89683-4.
• Лемер, Д.Х. (1975). «Константы Эйлера для арифметических прогрессий» (PDF). Acta Arith. 27 (1): 125–142. DOI : 10,4064 / аа-27-1-125-142.
• Лерх, М. (1897). "Новые выражения де ла константе д'Эулера". Sitzungsberichte der Königlich Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften. 42: 5.
• Маскерони, Лоренцо (1790), Adnotationes ad Calculum integlem Euleri, in quibus nonnulla problemata ab Eulero proposita resolvuntur, Галеати, Тичини
• Сондоу, Джонатан (2002). «Гипергеометрический подход через линейные формы, включающие логарифмы, к критериям иррациональности для постоянной Эйлера». Mathematica Slovaca. 59: 307–314. arXiv : math.NT / 0211075. Bibcode : 2002math..... 11075S. с приложением Сергея Злобина

внешние ссылки

• «Константа Эйлера», Математическая энциклопедия, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Константа Эйлера – Маскерони». MathWorld.
• Джонатан Сондоу.
• Быстрые алгоритмы и метод FEE, Е.А. Карацуба (2005).
• Другие формулы, использующие константу: Gourdon and Sebah (2004).