Kähler дифференциал

В математике, кэлеровы дифференциалы обеспечивают адаптацию дифференциальных форм на произвольные коммутативные кольца или схемы. Это понятие было введено Эрихом Кэлером в 1930-х годах. Он был принят в качестве стандарта в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии несколько позже, когда возникла необходимость адаптировать методы исчисления и геометрии над комплексными числами к контекстам, где такие методы недоступны.

• 1 Определение
  • 1.1 Определение с использованием производных
  • 1.2 Определение с использованием идеала увеличения
• 2 Примеры и основные факты
• 3 дифференциала Кэлера для схем
  • 3.1 Примеры
    • 3.1.1 Конечные отделимые расширения полей
    • 3.1.2 Котангенсные модули проективного многообразия
    • 3.1.3 Морфизмы схем
• 4 Высшие дифференциальные формы и алгебраические когомологии де Рама
  • 4.1 комплекс де Рама
  • 4.2 когомологии де Рама
  • 4.3 Теорема сравнения Гротендика
• 5 приложений
  • 5.1 Канонический делитель
  • 5.2 Классификация алгебраических кривых
  • 5.3 Касательное расслоение и теорема Римана – Роха
  • 5.4 неразветвленные и гладкие морфизмы
  • 5.5 Периоды
  • 5.6 Алгебраическая теория чисел
• 6 Связанные понятия
• 7 Примечания
• 8 ссылки
• 9 Внешние ссылки

Пусть R и S - коммутативные кольца, а φ  : R → S - гомоморфизм колец. Важный пример для R поля и S унитальной алгебры над R (такими как координатное кольцо из с аффинным многообразия ). Кэлеровы дифференциалы формализуют наблюдение, что производные многочленов снова полиномиальны. В этом смысле дифференцирование - это понятие, которое можно выразить чисто алгебраическими терминами. Это наблюдение можно превратить в определение модуля

${\ displaystyle \ Omega _ {S / R}}$

дифференциалов разными, но равнозначными способами.

Определение с использованием производных

R -линейного вывод на S является R - модульный гомоморфизм Ань S - модуль M с изображением R в его ядре, удовлетворяющей правилу Лейбница. Модуль дифференциалов кэлеровы определяется как S - модуль, для которого существует универсальный вывод. Как и в случае с другими универсальными свойствами, это означает, что d является наилучшим возможным выводом в том смысле, что любой другой вывод может быть получен из него путем композиции с гомоморфизмом S -модулей. Другими словами, композиция с D обеспечивает для каждого S - модуль М, S - модуль изоморфизм ${\ displaystyle d: S \ to M}$ ${\ Displaystyle d (fg) = f \, dg + g \, df}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {S / R}}$${\ displaystyle d: S \ to \ Omega _ {S / R}}$

${\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {S} (\ Omega _ {S / R}, M) {\ xrightarrow {\ cong}} \ operatorname {Der} _ {R} (S, M).}$

Одна конструкция Ω S / R и d заключается в построении свободного S -модуля с одной формальной образующей ds для каждого s в S и наложении соотношений

• dr = 0,
• d ( s + t) = ds + dt,
• d ( st) = s dt + t ds,

для всех г в R и всех х и т в S. Универсальный вывод переводит s в ds. Из соотношений следует, что универсальный вывод является гомоморфизмом R -модулей.

Определение с использованием идеала увеличения

Другая конструкция заключается в том, что I является идеалом в тензорном произведении, определяемом как ядро отображения умножения ${\ displaystyle S \ otimes _ {R} S}$

${\ displaystyle {\ begin {case} S \ otimes _ {R} S \ to S \\\ сумма s_ {i} \ otimes t_ {i} \ mapsto \ sum s_ {i} \ cdot t_ {i} \ end {случаи}}}$

Тогда модуль кэлеровых дифференциалов S эквивалентно определяется формулой

${\ displaystyle \ Omega _ {S / R} = I / I ^ {2},}$

а универсальный вывод - это гомоморфизм d, определяемый формулой

${\ displaystyle ds = 1 \ otimes ss \ otimes 1.}$

Эта конструкция эквивалентна предыдущей, поскольку I - ядро ​​проекции

${\ displaystyle {\ begin {cases} S \ otimes _ {R} S \ to S \ otimes _ {R} R \\\ сумма s_ {i} \ otimes t_ {i} \ mapsto \ sum s_ {i} \ cdot t_ {i} \ otimes 1 \ end {cases}}}$

Таким образом, мы имеем:

${\ Displaystyle S \ otimes _ {R} S \ Equiv I \ oplus S \ otimes _ {R} R.}$

Тогда можно отождествить с I отображением, индуцированным дополнительной проекцией ${\ displaystyle S \ otimes _ {R} S / S \ otimes _ {R} R}$

${\ displaystyle \ sum s_ {i} \ otimes t_ {i} \ mapsto \ sum s_ {i} \ otimes t_ {i} - \ sum s_ {i} \ cdot t_ {i} \ otimes 1.}$

Это отождествляет I с S -модулем, порожденным формальными генераторами ds для s в S, при условии, что d является гомоморфизмом R -модулей, который переводит каждый элемент R в ноль. Фактор по I ^{2 в} точности накладывает правило Лейбница.

Для любого коммутативного кольца R кэлеровы дифференциалы кольца многочленов представляют собой свободный S -модуль ранга n, порожденный дифференциалами переменных: ${\ Displaystyle S = R [t_ {1}, \ dots, t_ {n}]}$

${\ displaystyle \ Omega _ {R [t_ {1}, \ dots, t_ {n}] / R} ^ {1} = \ bigoplus _ {i = 1} ^ {n} R [t_ {1}, \ точки t_ {n}] \, dt_ {i}.}$

Кэлеровы дифференциалы совместимы с расширением скаляров в том смысле, что для второй R -алгебры R ′ и для существует изоморфизм ${\ displaystyle S '= R' \ otimes _ {R} S}$

${\ displaystyle \ Omega _ {S / R} \ otimes _ {S} S '\ cong \ Omega _ {S' / R '}.}$

Как частный случай этого, кэлеровы дифференциалы совместимы с локализациями, что означает, что если W - мультипликативное множество в S, то существует изоморфизм

${\ displaystyle W ^ {- 1} \ Omega _ {S / R} \ cong \ Omega _ {W ^ {- 1} S / R}.}$

Принимая во внимание два кольцевых гомоморфизмов, существует короткая точная последовательность из Т -модулями ${\ displaystyle R \ to S \ to T}$

${\ displaystyle \ Omega _ {S / R} \ otimes _ {S} T \ to \ Omega _ {T / R} \ to \ Omega _ {T / S} \ to 0.}$

Если для некоторого идеала I член обращается в нуль и последовательность может быть продолжена слева следующим образом: ${\ displaystyle T = S / I}$${\ displaystyle \ Omega _ {T / S}}$

${\ displaystyle I / I ^ {2} {\ xrightarrow {[f] \ mapsto df \ otimes 1}} \ Omega _ {S / R} \ otimes _ {S} T \ to \ Omega _ {T / R} \ до 0.}$

Обобщение этих двух коротких точных последовательностей дает котангенсный комплекс.

Последняя последовательность и приведенное выше вычисление для кольца многочленов позволяет вычислять кэлеровы дифференциалы конечно порожденных R -алгебр. Вкратце, они порождаются дифференциалами переменных и имеют отношения, вытекающие из дифференциалов уравнений. Например, для одного полинома от одной переменной, ${\ displaystyle T = R [t_ {1}, \ ldots, t_ {n}] / (f_ {1}, \ ldots, f_ {m})}$

${\ Displaystyle \ Omega _ {(R [t] / (f)) / R} \ cong (R [t] \, dt \ otimes R [t] / (f)) / (df) \ cong R [t ] / (f, df) \, dt.}$

Поскольку кэлеровы дифференциалы совместимы с локализацией, они могут быть построены по общей схеме, выполняя одно из двух приведенных выше определений для аффинных открытых подсхем и склейки. Однако второе определение имеет геометрическую интерпретацию, которая сразу же глобализируется. В этой интерпретации, я представляю собой идеал, определяющий диагональ в волокне продукта из Spec ( S) с самим собой над Spec ( S) → Spec ( R). Таким образом, эта конструкция имеет более геометрический оттенок в том смысле, что понятие первой бесконечно малой окрестности диагонали улавливается посредством функций, исчезающих по модулю функций, исчезающих по крайней мере до второго порядка (см. Кокасательное пространство для связанных понятий). Более того, он распространяется на общий морфизм схем, считая его идеалом диагонали в волокнистом продукте. Котангенс пучок вместе с выводом определенного аналогично ранее, является универсальным среди -линейных дифференцирований -модулей. Если U - открытая аффинная подсхема X, образ которой в Y содержится в открытой аффинной подсхеме V, то кокасательный пучок ограничивается пучком на U, который также универсален. Поэтому пучок, ассоциированный с модулем кэлеровых дифференциалов для колец, лежащих в основе U и V. ${\ displaystyle f: от X \ до Y}$${\ displaystyle {\ mathcal {I}}}$${\ displaystyle X \ times _ {Y} X}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {X / Y} = {\ mathcal {I}} / {\ mathcal {I}} ^ {2}}$${\ displaystyle d: {\ mathcal {O}} _ {X} \ to \ Omega _ {X / Y}}$${\ displaystyle f ^ {- 1} {\ mathcal {O}} _ {Y}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$

Как и в случае коммутативной алгебры, существуют точные последовательности, ассоциированные с морфизмами схем. Для заданных морфизмов и схем существует точная последовательность пучков на${\ displaystyle f: от X \ до Y}$${\ displaystyle g: Y \ to Z}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle f ^ {*} \ Omega _ {Y / Z} \ to \ Omega _ {X / Z} \ to \ Omega _ {X / Y} \ to 0}$

Кроме того, если - замкнутая подсхема, заданная пучком идеалов, существует точная последовательность пучков на${\ Displaystyle Z \ подмножество X}$${\ displaystyle {\ mathcal {I}}}$${\ displaystyle Z}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathcal {I}} {{\ mathcal {I}} ^ {2}}} \ to \ Omega _ {X / Y} \ otimes {\ mathcal {O}} _ {Z} \ to \ Omega _ {Z / Y} \ to 0}$

Примеры

Конечные отделимые расширения поля

Если - конечное расширение поля, то тогда и только тогда, когда оно сепарабельно. Следовательно, если - конечное сепарабельное расширение поля и является гладким многообразием (или схемой), то относительная кокасательная последовательность ${\ displaystyle K / k}$${\ displaystyle \ Omega _ {K / k} ^ {1} = 0}$${\ displaystyle K / k}$${\ displaystyle K / k}$${\ displaystyle \ pi: Y \ to \ operatorname {Spec} (K)}$

${\ displaystyle \ pi ^ {*} \ Omega _ {K / k} ^ {1} \ to \ Omega _ {Y / k} ^ {1} \ to \ Omega _ {Y / K} ^ {1} \ до 0}$

доказывает. ${\ Displaystyle \ Omega _ {Y / k} ^ {1} \ cong \ Omega _ {Y / K} ^ {1}}$

Котангенсные модули проективного многообразия

Для проективной схемы ее кокасательный пучок может быть вычислен из пучкования модуля котангенса на лежащей в основе градуированной алгебре. Например, рассмотрим сложную кривую ${\ displaystyle X \ in \ operatorname {Sch} / \ mathbb {k}}$

${\ displaystyle {\ text {Proj}} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} [x, y, z]} {(x ^ {n} + y ^ {n} -z ^ {n}) }} \ right) = {\ text {Proj}} (R)}$

то мы можем вычислить модуль котангенса как

${\ displaystyle \ Omega _ {R / \ mathbb {C}} = {\ frac {R \ cdot dx \ oplus R \ cdot dy \ oplus R \ cdot dz} {nx ^ {n-1} dx + ny ^ { n-1} dy-nz ^ {n-1} dz}}}$

Затем,

${\ displaystyle \ Omega _ {X / \ mathbb {C}} = {\ widetilde {\ Omega _ {R / \ mathbb {C}}}}}$

Морфизмы схем

Рассмотрим морфизм

${\ Displaystyle X = \ OperatorName {Spec} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} [t, x, y]} {(xy-t)}} \ right) = \ operatorname {Spec} (R) \ to \ operatorname {Spec} (\ mathbb {C} [t]) = Y}$

в. Затем, используя первую последовательность, мы видим, что ${\ Displaystyle \ OperatorName {Sch} / \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle {\ widetilde {R \ cdot dt}} \ to {\ widetilde {\ frac {R \ cdot dt \ oplus R \ cdot dx \ oplus R \ cdot dy} {ydx + xdy-dt}}} \ to \ Omega _ {X / Y} \ to 0}$

следовательно

${\ displaystyle \ Omega _ {X / Y} = {\ widetilde {\ frac {R \ cdot dx \ oplus R \ cdot dy} {ydx + xdy}}}}$

комплекс де Рама

Как и раньше, исправить карту. Дифференциальные формы более высокой степени определяются как внешние полномочия (над), ${\ displaystyle X \ to Y}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$

${\ displaystyle \ Omega _ {X / Y} ^ {n}: = \ bigwedge ^ {n} \ Omega _ {X / Y}.}$

Вывод естественным образом распространяется на последовательность отображений ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} \ to \ Omega _ {X / Y}}$

${\ displaystyle 0 \ to {\ mathcal {O}} _ {X} {\ xrightarrow {d}} \ Omega _ {X / Y} ^ {1} {\ xrightarrow {d}} \ Omega _ {X / Y } ^ {2} {\ xrightarrow {d}} \ cdots}$

Удовлетворение Это комплекс коцепей, известный как комплекс де Рама. ${\ displaystyle d \ circ d = 0.}$

Комплекс де Рама имеет дополнительную мультипликативную структуру - произведение клина

${\ displaystyle \ Omega _ {X / Y} ^ {n} \ otimes \ Omega _ {X / Y} ^ {m} \ to \ Omega _ {X / Y} ^ {n + m}.}$

Это превращает комплекс де Рама в коммутативную дифференциальную градуированную алгебру. Он также имеет структуру коалгебры, унаследованную от структуры внешней алгебры.

когомологии де Рама

Гиперкогомологии де Рама комплекса пучков называются алгебраической когомологий де Рама из X над Y и обозначаются или просто, если Y ясно из контекста. (Во многих случаях Y - спектр поля нулевой характеристики. ) Алгебраические когомологии де Рама были введены Гротендиком (1966a). Это тесно связано с кристаллическими когомологиями. ${\ Displaystyle Н _ {\ текст {dR}} ^ {п} (X / Y)}$${\ Displaystyle H _ {\ текст {dR}} ^ {n} (X)}$ Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFGrothendieck1966a ( справка )

Как известно из когерентных когомологий других квазикогерентных пучков, вычисление когомологий де Рама упрощается, когда X = Spec S и Y = Spec R являются аффинными схемами. В этом случае, поскольку аффинные схемы не имеют высших когомологий, их можно вычислить как когомологии комплекса абелевых групп ${\ Displaystyle Н _ {\ текст {dR}} ^ {п} (X / Y)}$

${\ displaystyle 0 \ to S {\ xrightarrow {d}} \ Omega _ {S / R} ^ {1} {\ xrightarrow {d}} \ Omega _ {S / R} ^ {2} {\ xrightarrow {d }} \ cdots}$

что, почленно, является глобальными сечениями пучков. ${\ displaystyle \ Omega _ {X / Y} ^ {r}}$

Чтобы взять очень частный пример, предположим, что это мультипликативная группа над. Поскольку это аффинная схема, гиперкогомологии сводятся к обычным когомологиям. Алгебраический комплекс де Рама равен ${\ Displaystyle X = \ OperatorName {Spec} \ mathbb {Q} \ left [x, x ^ {- 1} \ right]}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}.}$

${\ displaystyle \ mathbb {Q} [x, x ^ {- 1}] {\ xrightarrow {d}} \ mathbb {Q} [x, x ^ {- 1}] \, dx.}$

Дифференциал d подчиняется обычным правилам исчисления, то есть ядро и коядро вычисляют алгебраические когомологии де Рама, поэтому ${\ displaystyle d (x ^ {n}) = nx ^ {n-1} \, dx.}$

${\ displaystyle {\ begin {align} H _ {\ text {dR}} ^ {0} (X) amp; = \ mathbb {Q} \\ H _ {\ text {dR}} ^ {1} (X) amp; = \ mathbb {Q} \ cdot x ^ {- 1} dx \ end {выровнено}}}$

а все остальные алгебраические группы когомологий де Рама равны нулю. Для сравнения: алгебраические группы когомологий де Рама намного больше, а именно ${\ displaystyle Y = \ operatorname {Spec} \ mathbb {F} _ {p} \ left [x, x ^ {- 1} \ right]}$

${\ displaystyle {\ begin {align} H _ {\ text {dR}} ^ {0} (Y) amp; = \ bigoplus _ {k \ in \ mathbb {Z}} \ mathbb {F} _ {p} \ cdot x ^ {kp} \\ H _ {\ text {dR}} ^ {1} (Y) amp; = \ bigoplus _ {k \ in \ mathbb {Z}} \ mathbb {F} _ {p} \ cdot x ^ {kp-1} \, dx \ end {выровнено}}}$

Поскольку числа Бетти этих групп когомологий не являются ожидаемыми, для решения этой проблемы была разработана кристаллическая когомология ; он определяет теорию когомологий Вейля над конечными полями.

Теорема сравнения Гротендика

Если X гладкий, существует естественная карта сравнения ${\ Displaystyle Y = \ OperatorName {Spec} \ mathbb {C},}$

${\ displaystyle \ Omega _ {X / \ mathbb {C}} ^ {r} (X) \ to \ Omega _ {X ^ {\ text {an}}} ^ {r} (X ^ {\ text {an }})}$

между Кэлер (т.е. алгебраическим) дифференциальными формами на X и гладкий (т.е. имеет производные всех порядков) дифференциальные формы на, тем комплексное многообразие, связанное с X. Это отображение не обязательно должно быть изоморфизмом. Однако, когда X - аффинное многообразие, индуцированное отображение ${\ displaystyle X ^ {\ text {an}}}$

${\ displaystyle H _ {\ text {dR}} ^ {r} (X / \ mathbb {C}) \ to H _ {\ text {dR}} ^ {r} (X ^ {\ text {an}})}$

между алгебраическими и гладкими когомологиями де Рама является изоморфизмом, как впервые было показано Гротендиком (1966a). Для гладких, но не обязательно аффинных многообразий существует изоморфизм, связывающий гиперкогомологии алгебраического комплекса де Рама с сингулярными когомологиями. Доказательство этого результата сравнения с использованием концепции когомологий Вейля было дано Cisinski amp; Déglise (2013). Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFGrothendieck1966a ( справка )

Контрпримеры в особом случае можно найти с особенностями, отличными от дюбуа, такими как градуированное кольцо с где и. Другие контрпримеры можно найти в алгебраических плоских кривых с изолированными особенностями, у которых числа Милнора и Тюриной не равны. ${\ Displaystyle к [х, у] / (у ^ {2} -x ^ {3})}$${\ displaystyle y}$${\ Displaystyle \ deg (y) = 3}$${\ Displaystyle \ deg (х) = 2}$

Канонический делитель

Если X является гладким многообразием над полем к, то есть векторное расслоение (т.е. локально свободный модуль) ранга равняться размеру от X. Это означает, в частности, что ${\ displaystyle \ Omega _ {X / k}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$

${\ Displaystyle \ omega _ {X / k}: = \ bigwedge ^ {\ dim X} \ Omega _ {X / k}}$

является линейным расслоением или, что то же самое, дивизором. Он называется каноническим делителем. Канонический дивизор, как оказалось, является дуализирующим комплексом и поэтому появляется в различных важных теоремах алгебраической геометрии, таких как двойственность Серра или двойственность Вердье.

Классификация алгебраических кривых

В геометрическом роде гладкого алгебраического многообразия X в размерности г над полем к определяются как измерение

${\ displaystyle g: = \ dim H ^ {0} (X, \ Omega _ {X / k} ^ {d}).}$

Для кривых, это чисто алгебраическое определение согласуется с топологическим определением (для), как «количество ручек» из римановой поверхности, ассоциированной с X. Существует довольно резкая трихотомия геометрических и арифметических свойств в зависимости от рода кривой, когда g равно 0 ( рациональные кривые ), 1 ( эллиптические кривые ) и больше 1 (гиперболические римановы поверхности, включая гиперэллиптические кривые ), соответственно. ${\ Displaystyle к = \ mathbb {C}}$

Касательное расслоение и теорема Римана – Роха

Касательное расслоение гладкого многообразия X, по определению, двойственное кокасательному пучка. Теорема Римана – Роха и ее далеко идущее обобщение, теорема Гротендика – Римана – Роха, содержат в качестве ключевого ингредиента класс Тодда касательного расслоения. ${\ displaystyle \ Omega _ {X / k}}$

Неразветвленные и гладкие морфизмы

Пучок дифференциалов связан с различными алгебро-геометрическими понятиями. Морфизм схем неразветвлен тогда и только тогда, когда он равен нулю. Частный случай этого утверждения является то, что для поля к, является разъемным над K тогда и только тогда, который также может быть прочитан от выше вычислений. ${\ displaystyle f: от X \ до Y}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {X / Y}}$${\ Displaystyle К: = к [т] / е}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {K / k} = 0}$

Морфизм конечного типа f называется гладким морфизмом, если он плоский и если является локально свободным -модулем подходящего ранга. Вычисление выше показывает, что проекция из аффинного пространства гладкая. ${\ displaystyle \ Omega _ {X / Y}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle \ Omega _ {R [t_ {1}, \ ldots, t_ {n}] / R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {A} _ {R} ^ {n} \ to \ operatorname {Spec} (R)}$

Периоды

В широком смысле периоды представляют собой интегралы определенных, арифметически определенных дифференциальных форм. Простейший пример периода - это, который возникает как ${\ displaystyle 2 \ pi i}$

${\ displaystyle \ int _ {S ^ {1}} {\ frac {dz} {z}} = 2 \ pi i.}$

Алгебраические когомологии де Рама используются для построения периодов следующим образом: для алгебраического многообразия X, определенного вышеупомянутой совместимостью с заменой базы, получается естественный изоморфизм ${\ displaystyle \ mathbb {Q},}$

${\ displaystyle H _ {\ text {dR}} ^ {n} (X / \ mathbb {Q}) \ otimes _ {\ mathbb {Q}} \ mathbb {C} = H _ {\ text {dR}} ^ { n} (X \ otimes _ {\ mathbb {Q}} \ mathbb {C} / \ mathbb {C}).}$

С другой стороны, правая группа когомологий изоморфна когомологиям де Рама комплексного многообразия, ассоциированного с X, обозначенного здесь. Еще один классический результат, теорема де Рама, утверждает изоморфизм последней группы когомологий с сингулярными когомологиями (или когомологиями пучков) с комплексными коэффициентами, который по теореме об универсальных коэффициентах, в свою очередь, изоморфен Компоновке этих изоморфизмов, получаются два рациональных векторных пространства, которые после тензорирования становятся изоморфными. Выбирая базы этих рациональных подпространств (также называемых решетками), определитель матрицы замены базы является комплексным числом, хорошо определенным с точностью до умножения на рациональное число. Такие числа являются периодами. ${\ displaystyle X ^ {\ text {an}}}$${\ displaystyle H _ {\ text {dR}} ^ {n} (X ^ {\ text {an}}).}$ ${\ Displaystyle Н ^ {п} (Х ^ {\ текст {ан}}, \ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle H ^ {n} (X ^ {\ text {an}}, \ mathbb {Q}) \ otimes _ {\ mathbb {Q}} \ mathbb {C}.}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

Алгебраическая теория чисел

В алгебраической теории чисел дифференциалы Кэлера могут использоваться для изучения ветвления в расширении полей алгебраических чисел. Если L / K является конечным расширением с кольцами целых чисел O и o соответственно, то другой идеал δ L / K, кодирующий данные ветвления, является аннулятором O -модуля Ω O / o:

${\ displaystyle \ delta _ {L / K} = \ {x \ in O: x \, dy = 0 {\ text {для всех}} y \ in O \}.}$

Гомологии Хохшильда - это теория гомологий ассоциативных колец, которая оказывается тесно связанной с дифференциалами Кэлера. Это из-за теоремы Хохшильда-Костанта-Розенберга, которая утверждает, что гомологии Хохшильда алгебры гладкого многообразия изоморфны комплексу де Рама для поля характеристики. Получено усиление этой теоремы состояний, что Hochschild гомология дифференциальной градуированной алгебры изоморфна производный де-Рам комплекса. ${\ displaystyle HH _ {\ bullet} (R)}$${\ displaystyle \ Omega _ {R / k} ^ {\ bullet}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle 0}$

Комплекс де Рама – Витта, грубо говоря, является расширением комплекса де Рама для кольца векторов Витта.

• Cisinski, Denis-Charles; Деглиз, Фредерик (2013), «Смешанные когомологии Вейля», Успехи в математике, 230 (1): 55–130, arXiv : 0712.3291, doi : 10.1016 / j.aim.2011.10.021

• Гротендика, Александр (1966а), "О когомологий де Рама алгебраических многообразий", публикации Mathématiques де l'IHES, 29 (29): 95-103, DOI : 10.1007 / BF02684807, ISSN   0073-8301, MR   0199194, S2CID   123434721 CS1 maint: дата и год ( ссылка )(письмо Майклу Атье, 14 октября 1963 г.)

• Гротендик, Александр (1966b), Письмо Джону Тейту (PDF)CS1 maint: дата и год ( ссылка ).

• Гротендик, Александр (1968), "Кристаллы и когомологии схем де Рама" (PDF), в Жиро, Жан; Гротендик, Александр ; Клейман, Стивен Л. ; и другие. (ред.), Dix Exposés sur la Cohomologie des Schémas, Advanced Studies in pure Mathematics, 3, Amsterdam: North-Holland, pp. 306–358, MR   0269663
• Джонсон, Джеймс (1969), "дифференциалы кэлеровы и дифференциальная алгебра", Анналы математики, 89 (1): 92-98, DOI : 10,2307 / 1970810, JSTOR   1970810, Zbl   +0179,34302
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия, Тексты для выпускников по математике, 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN   978-0-387-90244-9, MR   0463157
• Мацумура, Хидеюки (1986), теория коммутативных колец, Cambridge University Press
• Neukirch, Jürgen (1999), Algebraische Zahlentheorie, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 322, Берлин: Springer-Verlag, ISBN   978-3-540-65399-8, Руководство по ремонту   1697859, Zbl   0956.11021
• Розенлихт, М. (1976), "О теории Лиувилля элементарных функций" (PDF), Тихоокеанский журнал математики, 65 (2): 485-492, DOI : 10,2140 / pjm.1976.65.485, Zbl   0318,12107
• Фу, Гофэн; Халас, Мирослав; Ли, Циминг (2011), «Некоторые замечания о дифференциалах Кэлера и обычных дифференциалах в нелинейных системах управления», Systems and Control Letters, 60: 699–703, doi : 10.1016 / j.sysconle.2011.05.006

• Заметки о p-адических алгебраических когомологиях де-Рама - дает много вычислений над характеристикой 0 в качестве мотивации
• Нить посвящена соотношению на алгебраических и аналитических дифференциальных форм
• Дифференциалы (проект Stacks)