Разделимое пространство

редактировать

Топологическое пространство с плотным счетным подмножеством

Аксиомы разделения. в топологических пространствах
Колмогоров классификация
T0	(Колмогоров)
T1	(Фреше)
T2	(Хаусдорф)
T2½	(Урысон)
полностью Т 2	(полностью Хаусдорф)
T3	(обычный Хаусдорф)
T3½	(Тихонов)
T4	(нормальный Хаусдорф)
T5	(совершенно нормальный. Хаусдорф)
T6	(совершенно нормальный. Хаусдорф)
История

В математике топологическое пространство называется разделимым, если оно содержит счетное, плотное подмножество; то есть существует последовательность ${xn} n = 1 ∞ {\ displaystyle \ {x_ {n} \} _ {n = 1} ^ {\ infty}}$ $\ {x_n \ } _ {n = 1} ^ {\ infty}$ элементов пространства, так что каждое непустое открытое подмножество пространства содержит хотя бы один элемент последовательности.

Как и другие аксиомы счетности, разделимость - это «ограничение размера», не обязательно в терминах мощности (хотя при наличии Аксиома Хаусдорфа, это действительно так; см. Ниже), но в более тонком топологическом смысле. В частности, каждая непрерывная функция на сепарабельном пространстве, образ которой является подмножеством хаусдорфова пространства, определяется своими значениями на счетном плотном подмножестве.

Сравните разделимость с родственным понятием второй счетности, которое в целом сильнее, но эквивалентно в классе метризуемых пространств.

Содержание

1 Первые примеры
2 Разделимость и вторая счетность
3 Мощность
4 Конструктивная математика
5 Дополнительные примеры
- 5.1 Разделимые пробелы
- 5.2 Неразделимые пробелы
6 Свойства
- 6.1 Встраивание разделимых метрических пространств
7 Ссылки

Первые примеры

Любое топологическое пространство, которое само конечно или счетно бесконечное отделимо, так как все пространство является счетным плотным подмножеством самого себя. Важным примером несчетного разделяемого пространства является вещественная линия, в которой рациональные числа образуют счетное плотное подмножество. Точно так же набор всех векторов $(r 1,…, rn) ∈ R n {\ displaystyle (r_ {1}, \ ldots, r_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ $(r_1, \ ldots, r_n) \ in \ mathbb {R} ^ n$ , в котором $ri {\ displaystyle r_ {i}}$ $r_ {i}$ рационально для всех i, является счетным плотным подмножеством $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ ; поэтому для каждого $n {\ displaystyle n}$ $n$ $n {\ displaystyle n}$ $n$ -мерное евклидово пространство разделяется.

Простым примером неразделимого пространства является дискретное пространство несчетной мощности.

Дополнительные примеры приведены ниже.

Разделимость по сравнению со счетностью секунд

Любой интервал с подсчетом секунд разделим: if ${U n} {\ displaystyle \ {U_ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ {U_ {n} \}}$ - счетное основание, выбирая любое $xn ∈ U n {\ displaystyle x_ {n} \ in U_ {n}}$ ${\ displaystyle x_ {n} \ in U_ {n}}$ из непустого $U n {\ displaystyle U_ {n}}$ $U_ {n}$ дает счетное плотное подмножество. И наоборот, метризуемое пространство является разделимым тогда и только тогда, когда оно является вторым счетным, что имеет место тогда и только тогда, когда оно Линделёф.

Для дальнейшего сравнения этих двух свойств:

произвольное подпространство пространства с подсчетом секунд является подсчетным вторым; подпространства разделимых пространств не обязательно должны быть разделимыми (см. ниже).
Любое непрерывное изображение разделимого пространства разделимо (Willard 1970, Th. 16.4a); даже частное пространства с подсчетом секунд не обязательно должно считаться вторым.
A произведение не более чем континуума многих разделимых пространств является разделимым (Willard 1970, p. 109, Th 16.4c). Счетное произведение пространств, подсчитываемых вторым, является вторым счетным пространством, но несчетное произведение пространств, подсчитываемых вторым, не обязательно должно быть даже первым счетным.

Мы можем построить пример разделимого топологического пространства, которое не является вторым счетным. Рассмотрим любой несчетный набор $X {\ displaystyle X}$ $X$ , выберите $x 0 ∈ X {\ displaystyle x_ {0} \ in X}$ ${\ displaystyle x_ {0} \ in X}$ и определите топология - это совокупность всех наборов, содержащих $x 0 {\ displaystyle x_ {0}}$ $x_ {0}$ (или пустых). Тогда закрытие $x 0 {\ displaystyle {x_ {0}}}$ ${\ displaystyle {x_ {0}}}$ - это все пространство ( $X {\ displaystyle X}$ $X$ - наименьшее закрытое набор, содержащий $x 0 {\ displaystyle x_ {0}}$ $x_ {0}$ ), но каждый набор формы ${x 0, x} {\ displaystyle \ {x_ {0}, x \ }}$ ${\ displaystyle \ {x_ {0}, x \}}$ открыт. Следовательно, пространство отделимо, но счетной базы быть не может.

Мощность

Свойство отделимости само по себе не накладывает никаких ограничений на мощность топологического пространства: любой набор, наделенный тривиальной топологией является разделимым, а также вторым счетным, квазикомпактным и связанным. «Проблема» тривиальной топологии заключается в ее плохих разделительных свойствах: ее фактор Колмогорова является одноточечным пространством.

A исчисляемое первым, отделимое пространство Хаусдорфа (в частности, отделимое метрическое пространство) имеет не более мощность континуума $c {\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$ ${ \ mathfrak {c}}$ . В таком пространстве замыкание определяется пределами последовательностей, и любая сходящаяся последовательность имеет не более одного предела, поэтому существует сюръективное отображение из набора сходящихся последовательностей со значениями в счетном плотном подмножестве в точки из $X {\ displaystyle X}$ $X$ .

Разделимое пространство Хаусдорфа имеет мощность не более $2 c {\ displaystyle 2 ^ {\ mathfrak {c}}}$ $2 ^ {{\ mathfrak {c}}}$ , где $c {\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$ ${ \ mathfrak {c}}$ - мощность континуума. Для этого замыкания характерны пределы баз фильтра : если $Y ⊆ X {\ displaystyle Y \ substeq X}$ $Y \ substeq X$ и $z ∈ X {\ displaystyle z \ in X}$ $z \ in X$ , тогда $z ∈ Y ¯ {\ displaystyle z \ in {\ overline {Y}}}$ $z \ in \ overline {Y}$ тогда и только тогда, когда существует база фильтра $B {\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal {B}}$ , состоящий из подмножеств $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ , сходящихся к $z {\ displaystyle z }$ $z$ . Мощность набора $S (Y) {\ displaystyle S (Y)}$ $S (Y)$ таких баз фильтров не превышает $2 2 | Y | {\ Displaystyle 2 ^ {2 ^ {| Y |}}}$ $2 ^ {2 ^ {| Y |}}$ . Более того, в пространстве Хаусдорфа существует не более одного предела для каждой базы фильтра. Следовательно, существует сюръекция $S (Y) → X {\ displaystyle S (Y) \ rightarrow X}$ $S (Y) \ rightarrow X$ , когда $Y ¯ = X. {\ displaystyle {\ overline {Y}} = X.}$ $\ overline {Y} = X.$

Те же аргументы устанавливают более общий результат: предположим, что топологическое пространство Хаусдорфа $X {\ displaystyle X}$ $X$ содержит плотную подмножество мощности $κ {\ displaystyle \ kappa}$ $\ kappa$ . Тогда $X {\ displaystyle X}$ $X$ имеет мощность не более $2 2 κ {\ displaystyle 2 ^ {2 ^ {\ kappa}}}$ $2 ^ {2 ^ {\ kappa}}$ и мощность не более $2 κ {\ displaystyle 2 ^ {\ kappa}}$ $2 ^ {\ kappa}$ , если он является первым исчисляемым.

Продукт не более чем континуума множества отделимых пространств является отделимым пространством (Willard 1970, стр. 109, Th 16.4c). В частности, пространство $RR {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {R}}}$ $\ mathbb {R} ^ {\ mathbb {R}}$ всех функций от вещественной линии до самой себя, наделенное топологией продукта, является разделимым Пространство Хаусдорфа мощности $2 c {\ displaystyle 2 ^ {\ mathfrak {c}}}$ $2 ^ {{\ mathfrak {c}}}$ . В более общем смысле, если $κ {\ displaystyle \ kappa}$ $\ kappa$ является любым бесконечным кардиналом, то произведение не более $2 κ {\ displaystyle 2 ^ {\ kappa}}$ $2 ^ \ каппа$ пространства с плотными подмножествами размером не более $κ {\ displaystyle \ kappa}$ $\ kappa$ имеют плотное подмножество размером не более $κ {\ displaystyle \ kappa}$ $\ kappa$ ().

Конструктивная математика

Разделимость особенно важна в численном анализе и конструктивной математике, поскольку многие теоремы, которые могут быть доказаны для несепарабельных пространств, имеют конструктивные доказательства только для разделимых пространств. Такие конструктивные доказательства могут быть преобразованы в алгоритмы для использования в численном анализе, и они являются единственными видами доказательств, приемлемых для конструктивного анализа. Известным примером теорем такого рода является теорема Хана – Банаха.

Дополнительные примеры

Разделимые пространства

Каждое компактное метрическое пространство (или метризуемое пространство) является
Любое топологическое пространство, которое является объединением счетного числа сепарабельных подпространств, сепарабельно. Вместе эти первые два примера дают другое доказательство того, что $n {\ displaystyle n}$ $n$ -мерное евклидово пространство разделимо.
Пространство $C (K) {\ displaystyle C (K)}$ $C (K)$ всех непрерывных функций из компактного подмножества $K ⊆ R {\ displaystyle K \ substeq \ mathbb {R}}$ $K \ substeq {\ mathbb {R}}$ к вещественной прямой $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ разделимо.
Пространства Лебега $L p (X, μ) {\ displaystyle L ^ {p} \ left (X, \ mu \ right)}$ $L ^ {{p}} \ left (X, \ mu \ right)$ , над пространством с разделимой мерой $⟨X, M, μ⟩ {\ displaystyle \ left \ langle X, {\ mathcal {M}}, \ mu \ right \ rangle}$ $\ left \ langle X, {\ mathcal {M}}, \ mu \ right \ rangle$ , разделимы для любого $1 ≤ p < ∞ {\displaystyle 1\leq p<\infty }$ $1 \ leq p <\ infty$ .
Пробел $C ([ 0, 1]) {\ displaystyle C ([0,1])}$ $C ([0,1])$ из непрерывных функций с действительным знаком на единичном интервале $[0, 1] {\ displaystyle [0,1]}$ $[0,1 ]$ с метрикой равномерной сходимости является отделимым пространством, поскольку это следует из аппроксимационной теоремы Вейерштрасса t что множество $Q [x] {\ displaystyle \ mathbb {Q} [x]}$ ${\ mathbb {Q}} [x]$ многочленов от одной переменной с рациональными коэффициентами является счетным плотным подмножеством $C ([0, 1]) {\ displaystyle C ([0,1])}$ $C ([0,1])$ . Теорема Банаха – Мазура утверждает, что любое отделимое банахово пространство изометрически изоморфно замкнутому линейному подпространству в $C ([0, 1]) { \ displaystyle C ([0,1])}$ $C ([0,1])$ .
A Гильбертово пространство разделимо тогда и только тогда, когда оно имеет счетный ортонормированный базис. Отсюда следует, что любое разделимое бесконечномерное гильбертово пространство изометрично пространству $ℓ 2 {\ displaystyle \ ell ^ {2}}$ $\ ell ^ {2}$ последовательностей, суммируемых с квадратом.
Примером разделяемого пробела, не учитывающего секунды, является строка Соргенфри $S {\ displaystyle \ mathbb {S}}$ $\ mathbb {S}$ , набор действительных чисел с символом топология нижнего предела.
A отделимая σ-алгебра - это σ-алгебра $F {\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ mathcal {F}}$ , которая является разделяемым пространством, если рассматривать его как метрическое пространство с метрическим $ρ (A, B) = μ (A △ B) {\ displaystyle \ rho (A, B) = \ mu (A \ треугольник B)}$ ${\ displaystyle \ rho (A, B) = \ mu (A \ треугольник B)}$ для $A, B ∈ F {\ displaystyle A, B \ in {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle A, B \ in {\ mathcal {F}}}$ и заданной меры $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ (и где $△ {\ displaystyle \ треугольник}$ $\ треугольник$ является оператором симметричной разности ).

Неразделимые пробелы

первый несчетный порядковый номер $ω 1 {\ displaystyle \ omega _ {1}}$ $\ omega _ {1}$ , e с его естественной топологией порядка , не разделимо.
Банахово пространство $ℓ ∞ {\ displaystyle \ ell ^ {\ infty}}$ $\ ell ^ \ infty$ всех ограниченных действительных последовательностей с нормой супремума не отделимы. То же самое верно и для $L ∞ {\ displaystyle L ^ {\ infty}}$ $L ^ {\ infty}$ .
банахово пространство из функций ограниченной вариации неразделимо; обратите внимание, однако, что это пространство имеет очень важные приложения в математике, физике и технике.

Свойства

A подпространства разделяемого пространства не обязательно должны быть разделимы (см. плоскость Соргенфри и Плоскость Мура ), но каждое открытое подпространство сепарабельного пространства отделимо (Willard 1970, Th 16.4b). Также каждое подпространство отделимого метрического пространства является отделимым.
Фактически каждое топологическое пространство является подпространством отделимого пространства той же мощности. Конструкция, добавляющая не более чем счетное количество точек, приведена в (Серпинский 1952, с. 49); если пространство было хаусдорфовым, то построенное пространство, в которое оно вкладывается, также является хаусдорфовым пространством.
Множество всех действительных непрерывных функций на сепарабельном пространстве имеет мощность, меньшую или равную $с {\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$ ${ \ mathfrak {c}}$ . Это следует из того, что такие функции определяются своими значениями на плотных подмножествах.
Из указанного выше свойства можно вывести следующее: если X - сепарабельное пространство, имеющее несчетное замкнутое дискретное подпространство, то X не может быть нормальный. Это показывает, что плоскость Соргенфри не является нормальной.
Для компактного пространства Хаусдорфа X следующие эквиваленты:

( i) X является вторым счетным.

(ii) Пространство

C (X, R) {\ displaystyle {\ mathcal {C}} (X, \ mathbb {R})}

\ mathcal { C} (X, \ mathbb {R})

непрерывных вещественнозначных функций на X с нормой супремума сепарабельно.

(iii) X метризуемо.

Вложение сепарабельных метрических пространств

Каждая сепарабельная метрика пространство гомеоморфно подмножеству гильбертова куба. Это установлено при доказательстве теоремы Урысона о метризации.
. Каждое сепарабельное метрическое пространство изометрично подмножеству (неразделимого) банахова пространства l всех ограниченные вещественные последовательности с нормой супремума ; это известно как вложение Фреше. (Heinonen 2003)
Каждое сепарабельное метрическое пространство изометрично подмножеству C ([0,1]), сепарабельному банахову пространству непрерывных функций [0,1] → R, с норма супремума. Это связано с Стефаном Банахом. (Heinonen 2003)
Каждое разделимое метрическое пространство изометрично подмножеству универсального пространства Урысона.

Для несепарабельных пространств:

A метрическое пространство плотности, равное бесконечному количеству α, изометрично подпространству C ([0,1], R ), пространство реальных непрерывных функций на произведении α копий единичного интервала. (Kleiber 1969) harv error: no target: CITEREFKleiber1969 (help )

Ссылки

Heinonen, Juha (Январь 2003 г.), Геометрические вложения метрических пространств (PDF), получено 6 февраля 2009 г.

Келли, Джон Л. (1975), Общая топология, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90125-1, MR 0370454
Клейбер, Мартин; Первин, Уильям Дж. (1969), "Обобщенный B Теорема Анаха-Мазура », Бюл. Austral. Математика. Soc., 1 (2): 169–173, doi : 10.1017 / S0004972700041411
Серпинский, Вацлав (1952), Общая топология, математические экспозиции, No. 7, Торонто, Онтарио: University of Toronto Press, MR 0050870
Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур младший (1995) [1978], Контрпримеры в топологии (Dover, перепечатка 1978 года), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446
Уиллард, Стивен (1970), Общая топология, Эддисон-Уэсли, ISBN 978-0-201-08707-9, MR 0264581