Войти
Действительная часть (красный) и мнимая часть (синий) дзета-функции Римана вдоль критическая линия Re (s) = 1/2. Первые нетривиальные нули можно увидеть при Im (s) = ± 14,135, ± 21,022 и ± 25,011. Гипотеза Римана, известная гипотеза, гласит, что все нетривиальные нули дзета-функции лежат вдоль критической линии. В математике гипотеза - это заключение или утверждение, которое подозревается в истинности из-за предварительных подтверждающих доказательств, но для которого не было найдено никаких доказательств или опровержений. Некоторые гипотезы, такие как гипотеза Римана (все еще гипотеза) или Великая теорема Ферма (гипотеза, пока не была доказана в 1995 году Эндрю Уайлсом ), сформировали много истории математики, поскольку для их доказательства разрабатываются новые области математики.
В теории чисел, Последняя теорема Ферма (иногда называемая гипотезой Ферма, особенно в старых текстах) утверждает, что нет трех положительных целые числа 
Эта теорема была впервые высказана Пьером де Ферма в 1637 году на полях копии Arithmetica, где он утверждал, что у него есть слишком большое доказательство. Первое успешное доказательство было выпущено в 1994 г. Эндрю Уайлсом и официально опубликовано в 1995 г. после 358 лет усилий математиков. Нерешенная проблема стимулировала развитие теории алгебраических чисел в XIX веке и доказательство теоремы модульности в XX веке. Это одна из самых известных теорем в истории математики, и до ее доказательства она была в Книге рекордов Гиннеса за «самые сложные математические задачи».
Четырехцветная карта штатов Соединенных Штатов (без учета озер). В математике теорема четырех цветов, или теорема о четырехцветной карте, утверждает, что при любом разделении плоскости на смежные области, в результате чего получается фигура, называемая картой, для окраски областей карты требуется не более четырех цветов - так что никакие две соседние области не имеют одинаковый цвет. Две области называются смежными, если они имеют общую границу, которая не является углом, где углы - это точки, общие для трех или более регионов. Например, на карте Соединенных Штатов Америки Юта и Аризона являются соседними, но Юта и Нью-Мексико, у которых есть только общая точка, которая также принадлежит Аризоне и Колорадо, нет.
Мёбиус упомянул эту проблему в своих лекциях еще в 1840 году. Гипотеза была впервые высказана 23 октября 1852 года, когда Фрэнсис Гатри, пытаясь раскрасить карту стран Англии, заметил что нужно было всего четыре разных цвета. Теорема о пяти цветах, имеющая краткое элементарное доказательство, утверждает, что пяти цветов достаточно для раскрашивания карты, и была доказана в конце 19 века; Однако доказать, что четырех цветов достаточно, оказалось значительно сложнее. Ряд ложных доказательств и ложных контрпримеров появился с момента первого утверждения теоремы о четырех цветах в 1852 году.
Теорема о четырех цветах была окончательно доказана в 1976 году Кеннетом Аппелем и Вольфганг Хакен. Это была первая основная теорема, доказанная с помощью компьютера. Подход Аппеля и Хакена начался с демонстрации того, что существует конкретный набор из 1936 карт, каждая из которых не может быть частью контрпримера наименьшего размера к теореме о четырех цветах (т. Е. Если они действительно появились, можно было бы составить контрпример меньшего размера.). Аппель и Хакен использовали специальную компьютерную программу, чтобы подтвердить, что каждая из этих карт обладает этим свойством. Кроме того, любая карта, которая потенциально может быть контрпримером, должна иметь часть, похожую на одну из этих 1936 карт. Показав это на сотнях страниц ручного анализа, Аппель и Хакен пришли к выводу, что не существует ни малейшего контрпримера, потому что любой должен содержать, но не содержать одну из этих 1936 карт. Это противоречие означает, что контрпримеров нет вообще, а значит, теорема верна. Изначально их доказательство не было принято математиками вообще, потому что компьютерное доказательство было невозможно проверить вручную. Однако с тех пор доказательство получило более широкое признание, хотя сомнения все еще остаются.
Hauptvermutung (по-немецки основная гипотеза) геометрической топологии - это гипотеза о том, что любые две триангуляции триангулируемого пространства имеют общее уточнение, единственную триангуляцию, которая является подразделением их обоих. Первоначально она была сформулирована в 1908 году Стейницем и Титце.
. Сейчас эта гипотеза, как известно, неверна. Версия без коллекторов была опровергнута Джоном Милнором в 1961 году с использованием кручения Рейдемейстера.
Версия коллектор верна в размерах m ≤ 3. Случаи m = 2 и 3 были доказаны Тибором Радо и Эдвином Э. Моисе в 1920-х и 1950-х годах соответственно.
В математике Гипотезы Вейля были очень влиятельными предложениями Андре Вейля (1949) на производящих функциях (известных как локальные дзета-функции ), полученных в результате подсчета количества точек на алгебраических многообразиях на конечных fields.
Многообразие V над конечным полем с q элементами имеет конечное число рациональных точек, а также точек над каждым конечным полем с q элементами, содержащими это поле. Производящая функция имеет коэффициенты, полученные из числа N k точек над (по существу уникальным) полем с q элементами.
Вейль предположил, что такие дзета-функции должны быть рациональными функциями, должны удовлетворять форме функционального уравнения и должны иметь свои нули в ограниченных местах. Последние две части были вполне сознательно смоделированы на основе дзета-функции Римана и гипотезы Римана. Рациональность была доказана Dwork (1960) harvtxt error: no target: CITEREFDwork1960 (help ), функциональным уравнением Grothendieck (1965) harvtxt error: no цель: CITEREFGrothendieck1965 (help ), а аналог гипотезы Римана был доказан Deligne (1974) harvtxt error: no target: CITEREFDeligne1974 (help )
В математике, гипотеза Пуанкаре - это теорема о характеризации 3-сферы., который представляет собой гиперсферу, ограничивающую единичный шар в четырехмерном пространстве. Гипотеза утверждает, что:
Каждый односвязный, замкнутый 3- многообразие гомеоморфно 3-сфере.
Эквивалентная форма гипотезы включает более грубую форму эквивалентности, чем гомеоморфизм, называемую гомотопической эквивалентностью : если 3-многообразие гомотопически эквивалентно 3-сфере, то оно обязательно ho меоморфный ему.
Первоначально предположенная Анри Пуанкаре, теорема касается пространства, которое локально выглядит как обычное трехмерное пространство, но связано, имеет конечный размер и не имеет границ (замкнутый 3-х коллектор ). Гипотеза Пуанкаре утверждает, что если такое пространство обладает дополнительным свойством, заключающимся в том, что каждая петля в пространстве может быть непрерывно стянута к точке, то это обязательно трехмерная сфера. Аналогичный результат был известен в более высоких измерениях в течение некоторого времени.
После почти столетних усилий математиков Григорий Перельман представил доказательство гипотезы в трех статьях, опубликованных в 2002 и 2003 годах на arXiv. Доказательство последовало из программы Ричарда С. Гамильтона, в которой использовался поток Риччи, чтобы попытаться решить проблему. Позднее Гамильтон ввел модификацию стандартного потока Риччи, названного потоком Риччи, с операцией по систематическому иссечению особых областей по мере их развития контролируемым образом, но не смог доказать, что этот метод «сходится» в трех измерениях. Перельман завершил эту часть доказательства. Несколько групп математиков подтвердили правильность доказательства Перельмана.
Гипотеза Пуанкаре до того, как была доказана, была одним из самых важных открытых вопросов в топологии.
В математике гипотеза Римана, предложенная Бернхардом Риманом (1859), представляет собой гипотезу о том, что нетривиальные нули дзета-функции Римана имеют действительная часть 1/2. Это имя также используется для некоторых близких аналогов, таких как гипотеза Римана для кривых над конечными полями.
Гипотеза Римана подразумевает результаты о распределении простых чисел. Наряду с подходящими обобщениями некоторые математики считают это самой важной нерешенной проблемой чистой математики. Гипотеза Римана, наряду с гипотезой Гольдбаха, является частью восьмой проблемы Гильберта в списке Дэвида Гильберта из 23 нерешенных проблем ; это также одна из задач Института математики Клэя Задача Миллениума.
Проблема P против NP является основной Нерешенная проблема информатики. Неформально он спрашивает, можно ли быстро решить каждую проблему, решение которой может быть быстро проверено компьютером; широко распространено мнение, что ответ отрицательный. По сути, впервые он был упомянут в письме 1956 года, написанном Куртом Гёделем Джону фон Нейману. Гедель спросил, может ли определенная NP-полная задача быть решена за квадратичное или линейное время. Точная постановка проблемы P = NP была введена в 1971 г. Стивеном Куком в его основополагающей статье «Сложность процедур доказательства теорем» и многими рассматривается как наиболее важная открытая проблема в этой области. Это одна из семи задач Премии тысячелетия, отобранных Институтом математики Клэя для присуждения приза в размере 1 000 000 долларов США за первое правильное решение.
Формальная математика основана на доказуемой истине. В математике любое количество случаев, подтверждающих гипотезу, независимо от того, насколько велико, недостаточно для подтверждения ее правдивости, поскольку единственный контрпример может немедленно опровергнуть гипотезу. Математические журналы иногда публикуют второстепенные результаты исследовательских групп, которые расширили поиск контрпримера дальше, чем это делалось ранее. Например, гипотеза Коллатца, которая касается того, завершаются ли определенные последовательности из целых чисел, была проверена для всех целых чисел до 1,2 × 10 (более триллион). Однако неспособность найти контрпример после обширных поисков не является доказательством того, что контрпример не существует или что гипотеза верна - потому что гипотеза может быть ложной, но с очень большим минимальным контрпримером.
Вместо этого предположение считается доказанным только тогда, когда было показано, что логически невозможно, чтобы оно было ложным. Для этого существуют различные методы; подробнее см. методы математического доказательства.
Один метод доказательства, применимый, когда существует только конечное число случаев, которые могут привести к контрпримерам, известен как «грубая сила »: в этом подходе рассматриваются все возможные случаи и показано, чтобы не приводить контрпримеры. В некоторых случаях количество случаев довольно велико, и в этом случае для доказательства методом перебора может потребоваться на практике использование компьютерного алгоритма для проверки всех случаев. Например, достоверность компьютерных доказательств с помощью грубой силы 1976 и 1997 годов теоремы о четырех цветах первоначально подвергалась сомнению, но в конечном итоге была подтверждена в 2005 году программой доказательства теорем.
Когда гипотеза была доказана, это уже не гипотеза, а теорема. Многие важные теоремы когда-то были гипотезами, такие как теорема о геометризации (которая разрешила гипотезу Пуанкаре ), Великая теорема Ферма и другие.
Гипотезы, опровергнутые контрпримером, иногда называют ложными предположениями (см. гипотезу Полиа и гипотезу о сумме степеней Эйлера ). В последнем случае первый контрпример, найденный для случая n = 4, включал числа в миллионы, хотя впоследствии было обнаружено, что минимальный контрпример на самом деле меньше.
Не каждая гипотеза оказывается верной или ложной. Гипотеза континуума, которая пытается установить относительную мощность некоторых бесконечных множеств, в конечном итоге оказалась независимой от общепринятых набор аксиом Цермело – Френкеля теории множеств. Следовательно, возможно принять это утверждение или его отрицание как новую аксиому последовательным образом (так же, как можно принять параллельный постулат Евклида как истинное или ложное в аксиоматической системе геометрии).
В этом случае, если доказательство использует это утверждение, исследователи часто будут искать новое доказательство, которое не требует гипотезы (точно так же, как желательно, чтобы утверждения в евклидовой геометрии можно доказать с использованием только аксиом нейтральной геометрии, т.е. без постулата параллельности). На практике единственным важным исключением из этого правила является аксиома выбора , поскольку большинство исследователей обычно не беспокоятся о том, требует ли результат результат - если только они не изучают эту аксиому в частности.
Иногда гипотезу называют гипотезой, если она часто и неоднократно используется в качестве предположения в доказательствах других результатов. Например, гипотеза Римана - это гипотеза из теории чисел, которая, помимо прочего, делает предсказания о распределении простых чисел. Немногие теоретики чисел сомневаются в истинности гипотезы Римана. Фактически, в ожидании ее окончательного доказательства, некоторые даже приступили к разработке дальнейших доказательств, которые зависят от истинности этой гипотезы. Они называются условными доказательствами : предполагаемые гипотезы пока появляются в гипотезах теоремы.
Эти «доказательства», однако, развалятся, если окажется, что гипотеза ложна, поэтому существует значительный интерес к проверке истинности или ложности предположений этого типа.
Карл Поппер впервые использовал термин «предположение» в научной философии. Гипотеза связана с гипотезой, которая в науке относится к проверяемой гипотезе.
 | Найдите предположение в Викисловаре, бесплатном словаре. |
СМИ, относящиеся к догадкам на Викискладе