Расслоение Хопфа

Расслоение Хопфа можно визуализировать, используя стереографическую проекцию от S ³ до R ³ и затем сжимая R ³ до шара. Это изображение показывает точки на S ² и соответствующие им волокна с тем же цветом. Попарно связанные брелоки имитируют часть расслоения Хопфа.

В математической области дифференциальной топологии, то расслоение Хопфа (также известное как расслоение Хопфа или карта Хопфа) описывает 3-сферу (а гиперсфера в четырехмерном пространстве ) в терминах окружностей и обычной сфере. Обнаруженный Хайнцем Хопфом в 1931 году, он является влиятельным ранним примером пучка волокон. Технически Хопфа нашел много-к-одному непрерывную функцию (или «отображение») от 3 -сферы на 2 -сферы таким образом, что каждая отдельная точка из 2 -сферы отображается из отдельного большого круга из 3 -сферы ( Хопф, 1931). Таким образом, 3- сфера состоит из волокон, где каждое волокно представляет собой круг - по одному на каждую точку 2- сферы.

Эта структура пучка волокон обозначается

${\ Displaystyle S ^ {1} \ hookrightarrow S ^ {3} {\ xrightarrow {\ p \,}} S ^ {2},}$

это означает, что расслоение S ¹ (окружность) будет встроен в общем пространстве S ³ (The 3 -сферы), а р  :  S ³ → S ² (карта Хопфа) Проекты S ³ на базовом пространстве S ² (обычный 2- сфера). Расслоение Хопфа, как и любое расслоение волокон, обладает тем важным свойством, что оно локально является пространством произведения. Однако это не является тривиальным расслоением, т.е. S ³ не является глобально продуктом S ² и S ¹, хотя он локально неотличим от него.

Это имеет много значений: например, существование этого расслоения показывает, что высшие гомотопические группы сфер в общем случае нетривиальны. Он также предоставляет базовый пример основного пучка, отождествляя волокно с группой круга.

Стереографическая проекция расслоения Хопфа индуцирует замечательную структуру на R ³, в которой все трехмерное пространство, за исключением оси z, заполнено вложенными торами, состоящими из соединяющих окружностей Вильярсо. Здесь каждое волокно проецируется на круг в пространстве (одна из которых является линией, которую можно представить как «круг через бесконечность»). Каждый тор является стереографической проекцией прообраза круга широты 2- сферы. (Топологически тор - это произведение двух окружностей.) Эти торы показаны на изображениях справа. Когда R ³ сжимается до границы шара, некоторая геометрическая структура теряется, хотя топологическая структура сохраняется (см. Топология и геометрия ). Петли гомеоморфны окружностям, хотя не являются геометрическими окружностями.

Существует множество обобщений расслоения Хопфа. Единичная сфера в комплексном координатном пространстве C ^{n +1} естественным образом расслаивается над комплексным проективным пространством CP ⁿ с окружностями в качестве слоев; также существуют вещественные, кватернионные и октонионные версии этих расслоений. В частности, расслоение Хопфа принадлежит к семейству из четырех расслоений, в которых все пространство, базовое пространство и расслоение являются сферами:

${\ displaystyle S ^ {0} \ hookrightarrow S ^ {1} \ to S ^ {1},}$

${\ displaystyle S ^ {1} \ hookrightarrow S ^ {3} \ to S ^ {2},}$

${\ displaystyle S ^ {3} \ hookrightarrow S ^ {7} \ to S ^ {4},}$

${\ displaystyle S ^ {7} \ hookrightarrow S ^ {15} \ to S ^ {8}.}$

По теореме Адамса такие расслоения могут возникать только в этих размерностях.

Расслоение Хопфа играет важную роль в твисторной теории.

• 1 Определение и конструкция
  • 1.1 Прямое строительство
    • 1.1.1 Геометрическая интерпретация с использованием сложной проективной прямой
    • 1.1.2 Структура пучка волокон
  • 1.2 Геометрическая интерпретация с использованием вращения
    • 1.2.1 Явные формулы
  • 1.3 Механика жидкости
• 2 Обобщения
  • 2.1 Вещественные расслоения Хопфа
  • 2.2 Комплексные расслоения Хопфа
  • 2.3 Кватернионные расслоения Хопфа
  • 2.4 Октонионные расслоения Хопфа
  • 2.5 Волокна между сферами
• 3 Геометрия и приложения
• 4 Примечания
• 5 ссылки
• 6 Внешние ссылки

Для любого натурального числа п, с п - мерной сферой, или п-области, может быть определен как набор точек в n - мерном пространстве, которые являются фиксированным расстоянием от центральной точки. Для конкретности центральную точку можно принять за начало координат, а расстояние между точками на сфере от этого начала можно принять за единицу длины. Согласно этому соглашению, n- сфера, состоит из точек в с x 1 ²  +  x 2 ²  + ⋯ +  x n + 1 ²  = 1. Например, 3- сфера состоит из точек ( x 1,  x 2,  x 3,  x 4) в R ^4, где x 1 ²  +  x 2 ²  +  x 3 ²  +  x 4 ²  = 1. ${\ Displaystyle (п + 1)}$ ${\ Displaystyle S ^ {п}}$${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n + 1})}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п + 1}}$

Расслоение Хопфа р: S ³ → S ² из 3 -сферы над 2 -сферы может быть определена несколькими способами.

Прямое строительство

Отождествите R ⁴ с C ² и R ³ с C × R (где C обозначает комплексные числа ), написав:

${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}) \ leftrightarrow (z_ {0}, z_ {1}) = (x_ {1} + ix_ {2}, x_ {3} + ix_ {4})}$

а также

${\ Displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) \ leftrightarrow (z, x) = (x_ {1} + ix_ {2}, x_ {3})}$.

Таким образом, S ³ отождествляется с подмножеством всех ( z 0, z 1) в C ² таких, что | z 0 | ² + | z 1 | ²  = 1 и S ² идентифицируется с подмножеством всех ( г, х) в С × R такое, что | z | ²  +  х ² = 1. (Здесь для комплексного числа z  = x  + i y, | z | ²  = z  z ^∗  = x ²  +  y ², где звездочка обозначает комплексно сопряженное число. ) Тогда расслоение Хопфа p определяется следующим образом:

${\ displaystyle p (z_ {0}, z_ {1}) = (2z_ {0} z_ {1} ^ {\ ast}, \ left | z_ {0} \ right | ^ {2} - \ left | z_ {1} \ right | ^ {2}).}$

Первый компонент - это комплексное число, а второй компонент - действительный. Любая точка на 3- сфере должна обладать свойством | z 0 | ²  + | z 1 | ²  = 1. Если это так, то p ( z 0, z 1) лежит на единичной 2 -сфере в C × R, что может быть показано возведением в квадрат комплексных и вещественных компонентов p

${\ displaystyle 2z_ {0} z_ {1} ^ {\ ast} \ cdot 2z_ {0} ^ {\ ast} z_ {1} + \ left (\ left | z_ {0} \ right | ^ {2} - \ left | z_ {1} \ right | ^ {2} \ right) ^ {2} = 4 \ left | z_ {0} \ right | ^ {2} \ left | z_ {1} \ right | ^ {2 } + \ left | z_ {0} \ right | ^ {4} -2 \ left | z_ {0} \ right | ^ {2} \ left | z_ {1} \ right | ^ {2} + \ left | z_ {1} \ right | ^ {4} = \ left (\ left | z_ {0} \ right | ^ {2} + \ left | z_ {1} \ right | ^ {2} \ right) ^ {2 } = 1}$

Кроме того, если две точки на 3-сфере отображаются в одну и ту же точку на 2-сфере, т. Е. Если p ( z 0, z 1) = p ( w 0, w 1), то ( w 0, w 1) должно равняться ( λ  z 0, λ  z 1) для некоторого комплексного числа λ с | λ | ²  = 1. Обратное также верно; любые две точки на 3- сфере, которые отличаются общим комплексным множителем λ, отображаются в одну и ту же точку на 2- сфере. Эти выводы следуют из того, что комплексный множитель λ сокращается со своим комплексно сопряженным λ ^∗ в обеих частях p: в комплексной 2 z 0 z 1 ^∗ компоненте и в вещественной компоненте | z 0 | ²  - | z 1 | ².

Поскольку множество комплексных чисел λ с | λ | ²  = 1 форма единичной окружности в комплексной плоскости, то отсюда следует, что для каждой точки т в S ², то прообраз р ^-1 ( м) представляет собой круг, то есть, р ^-1м  ≅  S ¹. Таким образом, 3- сфера реализуется как непересекающееся объединение этих круговых волокон.

Прямая параметризация 3- сферы с помощью отображения Хопфа выглядит следующим образом.

${\ Displaystyle Z_ {0} = е ^ {я \, {\ гидроразрыва {\ xi _ {1} + \ xi _ {2}} {2}}} \ sin \ eta}$

${\ displaystyle z_ {1} = e ^ {i \, {\ frac {\ xi _ {2} - \ xi _ {1}} {2}}} \ cos \ eta.}$

или в евклидовом R ⁴

${\ displaystyle x_ {1} = \ cos \ left ({\ frac {\ xi _ {1} + \ xi _ {2}} {2}} \ right) \ sin \ eta}$

${\ displaystyle x_ {2} = \ sin \ left ({\ frac {\ xi _ {1} + \ xi _ {2}} {2}} \ right) \ sin \ eta}$

${\ displaystyle x_ {3} = \ cos \ left ({\ frac {\ xi _ {2} - \ xi _ {1}} {2}} \ right) \ cos \ eta}$

${\ displaystyle x_ {4} = \ sin \ left ({\ frac {\ xi _ {2} - \ xi _ {1}} {2}} \ right) \ cos \ eta}$

Если η находится в диапазоне от 0 до π / 2, ξ 1 проходит в диапазоне от 0 до 2 π, а ξ 2 может принимать любые значения от 0 до 4 π. Каждое значение η, за исключением 0 и π / 2, которые задают круги, задает отдельный плоский тор в 3- сфере, а один обход (от 0 до 4 π) либо ξ 1, либо ξ 2 заставляет вас сделать один полный круг. обеих конечностей тора.

Отображение вышеупомянутой параметризации в 2- сферу выглядит следующим образом: точки на окружностях параметризованы как ξ 2.

${\ Displaystyle г = \ соз (2 \ эта)}$

${\ Displaystyle х = \ грех (2 \ эта) \ соз \ хи _ {1}}$

${\ Displaystyle у = \ грех (2 \ эта) \ грех \ xi _ {1}}$

Геометрическая интерпретация с использованием сложной проекционной линии

Геометрическая интерпретация расслоения может быть получено с использованием комплексной проективной прямой, CP ¹, который определяется как множество всех комплексных одномерных подпространств из С ². Эквивалентно, СР - ¹ представляет собой частное от C ² \ {0} по отношению эквивалентности, который идентифицирует ( г 0, г 1) с ( λ г 0, λ г 1) для любого ненулевого комплексного числа Х. На любой комплексной прямой в C ² есть окружность с единичной нормой, поэтому ограничение фактор-отображения на точки с единичной нормой является расслоением S ³ над CP ¹.

СР - ¹ диффеоморфен 2 -сферы:самом деле он может быть идентифицирован с помощью римановой сферы C ∞ = C ∪ {∞}, которая является одной точкой компактифи- из C (полученный путем добавления точки на бесконечности ). Приведенная выше формула для p определяет явный диффеоморфизм между комплексной проективной прямой и обычной 2- сферой в 3- мерном пространстве. В качестве альтернативы точка ( z 0, z 1) может быть отображена в отношение z 1 / z 0 в сфере Римана C ∞.

Структура пучка волокон

Расслоение Хопфа определяет расслоение с проекцией расслоения p. Это означает, что она имеет «локальную структуру продукта», в том смысле, что каждая точка 2 -сферы имеет некоторую окрестность U которой прообраз в 3 -сфере может быть идентифицирована с продуктом из U и окружностью: р ^-1 ( U) ≅  U × S ¹. Такое расслоение называется локально тривиальным.

Для расслоения Хопфа достаточно удалить единственную точку m из S ² и соответствующую окружность p ⁻¹ ( m) из S ³ ; Таким образом, можно взять U = S ² \ { т }, и любая точка S ² имеет окрестность этой формы.

Геометрическая интерпретация с использованием вращений

Другая геометрическая интерпретация расслоения Хопфа может быть получена при рассмотрении поворотов 2- сферы в обычном 3- мерном пространстве. Группа вращений SO (3) имеет двойную крышку, то спин группа Spin (3), диффеоморфную к 3 -сфере. Спина группа действует транзитивно на S ² поворотов. Стабилизатор точки изоморфен группе окружности. Легко следует, что 3- сфера является расслоением главных окружностей над 2- сферой, и это расслоение Хопфа.

Чтобы сделать это более явным, есть два подхода: группу Spin (3) можно отождествить либо с группой Sp (1) единичных кватернионов, либо со специальной унитарной группой SU (2).

В первом подходе вектор ( x 1, x 2, x 3, x 4) в R ⁴ интерпретируется как кватернион q ∈ H, записывая

${\ displaystyle q = x_ {1} + \ mathbf {i} x_ {2} + \ mathbf {j} x_ {3} + \ mathbf {k} x_ {4}. \, \!}$

Затем 3- сфера отождествляется с версорами, кватернионами единичной нормы, теми q ∈ H, для которых | q | ² = 1, где | q | ² = qq ^∗, что равно x 1 ² + x 2 ² + x 3 ² + x 4 ² для q, как указано выше.

С другой стороны, вектор ( y 1, y 2, y 3) в R ³ можно интерпретировать как мнимый кватернион

${\ displaystyle p = \ mathbf {i} y_ {1} + \ mathbf {j} y_ {2} + \ mathbf {k} y_ {3}. \, \!}$

Тогда, как хорошо известно со времен Кэли (1845 г.), отображение

${\ Displaystyle п \ mapsto qpq ^ {*} \, \!}$

- это вращение в R ³: действительно, очевидно, что это изометрия, поскольку | qpq ^∗ | ² = qpq ^∗ qp ^∗ q ^∗ = qpp ^∗ q ^∗ = | p | ², и нетрудно убедиться, что он сохраняет ориентацию.

Фактически, это отождествляет группу версоров с группой вращений R ³ по модулю того факта, что версоры q и - q определяют одно и то же вращение. Как было отмечено выше, повороты действовать транзитивно на S ², а множество versors д которые фиксируют данную правой versor р имеют вид д = ¯u + v р, где у и v являются действительными числами с U ² + v ² = 1. Это круговая подгруппа. Для конкретности можно взять p = k, и тогда расслоение Хопфа можно определить как отображение, переводящее версор ω в ω k ω ^∗. Все кватернионы ωq, где q - один из кругов версоров, фиксирующих k, отображаются в одно и то же (что оказывается одним из двух вращений на 180 °, поворачивающих k в то же место, что и ω).

Другой способ взглянуть на это расслоение состоит в том, что каждый версор ω перемещает плоскость, натянутую на {1, k }, на новую плоскость, натянутую на { ω, ωk }. Любой кватернион ωq, где q - один из круга версоров, фиксирующих k, будет иметь такой же эффект. Мы помещаем все это в одно волокно, и волокна могут быть взаимно однозначно сопоставлены с 2- сферой вращения на 180 °, которая является диапазоном ωkω ^*.

Этот подход связан с прямым построением путем идентификации кватерниона q = x 1 + i x 2 + j x 3 + k x 4 с матрицей 2 × 2:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x_ {1} + \ mathbf {i} x_ {2} amp; x_ {3} + \ mathbf {i} x_ {4} \\ - x_ {3} + \ mathbf {i} x_ {4} amp; x_ {1} - \ mathbf {i} x_ {2} \ end {bmatrix}}. \, \!}$

Это отождествляет группу версоров с SU (2), а мнимые кватернионы - с косоэрмитовыми матрицами 2 × 2 (изоморфными C × R).

Явные формулы

Вращение, индуцированное единичным кватернионом q = w + i x + j y + k z, явно задается ортогональной матрицей

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1-2 (y ^ {2} + z ^ {2}) amp; 2 (xy-wz) amp; 2 (xz + wy) \\ 2 (xy + wz) amp; 1-2 (x ^ {2} + z ^ {2}) amp; 2 (yz-wx) \\ 2 (xz-wy) amp; 2 (yz + wx) amp; 1-2 (x ^ {2} + y ^ {2}) \ end { bmatrix}}.}$

Здесь мы находим явную действительную формулу для проекции пучка, отмечая, что фиксированный единичный вектор вдоль оси z (0,0,1) вращается на другой единичный вектор,

${\ displaystyle {\ Big (} 2 (xz + wy), 2 (yz-wx), 1-2 (x ^ {2} + y ^ {2}) {\ Big)}, \, \!}$

которая является непрерывной функцией ( w, x, y, z). То есть изображение q - это точка на 2- сфере, куда он отправляет единичный вектор по оси z. Волокно для данной точки на S ² состоит из всех тех единичных кватернионов, которые посылают единичный вектор там.

Мы можем также написать явную формулу для слоя над точкой (, Ь, гр) в S ². Умножение единичных кватернионов дает композицию вращений, и

${\ Displaystyle д _ {\ тета} = \ соз \ тета + \ mathbf {к} \ грех \ тета}$

представляет собой поворот на 2 θ вокруг оси z. Как θ изменяется, это заметает большой круг из S ³, нашего прототипа волокна. Пока базовая точка ( a, b, c) не является антиподом (0, 0, −1), кватернион

${\ displaystyle q _ {(a, b, c)} = {\ frac {1} {\ sqrt {2 (1 + c)}}} (1 + c- \ mathbf {i} b + \ mathbf {j} a)}$

отправит (0, 0, 1) в ( a, b, c). Таким образом, слой ( a, b, c) задается кватернионами вида q ( a, b, c) q θ, которые являются точками S ³

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2 (1 + c)}}} {\ Big (} (1 + c) \ cos (\ theta), a \ sin (\ theta) -b \ cos (\ theta), a \ cos (\ theta) + b \ sin (\ theta), (1 + c) \ sin (\ theta) {\ Big)}. \, \!}$

Поскольку умножение на q ( a, b, c) действует как вращение кватернионного пространства, слой - это не просто топологическая окружность, это геометрическая окружность.

Последний слой для (0, 0, −1) может быть задан путем определения q (0,0, −1) равным i, что дает

${\ Displaystyle {\ Big (} 0, \ соз (\ theta), - \ sin (\ theta), 0 {\ Big)},}$

что завершает комплект. Но обратите внимание, что это взаимно однозначное отображение между S ³ и S ² × S ¹ не является непрерывным на этой окружности, что отражает тот факт, что S ³ не является топологически эквивалентным S ² × S ¹.

Таким образом, простой способ визуализации расслоения Хопфа состоит в следующем. Любая точка на 3- сфере эквивалентна кватерниону, который, в свою очередь, эквивалентен конкретному вращению декартовой системы координат в трех измерениях. Набор всех возможных кватернионов производит набор всех возможных вращений, который перемещает вершину одного единичного вектора такой системы координат (скажем, вектора z) во все возможные точки на единичной 2- сфере. Однако фиксация вершины вектора z не определяет вращение полностью; дальнейшее вращение возможно о г - ось. Таким образом, 3- сфера отображается на 2- сферу плюс одно вращение.

Вращение можно представить с помощью углов Эйлера θ, φ и ψ. Отображение Хопфа отображает вращение в точку на 2-сфере, задаваемую θ и φ, а соответствующая окружность параметризуется ψ. Обратите внимание, что когда θ = π, углы Эйлера φ и ψ не определены должным образом по отдельности, поэтому у нас нет взаимно-однозначного отображения (или взаимно-однозначного отображения) между 3-тором (θ, φ, ψ) и S ³.

Гидравлическая механика

Если расслоение Хопфа рассматривается как векторное поле в трехмерном пространстве, то существует решение (сжимаемого, невязкого) уравнения Навье-Стокса гидродинамики, в котором жидкость течет по окружностям проекции расслоения Хопфа. в трехмерном пространстве. Размер скоростей, плотность и давление могут быть выбраны в каждой точке, чтобы удовлетворить уравнениям. Все эти величины падают до нуля при удалении от центра. Если a - расстояние до внутреннего кольца, поля скоростей, давления и плотности определяются как:

${\ displaystyle \ mathbf {v} (x, y, z) = A \ left (a ^ {2} + x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} \ right) ^ {- 2 } \ left (2 (-ay + xz), 2 (ax + yz), a ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2} + z ^ {2} \ right)}$

${\ displaystyle p (x, y, z) = - A ^ {2} B \ left (a ^ {2} + x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} \ right) ^ { -3},}$

${\ displaystyle \ rho (x, y, z) = 3B \ left (a ^ {2} + x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} \ right) ^ {- 1}}$

для произвольных констант A и B. Подобные картины полей обнаруживаются и в солитонных решениях магнитогидродинамики :

Конструкция Хопфа, рассматриваемая как расслоение p: S ³ → CP ¹, допускает несколько обобщений, которые также часто называют расслоениями Хопфа. Во-первых, можно заменить проективную прямую n- мерным проективным пространством. Во-вторых, можно заменить комплексные числа любой (действительной) алгеброй с делением, включая (для n = 1) октонионы.

Реальные расслоения Хопфа

Настоящий вариант расслоения Хопфа получается относительно окружности S ¹ как подмножество R ² обычным способом и путем идентификации диаметрально противоположные точки. Это дает расслоение S ¹ → RP ¹ над вещественной проективной прямой со слоем S ⁰ = {1, −1}. Подобно тому, как CP ¹ диффеоморфен сфере, RP ¹ диффеоморфен окружности.

В более общем случае п -сферы S ^п волокон над реальным проективное пространство RP ^п со слоем S ⁰.

Комплексные расслоения Хопфа

Конструкция Хопфа дает круговые расслоения p  : S ^{2 n +1} → CP ⁿ над комплексным проективным пространством. Фактически это ограничение тавтологического линейного расслоения над CP ⁿ на единичную сферу в C ^{n +1}.

Кватернионные расслоения Хопфа

Точно так же можно рассматривать S ^{4 n + 3} как лежащее в H ^{n + 1} ( кватернионное n -пространство) и разложить на единичное кватернионное (= S ³) умножение, чтобы получить кватернионное проективное пространство HP ⁿ. В частности, поскольку S ⁴ = HP ¹, существует расслоение S ⁷ → S ⁴ со слоем S ³.

Октонионные расслоения Хопфа

Аналогичная конструкция с октонионами дает расслоение S ¹⁵ → S ⁸ со слоем S ⁷. Но сфера S ³¹ не расслаивается над S ¹⁶ волокном S ¹⁵. Можно рассматривать S ⁸ как октонионную проективную прямую OP ¹. Хотя можно также определить октонионную проективную плоскость OP ², сфера S ²³ не расслаивается над OP ² со слоем S ⁷.

Волокна между сферами

Иногда термин «расслоение Хопфа» ограничивается расслоениями между сферами, полученными выше, которые

• S ¹ → S ¹ с волокном S ⁰
• S ³ → S ² с волокном S ¹
• S ⁷ → S ⁴ с волокном S ³
• S ¹⁵ → S ⁸ с волокном S ⁷

Как следствие теоремы Адамса, пучки волокон со сферами в качестве общего пространства, базового пространства и волокна могут встречаться только в этих измерениях. Пучки волокон с аналогичными свойствами, но отличающиеся от расслоений Хопфа, были использованы Джоном Милнором для создания экзотических сфер.

Слои расслоения Хопфа стереографически проектируются на семейство окружностей Вильярсо в R ³.

Расслоение Хопфа имеет много значений, одни исключительно привлекательные, другие - более глубокие. Например, стереографическая проекция S ³ → R ³ индуцирует замечательную структуру в R ³, которая, в свою очередь, освещает топологию связки ( Lyons 2003). Стереографическая проекция сохраняет круги и отображает волокна Хопфа в геометрически совершенные круги в R ^3, заполняющие пространство. Здесь есть одно исключение: круг Хопфа, содержащий точку проекции, отображается в прямую линию в R ³ - «круг через бесконечность».

Слои над окружностью широты на S ² образуют тор в S ³ (топологически тор является произведением двух окружностей), и они проецируются на вложенные торы в R ^3, которые также заполняют пространство. Отдельные волокна сопоставляются с окружностями Вильярсо на этих торах, за исключением круга, проходящего через точку проекции, и круга, проходящего через его противоположную точку : первая соответствует прямой линии, вторая - единичной окружности, перпендикулярной и центрированной на, эта линия, которую можно рассматривать как вырожденный тор, малый радиус которого уменьшился до нуля. Каждое другое изображение волокна также окружает линию, и поэтому в силу симметрии каждый круг связан через каждый круг как в R ^{3, так} и в S ³. Два таких соединительных круга образуют связь Хопфа в R ^3.

Хопф доказал, что отображение Хопфа имеет инвариант Хопфа 1 и, следовательно, не гомотопно нулю. На самом деле это порождает гомотопическую группу П 3 ( S ²) и имеет бесконечный порядок.

В квантовой механике сфера Римана известна как сфера Блоха, а расслоение Хопфа описывает топологическую структуру квантово-механической двухуровневой системы или кубита. Точно так же топология пары запутанных двухуровневых систем задается расслоением Хопфа

${\ displaystyle S ^ {3} \ hookrightarrow S ^ {7} \ to S ^ {4}.}$

( Моссери и Дандолофф 2001).

Расслоение Хопфа эквивалентно структуре расслоения монополя Дирака.

1. ^ Это разделение 3 -сферы на непересекающиеся большие круги возможно, потому что, в отличие от 2- сферы, отдельные большие круги 3- сферы не должны пересекаться.
2. ^ кватернионное волокно Хопфа, ncatlab.org. https://ncatlab.org/nlab/show/quaternionic+Hopf+fibration
3. ^ Смит, Бенджамин. "Заметки о расслоении Хопфа Бенджамина Х. Смита" (PDF). Архивировано из оригинального (PDF) 14 сентября 2016 года.
4. ^ Камчатнов, AM (1982), Топологические солитоны в магнитогидродинамике (PDF)
5. Перейти ↑ Besse, Arthur (1978). Коллекторы, все геодезические которых закрыты. Springer-Verlag. ISBN   978-3-540-08158-6. (§0.26 на странице 6)
6. ^ sci.math.research 1993 тема "Сферы, расслоенные сферами"
7. ^ Фридман, Джон Л. (июнь 2015 г.). «Историческая справка о связках волокон». Физика сегодня. 68 (6): 11. Bibcode : 2015PhT.... 68f..11F. DOI : 10.1063 / PT.3.2799.

• Кейли, Артур (1845), "О некоторых результатах, связанных с кватернионов", Philosophical Magazine, 26 (171): 141-145, DOI : 10,1080 / 14786444508562684 ; переиздано как статья 20 в Cayley, Arthur (1889), «Сборник математических статей Артура Кэли», I, (1841–1853), Cambridge University Press, стр. 123–126
• Хопфа, Heinz (1931), "Über умереть Abbildungen дер dreidimensionalen Sphäre Ауф умереть Kugelfläche", Mathematische Annalen, Берлин: Springer, 104 (1): 637-665, DOI : 10.1007 / BF01457962, ISSN   0025-5831, S2CID   123533891
• Hopf, Heinz (1935), "Uber die Abbildungen von Sphären auf Sphären niedrigerer Dimension", Fundamenta Mathematicae, Варшава: Polish Acad. Наук,. 25: 427-440, DOI : 10,4064 / FM-25-1-427-440, ISSN   0016-2736
• Lyons, David W. (апрель 2003), "Элементарный Введение в Хопфа Расслоение" (PDF), математический журнал, 76 (2): 87-98, DOI : 10,2307 / 3219300, ISSN   0025-570X, JSTOR   3219300
• Mosseri, R.; Дандолофф, Р. (2001), «Геометрия запутанных состояний, сферы Блоха и расслоения Хопфа», Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 34 (47): 10243–10252, arXiv : Quant-ph / 0108137, Bibcode : 2001JPhA... 3410243M, DOI : 10,1088 / 0305-4470 / 34/47/ 324, S2CID   119462869.
• Стинрод, Норман (1951), Топология пучков волокон, PMS 14, Princeton University Press (опубликовано в 1999 году), ISBN   978-0-691-00548-5
• Урбантке, HK (2003), «Расслоение Хопфа - семь раз в физике», Journal of Geometry and Physics, 46 (2): 125–150, Bibcode : 2003JGP.... 46..125U, doi : 10.1016 / S0393 -0440 (02) 00121-3
• Замбой, Михал (8 января 2021 г.). «Синтетическое построение расслоения Хопфа в двойной ортогональной проекции 4-пространства». arXiv : 2003.09236v2 [ math.HO ].

• "Расслоение Хопфа", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Размеры Математические главы 7 и 8 иллюстрируют расслоение Хопфа с помощью анимированной компьютерной графики.
• Элементарное введение в расслоение Хопфа Дэвида В. Лайонса ( PDF )
• Анимация на YouTube, показывающая динамическое сопоставление точек 2-сферы с кругами в 3-сфере, созданная профессором Найлзом Джонсоном.
• YouTube-анимация построения 120- ячеечной клетки. Автор Джан Марко Тодеско показывает расслоение Хопфа 120-ячеечной клетки.
• Видео одного 30-ячеечного кольца из 600-ячеечного с http://page.math.tu-berlin.de/~gunn/.
• Интерактивная визуализация сопоставления точек на 2-сфере с кругами в 3-сфере