Круги Вильярсо

Круги Вильярсо как пересечение тора и плоскости Концептуальная анимация, показывающая, как наклонный разрезанный тор выявляет пару кругов, известных как круги Вильярсо

В геометрии, круги Вильярсо представляют собой пару кругов получается путем разрезания тора тора наискосок через центр под специальным углом. Для произвольной точки на торе через нее можно провести четыре окружности. Один находится в плоскости (содержащей точку), параллельной экваториальной плоскости тора. Другой - перпендикулярно к нему. Два других - это круги Вильярсо. Они названы в честь французского астронома и математика Ивона Вильярсо (1813–1883). Мангейм (1903) показал, что окружности Вильярсо пересекаются со всеми параллельными круговыми поперечными сечениями тора под одним и тем же углом, и этот результат, по его словам, представил на конгрессе в 1891 году полковник Шёльчер.

• 1 Пример
• 2 Существование и уравнения
• 3 Заполнение пространства
• 4 См. Также
• 5 Ссылки
• 6 Внешние ссылки

Например, предположим, что большой радиус тор равен 5, а малый радиус равен 3. Это означает, что тор представляет собой объединение определенных окружностей радиуса три, центры которых находятся на окружности радиуса пять в плоскости xy. Точки на этом торе удовлетворяют следующему уравнению:

$0\; =\; (x\; 2\; +\; y\; 2\; +\; z\; 2\; +\; 16)\; 2\; -\; 100\; (x\; 2\; +\; y\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; =\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; +\; z\; ^\; \{2\}\; +16)\; ^\; \{2\}\; -100\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}).\; \backslash ,\; \backslash !\; \}$

Нарезка плоскостью z = 0 дает две концентрические окружности, x + y = 2 и x + y = 8. Нарезка плоскостью x = 0 дает два расположенных бок о бок окружности, (y - 5) + z = 3 и (y + 5) + z = 3.

Два примера окружностей Вилларсо могут быть созданы путем разрезания плоскостью 3x = 4z. Один с центром в (0, +3, 0), а другой в (0, -3, 0); оба имеют радиус пять. Их можно записать в параметрической форме как

$(x,\; y,\; z)\; =\; (4\; cos\; \; \vartheta ,\; +\; 3\; +\; 5\; sin\; \; \vartheta ,\; 3\; cos\; \; \vartheta )\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; y,\; z)\; =\; (4\; \backslash \; cos\; \backslash \; vartheta,\; +\; 3\; +\; 5\; \backslash \; sin\; \backslash \; vartheta,\; 3\; \backslash \; cos\; \backslash \; vartheta)\; \backslash ,\; \backslash !\}$

и

$(x,\; y,\; z)\; =\; (4\; cos\; \; \vartheta ,\; -\; 3\; +\; 5\; sin\; \; \vartheta ,\; 3\; cos\; \; \vartheta ).\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; y,\; z)\; =\; (4\; \backslash \; cos\; \backslash \; vartheta,\; -3\; +\; 5\; \backslash \; sin\; \backslash \; vartheta,\; 3\; \backslash \; cos\; \backslash \; vartheta).\; \backslash ,\; \backslash !\}$

Выбрана плоскость разреза касательная к тору в двух точках, проходящая через его центр. Она касается в точках (⁄ 5, 0, ⁄ 5) и в (⁄ 5, 0, ⁄ 5). Угол среза однозначно определяется размерами выбранного тора. Вращение любой такой плоскости вокруг оси z дает все окружности Вилларсо для этого тора.

Тор: круги Вильярсо. На нижнем изображении проекция ортогональна на плоскость сечения. Отсюда возникает истинная форма кругов. Тор с двумя пучками кругов Вильярсо Круги Вильярсо (пурпурный, зеленый), проходящие через заданную точку (красный). Для любой точки на торе существует четыре окружности, содержащие эту точку.

Доказательство существования окружностей может быть построено на том факте, что плоскость сечения касается тора в двух точках. Одна характеристика тора состоит в том, что это поверхность вращения. Не умаляя общности, выберите систему координат так, чтобы осью вращения была ось z. Начните с круга радиуса r в плоскости xz с центром в точке (R, 0, 0).

$0\; =\; (x\; -\; R)\; 2\; +\; z\; 2\; -\; r\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; =\; (xR)\; ^\; \{2\}\; +\; z\; ^\; \{2\}\; -r\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$

Подметание заменяет x на (x + y), а очистка квадратного корня дает уравнение четвертой степени.

$0\; =\; (x\; 2\; +\; y\; 2\; +\; z\; 2\; +\; R\; 2\; -\; r\; 2)\; 2-4\; R\; 2\; (x\; 2\; +\; у\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; =\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; +\; z\; ^\; \{2\}\; +\; R\; ^\; \{2\}\; -r\; ^\; \{2\})\; ^\; \{2\}\; -4R\; ^\; \{2\}\; (x\; ^\; \{\; 2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}).\; \backslash ,\; \backslash !\}$

Поперечное сечение скользящей поверхности в плоскости xz теперь включает в себя второй круг.

$0\; =\; (х\; +\; R)\; 2\; +\; z\; 2\; -\; r\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; =\; (x\; +\; R)\; ^\; \{2\}\; +\; z\; ^\; \{2\}\; -r\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$

Эта пара окружностей имеет две общие внутренние касательные, с наклоном в начале координат прямоугольного треугольника с гипотенузой R и противоположной стороной r (которая имеет прямой угол в точке касания). Таким образом, z / x равно ± r / (R - r), и выбор знака плюс дает уравнение плоскости, касательной к тору.

$0\; =\; xr\; -\; z\; R\; 2\; -\; r\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; =\; xr-z\; \{\backslash \; sqrt\; \{R\; ^\; \{2\}\; -r\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$

По симметрии, вращения этой плоскости вокруг оси z задайте все касательные плоскости через центр. (Существуют также горизонтальные плоскости, касательные к верхней и нижней части тора, каждая из которых дает «двойной круг», но не круги Вилларсо.)

$0\; =\; xr\; cos\; \; \phi \; +\; yr\; sin\; \; \phi \; -\; z\; R\; 2\; -\; r\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; =\; xr\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; +\; yr\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi\; -z\; \{\backslash \; sqrt\; \{R\; ^\; \{2\}\; -r\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$

Мы можем вычислить пересечения плоскости (ей) с тором аналитически, и таким образом показать, что результатом является симметричная пара окружностей, одна из которых является окружностью радиуса R с центром в

$(-\; r\; sin\; \; \phi ,\; r\; cos\; \; \phi ,\; 0).\; \{\backslash \; displaystyle\; (-r\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi,\; r\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi,\; 0).\; \backslash ,\; \backslash !\}$

Подобное обращение можно найти в Coxeter (1969).

Более абстрактный - и более гибкий - подход был описан Хиршем (2002) с использованием алгебраической геометрии в проективном контексте. В однородном уравнении четвертой степени для тора

$0\; =\; (x\; 2\; +\; y\; 2\; +\; z\; 2\; +\; R\; 2\; w\; 2\; -\; r\; 2\; w\; 2)\; 2\; -\; 4\; R\; 2\; w\; 2\; (x\; 2\; +\; y\; 2),\; \{\; \backslash \; displaystyle\; 0\; =\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; +\; z\; ^\; \{2\}\; +\; R\; ^\; \{2\}\; w\; ^\; \{2\}\; -r\; ^\; \{2\}\; w\; ^\; \{2\})\; ^\; \{2\}\; -\; 4R\; ^\; \{2\}\; w\; ^\; \{2\}\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}),\; \backslash ,\; \backslash !\}$

установка w равным нулю дает пересечение с «плоскостью на бесконечности» и уменьшает уравнение для

$0\; =\; (x\; 2\; +\; y\; 2\; +\; z\; 2)\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; =\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; +\; z\; ^\; \{2\})\; ^\; \{2\}.\; \backslash ,\; \backslash !\}$

Это пересечение - двойная точка, фактически двойная точка считается дважды. Кроме того, он входит в каждую касательную плоскость. Две точки касания также являются двойными точками. Таким образом, кривая пересечения, которая, согласно теории, должна быть квартикой, содержит четыре двойные точки. Но мы также знаем, что квартика с более чем тремя двойными точками должна множиться (она не может быть неприводимой ), и по симметрии множители должны быть двумя конгруэнтными кониками. Хирш распространяет этот аргумент на любую поверхность вращения, порожденную коникой, и показывает, что пересечение с плоскостью, касающейся бита, должно давать две коники того же типа, что и образующая, когда кривая пересечения является реальной.

Тор играет центральную роль в расслоении Хопфа 3-сферы S над обычной сферой S, имеющей окружности, S, как волокна. Когда 3-сфера отображается в евклидово 3-пространство с помощью стереографической проекции, обратное изображение круга широты на S под картой волокон представляет собой тор, а сами волокна - это круги Вильярсо. Banchoff (1990) исследовал такой тор с помощью изображений компьютерной графики. Один из необычных фактов о кругах состоит в том, что каждый соединяется через все остальные, не только в своем собственном торе, но и в совокупности, заполняющей все пространство; Бергер (1987) обсуждает и рисует.

• Расслоение Хопфа
• Торическое сечение
• Vesica piscis

• Banchoff, Thomas F. (1990). За пределами третьего измерения. Научная американская библиотека. ISBN 978-0-7167-5025-3.
• Бергер, Марсель (1987). «§18.9: круги Вилларсо и паратаксия». Геометрия II. Springer. С. 304–305. ISBN 978-3-540-17015-0.
• Коксетер, Х.С.М. (1969). Введение в геометрию (2 / е изд.). Вайли. С. 132–133. ISBN 978-0-471-50458-0.
• Хирш, Антон (2002). «Продолжение« сечения Вильярсо »до поверхностей вращения с образующей коникой». Журнал геометрии и графики. Лемго, Германия: Heldermann Verlag. 6 (2): 121–132. ISSN 1433-8157.
• Mannheim, M.A. (1903). "Sur le théorème de Schoelcher". Nouvelles Annales de Mathématiques. Париж: Carilian-Gœury et Vor. Далмонт. 4-я серия, том 3: 105–107.
• Stachel, Hellmuth (2002). "Замечания к статье А. Хирша о разделах Вильярсо". Журнал геометрии и графики. Лемго, Германия: Heldermann Verlag. 6 (2): 133–139. ISSN 1433-8157.
• Ивон Вильярсо, Антуан Жозеф Франсуа (1848). «Теорема сюр ле Тор». Nouvelles Annales de Mathématiques. Серия 1. Париж: Готье-Виллар. 7 : 345–347. OCLC: 2449182.

Викискладе есть медиафайлы, связанные с кругами Вильярсо.

• Вайсттайн, Эрик У. «Круги Вильярсо». MathWorld.
• Плоский тор в трех сферах
• (на французском языке) Круги тора (Les cercles du tore)