Войти
Единичный куб (сторона = 1) и куб с удвоенным объемом (сторона = √2 = 1,2599210498948732… OEIS : A002580 ).Удвоение куба, также известное как проблема Делиана, является древней геометрической проблемой. Учитывая ребро куба , задача требует построения ребра второго куба, объем которого вдвое больше, чем у первого. Как и в случае связанных задач квадрат круга и деление угла пополам, теперь известно, что удвоение куба невозможно с использованием только циркуля и линейки, но еще в древности были известны решения, в которых использовались другие инструменты.
египтяне, индейцы и особенно греки знали об этой проблеме и предприняли много бесполезных попыток решить то, что они считали упорная, но разрешимая проблема. Однако отсутствие решения на основе циркуля и линейки было окончательно доказано Пьером Ванцелем в 1837 году.
С алгебраической точки зрения удвоение единичного куба требует построения отрезка отрезка длины x, где x = 2; другими словами, x = √2, кубический корень из двух . Это связано с тем, что куб со стороной 1 имеет объем 1 = 1, а куб с удвоенным объемом (объем 2) имеет длину стороны корня куба, равного 2. Невозможность удвоение куба поэтому эквивалентно утверждению, что √2 не является конструктивным числом. Это является следствием того факта, что координаты новой точки, построенной с помощью циркуля и линейки, являются корнями многочленов над полем, созданным координатами предыдущих точек, не более степени, чем квадратичный. Это означает, что степень расширения поля , сгенерированного конструируемой точкой, должна быть степенью 2. Однако расширение поля, генерируемое √2, имеет степень 3.
Начнем с отрезка единичной линии, определяемого точками (0,0) и (1,0) на плоскости . Нам нужно построить отрезок прямой, определяемый двумя точками, разделенными расстоянием √2. Легко показать, что конструкции компаса и линейки позволили бы такому сегменту линии свободно перемещаться, чтобы касаться исходной точки, параллельно с единичным сегментом прямой - так что эквивалентно мы можем рассматривать задачу построения отрезка от (0,0) до (√2, 0), что влечет за собой построение точки (√2, 0).
Соответственно, инструменты циркуля и линейки позволяют нам создавать окружности с центром на одной ранее определенной точке и проходящей через другую, а также создавать линии, проходящие через две ранее определенные точки. Любая вновь определенная точка возникает либо в результате пересечения двух таких окружностей, как пересечение окружности и линии, либо как пересечение двух прямых. Упражнение элементарной аналитической геометрии показывает, что во всех трех случаях координаты x и y вновь определенной точки удовлетворяют полиному степени не выше квадратичной с коэффициентами , которые представляют собой сложение, вычитание, умножение и деление с использованием координат ранее определенных точек (и рациональных чисел). В более абстрактной терминологии, новые координаты x и y имеют минимальные многочлены степени не более 2 по подполе ℝ, сгенерированным предыдущими координатами.. Следовательно, градус расширения поля , соответствующего каждой новой координате, равен 2 или 1.
Итак, учитывая координату любой построенной точки, мы можем продолжить индуктивно назад через координаты x и y точек в том порядке, в котором они были определены, пока мы не достигнем исходной пары точек (0,0) и (1,0). Поскольку каждое расширение поля имеет степень 2 или 1, и поскольку расширение поля по ℚ координат исходной пары точек явно имеет степень 1, это следует из правила башни что степень расширения поля на любой координаты построенной точки является степенью 2.
.Теперь p (x) = x - 2 = 0, как легко видеть, неприводимо over ℤ - любая факторизация будет включать линейный множитель (x - k) для некоторого k ∈ ℤ, поэтому k должен быть корнем из p (x); но также k должно делить 2, то есть k = 1, 2, −1 или −2, и ни один из них не является корнем p (x). По лемме Гаусса, p (x) также неприводим над ℚ и, таким образом, является минимальным многочленом над ℚ для √2. Расширение поля ℚ (√2): ℚ, следовательно, имеет степень 3. Но это не степень двойки, поэтому согласно вышеизложенному, √2 не является координатой конструктивной точки, и, следовательно, отрезок прямой √2 не может можно построить, а куб нельзя удвоить.
Проблема получила свое название от истории о гражданах Делоса, которые консультировались с оракулом в Дельфи, чтобы узнать, как чтобы победить чуму, посланную Аполлоном. Согласно Плутарху, именно граждане Делоса консультировались с оракулом в Дельфах в поисках решения своих внутренних политических проблем в время, которое усилило отношения между гражданами. Оракул ответил, что они должны удвоить размер жертвенника Аполлону, который был обычным кубом. Ответ показался делийцам странным, и они посоветовались с Платоном, который смог интерпретировать оракул как математическую задачу удвоения объема данного куба, объяснив, таким образом, оракул как совет Аполлона для граждан. Делоса заниматься изучением геометрии и математики, чтобы успокоить свои страсти.
Согласно Плутарху, Платон дал проблема для Евдокса и Архита и Менехма, которые решили проблему с помощью механических средств, получив упрек от Платона за то, что он не решил проблему с помощью pure геометрия (Plut., Quaestiones convivales VIII.ii, 718ef). Возможно, поэтому в 350-х гг. До н. Э. Автор псевдоплатонического произведения Сизиф (388e) называет проблему нерешенной. Однако в другой версии этой истории (приписываемой Эратосфену Евтокием из Аскалонского ) говорится, что все три найденных решения были слишком абстрактными, чтобы иметь практическую ценность.
Существенным достижением в поиске решения проблемы стало открытие Гиппократом Хиосским, что это эквивалентно нахождению двух средних пропорциональных между отрезком линии и другим отрезком с удвоенной длиной. В современных обозначениях это означает, что для заданных сегментов длиной a и 2a дублирование куба эквивалентно нахождению сегментов длиной r и s, так что
В свою очередь, это означает, что
![{\ displaystyle r = a \ cdot {\ sqrt [{3}] {2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccf945de0b9fdce986be7a4f00edb519af613276)
Но Пьер Ванцель доказал в 1837 году, что кубический корень из 2 не конструктивно ; то есть, его нельзя построить с помощью линейки и циркуля.
Исходное решение Менахма включает пересечение двух конических кривых. Другие, более сложные методы удвоения куба включают neusis, циссоиду Диокла, раковину Никомеда или линию Филона. Пандрозия, женщина-математик из Древней Греции, нашла численно точное приближенное решение, используя плоскости в трех измерениях, но была подвергнута резкой критике со стороны Паппа Александрийского за то, что он не предоставил правильного математическое доказательство. Архит решил проблему в 4 веке до нашей эры, используя геометрическое построение в трех измерениях, определив определенную точку как пересечение трех поверхностей вращения.
Ложные утверждения об удвоении куба с помощью циркуля и линейки изобилуют математической кривошипной литературой (псевдоматематикой ).
Оригами также можно использовать для построения кубического корня из двух, складывая бумагу.
Существует простая конструкция neusis с использованием отмеченной линейки для длины, равной кубическому корню из 2-кратной другой длины.
Тогда AG - заданная длина, умноженная на √2.
В теории музыки естественным аналогом удвоения является октава (музыкальный интервал, вызванный удвоением частоты тон), а естественный аналог куба - деление октавы на три части, каждая из которых имеет одинаковый интервал. В этом смысле проблема удвоения куба решается с помощью большой трети в равной темперации. Это музыкальный интервал, составляющий ровно одну треть октавы. Он умножает частоту тона на 2 = 2 = √2, длину стороны куба Делиана.
