Диофантово уравнение

редактировать

Полиномиальное уравнение, целочисленное решение которого ищется

Поиск всех прямоугольных треугольников с целыми сторонами эквивалентен для решения диофантова уравнения a + b = c.

В математике диофантово уравнение представляет собой полиномиальное уравнение, обычно состоящее из двух или более неизвестные, такие, что ищутся или изучаются только целые решения (целочисленное решение такое, что все неизвестные принимают целые значения). линейное диофантово уравнение приравнивает сумму двух или более одночленов, каждый из степени 1 в одной из переменных, к константе. Экспоненциальное диофантово уравнение - это уравнение, в котором показатели степени могут быть неизвестны.

Диофантовы задачи содержат меньше уравнений, чем неизвестные переменные, и включают поиск целых чисел, которые правильно работают для всех уравнений. Говоря более техническим языком, они определяют алгебраическую кривую, алгебраическую поверхность или более общий объект и спрашивают о точках решетки на нем.

Слово Диофантин относится к эллинистическому математику 3 века, Диофанту из Александрии, который изучал такие уравнения и был один из первых математиков, который ввел символизм в алгебру. Математическое исследование диофантовых проблем, начатое Диофантом, теперь называется диофантовым анализом .

Хотя отдельные уравнения представляют собой своего рода загадку и рассматривались на протяжении всей истории, формулировка общих теорий диофантовых уравнений (помимо теории <206)>квадратичные формы ) было достижением ХХ века.

Содержание

1 Примеры
2 Линейные диофантовы уравнения
- 2.1 Одно уравнение
- 2.2 Китайская теорема об остатках
- 2.3 Система линейных диофантовых уравнений
3 Однородные уравнения
- 3.1 Степень два
  - 3.1.1 Геометрическая интерпретация
  - 3.1.2 Параметризация
  - 3.1.3 Пример пифагоровых троек
4 Диофантовый анализ
- 4.1 Типичные вопросы
- 4.2 Типичная проблема
- 4.3 17-е и 18-е веков
- 4.4 Десятая проблема Гильберта
- 4.5 Диофантова геометрия
- 4.6 Современные исследования
- 4.7 Бесконечные диофантовы уравнения
5 Экспоненциальные диофантовы уравнения
6 См. также
7 Примечания
8 Ссылки
9 Дополнительная литература
10 Внешние ссылки

Примеры

В следующих диофантовых уравнениях w, x, y и z являются неизвестными, а другим буквам даны константы:

ax + by = 1	Это линейное диофантово уравнение.
w + x = y + z	Наименьшее нетривиальное решение в положительных целых числах: 12 + 1 = 9 + 10 = 1729. Известно, что в 1729 году его называли очевидным свойством такси. число (также названное числом Харди – Рамануджана ) от Рамануджана до Харди во время встречи в 1917 году. Существует бесконечно много нетривиальных решений.
x + y = z	Для n = 2 существует бесконечно много решений (x, y, z): тройки Пифагора. Для больших целых значений n Последняя теорема Ферма (первоначально заявленная в 1637 году Ферма и доказанная Эндрю Уайлсом в 1995 году) утверждает, что положительных целочисленных решений не существует (x, y, z).
x - ny = ± 1	Это уравнение Пелла, названное в честь английского математика Джона Пелла. Его изучал Брахмагупта в 7 веке, а также Ферма в 17 веке.
4 / n = 1 / x + 1 / y + 1 / z	Гипотеза Эрдеша – Страуса утверждает, что для любого положительного целого числа n ≥ 2 существует решение в x, y и z, все как положительные целые числа. Хотя обычно не указывается в полиномиальной форме, этот пример эквивалентен полиномиальному уравнению 4xyz = yzn + xzn + xyn = n (yz + xz + xy).
x + y + z = w	Неправильно предположил Эйлер об отсутствии нетривиальных решений. Элкис доказал, что имеет бесконечно много нетривиальных решений, а компьютерный поиск Фрай определяет наименьшее нетривиальное решение.

Линейные диофантовы уравнения

Одно уравнение

Простейшее линейное диофантово уравнение принимает вид ax + by = c, где a, b и c заданы целыми числами. Решения описываются следующей теоремой:

Это диофантово уравнение имеет решение (где x и y - целые числа) тогда и только тогда, когда c кратно наибольшему общему делителю чисел a и b. Более того, если (x, y) - решение, то другие решения имеют вид (x + kv, y - ku), где k - произвольное целое число, а u и v - частные от a и b (соответственно) на наибольший общий делитель a и b.

Доказательство: Если d является этим наибольшим общим делителем, тождество Безу утверждает существование целых чисел e и f таких, что ae + bf = d. Если c кратно d, то c = dh для некоторого целого h и (eh, fh) является решением. С другой стороны, для каждой пары целых чисел x и y наибольший общий делитель d чисел a и b делит ax + на. Таким образом, если уравнение имеет решение, то c должно быть кратно d. Если a = ud и b = vd, то для любого решения (x, y) имеем

a (x + kv) + b (y - ku) = ax + by + k (av - bu) = ax + by + k (udv - vdu) = ax + by,

показывая, что (x + kv, y - ku) является другим решением. Наконец, учитывая два решения, такие что ax 1 + by 1 = ax 2 + by 2 = c, можно сделать вывод, что u ( x 2 - x 1) + v (y 2 - y 1) = 0. Поскольку u и v равны coprime, Лемма Евклида показывает, что v делит x 2 - x 1, и, следовательно, существует целое число k такое, что x 2 - x 1 = kv и y 2 - y 1 = −ku. Следовательно, x 2 = x 1 + kv и y 2 = y 1 - ku, что завершает доказательство.

Китайская теорема об остатках

Китайская теорема об остатках описывает важный класс линейных диофантовых систем уравнений: let n 1,…, n k быть k попарно взаимно простыми целыми числами больше единицы, a 1,…, a k быть k произвольными целыми числами, а N быть произведением n 1 ··· n k. Китайская теорема об остатках утверждает, что следующая линейная диофантова система имеет ровно одно решение (x, x 1,…, x k) такое, что 0 ≤ x < N, and that the other solutions are obtained by adding to x a multiple of N:

x = a 1 + N 1 Икс 1 ⋮ Икс = АК + NKXK {\ Displaystyle {\ begin {Выровнено} х = а_ {1} + n_ {1} \, x_ {1} \\ \ vdots \\ x = a_ {k} + n_ {k} \, x_ {k} \ end {align}}}

{\begin{aligned}x=a_{1}+n_{1}\,x_{1}\\\vdots \\x=a_{k}+n_{k}\,x_{k}\end{aligned}}

Система линейных диофантовых уравнений

В более общем смысле, каждая система линейных диофантовых уравнений может быть решена путем вычисления Нормальная форма Смита своей матрицы аналогична использованию сокращенной формы эшелона строк для решения системы линейных уравнений над полем. Используя матричную запись, можно записать любую систему линейных диофантовых уравнений

AX = C,

, где A - матрица целых чисел размером m × n, X - матрица столбца n × 1 неизвестных, а C - матрица-столбец из целых чисел размером m × 1.

Вычисление нормальной формы Смита для A дает две унимодулярные матрицы (то есть матрицы, обратимые над целыми числами и имеющие ± 1 в качестве определителя) U и V соответствующих размеров m × m и n × n, такие, что матрица

B = [b i, j ] = UAV

такая, что b i, i не равно нулю для i не больше некоторого целого числа k, а все остальные элементы равны нулю. Таким образом, решаемая система может быть переписана как

B (VX) = UC.

Вызов y i записей VX и d i записей D = UC, это приводит к системе

bi, i yi= d i для 1 ≤ i ≤ k,

0 y i = d i for k < i ≤ n.

Эта система эквивалентна данной в следующем смысле: матрица-столбец целых чисел x является решением данной системы тогда и только тогда, когда x = Vy для некоторой матрицы-столбца целых чисел y такое, что By = D.

Отсюда следует, что система имеет решение тогда и только тогда, когда b i, i делит d i для i ≤ k и d i = 0 для i>k. Если это условие выполняется, решения данной системы:

V [d 1 b 1, 1 ⋮ dkbk, khk + 1 ⋮ hn], {\ displaystyle V \, \ left [{\ begin {array} { c} {\ frac {d_ {1}} {b_ {1,1}}} \\\ vdots \\ {\ frac {d_ {k}} {b_ {k, k}}} \\ h_ {k + 1} \\\ vdots \\ h_ {n} \ end {array}} \ right] \,,}

V\,\left[{\begin{array}{c}{\frac {d_{1}}{b_{1,1}}}\\\vdots \\{\frac {d_{k}}{b_{k,k}}}\\h_{k+1}\\\vdots \\h_{n}\end{array}}\right]\,,

где h k + 1,..., h n - произвольные целые числа.

Нормальная форма Эрмита также может использоваться для решения систем линейных диофантовых уравнений. Однако нормальная форма Эрмита напрямую не дает решения; чтобы получить решения из нормальной формы Эрмита, необходимо последовательно решить несколько линейных уравнений. Тем не менее, Ричард Зиппель писал, что нормальная форма Смита «несколько больше, чем фактически требуется для решения линейных диофантовых уравнений. Вместо того, чтобы приводить уравнение к диагональной форме, нам нужно только сделать его треугольным, что называется нормальной формой Эрмита. Нормальную форму Эрмита вычислить значительно проще, чем нормальную форму Смита ».

Целочисленное линейное программирование сводится к поиску некоторых целочисленных решений (оптимальных в некотором смысле) линейных систем, которые включают также неравенства. Таким образом, системы линейных диофантовых уравнений являются базовыми в этом контексте, а в учебниках по целочисленному программированию обычно рассматриваются системы линейных диофантовых уравнений.

Однородные уравнения

Однородное диофантово уравнение является диофантовым уравнением. который определяется однородным полиномом . Типичным таким уравнением является уравнение Великой теоремы Ферма

xd + yd - zd = 0. {\ displaystyle x ^ {d} + y ^ {d} -z ^ {d} = 0.}

x^{d}+y^{d}-z^{d}=0.

Поскольку однородный многочлен от n неопределенностей определяет гиперповерхность в проективном пространстве размерности n - 1, решение однородного диофантова уравнения аналогично поиску рациональных точек проективной гиперповерхности.

Решение однородного диофантова уравнения, как правило, является очень сложной задачей, даже в простейшем нетривиальном случае трех неопределенных (в случае двух неопределенных проблема эквивалентна проверке, если рациональное число - это d-я степень другого рационального числа). Свидетельством сложности проблемы является Великая теорема Ферма (при d>2 нет целочисленного решения вышеуказанного уравнения), для решения которой потребовалось более трех столетий усилий математиков.

Для степеней выше трех наиболее известными результатами являются теоремы, утверждающие, что нет решений (например, Великая теорема Ферма) или что количество решений конечно (например, теорема Фалтинга ).

Для третьей степени существуют общие методы решения, которые работают почти со всеми уравнениями, встречающимися на практике, но неизвестен алгоритм, работающий для каждого кубического уравнения.

Степень два

Однородные диофантовы уравнения второй степени решить проще. Стандартный метод решения состоит из двух шагов. Сначала нужно найти одно решение или доказать, что решения нет. Когда решение найдено, выводятся все решения.

Для доказательства отсутствия решения можно уменьшить уравнение по модулю p. Например, диофантово уравнение

x 2 + y 2 = 3 z 2, {\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 3z ^ {2},}

x^{2}+y^{2}=3z^{2},

не имеет другого решения. чем тривиальное решение (0, 0, 0). Фактически, разделив x, y и z на их наибольший общий делитель, можно предположить, что они взаимно просты. Квадраты по модулю 4 сравнимы с 0 и 1. Таким образом, левая часть уравнения конгруэнтна 0, 1 или 2, а правая часть конгруэнтна 0 или 3. Таким образом, равенство может быть получено только если x, y и z четны и, следовательно, не взаимно просты. Таким образом, единственное решение - это тривиальное решение (0, 0, 0). Это показывает, что нет рациональной точки на окружности с радиусом $3, {\ displaystyle {\ sqrt {3}},}$ ${\sqrt {3}},$ с центром в Происхождение.

В более общем смысле, принцип Хассе позволяет решить, имеет ли однородное диофантово уравнение второй степени целочисленное решение, и вычислить решение, если оно существует.

Если известно нетривиальное целочисленное решение, все остальные решения можно получить следующим образом.

Геометрическая интерпретация

Пусть

Q (x 1,…, xn) = 0 {\ displaystyle Q (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = 0}

Q(x_{1},\ldots,x_{n})=0

- однородное диофантово уравнение, где $Q (x 1,…, xn) {\ displaystyle Q (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ $Q(x_{1},\ldots,x_{n})$ - квадратичная форма (то есть однородный многочлен степени 2) с целыми коэффициентами. Тривиальное решение - это решение, в котором все $x i {\ displaystyle x_ {i}}$ $x_{i}$ равны нулю. Если $(a 1,…, an) {\ displaystyle (a_ {1}, \ ldots, a_ {n})}$ $(a_{1},\ldots,a_{n})$ является нетривиальным целочисленным решением этого уравнения, то $(a 1,…, an) {\ displaystyle \ left (a_ {1}, \ ldots, a_ {n} \ right)}$ $\left(a_{1},\ldots,a_{n}\right)$ - однородные координаты элемента рациональная точка гиперповерхности, заданной Q. И наоборот, если $(p 1 q,…, pnq) {\ displaystyle \ left ({\ frac {p_ {1}} {q}}, \ ldots, {\ frac {p_ {n}} {q}} \ right)}$ $\left({\ frac {p_{1}}{q}},\ldots,{\frac {p_{n}}{q}}\right)$ - однородные координаты рациональной точки этой гиперповерхности, где $q, p 1,…, pn {\ displaystyle q, p_ {1}, \ ldots, p_ {n}}$ $q,p_{1},\ldots,p_{n}$ - целые числа, тогда $(p 1,…, pn) {\ displaystyle \ left (p_ {1}, \ ldots, p_ {n} \ right)}$ $\left(p_{1},\ldots,p_{n}\right)$ - целочисленное решение диофантова уравнения. Более того, целочисленные решения, определяющие данную рациональную точку, представляют собой все последовательности вида

(kp 1 d,…, kpnd), {\ displaystyle \ left (k {\ frac {p_ {1}} {d}}, \ ldots, k {\ frac {p_ {n}} {d}} \ right),}

\left(k{\frac {p_{1}}{d}},\ldots,k{\frac {p_{n}}{d}}\right),

где k - любое целое число, а d - наибольший общий делитель $p 1. {\ displaystyle p_ {1}.}$ $p_{1}.$

Отсюда следует, что решение диофантова уравнения $Q (x 1,…, xn) = 0 {\ displaystyle Q (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})) = 0}$ $Q(x_{1},\ldots,x_{n})=0$ полностью сводится к нахождению рациональных точек соответствующей проективной гиперповерхности.

Параметризация

Пусть теперь $A = (a 1,…, an) {\ displaystyle A = \ left (a_ {1}, \ ldots, a_ {n} \ right)}$ $A=\left(a_{1},\ldots,a_{n}\right)$ быть целым решением уравнения $Q (x 1,…, xn) = 0. {\ displaystyle Q (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = 0.}$ $Q(x_{1},\ldots,x_{n})=0.$ Поскольку Q является многочленом степени два, прямая, проходящая через точку A, пересекает гиперповерхность в одной другой точке, что является рациональным тогда и только тогда, когда прямая рациональна (то есть, если прямая определяется рациональными параметрами). Это позволяет параметризовать гиперповерхность прямыми, проходящими через A, а рациональные точки - это те, которые получаются из рациональных линий, то есть те, которые соответствуют рациональным значениям параметров.

Точнее, можно поступить следующим образом.

Переставляя индексы, можно без ограничения общности предположить, что $an ≠ 0. {\ displaystyle a_ {n} \ neq 0.}$ $a_n \ ne 0.$ Тогда можно перейти к аффинный случай с учетом аффинной гиперповерхности, определенной как

q (x 1,…, xn - 1) = Q (x 1,…, xn - 1, 1), {\ displaystyle q ( x_ {1}, \ ldots, x_ {n-1}) = Q (x_ {1}, \ ldots, x_ {n-1}, 1),}

q(x_{1},\ldots,x_{n-1})=Q(x_{1 },\ldots,x_{n-1},1),

который имеет рациональную точку

R = (r 1,…, rn - 1) = (a 1 an,…, an - 1 an). {\ displaystyle R = (r_ {1}, \ ldots, r_ {n-1}) = \ left ({\ frac {a_ {1}} {a_ {n}}}, \ ldots, {\ frac {a_) {n-1}} {a_ {n}}} \ right).}

R=(r_{1},\ldots,r_{n-1})=\left({\frac {a_{1}}{a_{n}}},\ldots,{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}\right).

Если эта рациональная точка является особой точкой, то есть если все частные производные равны нулю в точке R все прямые, проходящие через R, содержатся в гиперповерхности, и одна имеет конус . Замена переменных

yi = xi - ri {\ displaystyle y_ {i} = x_ {i} -r_ {i}}

y_{i}=x_{ i}-r_{i}

не изменяет рациональные точки и преобразует q в однородный многочлен от n - 1 переменные. В этом случае проблема может быть решена путем применения метода к уравнению с меньшим количеством переменных.

Если многочлен q является произведением линейных многочленов (возможно, с нерациональными коэффициентами), то он определяет две гиперплоскости. Пересечение этих гиперплоскостей является рациональной плоскостью и содержит рациональные особые точки. Таким образом, этот случай является частным случаем предыдущего.

В общем случае рассмотрим параметрическое уравнение линии, проходящей через R:

x 2 = r 2 + t 2 (x 1 - r 1) ⋮ xn - 1 = rn - 1 + tn - 1 (x 1 - r 1). {\ displaystyle {\ begin {align} x_ {2} = r_ {2} + t_ {2} (x_ {1} -r_ {1}) \\\ vdots \\ x_ {n-1} = r_ {n-1} + t_ {n-1} (x_ {1} -r_ {1}). \ end {align}}}

{\begin{aligned}x_{2}=r_{2}+t_{2}(x_{1}-r_{1})\\\vdots \\x_{n-1}=r_{n-1}+t_{n-1}(x_{1}-r_{1}).\end{aligned}}

Подставляя это в q, мы получаем многочлен второй степени от $x 1, {\ displaystyle x_ {1},}$ $x_{1},$ , который равен нулю для $x 1 = r 1. {\ displaystyle x_ {1} = r_ {1}.}$ $x_{1}=r_{1}.$ Таким образом, он делится на $x 1 - r 1, {\ displaystyle x_ {1} -r_ {1},}$ $x_{1}-r_{1},$ . Частное линейно по $x 1, {\ displaystyle x_ {1},}$ $x_{1},$ и может быть решено для выражения $x 1 {\ displaystyle x_ {1}}$ $x_{1}$ как частное двух многочленов степени не выше двух от $t 2,…, tn - 1, {\ displaystyle t_ {2}, \ ldots, t_ {n-1},}$ $t_{2},\ldots,t_{n-1},$ с целыми коэффициентами:

x 1 = f 1 (t 2,…, tn - 1) fn (t 2,…, tn - 1). {\ displaystyle x_ {1} = {\ frac {f_ {1} (t_ {2}, \ ldots, t_ {n-1})} {f_ {n} (t_ {2}, \ ldots, t_ {n -1})}}.}

x_{1}={\frac {f_{1}(t_{2},\ldots,t_{n- 1})}{f_{n}(t_{2},\ldots,t_{n-1})}}.

Подставляя это в выражения для $x 2,…, xn - 1, {\ displaystyle x_ {2}, \ ldots, x_ {n-1},}$ $x_{2},\ldots,x_{n-1},$ для i = 1,..., n - 1,

xi = fi (t 2,…, tn - 1) fn (t 2,…, tn - 1), {\ displaystyle x_ {i} = {\ frac {f_ {i} (t_ {2}, \ ldots, t_ {n-1})} {f_ {n} (t_ {2}, \ ldots, t_ {n-1) })}},}

x_{i}={\frac {f_{i}(t_{2},\ldots,t_{n-1})}{f_{n}(t_{2},\ldots,t_{n-1})}},

где $f 1,…, fn {\ displaystyle f_ {1}, \ ldots, f_ {n}}$ $f_{1},\ldots,f_{n}$ - многочлены степени не выше двух с целым числом коэффициенты.

Тогда можно вернуться к однородному случаю. Пусть для i = 1,..., n,

F i (t 1,…, tn - 1) = t 1 2 fi (t 2 t 1,…, tn - 1 t 1), {\ displaystyle F_ {i} (t_ {1}, \ ldots, t_ {n-1}) = t_ {1} ^ {2} f_ {i} \ left ({\ frac {t_ {2}} {t_ {1 }}}, \ ldots, {\ frac {t_ {n-1}} {t_ {1}}} \ right),}

F_{i}(t_{1},\ldots,t_{n-1})=t_{1}^{2}f_{i}\left({\frac {t_{2}}{t_{1}}},\ldots,{\frac {t_{n-1}}{t_{1}}}\right),

будет гомогенизацией из $fi. {\ displaystyle f_ {i}.}$ $f_{i}.$ Эти квадратичные многочлены с целыми коэффициентами образуют параметризацию проективной гиперповерхности, определяемой Q:

x 1 = F 1 (t 1,…, tn - 1) ⋮ xn = F n (t 1,…, tn - 1). {\ displaystyle {\ begin {align} x_ {1} = F_ {1} (t_ {1}, \ ldots, t_ {n-1}) \\\ vdots \\ x_ {n} = F_ { n} (t_ {1}, \ ldots, t_ {n-1}). \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} x_ {1} = F_ {1} (t_ {1}, \ ldots, t_ {n-1}) \\\ vdots \\ x_ {n} = F_ {n} (t_{1},\ldots,t_{n-1}).\end{aligned}}}

Точка проективной гиперповерхности, определяемая Q, является рациональной тогда и только тогда, когда она может быть получена из рациональных значения $t 1,…, tn - 1. {\ displaystyle t_ {1}, \ ldots, t_ {n-1}.}$ $t_{1},\ldots,t_{n-1}.$ As $F 1,…, F n {\ displaystyle F_ {1}, \ ldots, F_ {n }}$ $F_{1},\ldots,F_{n}$ - однородные многочлены, точка не меняется, если все $ti {\ displaystyle t_ {i}}$ $t_{i}$ умножаются на одно и то же рациональное число. Таким образом, можно предположить, что $t 1,…, tn - 1 {\ displaystyle t_ {1}, \ ldots, t_ {n-1}}$ $t_{1},\ldots,t_{n-1}$ являются взаимно простыми целыми числами. Отсюда следует, что целочисленные решения диофантова уравнения - это в точности последовательности $(x 1,…, xn) {\ displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ $(x_1, \ldots, x_n)$ где, для i = 1,..., n,

xi = k F i (t 1,…, tn - 1) d, {\ displaystyle x_ {i} = k \, {\ frac {F_ {i } (t_ {1}, \ ldots, t_ {n-1})} {d}},}

x_{i}=k\,{\frac {F_{i}(t_{1},\ldots,t_{n-1})}{d}},

где k - целое число, $t 1,…, tn - 1 {\ displaystyle t_ {1 }, \ ldots, t_ {n-1}}$ $t_{1},\ldots,t_{n-1}$ - взаимно простые целые числа, а d - наибольший общий делитель n целых чисел $F i (t 1,…, tn - 1). {\ displaystyle F_ {i} (t_ {1}, \ ldots, t_ {n-1}).}$ $F_{i}(t_{1},\ldots,t_{n-1}).$

Можно было бы надеяться, что совпадение $ti {\ displaystyle t_ {i}}$ $t_{i}$ может означать, что d = 1. К сожалению, это не так, как показано в следующем разделе.

Пример троек Пифагора

Уравнение

x 2 + y 2 - z 2 = 0 {\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -z ^ {2 } = 0}

x^{2}+y^{2}-z^{2}=0

- это, вероятно, первое изученное однородное диофантово уравнение второй степени. Его решения - пифагоровы тройки. Это также однородное уравнение единичной окружности . В этом разделе мы покажем, как описанный выше метод позволяет получить формулу Евклида для генерации пифагоровых троек.

Для получения точной формулы Евклида мы начинаем с решения (-1, 0, 1), соответствующего точке (-1, 0) единичной окружности. Линия, проходящая через эту точку, может быть параметризована своим наклоном:

y = t (x + 1). {\ displaystyle y = t (x + 1).}

y=t(x+1).

Помещая это в уравнение круга

x 2 + y 2 - 1 = 0, {\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} - 1 = 0,}

x^{2}+y^{2}-1=0,

получается

x 2 - 1 + t 2 (x + 1) 2 = 0. {\ displaystyle x ^ {2} -1 + t ^ {2} (x + 1) ^ {2} = 0.}

x^{2}-1+t^{2}(x+1)^{2}=0.

Деление на x + 1 дает

x - 1 + t 2 (x + 1) = 0, {\ displaystyle x-1 + t ^ {2} (x +1) = 0,}

x-1+t^{2}(x+1)=0,

который легко решить по x:

x = 1 - t 2 1 + t 2. {\ displaystyle x = {\ frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}}.}

x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}.

Отсюда следует

y = t (x + 1) = 2 t 1 + т 2. {\ displaystyle y = t (x + 1) = {\ frac {2t} {1 + t ^ {2}}}.}

y=t(x+1)={\frac {2t}{1+t^{2}}}.

При усреднении, как описано выше, все решения получают как

x = ks 2 - t 2 dy знак равно к 2 stdz = ks 2 + t 2 d, {\ displaystyle {\ begin {align} x = k \, {\ frac {s ^ {2} -t ^ {2}} {d}} \ \ y = k \, {\ frac {2st} {d}} \\ z = k \, {\ frac {s ^ {2} + t ^ {2}} {d}}, \ end {выровнено}} }

{\begin{aligned}x=k\,{\frac {s^{2}-t^{2}}{d}}\\y=k\,{\frac {2st}{d}}\\z=k\,{\frac {s^{2}+t^{2}}{d}},\end{aligned}}

где k - любое целое число, s и t - взаимно простые целые числа, а d - наибольший общий делитель трех числителей. Фактически, d = 2, если s и t оба нечетные, и d = 1, если один нечетный, а другой четный.

Примитивные тройки - это решения, где k = 1 и s>t>0.

Это описание решений немного отличается от формулы Евклида, потому что формула Евклида рассматривает только такие решения, что x, y и z все положительны, и не различает две тройки, которые отличаются заменой x и y.,

Диофантовый анализ

Типичные вопросы

Вопросы, задаваемые при диофантовом анализе, включают:

Есть ли какие-либо решения?
Есть ли какие-либо решения помимо некоторые из них легко найти с помощью проверки ?
Существует ли конечное или бесконечное количество решений?
Все решения могут быть найдены теоретически?
Можно ли на практике вычислить полный список решения?

Эти традиционные проблемы часто оставались нерешенными на протяжении веков, и математики постепенно приходили к пониманию их глубины (в некоторых случаях), вместо того, чтобы рассматривать их как головоломки.

Типичная проблема

Приведенная информация заключается в том, что возраст отца на 1 меньше, чем его сын, и что цифры AB, составляющие возраст отца, перевернуты в возрасте сына (т. Е. BA). Это приводит к уравнению 10A + B = 2 (10B + A) - 1, таким образом, 19B - 8A = 1. Осмотр дает результат A = 7, B = 3, и, таким образом, AB равно 73 годам, а BA равно 37 годам. Легко показать, что не существует другого решения с положительными целыми числами A и B меньше 10.

Многие хорошо известные головоломки в области развлекательной математики приводят к диофантовым уравнениям. Примеры: проблема пушечного ядра, проблема скота Архимеда и обезьяна и кокосы.

17-е и 18-е века

В 1637 году, Пьер де Ферма нацарапал на полях своего экземпляра Arithmetica : «Невозможно разделить куб на два куба, или четвертую степень на две четвертые степени, или вообще любую степень выше, чем второй на две одинаковые силы ". Говоря более современным языком, «уравнение a + b = c не имеет решений для любого n больше 2». Вслед за этим он написал: «Я обнаружил поистине изумительное доказательство этого утверждения, которое на этом поле слишком мало, чтобы вместить его». Однако такое доказательство ускользало от математиков на протяжении веков, и как таковое его утверждение стало известно как Великая теорема Ферма. Только в 1995 году это было доказано британским математиком Эндрю Уайлсом.

В 1657 году Ферма попытался решить диофантово уравнение 61x + 1 = y (решенное с помощью Брахмагупты за 1000 лет ранее). Уравнение в конечном итоге было решено Эйлером в начале 18 века, который также решил ряд других диофантовых уравнений. Наименьшее решение этого уравнения в натуральных числах: x = 226153980, y = 1766319049 (см. метод Чакравалы ).

Десятая проблема Гильберта

В 1900 году Дэвид Гильберт предложил разрешимость всех диофантовых уравнений десятой из своих фундаментальных проблем. В 1970 году Юрий Матиясевич решил это отрицательно, опираясь на работы Джулии Робинсон, Мартина Дэвиса и Хилари Патнэм, чтобы доказать, что общий алгоритм для решения всех диофантовых уравнений не может существовать.

диофантова геометрия

диофантова геометрия, которая представляет собой применение методов из алгебраической геометрии в этой области, в результате продолжил расти; Поскольку рассмотрение произвольных уравнений - это тупик, внимание обращается на уравнения, которые также имеют геометрический смысл. Центральная идея диофантовой геометрии - идея рациональной точки, а именно решения полиномиального уравнения или системы полиномиальных уравнений, которая является вектором в заданном поле . K, когда K не алгебраически замкнутый.

Современные исследования

Один из немногих общих подходов основан на принципе Хассе. Бесконечный спуск - традиционный метод, который получил большое распространение.

Глубина изучения общих диофантовых уравнений демонстрируется характеристикой диофантовых множеств, эквивалентно описанных как рекурсивно перечислимых. Другими словами, общая проблема диофантова анализа благословлена или проклята универсальностью, и в любом случае это не что-то, что можно решить, кроме как переформулировать ее в других терминах.

Область Диофантова приближения имеет дело со случаями диофантовых неравенств. Здесь переменные по-прежнему должны быть целыми, но некоторые коэффициенты могут быть иррациональными числами, а знак равенства заменен верхней и нижней границами.

Самый известный вопрос в этой области, гипотеза, известная как Великая теорема Ферма, была решена Эндрю Уайлсом с использованием инструментов из алгебраическая геометрия развивалась в течение последнего столетия, а не в рамках теории чисел, где изначально была сформулирована гипотеза. Другие важные результаты, такие как теорема Фалтингса, опровергли старые предположения.

Бесконечные диофантовы уравнения

Пример бесконечного диофантова уравнения:

n = a + 2b + 3c + 4d + 5e +…,

которое может быть выражено как " Сколько способов можно записать целое число n как сумму квадрата плюс два квадрата плюс три квадрата и так далее? " Количество способов сделать это для каждого n образует целочисленную последовательность. Бесконечные диофантовы уравнения связаны с тета-функциями и бесконечномерными решетками. Это уравнение всегда имеет решение для любого положительного n. Сравните это с:

n = a + 4b + 9c + 16d + 25e +…,

который не всегда имеет решение для положительного n.

Экспоненциальные диофантовы уравнения

Если диофантово уравнение имеет дополнительную переменную или переменные, встречающиеся как экспоненты, это экспоненциальное диофантово уравнение. Примеры включают уравнение Рамануджана – Нагелла, 2-7 = x, а также уравнение гипотезы Ферма-Каталана и гипотезы Била, a + b = c с ограничениями неравенства на показатели. Общая теория для таких уравнений отсутствует; частные случаи, такие как гипотеза Каталонии, были рассмотрены. Однако большинство из них решается с помощью специальных методов, таких как теорема Стёрмера или даже метод проб и ошибок.

См. Также

Кунака, Арьябхата. алгоритм решения линейных диофантовых уравнений с двумя неизвестными

Примечания

Литература

Морделл, LJ (1969). Диофантовы уравнения. Чистая и прикладная математика. 30. Academic Press. ISBN 0-12-506250-8. Zbl 0188.34503.
Шмидт, Вольфганг М. (1991). Диофантовы приближения и диофантовы уравнения. Конспект лекций по математике. 1467 . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-54058-X. Zbl 0754.11020.
Shorey, T.N.; Тийдеман, Р. (1986). Экспоненциальные диофантовы уравнения. Кембриджские трактаты по математике. 87. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-26826-5. Zbl 0606.10011.
Смарт, Найджел П. (1998). Алгоритмическое разрешение диофантовых уравнений. Тексты студентов Лондонского математического общества. 41 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-64156-X. Zbl 0907.11001.
Стиллвелл, Джон (2004). Математика и ее история (Второе изд.). Springer Science + Business Media Inc. ISBN 0-387-95336-1.

Дополнительная литература

Башмакова, Изабелла Г. "Diophante et Fermat", Revue d'Histoire des Sciences 19 (1966), стр. 289-306
Башмакова, Изабелла Г. Диофант и диофантовы уравнения. М.: Наука, 1972. Немецкий перевод: Diophant und diophantische Gleichungen. Биркхаузер, Базель / Штутгарт, 1974. Английский перевод: Диофант и диофантовы уравнения. Переведено Эйбом Шеницером при поддержке редакции Харди Гранта и обновлено Джозефом Сильверманом. The Dolciani Mathematical Expositions, 20. Математическая ассоциация Америки, Вашингтон, округ Колумбия. 1997.
Башмакова, Изабелла Г. «Арифметика алгебраических кривых от Диофанта до Пуанкаре » Historia Mathematica 8 (1981), 393–416.
Башмакова, Изабелла Г.., Славутин Е.И. История диофантового анализа от Диофанта до Ферма. М.: Наука, 1984.
Башмакова, Изабелла Г. «Диофантовы уравнения и эволюция алгебры», Переводы Американского математического общества, 147 (2), 1990, стр. 85-100. Перевод А. Шеницера и Х. Гранта.
Диксон, Леонард Юджин (2005) [1920]. История теории чисел. Том II: Диофантов анализ. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-44233-4. MR 0245500. Zbl 1214.11002.
Рашед, Рошди, Хузел, Кристиан. Les Arithmétiques de Diophante: Lecture Historique et Mathématique, Берлин, Нью-Йорк: Walter de Gruyter, 2013.
Rashed, Roshdi, Histoire de l'analyse diophantienne classique: D'Abū Kāmil à Fermat, Берлин, Нью-Йорк : Вальтер де Грюйтер.

Внешние ссылки

Диофантово уравнение. Из MathWorld в Wolfram Research.
, Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Онлайн-калькулятор Дарио Альперна. Проверено 18 марта 2009 г.