Уравнение Рамануджана – Нагелла

В математике, в поле теории чисел, уравнение Рамануджана – Нагелла - это уравнение между квадратным числом и числом, которое на семь меньше, чем степень два. Это пример экспоненциального диофантова уравнения , уравнения, которое должно быть решено в целых числах, где одна из переменных отображается как экспонента. Он назван в честь Шриниваса Рамануджана, который предположил, что он имеет только пять целочисленных решений, и в честь Трюгве Нагелла, который доказал эту гипотезу.

Содержание

• 1 Уравнение и решение
• 2 Треугольные числа Мерсенна
• 3 Уравнения типа Рамануджана – Нагелла
• 4 Уравнения типа Лебега – Нагеля
• 5 См. Также
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Уравнение и решение

Уравнение:

$2\; n\; -\; 7\; =\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; ^\; \{n\}\; -7\; =\; x\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\}$

и решения в натуральных числах n и x существуют только тогда, когда n = 3, 4, 5, 7 и 15 (последовательность A060728 в OEIS ).

Это было предположено в 1913 году индийским математиком Шриниваса Рамануджаном, независимо предложено в 1943 году норвежским математиком Вильгельмом Юнггреном и доказано в 1948 году. норвежского математика Трюгве Нагель. Значения n соответствуют значениям x как: -

x = 1, 3, 5, 11 и 181 (последовательность A038198 в OEIS ).

треугольных числах Мерсенна

Задача поиска всех чисел вида 2 - 1 (числа Мерсенна ), которые являются треугольными, эквивалентна:

$2\; b\; -\; 1\; =\; y\; (y\; +\; 1)\; 2\; ⟺\; 8\; (2\; b\; -\; 1)\; =\; 4\; y\; (y\; +\; 1)\; ⟺\; 2\; b\; +\; 3-8\; =\; 4\; y\; 2\; +\; 4\; y\; ⟺\; 2\; b\; +\; 3-7\; =\; 4\; y\; 2\; +\; 4\; y\; +\; 1\; ⟺\; 2\; b\; +\; 3-7\; =\; (2\; y\; +\; 1)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; 2\; ^\; \{b\}\; -1\; =\; \{\backslash \; frac\; \{y\; (y\; +\; 1)\}\; \{2\}\}\; \backslash \backslash \; [2pt]\; \backslash \; Longleftrightarrow\; \backslash \; 8\; (2\; ^\; \{b\}\; -1)\; =\; 4y\; (y\; +\; 1)\; \backslash \backslash \backslash \; Longleftrightarrow\; \backslash \; 2\; ^\; \{b\; +\; 3\}\; -8\; =\; 4y\; ^\; \{2\}\; +\; 4y\; \backslash \backslash \backslash \; Longleftrightarrow\; \backslash \; 2\; ^\; \{b\; +\; 3\}\; -7\; =\; 4y\; ^\; \{2\}\; +\; 4y\; +\; 1\; \backslash \backslash \backslash \; Longleftrightarrow\; \backslash \; 2\; ^\; \{b\; +\; 3\}\; -7\; =\; (2y\; +\; 1)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; end\; \{\; выровнены\}\}\}$

Значения b соответствуют значениям n - 3, а соответствующие треугольные числа Мерсенна (также известные как числа Рамануджана – Нагелла ) равны:

$y\; (y\; +\; 1)\; 2\; знак\; равно\; (Икс\; -\; 1)\; (Икс\; +\; 1)\; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{y\; (y\; +\; 1)\}\; \{2\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(x-1)\; (x\; +\; 1)\}\; \{8\; \}\}\}$

для x = 1, 3, 5, 11 и 181, что дает 0, 1, 3, 15, 4095 и не более (последовательность A076046 в OEIS ).

Уравнения типа Рамануджана – Нагелла

Уравнение вида

$x\; 2\; +\; D\; =\; AB\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; +\; D\; =\; AB\; ^\; \{n\}\}$

для фиксированных D, A, B и переменной x, n называется типом Рамануджана – Нагелла. Результат Зигеля подразумевает, что количество решений в каждом случае конечно. Уравнение с A = 1, B = 2 имеет не более двух решений, за исключением уже упомянутого случая D = 7. Существует бесконечно много значений D, для которых есть два решения, включая $D\; =\; 2\; m\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; =\; 2\; ^\; \{m\}\; -1\}$.

Уравнения типа Лебега – Нагелла

Уравнение вида

$x\; 2\; +\; D\; =\; A\; yn\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; +\; D\; =\; Ay\; ^\; \{n\}\}$

для фиксированных D, A и переменных x, y, n равно говорят, что они принадлежат к типу Лебега – Нагеля. Он назван в честь Виктора-Амеде Лебега, который доказал, что уравнение

$x\; 2\; +\; 1\; =\; yn\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; +\; 1\; =\; y\; ^\; \{n\}\}$

имеет нет нетривиальных решений.

Из результатов Шори и Тейдемана следует, что количество решений в каждом случае конечно. Бюжо, Миньотт и Сиксек решили уравнения этого типа с A = 1 и 1 ≤ D ≤ 100. В частности, расширенное уравнение исходного уравнения Рамануджана-Нагелла

$yn\; -\; 7\; =\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; ^\; \{n\; \}\; -7\; =\; x\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\}$

имеет единственные положительные целочисленные решения, когда x = 1, 3, 5, 11 и 181.

См. Также

• гипотезу Пиллаи
• Научные уравнения названы в честь людей

Литература

• Лебег (1850 г.). "Sur l'impossibilité, en nombres entiers, de l'équation x = y + 1". Nouv. Энн. Математика. Сер. 1. 9 : 178–181.
• С. Рамануджан (1913). «Вопрос 464». J. Indian Math. Soc. 5 : 130.
• W. Юнггрен (1943). "Oppgave nr 2". Norsk Mat. Tidsskr. 25 : 29.
• Т. Нагелл (1948). "Løsning till oppgave nr 2". Norsk Mat. Tidsskr. 30 : 62–64.
• Т. Нагелл (1961). «Диофантово уравнение x + 7 = 2». Арк. Мат. 30 (2–3): 185–187. Bibcode : 1961ArM..... 4..185N. doi : 10.1007 / BF02592006.
• Янн Бюжо; Морис Миньотт; Самир Сиксек (2006). «Классический и модульный подходы к экспоненциальным диофантовым уравнениям II. Уравнение Лебега – Нагелла». Compos. Математика. 142 : 31–62. arXiv : math / 0405220. doi : 10.1112 / S0010437X05001739.
• Shorey, T.N.; Тийдеман, Р. (1986). Экспоненциальные диофантовы уравнения. Кембриджские трактаты по математике. 87. Издательство Кембриджского университета. С. 137–138. ISBN 0-521-26826-5. Zbl 0606.10011.
• Saradha, N.; Шринивасан, Анита (2008). «Обобщенные уравнения Лебега – Рамануджана – Нагеля». В Сарадхе, Н. (ред.). Диофантовы уравнения. Нароса. С. 207–223. ISBN 978-81-7319-898-4.

Внешние ссылки

• «Значения X, соответствующие N в уравнении Рамануджана – Нагелла». Wolfram MathWorld. Проверено 8 мая 2012 г.
• Может ли N + N + 2 быть степенью двойки?, обсуждение на математическом форуме