Аффинное разнообразие

Алгебраическое многообразие, определенное в аффинном пространстве A кривая кубической плоскости, заданная как $y\; 2\; =\; x\; 2\; (\; x\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; ^\; \{2\}\; =\; x\; ^\; \{2\}\; (x\; +\; 1)\}$

В алгебраической геометрии, аффинное разнообразие или аффинное алгебраическое многообразие , над алгебраически замкнутым полем k является множеством нулей в аффинном пространстве k некоторого конечного семейства полиномов от n переменные с коэффициентами в k, которые порождают простой идеал. Если исключить условие генерации простого идеала, такой набор называется (аффинным) алгебраическим набором. Открытое подмногообразие Зарисского в аффинном многообразии называется квазиаффинным многообразием.

. Некоторые тексты не требуют первичного идеала и называют неприводимым алгебраическое многообразие, определяемое первичным идеалом. В этой статье нуль-локусы необязательно простых идеалов называются аффинными алгебраическими множествами .

В некоторых контекстах полезно отличать поле k, в котором рассматриваются коэффициенты, от алгебраически замкнутого поля K (содержащего k), над которым рассматривается множество нулей (т.е. точки аффинного многообразия лежат в K). В этом случае говорят, что многообразие определено над k, а точки многообразия, принадлежащие k, называются k-рациональными или рациональными над k. В общем случае, когда k - поле действительных чисел, k-рациональная точка называется действительной точкой. Когда поле k не указано, рациональная точка - это точка, которая рациональна по сравнению с рациональными числами. Например, Последняя теорема Ферма утверждает, что аффинное алгебраическое многообразие (это кривая), определяемое формулой x + y - 1 = 0, не имеет рациональных точек для любого целого числа n, большего двух.

• 1 Введение
• 2 Примеры
• 3 Рациональные точки
• 4 Особые точки и касательное пространство
• 5 Топология Зарисского
• 6 Соответствие геометрии и алгебры
• 7 Продукты аффинные многообразия
• 8 Морфизмы аффинных многообразий
• 9 Структурный пучок
• 10 Теорема Серра об аффинности
• 11 Аффинные алгебраические группы
• 12 Обобщения
• 13 Примечания
• 14 См. также
• 15 Ссылки

аффинное алгебраическое множество - это набор решений в алгебраически замкнутом поле k системы полиномиальных уравнений с коэффициентами в k. Точнее, если $f\; 1,\dots ,\; fm\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; f\_\; \{m\}\}$являются полиномами с коэффициентами в k, они определяют аффинное алгебраическое множество

$V\; (f\; 1,\dots ,\; fm)\; =\; \{(a\; 1,\dots ,\; an)\; \in \; kn\; |\; f\; 1\; (a\; 1,\dots ,\; a\; n)\; =\dots \; =\; f\; m\; (a\; 1,\dots ,\; a\; n)\; =\; 0\}.\; \{\backslash \; Displaystyle\; V\; (f\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; f\_\; \{m\})\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{(a\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; a\_\; \{n\})\; \backslash \; in\; k\; ^\; \{n\}\; \backslash ;\; |\; \backslash ;\; f\_\; \{1\}\; (a\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; a\_\; \{n\})\; =\; \backslash \; ldots\; =\; f\_\; \{m\}\; (a\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; a\_\; \{n\})\; =\; 0\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

Аффинное (алгебраическое) многообразие - это аффинное алгебраическое множество, которое не является объединением двух собственных аффинных алгебраических подмножеств. Такое аффинное алгебраическое множество часто называют неприводимым.

Если X - аффинное алгебраическое множество, определенное идеалом I, то кольцо частных $R\; =\; k\; [x\; 1,\dots ,\; xn]\; /\; I\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; k\; [x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\}]\; /\; I\}$называется координатным кольцом X. Если X - аффинное многообразие, то I простое, так что координатное кольцо представляет собой целостную область. Элементы координатного кольца R также называются регулярными функциями или полиномиальными функциями на многообразии. Они образуют кольцо регулярных функций на многообразии, или, проще говоря, кольцо многообразия; другими словами (см. #Structure связка), это пространство глобальных секций структурного пучка X.

Размерность множества является целым числом ассоциируется с каждым разнообразием и даже с каждым алгебраическим множеством, важность которого зависит от большого числа его эквивалентных определений (см. Размерность алгебраического многообразия ).

• Дополнение гиперповерхности в аффинном многообразии X (то есть X - {f = 0} для некоторого полинома f) аффинно. Его определяющие уравнения получаются путем насыщения с помощью f определяющего идеала X. Таким образом, координатное кольцо является локализацией $k\; [X]\; [f\; -\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; [X]\; [f\; ^\; \{-\; 1\}]\}$.
• В частности, $C\; -\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; -0\}$(аффинная линия с удаленным началом) аффинно.
• С другой стороны, $C\; 2\; -\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; ^\; \{2\}\; -0\}$(аффинная плоскость с удаленным началом) не является аффинным многообразием; ср. Теорема Хартогса о расширении.
• Подмногообразия коразмерности один в аффинном пространстве $kn\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; ^\; \{n\}\}$являются в точности гиперповерхностями, то есть многообразиями, определяемыми одиночный многочлен.
• нормализация неприводимого аффинного многообразия аффинна; координатное кольцо нормализации - это интегральное замыкание координатного кольца многообразия. (Точно так же нормализация проективного многообразия является проективным многообразием.)

Рисование вещественных точек кривой y = x - x - 16x.

Для аффинного многообразия $V\; \subseteq \; K\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; \backslash \; substeq\; K\; ^\; \{n\}\}$над алгебраически замкнутым полем K и подполем k поля K, k-рациональная точка поля V является точкой $p\; \in \; V\; \cap \; kn.\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \backslash \; in\; V\; \backslash \; cap\; k\; ^\; \{n\}.\}$То есть точка V, координаты которой являются элементами k. Совокупность k-рациональных точек аффинного многообразия V часто обозначают $V\; (k).\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (k).\}$Часто, если базовое поле представляет собой комплексные числа C , точки, которые являются R -рациональными (где R - действительные числа ) называются действительными точками разнообразия, а Q -рациональными точками (Q рациональными числами ) часто называют просто рациональными точками.

Например, (1, 0) является Q -рациональной и R -рациональной точкой разнообразия $V\; =\; V\; (x\; 2\; +\; y\; 2\; -\; 1)\; \subseteq \; C\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; =\; V\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; -1)\; \backslash \; substeq\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\; ^\; \{2\},\}$как он находится в V, и все его координаты целые. Точка (√2 / 2, √2 / 2) является действительной точкой V, которая не является Q -рациональной и $(i,\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; (i,\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\})\}$- точка V, которая не является R -рациональной. Эта разновидность называется окружностью, потому что множество ее R -рациональных точек представляет собой единичную окружность. У него бесконечно много Q -рациональных точек, которые являются точками

$(1\; -\; t\; 2\; 1\; +\; t\; 2,\; 2\; t\; 1\; +\; t\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1-\; t\; ^\; \{2\}\}\; \{1\; +\; t\; ^\; \{2\}\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{2t\}\; \{1\; +\; t\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

где t - рациональное число.

Круг $V\; (x\; 2\; +\; y\; 2–3)\; \subseteq \; C\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; -3)\; \backslash \; substeq\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\; ^\; \{2\}\}$- это пример алгебраической кривой степени два, которая не имеет Q -рациональной точки. Это можно вывести из того факта, что по модулю 4 сумма двух квадратов не может быть 3.

Можно доказать, что алгебраическая кривая степени два с Q -рациональная точка имеет бесконечно много других Q -рациональных точек; каждая такая точка является второй точкой пересечения кривой и прямой с рациональным наклоном, проходящей через рациональную точку.

Сложное многообразие $V\; (x\; 2\; +\; y\; 2\; +\; 1)\; \subseteq \; C\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; +1)\; \backslash \; substeq\; \backslash \; mathbf\; \{C\; \}\; ^\; \{2\}\}$не имеет R -рациональных точек, но имеет много сложных точек.

Если V является аффинным многообразием в C , определенным над комплексными числами C , R -рациональные точки V могут быть нарисованы на лист бумаги или графическое программное обеспечение. На рисунке справа показаны R -рациональные точки $V\; (y\; 2\; -\; x\; 3\; +\; x\; 2\; +\; 16\; x)\; \subseteq \; C\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (y\; ^\; \{2\}\; -x\; ^\; \{3\}\; +\; x\; ^\; \{2\}\; +\; 16x)\; \backslash \; substeq\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\; ^\; \{2\}.\}$

Пусть V - аффинное многообразие, определенное полиномами $f\; 1,\dots ,\; fr\; \in \; k\; [x\; 1,\dots ,\; xn],\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; f\_\; \{r\}\; \backslash \; in\; k\; [x\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; x\_\; \{n\}],\}$и $a\; =\; (a\; 1,\dots ,\; an)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; (a\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; a\_\; \{n\})\}$быть точкой V.

Матрица Якоби JV(a) V в точке a является матрицей частных производных

$\partial \; fj\; \partial \; xi\; (a\; 1,\dots ,\; an).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\_\; \{j\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{x\_\; \{i\}\}\}\}\; (a\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; a\_\; \{n\}).\}$

Точка a является правильной, если ранг J V (a) равен размерности V, а в противном случае - сингулярному.

Если a является правильным, касательное пространство к V в точке a является аффинным подпространством в $kn\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; ^\; \{n\}\}$определяется линейными уравнениями

$\sum \; i\; =\; 1\; n\; \partial \; fj\; \partial \; xi\; (a\; 1,\dots ,\; an)\; (xi\; -\; ai)\; =\; 0,\; j\; =\; 1,\dots ,\; r.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\_\; \{j\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{x\_\; \{i\}\}\}\}\; (a\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; a\_\; \{n\})\; (x\_\; \{i\}\; -a\_\; \{i\})\; =\; 0,\; \backslash \; quad\; j\; =\; 1,\; \backslash \; dots,\; r.\}$

Если точка особая, аффинное подпространство, определяемое этими уравнениями, также называется касательным пространством одни авторы, другие говорят, что в особой точке нет касательного пространства. Более внутреннее определение, которое не использует координаты, дается касательным пространством Зарисского.

Аффинные алгебраические множества k образуют замкнутые множества топологии на k, называемые Топология Зарисского . Это следует из того факта, что $V\; (0)\; =\; k\; [x\; 1,\dots ,\; xn],\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (0)\; =\; k\; [x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\}],\}$$В\; (1)\; знак\; равно\; \varnothing ,\; \{\backslash \; Displaystyle\; V\; (1)\; =\; \backslash \; emptyset,\}$$V\; (S)\; \cup \; V\; (T)\; =\; V\; (ST),\; \{\backslash \; Displaystyle\; V\; (S)\; \backslash \; чашка\; V\; (\; T)\; =\; V\; (ST),\}$и $V\; (S)\; \cap \; V\; (T)\; =\; V\; (S\; +\; T)\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (S)\; \backslash \; cap\; V\; (T)\; =\; V\; (S\; +\; T)\}$(на самом деле счетное пересечение аффинных алгебраических множеств является аффинным алгебраическим множеством).

Топология Зарисского также может быть описана с помощью базовых открытых множеств, где открытые по Зарисскому множества - это счетные объединения множеств вида $U\; f\; =\; \{p\; \in \; kn:\; е\; (п)\; \ne \; 0\}\; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{f\}\; =\; \backslash \; \{p\; \backslash \; in\; k\; ^\; \{n\}:\; f\; (p)\; \backslash \; neq\; 0\; \backslash \}\}$для $f\; \in \; k\; [\; x\; 1,\dots ,\; xn].\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; in\; k\; [x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\}].\}$Эти базовые открытые множества являются дополнениями в k замкнутых множеств $V\; (f)\; =\; D\; е\; знак\; равно\; \{p\; \in \; kn:\; f\; (p)\; =\; 0\},\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (f)\; =\; D\_\; \{f\}\; =\; \backslash \; \{p\; \backslash \; in\; k\; ^\; \{n\}:\; f\; (p)\; =\; 0\; \backslash \},\}$нулевые множества одного полинома. Если k является нётерановым (например, если k является полем или областью главных идеалов ), то каждый идеал k конечно-порожден, поэтому каждый открытое множество - это конечное объединение основных открытых множеств.

Если V - аффинное подмногообразие в k, топология Зарисского на V - это просто топология подпространства, унаследованная от топологии Зарисского на k.

Геометрическая структура аффинного многообразия глубоко связана с алгебраической структурой его координатного кольца. Пусть I и J - идеалы k [V], координатного кольца аффинного многообразия V. Пусть I (V) - множество всех многочленов из $k\; [x\; 1,\dots ,\; xn],\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; [x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\}],\}$которые исчезают на V, и пусть $I\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{I\}\}\}$обозначают радикал идеала I, множество многочленов f, для которых некоторая степень f принадлежит I. Причина, по которой базовое поле должно быть алгебраически замкнутым, заключается в том, что аффинные многообразия автоматически удовлетворяют Nullstellensatz Гильберта : для идеала J в $k\; [x\; 1,\dots ,\; xn],\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; [x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\}],\}$где k - алгебраически замкнутое поле, $I\; (V\; (J))\; =\; J.\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; (V\; (J))\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{J\}\}.\}$

Радикальные идеалы (идеалы, являющиеся собственными радикалами) k [V] соответствуют алгебраическим подмножествам V. Действительно, для радикальных идеалов I и J, $I\; \subseteq \; J\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; \backslash \; substeq\; J\}$тогда и только тогда, когда $V\; (J)\; \subseteq \; V\; (I).\; \{\backslash \; Displaystyle\; V\; (J)\; \backslash \; substeq\; V\; (I).\}$Следовательно, V (I) = V (J) тогда и только тогда, когда I = J. Кроме того, функция, взявшая аффинное алгебраическое множество W и возвращающая I (W), множество всех функций, которые также обращаются в нуль во всех точках W, является функцией, обратной функции, приписывающей алгебраическое множество радикальному идеалу с помощью nullstellensatz. Следовательно, соответствие между аффинными алгебраическими множествами и радикальными идеалами является биекцией. Координатное кольцо аффинного алгебраического множества редуцировано (нильпотентно-свободно), поскольку идеал I в кольце R радикален тогда и только тогда, когда факторкольцо R / I редуцировано.

Простые идеалы координатного кольца соответствуют аффинным подмногообразиям. Аффинное алгебраическое множество V (I) может быть записано как объединение двух других алгебраических множеств тогда и только тогда, когда I = JK для собственных идеалов J и K, не равных I (в этом случае $V\; (I)\; =\; V\; (\; J)\; \cup \; V\; (K)\; \{\backslash \; Displaystyle\; V\; (I)\; =\; V\; (J)\; \backslash \; чашка\; V\; (K)\}$). Это так, если и только если I не является простым. Аффинные подмногообразия - это в точности те, координатное кольцо которых является областью целостности. Это потому, что идеал прост тогда и только тогда, когда фактор кольца по идеалу является областью целостности.

Максимальные идеалы k [V] соответствуют точкам V. Если I и J радикальные идеалы, то $V\; (J)\; \subseteq \; V\; (I)\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (J)\; \backslash \; substeq\; V\; (I)\}$тогда и только тогда, когда $I\; \subseteq \; J.\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; \backslash \; substeq\; J.\}$Поскольку максимальные идеалы радикальны, максимальные идеалы соответствуют минимальным алгебраическим множествам (тем, которые не содержат собственных алгебраических подмножеств), которые являются точками в V. Если V - аффинное многообразие с координатным кольцом $R\; =\; k\; [x\; 1,\dots ,\; xn]\; /\; ⟨f\; 1,\dots ,\; fm⟩,\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; k\; [x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\}]\; /\; \backslash \; langle\; f\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; f\_\; \{m\}\; \backslash \; rangle,\}$это соответствие становится явным через отображение $(a\; 1,\dots ,\; an)\; \mapsto \; ⟨x\; 1\; -\; a\; 1\; ¯,\dots ,\; xn\; -\; ¯⟩,\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; a\_\; \{n\})\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; langle\; \{\backslash \; overline\; \{x\_\; \{1\}\; -a\_\; \{1\}\}\},\; \backslash \; ldots,\; \{\backslash \; overline\; \{x\_\; \{n\}\; -a\_\; \{n\}\}\}\; \backslash \; rangle,\}$где $xi\; -\; ai\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{x\_\; \{i\}\; -a\_\; \{i\}\}\}\}$обозначает образ в фактор-алгебре R полинома $xi\; -\; ai.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{i\}\; -a\_\; \{i\}.\}$Алгебраическое подмножество является точкой тогда и только тогда, когда координатное кольцо подмножества является полем, как частное из кольца по максимальному идеалу это поле.

Следующая таблица суммирует это соответствие для алгебраических подмножеств аффинного многообразия и идеалов соответствующего координатного кольца:

Тип алгебраического множества	Тип идеала	Тип координатного кольца
аффинное алгебраическое подмножество	радикальный идеал	редуцированное кольцо
аффинное подмногообразие	первичный идеал	область целостности
точка	максимальный идеал	поле

Произведение аффинных многообразий может быть определено с помощью изоморфизма A× A= A, а затем вложено в это произведение новое аффинное пространство. Пусть A и A имеют координатные кольца k [x 1,..., x n ] и k [y 1,..., y m ] соответственно, так что их произведение A имеет координатное кольцо k [x 1,..., x n, y 1,..., y m ]. Пусть V = V (f 1,..., f N) будет алгебраическим подмножеством A , и W = V (g 1,..., g M) алгебраическое подмножество A . Тогда каждый f i является полиномом от k [x 1,..., x n ], и каждый g j является в k [y 1,..., y m ]. произведение V и W определяется как алгебраическое множество V × W = V (f 1,..., f N, g 1,..., g M) в A . Произведение неприводимо, если каждое V, W неприводимо.

Важно отметить, что топология Зарисского на A× Aне является топологическим произведением топологий Зарисского на двух пространствах. Действительно, топология произведения порождается произведениями базовых открытых множеств U f= A- V (f) и T g= A- V (g). Следовательно, многочлены, которые находятся в k [x 1,..., x n, y 1,..., y m ], но не в k [x 1,..., x n ] или k [y 1,..., y m ] будет определять алгебраические множества, которые находятся в топологии Зарисского на A× A, но не в топологии продукта.

Морфизм или регулярное отображение аффинных многообразий - это функция между аффинными многообразиями, полиномиальная по каждой координате: точнее, для аффинных многообразий V ⊆ k и W ⊆ k, морфизм из V в W - это отображение φ: V → W формы φ (a 1,..., a n) = (f 1(a1,..., a n),..., f m(a1,..., a n)), где f i ∈ k [X 1,..., X n ] для каждого i = 1,..., m. Это морфизмы из категории аффинных многообразий.

Существует взаимно однозначное соответствие между морфизмами аффинных многообразий над алгебраически замкнутым полем k и гомоморфизмами координатных колец аффинных многообразий над k, идущими в противоположном направлении. По этой причине, наряду с тем фактом, что существует взаимно однозначное соответствие между аффинными многообразиями над k и их координатными кольцами, категория аффинных многообразий над k двойственна категории координатных колец над k. аффинные многообразия над k. Категория координатных колец аффинных многообразий над k - это в точности категория конечно порожденных, нильпотентно-свободных алгебр над k.

Точнее, для каждого морфизма φ: V → W аффинных многообразий существует гомоморфизм φ: k [W] → k [V] между координатными кольцами (идущими в противоположном направлении), а для каждому такому гомоморфизму соответствует морфизм многообразий, связанных с координатными кольцами. Это можно показать явно: пусть V ⊆ k и W ⊆ k - аффинные многообразия с координатными кольцами k [V] = k [X 1,..., X n ] / I и k [W] = k [Y 1,..., Y m ] / J соответственно. Пусть φ: V → W - морфизм. В самом деле, гомоморфизм между кольцами многочленов θ: k [Y 1,..., Y m ] / J → k [X 1,..., X n ] / I однозначно факторизуется через кольцо k [X 1,..., X n ] и гомоморфизм ψ: k [Y 1,..., Y m ] / J → k [X 1,..., X n ] определяется уникально изображениями Y 1,..., Y m. Следовательно, каждый гомоморфизм φ: k [W] → k [V] однозначно соответствует выбору образа для каждого Y i. Тогда для любого морфизма φ = (f 1,..., f m) из V в W можно построить гомоморфизм φ: k [W] → k [V] который отправляет Y я в $fi\; ¯,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{f\_\; \{i\}\}\},\}$где $fi\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{f\_\; \{i\}\}\}\}$- это класс эквивалентности f i в k [V].

Аналогично, для каждого гомоморфизма координатных колец морфизм аффинных многообразий может быть построен в противоположном направлении. Отражая предыдущий абзац, гомоморфизм φ: k [W] → k [V] переводит Y i в полином $fi\; (X\; 1,\dots ,\; X\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{i\}\; (X\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; X\_\; \{n\})\}$в k [V]. Это соответствует морфизму многообразий φ: V → W, заданному формулой φ (a 1,..., a n) = (f 1(a1,..., a n),..., f m(a1,..., a n)).

Оборудованный структурным пучком, описанным ниже, аффинное многообразие - это локально окольцованное пространство.

Для аффинного многообразия X с координатным кольцом A пучок k -алгебры $OX\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{X\}\}$определяется как $OX\; (U)\; =\; \Gamma \; (U,\; OX)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{X\}\; (U)\; =\; \backslash \; Gamma\; (U,\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{X\})\}$- кольцо регулярных функций на U.

Пусть D (f) = {x | f (x) ≠ 0} для каждого f в A. Они составляют основу топологии X, и поэтому $OX\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{X\}\}$является определяется своими значениями на открытых множествах D (f). (См. Также: связка модулей # Связка, связанная с модулем.)

Ключевым фактом, который существенно зависит от Hilbert nullstellensatz, является следующий :

Утверждение - $\Gamma \; (D\; (f),\; OX)\; =\; A\; [f\; -\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (D\; (f),\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{X\})\; =\; A\; [f\; ^\; \{-\; 1\}]\}$для любого f из A.

Доказательство: включение ⊃ очевидно. В противном случае пусть g находится в левой части и $J\; =\; \{h\; \in \; A\; |\; h\; g\; \in \; A\}\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; =\; \backslash \; \{h\; \backslash \; in\; A\; |\; hg\; \backslash \; in\; A\; \backslash \}\}$, что является идеалом. Если x принадлежит D (f), то, поскольку g регулярна около x, существует некоторая открытая аффинная окрестность D (h) точки x такая, что $g\; \in \; k\; [D\; (h)]\; =\; A\; [h\; -\; 1\; ]\; \{\backslash \; Displaystyle\; г\; \backslash \; в\; к\; [D\; (ч)]\; =\; А\; [ч\; ^\; \{-\; 1\}]\}$; то есть h g находится в A и, следовательно, x не находится в V (J). Другими словами, $V\; (J)\; \subset \; \{x\; |\; f\; (x)\; =\; 0\}\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (J)\; \backslash \; subset\; \backslash \; \{x\; |\; f\; (x)\; =\; 0\; \backslash \}\}$и, следовательно, Hilbert nullstellensatz подразумевает, что f находится в радикал J; т.е. $fng\; \in \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{n\}\; g\; \backslash \; in\; A\}$. $◻\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; square\}$

Утверждение, прежде всего, подразумевает, что X является «локально окольцованным» пробел, поскольку

$OX,\; x\; =\; lim\; \to \; f\; (x)\; \ne \; 0\; \; A\; [f\; -\; 1]\; =\; A\; mx\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{X,\; x\}\; =\; \backslash \; varinjlim\; \_\; \{f\; (\; x)\; \backslash \; neq\; 0\}\; A\; [f\; ^\; \{-\; 1\}]\; =\; A\; \_\; \{\{\backslash \; mathfrak\; \{m\}\}\; \_\; \{x\}\}\}$

где $mx\; =\; \{f\; \in \; A\; |\; е\; (х)\; =\; 0\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{m\}\}\; \_\; \{x\}\; =\; \backslash \; \{f\; \backslash \; in\; A\; |\; f\; (x)\; =\; 0\; \backslash \}\}$. Во-вторых, утверждение подразумевает, что $O\; X\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{X\}\}$является связкой; действительно, он говорит, что если функция регулярна (поточечно) на D (f), то она должна находиться в координатном кольце D (f); то есть "регулярность" можно исправить вместе.

Следовательно, $(X,\; O\; X)\; \{\backslash \; displaystyle\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{X\})\}$- пространство с локальными кольцами.

Теорема Серра об аффинности

A Теорема Серра дает когомологическую характеристику аффинного многообразия; он говорит, что алгебраическое многообразие аффинно тогда и только тогда, когда $H\; i\; (X,\; F)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{i\}\; (X,\; F)\; =\; 0\}$для любого $я>0\; \{\backslash \; displaystyle\; i>0\}$и любой квазикогерентный пучок F на X (см. теорему Картана B.) Это делает когомологическое исследование аффинного многообразия несуществующим, что резко контрастирует с проективным случаем, в котором группы когомологий линейных расслоений представляют центральный интерес.

Аффинные алгебраические группы

Аффинное многообразие G над алгебраически замкнутым полем k называется аффинная алгебраическая группа , если она имеет:

• Умножение μ: G × G → G, которое является регулярным морфизмом, который следует аксиоме ассоциативности, то есть такое, что μ (μ (f, g), h) = μ (f, μ (g, h)) для всех точек f, g и h в G;
• единичный элемент e такой, что μ (e, g) = μ (g, e) = g для каждого g в G;
• Обратный морфизм, регулярная биекция ι: G → G такая, что μ (ι (g), g) = μ (ι (g), g) = e для любого g в G.

Вместе эти определить структуру группы на разновидности. Приведенные выше морфизмы часто записываются с использованием обычных групповых обозначений: μ (f, g) можно записать как f + g, f⋅g или fg; обратный ι (g) можно записать как −g или g. Используя мультипликативную запись, ассоциативность, тождество и обратные законы могут быть переписаны как: f (gh) = (fg) h, ge = eg = g и gg = gg = e.

Наиболее ярким примером аффинной алгебраической группы является GL n (k), общая линейная группа степени n. Это группа линейных преобразований векторного пространства k; если базис k фиксирован, это эквивалентно группе обратимых матриц n × n с элементами в k. Можно показать, что любая аффинная алгебраическая группа изоморфна подгруппе GL n (k). По этой причине аффинные алгебраические группы часто называют линейными алгебраическими группами .

Аффинные алгебраические группы играют важную роль в классификации конечных простых групп, поскольку группы лиева типа - все множества Fq-рациональных точек аффинной алгебраической группы, где Fq- конечное поле.

Обобщения

• Если автор требует, чтобы базовое поле аффинного многообразия было алгебраически замкнутым (как это делается в этой статье), то неприводимые аффинные алгебраические множества над неалгебраически замкнутыми полями являются обобщением аффинных многообразий. Это обобщение, в частности, включает аффинные многообразия над действительными числами.

• Аффинное многообразие играет роль локальной карты для алгебраических многообразий ; другими словами, общие алгебраические многообразия, такие как проективные многообразия, получаются склейкой аффинных многообразий. Линейные структуры, присоединенные к многообразиям, также (тривиально) являются аффинными многообразиями; например, касательные пространства, слои алгебраических векторных расслоений.

• Аффинное многообразие - это частный случай аффинной схемы, локально-окольцованного пространства, которое изоморфно спектру коммутативного кольца (с точностью до эквивалентности категорий ). С каждым аффинным многообразием связана аффинная схема: если V (I) является аффинным многообразием в k с координатным кольцом R = k [x 1,..., x n ] / I, то схема, соответствующая V (I), - это Spec (R), множество простых идеалов кольца R. Аффинная схема имеет «классические точки», которые соответствуют точкам многообразия (и, следовательно, максимальным идеалам координаты кольцо многообразия), а также точку для каждого замкнутого подмногообразия многообразия (эти точки соответствуют первичным, не максимальным идеалам координатного кольца). Это создает более четко определенное понятие «общей точки» аффинного многообразия, приписывая каждому замкнутому подмногообразию открытую точку, которая плотна в подмногообразии. В более общем плане аффинная схема является аффинным многообразием, если она редуцированная, неприводимая и конечного типа над алгебраически замкнутым полем k.

Примечания

См. Также

• алгебраическое многообразие
• аффинная схема
• Представления на координатных кольцах

Ссылки

Исходная статья была написана как частичный перевод соответствующей статьи на французском языке..

• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
• Фултон, Уильям (1969). Алгебраические кривые (PDF). Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-510103. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Милн, Алгебраическая геометрия
• Милн, Лекции по этальным когомологиям
• Мамфорд, Дэвид (1999). Красная книга многообразий и схем: включает лекции из Мичигана (1974) о кривых и их якобианах (2-е изд.). Springer-Verlag. doi : 10.1007 / b62130. ISBN 354063293X. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Рейд, Майлз (1988). Бакалавриат по алгебраической геометрии. Cambridge University Press. ISBN 0 521 35662 8. CS1 maint: ref = harv (ссылка )