Триномиальное дерево

редактировать

Триномиальное дерево представляет собой решетчатую вычислительную модель, используемую в финансовая математика для оценки опционов. Он был разработан Phelim Boyle в 1986 году. Он является расширением биномиальной модели ценообразования опционов и концептуально аналогичен. Также можно показать, что этот подход эквивалентен явному методу конечных разностей для ценообразования опционов. Для фиксированного дохода и производных процентных ставок см. Модель решетки (финансы) # Производные процентные ставки.

Содержание

1 Формула
2 Применение
3 См. Также
4 Ссылки
5 Внешние ссылки

Формула

При трехчленном методе базовая цена моделируется как дерево рекомбинации, где на каждом узле цена имеет три возможных пути: вверх, вниз и стабильный или средний путь. Эти значения находятся путем умножения значения в текущем узле на соответствующий коэффициент $u {\ displaystyle u \,}$ $u \,$ , $d {\ displaystyle d \,}$ $d \,$ или $m { \ displaystyle m \,}$ $m \,$ где

u = e σ 2 Δ t {\ displaystyle u = e ^ {\ sigma {\ sqrt {2 \ Delta t}}}}

u = e ^ {\ sigma \ sqrt {2 \ Delta t}}

d = е - σ 2 Δ T знак равно 1 U {\ displaystyle d = e ^ {- \ sigma {\ sqrt {2 \ Delta t}}} = {\ frac {1} {u}} \,}

d = e ^ {- \ sigma \ sqrt {2 \ Delta t}} = \ frac {1} {u} \,

(структура перекомпоновывается)

m = 1 {\ displaystyle m = 1 \,}

m = 1 \,

, и соответствующие вероятности равны:

pu = (e (r - q) Δ t / 2 - e - σ Δ t / 2 е σ Δ t / 2 - е - σ Δ t / 2) 2 {\ displaystyle p_ {u} = \ left ({\ frac {e ^ {(rq) \ Delta t / 2} -e ^ {- \ sigma {\ sqrt {\ Delta t / 2}}}} {e ^ {\ sigma {\ sqrt {\ Delta t / 2}}} - e ^ {- \ sigma {\ sqrt {\ Delta t) / 2}}}}} \ right) ^ {2} \,}

p_u = \ left (\ frac {e ^ {(r - q) \ Delta t / 2} - e ^ {- \ sigma \ sqrt {\ Delta t / 2}}} {e ^ {\ sigma \ sqrt {\ Delta t / 2}} - e ^ {- \ sigma \ sqrt {\ Delta t / 2}}} \ right) ^ 2 \,

pd = (e σ Δ t / 2 - e (r - q) Δ t / 2 e σ Δ t / 2 - e - σ Δ t / 2) 2 {\ displaystyle p_ {d} = \ left ({\ frac {e ^ {\ sigma {\ sqrt {\ Delta t / 2}}}} - e ^ {(rq) \ Delta t / 2 }} {e ^ {\ sigma {\ sqrt {\ Delta t / 2}}} - e ^ {- \ sigma {\ sqrt {\ Delta t / 2}}}}} \ right) ^ {2} \, }

p_d = \ left (\ frac {e ^ {\ sigma \ sqrt {\ Delta t / 2}} - e ^ {(r - q) \ Delta t / 2}} {e ^ {\ sigma \ sqrt {\ Delta t / 2}} - e ^ {- \ sigma \ sqrt {\ Delta t / 2}}} \ right) ^ 2 \,

pm = 1 - (p u + pd) {\ displaystyle p_ {m} = 1- (p_ {u} + p_ {d}) \,}

p_m = 1 - (p_u + p_d) \,

В приведенных выше формулах: $Δ t {\ displaystyle \ Delta t \,}$ $\ Delta t \,$ - продолжительность одного шага в дереве, это просто время до погашения, деленное на количество временных шагов; $r {\ displaystyle r \,}$ $r \,$ - безрисковая процентная ставка на этот срок; $σ {\ displaystyle \ sigma \,}$ $\ sigma \,$ - соответствующая волатильность базового ; $q {\ displaystyle q \,}$ $q \,$ - соответствующая ему дивидендная доходность.

Как и в биномиальной модели, эти факторы и вероятности указаны таким образом, чтобы гарантировать, что цена , лежащий в основе, развивается как мартингейл, в то время как моменты - с учетом расстояния между узлами и вероятностей - совпадают с моментами логарифмически нормального распределения (и с увеличением точности для меньших временных шагов). Обратите внимание, что для $pu {\ displaystyle p_ {u}}$ $p_u$ , $pd {\ displaystyle p_ {d}}$ $p_d$ и $pm {\ displaystyle p_ {m}}$ $p_m$ находиться в интервале $(0, 1) {\ displaystyle (0,1)}$ $(0,1)$ следующее условие на $Δ t {\ displaystyle \ Delta t}$ $\ Delta t$ должно быть выполнено $Δ t < 2 σ 2 ( r − q) 2 {\displaystyle \Delta t<2{\frac {\sigma ^{2}}{(r-q)^{2}}}}$ $\ Delta t <2 \ frac {\ sigma ^ 2} {(rq) ^ 2}$ .

После того, как дерево цен было рассчитано, цена опциона находится в основном в каждом узле , как для биномиальной модели, путем работы в обратном направлении от конечные узлы к текущему узлу ( $t 0 {\ displaystyle t_ {0}}$ $t _ {{0}}$ ). Разница в том, что значение опции для каждого неоконечного узла определяется на основе трех, а не двух, более поздних узлов и их соответствующих вероятностей. Модель лучше всего воспринимается визуально - см., Например, Калькулятор параметров трехчленного дерева (Питер Хоадли).

Если длина временных шагов $Δ t {\ displaystyle \ Delta t}$ $\ Delta t$ принимается как экспоненциально распределенная случайная величина и интерпретируется как время ожидания между двумя перемещениями цена акции, то результирующий стохастический процесс будет процессом рождения-смерти. Результирующая модель является разрешимой, и существуют аналитические формулы ценообразования и хеджирования для различных вариантов.

Приложение

Считается, что трехчленная модель дает более точные результаты, чем биномиальная модель, когда моделируется меньшее количество временных шагов, и поэтому используется, когда вычислительная скорость или ресурсы могут быть проблемой. Для ванильных опций по мере увеличения количества шагов результаты быстро сходятся, и тогда предпочтение отдается биномиальной модели из-за ее более простой реализации. Для экзотических вариантов трехчленная модель (или ее адаптации) иногда более стабильна и точна, независимо от размера шага.

См. Также

Ссылки

^Марк Рубинштейн
^Трехчленное дерево, геометрическое броуновское движение Архивировано 2011-07-21 в Wayback Machine
^Джон Халл представляет альтернативные формулы; см.: Халл, Джон К. (2002). Опционы, фьючерсы и другие производные инструменты (5-е изд.). Прентис Холл. ISBN 978-0-13-009056-0..
^Варианты ценообразования с использованием триномиальных деревьев
^Онлайн-варианты ценообразования и калькуляторов вероятности

Внешние ссылки

Phelim Boyle, 1986. «Оценка опционов с использованием процесса трех скачков», International Options Journal 3, 7-12.
Рубинштейн, М. (2000). «О связи между биномиальными и трехчленными моделями ценообразования опционов».. 8 (2): 47–50. CiteSeerX 10.1.1.43.5394. doi : 10.3905 / jod.2000.319149. Архивировано из оригинала 22 июня 2007 г.
Paul Clifford et. al 2010. Варианты ценообразования с использованием триномиальных деревьев, Уорикский университет
Теро Хаахтела, 2010. «Повторное объединение трехчленного дерева для оценки реальных опционов с изменяющейся волатильностью», Университет Аалто, Серия рабочих документов.
Ральф Корн, Маркус Креер и Марк Ленссен, 1998. «Ценообразование европейских опционов, когда цена базовых акций следует линейному процессу рождения-смерти», Stochastic Models Vol.. 14 (3), pp. 647 - 662
Тарик Шерер, 2010. «Создание трехчленных деревьев цен на опционы с использованием приложений Excel»