Методы Монте-Карло для ценообразования опционов

В финансовой математике, вариант модели Монте - Карло использует методы Монте - Карло для вычисления значения в опции с несколькими источниками неопределенности или со сложными функциями. Первое приложение к ценообразованию опционов было сделано Phelim Boyle в 1977 году (для европейских опционов ). В 1996 г. М. Броди и П. Глассерман показали, как оценивать азиатские опционы методом Монте-Карло. Важным событием стало введение в 1996 г. Каррьером из Монте-Карло методов для функций раннего исполнения опционов.

СОДЕРЖАНИЕ

• 1 Методология
• 2 наименьшая площадь Монте-Карло
• 3 Применение
• 4 См. Также
• 5 ссылки
• 6 Внешние ссылки

Методология

С точки зрения теории, оценки Монте - Карло зависит от риска нейтральной оценки. Здесь цена опциона - это его дисконтированная ожидаемая стоимость ; увидеть нейтралитет риска и рациональное ценообразование. Метод применяется тогда, (1), для генерирования большого количества возможных, но случайные, ценовых путей для основных (или базовых активов) с помощью моделирования, и (2), чтобы затем вычислить связанное с ним упражнением значения (то есть «выигрыш») из вариант для каждого пути. (3) Эти выплаты затем усредняются и (4) дисконтируются до сегодняшнего дня. Этот результат и есть стоимость опции.

Этот подход, хотя и относительно простой, позволяет увеличить сложность:

• Вариант капитала может быть смоделирован с одним источником неопределенности: цена базовой акции в вопросе. Здесь цена базового инструмента обычно моделируется таким образом, что она следует геометрическому броуновскому движению с постоянным дрейфом и волатильностью. Итак:, где находится путем случайной выборки из нормального распределения ; см. далее в разделе Блэка – Шоулза. Поскольку лежащий в основе случайный процесс тот же самый, для достаточного количества траекторий цены значение европейского опциона здесь должно быть таким же, как и в случае Блэка – Шоулза. В более общем плане, однако, моделирование используется для зависимых от пути экзотических производных, таких как азиатские опционы. ${\ Displaystyle \ S_ {т} \,}$ ${\ displaystyle \ mu \,}$ ${\ Displaystyle \ sigma \,}$${\ displaystyle dS_ {t} = \ mu S_ {t} \, dt + \ sigma S_ {t} \, dW_ {t} \,}$${\ displaystyle dW_ {t} \,}$

• В других случаях источник неопределенности может быть удален. Например, для опционов на облигации базисом является облигация, но источником неопределенности является годовая процентная ставка (то есть краткосрочная ставка ). Здесь для каждой случайно сгенерированной кривой доходности мы наблюдаем разную итоговую цену облигации на дату исполнения опциона; эта цена облигации затем является исходными данными для определения выплаты по опциону. Тот же подход используется при оценке свопционов, где стоимость базового свопа также является функцией меняющейся процентной ставки. (Принимая во внимание, что эти варианты более часто оцениваются с использованием моделей на основе решеток, как указано выше, для зависимых от траектории производных процентных ставок, таких как CMO, моделирование является основным используемым методом.) Модели, используемые для моделирования процентной ставки, см. Далее в разделе Короткие - модель оценки ; «для создания реалистичного моделирования процентных ставок» Иногда используются многофакторные модели краткосрочной ставки. Чтобы применить моделирование к IRD, аналитик должен сначала «откалибровать» параметры модели, чтобы цены облигаций, полученные с помощью модели, наилучшим образом соответствовали наблюдаемым рыночным ценам.

• Методы Монте-Карло допускают увеличение неопределенности. Например, если базовый фонд выражен в иностранной валюте, дополнительным источником неопределенности будет обменный курс : базовая цена и обменный курс должны моделироваться отдельно, а затем объединяться для определения стоимости базового актива в местной валюте. Во всех таких моделях также учитывается корреляция между лежащими в основе источниками риска; см. Разложение Холецкого # Моделирование Монте-Карло. Также могут возникнуть дополнительные осложнения, такие как влияние цен на сырьевые товары или инфляции на базовый объект. Поскольку моделирование позволяет решать сложные проблемы такого рода, оно часто используется при анализе реальных вариантов, когда решение руководства в любой момент является функцией нескольких основных переменных.

• Аналогичным образом моделирование можно использовать для оценки опционов, где выплата зависит от стоимости нескольких базовых активов, таких как опцион корзины или опцион радуги. Здесь также учитывается корреляция между доходностью активов.

• При необходимости, моделирование Монте-Карло может использоваться с любым типом распределения вероятностей, включая изменяющиеся распределения: разработчик модели не ограничивается нормальным или логнормальным доходом; см., например, метод Датара – Мэтьюза для оценки реальных опционов. Кроме того, стохастический процесс базового актива (ов) может быть определен так, чтобы демонстрировать скачки или возврат к среднему, или и то, и другое; эта функция делает моделирование основным методом оценки, применимым к производным энергетическим инструментам. Кроме того, некоторые модели даже позволяют (случайным образом) варьировать статистические (и другие) параметры источников неопределенности. Например, в моделях, включающих стохастическую волатильность, волатильность базового актива изменяется со временем; см. модель Хестона.

Наименьшая площадь Монте-Карло

Метод наименьших квадратов Монте-Карло - это метод оценки опционов с ранним исполнением (т. Е. Бермудских или американских опционов). Впервые он был представлен Жаком Каррьером в 1996 году.

Он основан на повторении двухэтапной процедуры:

• Сначала выполняется процесс обратной индукции, в котором значение рекурсивно присваивается каждому состоянию на каждом временном шаге. Стоимость определяется как регрессия наименьших квадратов по отношению к рыночной цене стоимости опциона в этом состоянии и времени (-шаг). Стоимость опциона для этой регрессии определяется как значение возможностей исполнения (в зависимости от рыночной цены) плюс значение временного шага, к которому приведет это исполнение (определенное на предыдущем шаге процесса).
• Во-вторых, когда все состояния оцениваются для каждого временного шага, стоимость опциона рассчитывается путем перемещения по временным шагам и состояниям путем принятия оптимального решения об исполнении опциона на каждом этапе ценового пути и значения состояния, которое приведет к. Этот второй шаг может быть выполнен с несколькими путями цены, чтобы добавить к процедуре стохастический эффект.

Приложение

Как можно видеть, методы Монте-Карло особенно полезны при оценке опционов с множественными источниками неопределенности или со сложными характеристиками, которые затрудняют их оценку с помощью простых вычислений в стиле Блэка – Шоулза или решетчатых вычислений. Таким образом, этот метод широко используется при оценке структур, зависящих от пути, таких как ретроспективные и азиатские опционы, а также при анализе реальных опционов. Кроме того, как указано выше, разработчик модели не ограничен предполагаемым распределением вероятностей.

И наоборот, если существует аналитический метод оценки опциона - или даже числовой метод, такой как (модифицированное) дерево ценообразования, - методы Монте-Карло обычно будут слишком медленными, чтобы быть конкурентоспособными. В каком-то смысле они являются методом последней инстанции; см. далее в разделе « Методы Монте-Карло в финансах». С более быстрыми вычислительными возможностями это вычислительное ограничение не вызывает беспокойства.

Смотрите также

• Сравнение надстроек Microsoft Excel для анализа рисков

использованная литература

Примечания

Источники

Первичные ссылки

• Бойл, Фелим П. (1977). «Варианты: подход Монте-Карло». Журнал финансовой экономики. 4 (3): 323–338. DOI : 10.1016 / 0304-405x (77) 90005-8. Проверено 28 июня 2012 года.
• Broadie, M.; Глассерман, П. (1996). «Оценка производных цен ценных бумаг с помощью моделирования» (PDF). Наука управления. 42 (2): 269–285. CiteSeerX   10.1.1.196.1128. DOI : 10.1287 / mnsc.42.2.269. Проверено 28 июня 2012 года.
• Лонгстафф, Ф.А.; Шварц, ES (2001). «Оценка американских вариантов путем моделирования: простой подход наименьших квадратов». Обзор финансовых исследований. 14: 113–148. CiteSeerX   10.1.1.155.3462. DOI : 10.1093 / RFS / 14.1.113. Проверено 28 июня 2012 года.

Список используемой литературы

• Бруно Дюпире (1998). Монте-Карло: методологии и приложения для ценообразования и управления рисками. Риск.
• Пол Глассерман (2003). Методы Монте-Карло в финансовом инжиниринге. Springer-Verlag. ISBN   978-0-387-00451-8.
• Питер Джекель (2002). Методы Монте-Карло в финансах. Джон Уайли и сыновья. ISBN   978-0-471-49741-7.
• Дон Л. Маклиш (2005). Монте-Карло Моделирование и финансы. ISBN   978-0-471-67778-9.
• Кристиан П. Роберт, Джордж Казелла (2004). Статистические методы Монте-Карло. ISBN   978-0-387-21239-5.

внешние ссылки

Онлайн-инструменты

• Монте-Карло смоделировал временные ряды цен акций и генератор случайных чисел (позволяет выбирать распределение), Стивен Уитни

Документы для обсуждения и документы

• Моделирование методом Монте-Карло, профессор Дон М. Чанс, Государственный университет Луизианы.
• Ценообразование сложных вариантов с использованием простого моделирования Монте-Карло, Питер Финк (перепечатка на сайте Quantnotes.com)
• Моделирование Монте-Карло в финансах, global-derivatives.com
• Оценка производных инструментов Монте-Карло, продолжение., Тимоти Л. Крехбил, Государственный университет Оклахомы, Стиллуотер
• Применение методов Монте-Карло в финансах: ценообразование опционов, Ю. Лай и Дж. Спаниер, Университет Клермонта.
• Ценообразование опционов путем моделирования, Бернт Арне Одегаард, Норвежская школа менеджмента
• Ценообразование и хеджирование экзотических опционов с помощью моделирования методом Монте-Карло, Аугусто Перилья, Диана Оанча, проф. Майкл Рокингер, HEC Lausanne
• Метод Монте-Карло, riskglossary.com