Войти
| Дифференциальные уравнения | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
 Дифференциальные уравнения Навье – Стокса, используемые для моделирования воздушного потока вокруг препятствия | ||||||
Объем
| ||||||
| Классификация | ||||||
Типы
| ||||||
| Отношение к процессам | ||||||
| Решение | ||||||
| Существование и уникальность | ||||||
| Общие темы | ||||||
| Методы решения | ||||||
| Люди | ||||||
|
В математике, то Вронский (или вронскиан) является фактором, определяющий введенный Юзефа Hoene-Вронский ( 1812) и назван Томас Muir ( 1882 г., глава XVIII). Он используется при изучении дифференциальных уравнений, где иногда может показывать линейную независимость в наборе решений.
Вронскиан двух дифференцируемых функций f и g равен W ( f, g) = f g ′ - g f ′.
В более общем плане, для п вещественных - или комплексных значных функций F 1,..., f n, которые n - 1 раз дифференцируемы на интервале I, вронскиан W ( f 1,..., f n) как функция на I определяется формулой
То есть, это определитель из матрицы, построенной путем размещения функций в первом ряду, первая производная от каждой функции во втором ряду, и так далее через ( п - 1) -й производной, тем самым образуя квадратную матрицу.
Когда функции f i являются решениями линейного дифференциального уравнения, вронскиан может быть найден явно с использованием тождества Абеля, даже если функции f i не известны явно.
Если функции f i линейно зависимы, то столбцы вронскиана тоже зависят, поскольку дифференцирование является линейной операцией, поэтому вронскиан обращается в нуль. Таким образом, вронскиан можно использовать, чтобы показать, что набор дифференцируемых функций линейно независим на интервале, показав, что он не обращается в нуль тождественно. Однако в отдельных точках он может исчезнуть.
Распространенное заблуждение состоит в том, что W = 0 везде подразумевает линейную зависимость, но Пеано (1889) указал, что функции x 2 и | х | X имеют непрерывные производные, и их вронскиан всюду равен нулю, но они не являются линейно зависимыми ни в какой окрестности 0. Есть несколько дополнительных условий, которые гарантируют, что исчезновение вронскиана в интервале подразумевает линейную зависимость. Максим Бохер заметил, что если функции аналитические, то исчезновение вронскиана в интервале означает, что они линейно зависимы. Бохер (1901) дал несколько других условий исчезновения вронскиана, подразумевающих линейную зависимость; например, если вронскиан n функций тождественно равен нулю и n вронскианов n - 1 из них не обращаются в нуль ни в какой точке, то функции линейно зависимы. Вольссон (1989a) дал более общее условие, которое вместе с обращением в нуль вронскиана подразумевает линейную зависимость.
Над полями положительной характеристики p вронскиан может обращаться в нуль даже для линейно независимых многочленов; например, вронскиан x p и 1 тождественно 0.
В общем случае для линейного дифференциального уравнения -го порядка, если известны решения, последнее можно определить с помощью вронскиана.
Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка в обозначениях Лагранжа
откуда известны. Назовем два решения уравнения и сформируем их вронскиан
Затем дифференцируя и используя тот факт, что подчиняются приведенному выше дифференциальному уравнению, мы видим, что
Следовательно, вронскиан подчиняется простому дифференциальному уравнению первого порядка и может быть точно решен:
где и - постоянная.
Теперь предположим, что мы знаем одно из решений, скажем. Тогда, по определению вронскиана, подчиняется дифференциальному уравнению первого порядка:
и может быть решена точно (по крайней мере, теоретически).
Метод легко обобщается на уравнения более высокого порядка.
Для n функций нескольких переменных обобщенный вронскиан является определителем матрицы n на n с элементами D i ( f j) (с 0 ≤ i lt; n), где каждый D i является некоторым линейным дифференциальным оператором в частных производных с постоянным коэффициентом порядка я. Если функции линейно зависимы, то все обобщенные вронскианы обращаются в нуль. Как и в случае одной переменной, в общем случае обратное неверно: если все обобщенные вронскианы обращаются в нуль, это не означает, что функции линейно зависимы. Однако во многих частных случаях верно обратное. Например, если функции являются полиномами и все обобщенные вронскианы обращаются в нуль, то функции линейно зависимы. Рот использовал этот результат об обобщенных вронскианах в своем доказательстве теоремы Рота. Более общие условия, при которых верно обратное, см. Wolsson (1989b).
