Войти
В теории управления непрерывная линейная неизменяющаяся во времени система (LTI) равна экспоненциально устойчивый тогда и только тогда, когда система имеет собственные значения (т. е. полюса систем ввода-вывода) со строго отрицательными действительными частями. (т.е. в левой половине комплексной плоскости ). Система LTI с дискретным временем ввода-вывода является экспоненциально устойчивой тогда и только тогда, когда полюсы ее передаточной функции лежат строго внутри единичной окружности с центром в начале комплексной плоскости.. Экспоненциальная устойчивость - это форма асимптотической устойчивости. Системы, не являющиеся LTI, являются экспоненциально стабильными, если их сходимость ограничена экспоненциальным убыванием.
Экспоненциально стабильная система LTI - это система, которая не будет "взорваться" (т. е. дать неограниченное output) при заданном конечном входе или ненулевом начальном условии. Более того, если системе дан фиксированный конечный вход (т. Е. step ), то любые результирующие колебания на выходе будут затухать с экспоненциальной скоростью , а выход будет иметь тенденцию асимптотически до нового окончательного установившегося значения. Если вместо этого в систему будет подан сигнал дельта-импульс Дирака в качестве входного сигнала, то индуцированные колебания исчезнут, и система вернется к своему предыдущему значению. Если колебания не затухают или система не возвращается к исходному состоянию при подаче импульса, система вместо этого предельно устойчива.
Импульсные характеристики двух экспоненциально стабильных системы На графике справа показана импульсная характеристика двух аналогичных систем. Зеленая кривая - это отклик системы с импульсной характеристикой 
Представьте, что вы кладете шарик в ковш. Он установится в самой нижней точке ковша и останется там, если его не потревожить. Теперь представьте, что вы толкаете мяч, что является приближением к дельта-импульсу Дирака . Мрамор будет катиться взад и вперед, но в конечном итоге осядет на дне ковша. Построение горизонтального положения мрамора с течением времени даст постепенно убывающую синусоиду, похожую на синюю кривую на изображении выше.
Для ступенчатого ввода в этом случае необходимо поддерживать мрамор подальше от дна ковша, чтобы он не мог откатиться. Он будет оставаться в том же положении и не будет, как это было бы в случае, если бы система была лишь незначительно устойчивой или полностью нестабильной, продолжать движение от дна ковша под действием этой постоянной силы, равной ее весу.
Важно отметить, что в этом примере система не стабильна для всех входов. Сильно толкните мрамор, и он вывалится из ковша и упадет, остановившись только тогда, когда достигнет пола. Поэтому для некоторых систем уместно утверждать, что система экспоненциально стабильна в определенном диапазоне входных данных.
