Теорема Коши – Ковалевски

редактировать

Теорема существования и единственности для некоторых дифференциальных уравнений в частных производных

В математике, теорема Коши – Ковалевской (также записывается как теорема Коши – Ковалевского ) является основной локальной теоремой существования и единственности для аналитических дифференциальных уравнений в частных производных, связанных с исходной точкой Коши. проблемы ценности. Частный случай был доказан Огюстен Коши (1842), а полный результат - Софи Ковалевской (1875).

Содержание

1 Теорема Коши – Ковалевской первого порядка
2 Доказательство аналитическим мажорированием
3 Теорема Коши – Ковалевской высшего порядка
- 3.1 Пример
4 Теорема Коши – Ковалевской – Кашивары
- 4.1 Пример
5 Ссылки
6 Внешние ссылки

Теорема Коши – Ковалевской первого порядка

Эта теорема о существовании решений системы m дифференциальных уравнений в n измерениях, когда коэффициенты являются аналитическими функциями. Теорема и ее доказательство верны для аналитических функций вещественных или комплексных переменных.

Пусть K обозначает поля действительных или комплексных чисел, и пусть V = K и W = K. Пусть A 1,..., A n − 1 - аналитические функции, определенные в некоторой окрестности отрезка (0, 0) в W × V и принимающие значения в матрицах m × m, и пусть b аналитическая функция со значениями в V, определенными в той же окрестности. Тогда существует окрестность 0 в W, на которой квазилинейная задача Коши

∂ xnf = A 1 (x, f) ∂ x 1 f + ⋯ + A n - 1 (x, е) ∂ xn - 1 е + б (х, е) {\ Displaystyle \ partial _ {x_ {n}} f = A_ {1} (x, f) \ partial _ {x_ {1}} f + \ cdots + A_ {n-1} (x, f) \ partial _ {x_ {n-1}} f + b (x, f)}

{\ displaystyle \ partial _ {x_ {n}} f = A_ {1} (x, f) \ partial _ {x_ {1}} f + \ cdots + A_ {n-1} (x, f) \ partial _ {x_ {n-1}} f + b (x, f)}

с начальным условием

f (x) = 0 {\ displaystyle f (x) = 0}

f (x) = 0

на гиперповерхности

xn = 0 {\ displaystyle x_ {n} = 0}

{\ displaystyle x_ {n} = 0}

имеет уникальное аналитическое решение ƒ: W → V около 0.

Пример Леви показывает, что теорема верна не для всех гладких функций.

Теорема также может быть сформулирована в абстрактных (вещественных или комплексных) векторных пространствах. Пусть V и W - конечномерные вещественные или комплексные векторные пространства с n = dim W. Пусть A 1,..., A n − 1 - аналитические функции. со значениями в End (V) и b аналитическая функция со значениями в V, определенная в некоторой окрестности точки (0, 0) в W × V. В этом случае, верен тот же результат.

Доказательство с помощью аналитического мажорирования

Обе стороны уравнения в частных производных можно разложить до формального степенного ряда и дать рекуррентные соотношения для коэффициентов формальный степенной ряд для f, однозначно определяющий коэффициенты. Коэффициенты ряда Тейлора для A i и b мажорируются в матричной и векторной норме с помощью простой скалярной рациональной аналитической функции. Соответствующая скалярная задача Коши, включающая эту функцию вместо A i и b, имеет явное локальное аналитическое решение. Абсолютные значения его коэффициентов превосходят нормы исходной задачи; поэтому решение формального степенного ряда должно сходиться там, где сходится скалярное решение.

Теорема Коши – Ковалевской высшего порядка

Если F и f j аналитические функции около 0, то нелинейная задача Коши

∂ tkh = F (x, t, ∂ tj ∂ x α h), где j < k and | α | + j ≤ k, {\displaystyle \partial _{t}^{k}h=F\left(x,t,\partial _{t}^{j}\,\partial _{x}^{\alpha }h\right),{\text{ where }}j

{\ displaystyle \ partial _ {t} ^ {k} h = F \ left (x, t, \ partial _ {t} ^ {j} \, \ partial _ {x} ^ {\ alpha} h \ right), {\ text {where}} j <k {\ text {and}} | \ alpha | + j \ leq k,}

с начальными условиями

∂ tjh (x, 0) = fj (x), 0 ≤ j < k, {\displaystyle \partial _{t}^{j}h(x,0)=f_{j}(x),\qquad 0\leq j

\ partial _ {t} ^ {j} h (x, 0) = f_ {j} ( x), \ qquad 0 \ leq j <k,

имеет единственное аналитическое решение около 0.

Это следует из задачи первого порядка, если рассматривать производные h, появляющиеся в правой части, как компоненты вектор-функции.

Пример

уравнение теплопроводности

∂ th = ∂ x 2 h {\ displaystyle \ partial _ {t} h = \ partial _ {x} ^ {2} h}

{\ displaystyle \ partial _ {t} h = \ partial _ {x} ^ {2} h}

с условием

h (0, x) = 1 1 + x 2 для t = 0 {\ displaystyle h (0, x) = {1 \ over 1 + x ^ {2}} { \ text {for}} t = 0}

{\ displaystyle h (0, x) = {1 \ over 1 + x ^ {2}} {\ text {for}} t = 0}

имеет уникальное решение формального степенного ряда (расширенное вокруг (0, 0)). Однако этот формальный степенной ряд не сходится ни при каких ненулевых значениях t, поэтому нет аналитических решений в окрестности начала координат. Это показывает, что условие | α | + j ≤ k выше нельзя отбросить. (Этот пример принадлежит Ковалевскому.)

Теорема Коши – Ковалевской – Кашивары

Существует широкое обобщение теоремы Коши – Ковалевской для систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных с аналитическими коэффициентами:, в связи с Масаки Кашивара (1983). Эта теорема включает когомологическую формулировку, представленную на языке D-модулей. Условие существования включает в себя условие совместимости между неоднородными частями каждого уравнения и обращение в нуль производного функтора $E xt 1 {\ displaystyle Ext ^ {1}}$ $Ext ^ {1}$ .

Пример

Пусть $n ≤ m {\ displaystyle n \ leq m}$ $n \ leq m$ . Установите $Y = {x 1 = ⋯ = x n} {\ displaystyle Y = \ {x_ {1} = \ cdots = x_ {n} \}}$ $Y = \ {x_ {1} = \ cdots = x_ {n} \ }$ . Система $∂ xif = gi, i = 1,…, n, {\ displaystyle \ partial _ {x_ {i}} f = g_ {i}, i = 1, \ ldots, n,}$ $\ partial _ {{x_ {i}}} f = g_ {i}, я знак равно 1, \ ldots, n,$ имеет решение $f ∈ C {x 1,…, xm} {\ displaystyle f \ in \ mathbb {C} \ {x_ {1}, \ ldots, x_ {m} \}}$ $f \ in {\ mathbb C} \ {x_ {1}, \ ldots, x_ {m} \}$ тогда и только тогда, когда выполняются условия совместимости $∂ xigj = ∂ xjgi {\ displaystyle \ partial _ {x_ {i}} g_ {j} = \ partial _ {x_ {j}} g_ {i}}$ $\ partial _ {{x_ {i} }} g_ {j} = \ partial _ {{x_ {j}}} g_ {i}$ проверены. Чтобы получить уникальное решение, мы должны включить начальное условие $f | Y = час {\ displaystyle f | _ {Y} = h}$ $f | _ {Y} = h$ , где $h ∈ C {xn + 1,…, xm} {\ displaystyle h \ in \ mathbb {C} \ {x_ {n + 1}, \ ldots, x_ {m} \}}$ $h \ in {\ mathbb C} \ {x _ {{n + 1}}, \ ldots, x_ {m} \}$ .

Ссылки

Коши, Огюстен (1842), «Памятка о потребностях в расчетах пределов в интеграции équations aux dérivées partielles ", Comptes rendus, 15Перепечатано в Oeuvres complete, 1 серия, Том VII, страницы 17–58.
Folland, Джеральд Б. (1995), Введение в частичный дифференциал Equations, Princeton University Press, ISBN 0-691-04361-2
Hörmander, L. (1983), Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными I, Grundl. Математика. Wissenschaft., 256, Springer, doi : 10.1007 / 978-3-642-96750-4, ISBN 3 -540-12104-8, MR 0717035 (линейный случай)
Кашивара, М. (1983), Системы микродифференциальных уравнений, Прогресс в математике, 34, Биркхойзер, ISBN 0817631380
фон Ковалевски, Софи (1875), "Zur Theorie der partiellen Differentialgleichung", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 80 : 1 –32 (в то время использовалось немецкое написание фамилии.)
Нахушев А.М. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press

Внешние ссылки

PlanetMath