Метод конечных объемов

Метод конечных объемов (FVM ) - это метод представления и оценки уравнения в частных производных в форме алгебраических уравнений. В методе конечных объемов объемные интегралы в уравнении с частными производными, которые содержат член дивергенции, преобразуются в поверхностные интегралы с использованием теоремы о дивергенции. Затем эти члены оцениваются как потоки на поверхностях каждого конечного объема. Поскольку поток, входящий в данный объем, идентичен потоку, выходящему из соседнего объема, эти методы являются консервативными. Еще одно преимущество метода конечных объемов состоит в том, что он легко формулируется для учета неструктурированных сеток. Метод используется во многих пакетах вычислительной гидродинамики. «Конечный объем» относится к небольшому объему, окружающему каждую узловую точку на сетке.

Методы конечного объема можно сравнить и противопоставить методам конечных разностей, которые аппроксимируют производные с использованием узловых значений, или методам конечных элементов, которые создают локальные аппроксимации решение, используя локальные данные, и построить глобальное приближение, сшивая их вместе. В отличие от этого, метод конечного объема оценивает точные выражения для среднего значения решения по некоторому объему и использует эти данные для построения приближений решения в пределах ячеек.

• 1 Пример
• 2 Общий закон сохранения
• 3 См. Также
• 4 Дополнительная литература
• 5 Ссылки
• 6 Внешние ссылки

Рассмотрим простую задачу 1D адвекции :

$(1)\; \partial \; \rho \; \partial \; T\; +\; \partial \; е\; \partial \; Икс\; знак\; равно\; 0,\; T\; \ge \; 0.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; quad\; (1)\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; rho\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; =\; 0,\; \backslash \; quad\; t\; \backslash \; geq\; 0.\}$

Здесь $\rho \; =\; \rho \; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; =\; \backslash \; rho\; \backslash \; left\; (x,\; t\; \backslash \; right)\; \backslash \}$представляет переменную состояния, а $f\; =\; f\; (\rho \; (x,\; t))\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; =\; f\; \backslash \; left\; (\backslash \; rho\; \backslash \; left\; (x,\; t\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\; \backslash \}$представляет поток или поток $\rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \backslash \}$. Обычно положительное значение $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \}$представляет поток вправо, а отрицательное $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \}$представляет поток слева. Если мы предположим, что уравнение (1) представляет текущую среду постоянной площади, мы можем подразделить пространственную область $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \}$на конечные объемы или ячейки с центрами ячеек. индексируется как $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \backslash \}$. Для конкретной ячейки, $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \backslash \}$, мы можем определить среднее значение объема $\rho \; i\; (t)\; =\; \rho \; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; rho\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; left\; (t\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; rho\; \backslash \; left\; (x,\; t\; \backslash \; right)\; \backslash \}$во время $t\; =\; t\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{t\; =\; t\_\; \{\; 1\}\}\; \backslash \}$и $x\; \in \; [xi\; -\; 1\; 2,\; xi\; +\; 1\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{x\; \backslash \; in\; \backslash \; left\; [x\_\; \{i\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \}\}\},\; x\_\; \{i\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right]\}\; \backslash \}$, поскольку

$(2)\; \rho \; ¯\; i\; (t\; 1)\; =\; 1\; xi\; +\; 1\; 2\; -\; xi\; -\; 1\; 2\; \int \; xi\; -\; 1\; 2\; xi\; +\; 1\; 2\; \rho \; (x,\; t\; 1)\; dx,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; quad\; (2)\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; rho\}\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; left\; (t\_\; \{1\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\_\; \{i\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\; -\; x\_\; \{i\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{x\_\; \{i\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\}\; ^\; \{x\_\; \{i\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\}\; \backslash \; rho\; \backslash \; left\; (x,\; t\_\; \{1\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; dx,\}$

и во время $t\; =\; t\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{t\; =\; t\_\; \{2\}\}\; \backslash \}$as,

$(3)\; \rho \; ¯\; i\; (t\; 2)\; Знак\; равно\; 1\; xi\; +\; 1\; 2\; -\; xi\; -\; 1\; 2\; \int \; xi\; -\; 1\; 2\; xi\; +\; 1\; 2\; \rho \; (x,\; t\; 2)\; dx,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; quad\; (3)\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; rho\}\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; left\; (t\_\; \{2\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\_\; \{i\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\; -\; x\_\; \{i\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \}\}\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{x\_\; \{i\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\}\; ^\; \{x\_\; \{i\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\}\; \backslash \; rho\; \backslash \; left\; (x,\; t\_\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; dx,\}$

где $xi\; -\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{i\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\; \backslash \}$и $xi\; +\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{i\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\; \backslash \}$представляют местоположения восходящих и нисходящих граней или ребер соответственно $iith\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; ^\; \{th\}\; \backslash \}$ячейка.

Интегрируя уравнение (1) по времени, получаем:

$(4)\; \rho \; (x,\; t\; 2)\; =\; \rho \; (x,\; t\; 1)\; -\; \int \; t\; 1\; t\; 2\; fx\; (x,\; t)\; dt,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; quad\; (4)\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; rho\; \backslash \; left\; (x,\; t\_\; \{2\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; rho\; \backslash \; left\; (x,\; t\_\; \{1\}\; \backslash \; right)\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{t\_\; \{\; 1\}\}\; ^\; \{t\_\; \{2\}\}\; f\_\; \{x\}\; \backslash \; left\; (x,\; t\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; dt,\}$

где $fx\; =\; \partial \; f\; \partial \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{x\}\; =\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\}$.

Чтобы получить среднее значение объема $\rho \; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \backslash \; left\; (x,\; t\; \backslash \; right)\}$во время $t\; =\; t\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; =\; t\_\; \{2\}\; \backslash \}$, мы интегрируем $\rho \; (x,\; t\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \backslash \; left\; (\; x,\; t\_\; \{2\}\; \backslash \; right)\}$по объему ячейки, $[xi\; -\; 1\; 2,\; xi\; +\; 1\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [x\_\; \{i\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{2\}\}\},\; x\_\; \{i\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right]\}$и разделите результат на $\Delta \; xi\; =\; xi\; +\; 1\; 2\; -\; xi\; -\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; x\_\; \{i\}\; =\; x\_\; \{i\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\; -\; x\_\; \{i\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\}$, т.е.

$(5)\; \rho \; ¯\; i\; (t\; 2)\; =\; 1\; \Delta \; xi\; \int \; xi\; -\; 1\; 2\; xi\; +\; 1\; 2\; \{\rho \; (x,\; t\; 1)\; -\; t\; 1\; t\; 2\; fx\; (x,\; t)\; dt\}\; dx.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; quad\; (5)\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; rho\}\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; left\; (t\_\; \{2\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; Delta\; x\_\; \{i\}\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{x\_\; \{i\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\}\; ^\; \{x\_\; \{i\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\}\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; rho\; \backslash \; left\; (x,\; t\_\; \{\; 1\}\; \backslash \; right)\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{t\_\; \{1\}\}\; ^\; \{t\_\; \{2\}\}\; f\_\; \{x\}\; \backslash \; left\; (x,\; t\; \backslash \; right)\; dt\; \backslash \; right\; \backslash \}\; dx.\}$

Мы предполагаем, что $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \}$работает хорошо, и мы можем изменить порядок интегрирования. Также помните, что поток нормален к единице площади ячейки. Теперь, поскольку в одном измерении $fx\; \triangleq \; \nabla \; \cdot \; f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{x\}\; \backslash \; triggeredq\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; f\}$, мы можем применить теорему о расходимости, т.е. $\oint \; v\; \nabla \; \cdot \; fdv\; =\; \oint \; S\; fd\; S\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; oint\; \_\; \{v\}\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; fdv\; =\; \backslash \; oint\; \_\; \{S\}\; f\; \backslash ,\; dS\}$и замените объемный интеграл дивергенции со значениями $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; \backslash \}$, вычисленными на поверхности ячейки (края $xi\; -\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{i\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\; \backslash \}$и $xi\; +\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{i\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \}\}\; \backslash \}$) конечного объема следующим образом:

$(6)\; \rho \; ¯\; i\; (t\; 2)\; =\; \rho \; ¯\; i\; (t\; 1)\; -\; 1\; ∆\; xi\; (\int \; t\; 1\; t\; 2\; fi\; +\; 1\; 2\; dt\; -\; \int \; t\; 1\; t\; 2\; fi\; -\; 1\; 2\; dt).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; quad\; (6)\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; rho\}\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; left\; (t\_\; \{2\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; rho\}\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; left\; (\; t\_\; \{1\}\; \backslash \; right)\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; Delta\; x\_\; \{i\}\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; int\; \_\; \{t\_\; \{1\}\}\; ^\; \{t\_\; \{2\}\}\; f\_\; \{i\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{2\}\}\}\; dt-\; \backslash \; int\; \_\; \{t\_\; \{1\}\}\; ^\; \{t\_\; \{2\}\}\; f\_\; \{i\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\; dt\; \backslash \; right).\}$

где $fi\; \pm \; 1\; 2\; =\; е\; (xi\; \pm \; 1\; 2,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{i\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\; =\; f\; \backslash \; left\; (x\_\; \{i\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{2\}\}\},\; t\; \backslash \; right)\}$.

Таким образом, мы можем вывести полудискретную числовую схему для вышеупомянутой задачи с центрами ячеек, индексированными как $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \backslash \}$, и с потоками на краях ячеек, индексированными как $i\; \pm \; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}$, дифференцируя (6) по времени, чтобы получить :

$(7)\; d\; \rho \; ¯\; idt\; +\; 1\; \Delta \; xi\; [fi\; +\; 1\; 2\; -\; fi\; -\; 1\; 2]\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; quad\; (7)\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \{\backslash \; bar\; \{\; \backslash \; rho\}\}\; \_\; \{i\}\}\; \{dt\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; Delta\; x\_\; \{i\}\}\}\; \backslash \; left\; [f\_\; \{i\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\; -\; f\_\; \{i\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right]\; =\; 0,\}$

где значения для краевых потоков, $fi\; \pm \; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{i\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\}$, банка б e реконструируется с помощью интерполяции или экстраполяции средних значений ячеек. Уравнение (7) точно для средних значений объема; т.е. при его выводе никаких приближений не делалось.

Этот метод также можно применить к ситуации 2D, рассматривая северную и южную грани вместе с восточной и западной гранями вокруг узла.

Мы также можем рассмотреть общую проблему закона сохранения, представленную следующим PDE,

$(8)\; \partial \; u\; \partial \; t\; +\; \nabla \; \cdot \; f\; (u)\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; quad\; (8)\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \{\{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathbf\; \{u\}\}\}\; \backslash \; over\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; +\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; mathbf\; \{f\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; mathbf\; \{u\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; mathbf\; \{0\}\}.\}$

Здесь $u\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{u\}\}\; \backslash \}$представляет вектор состояний и $f\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; \backslash \}$представляет соответствующий тензор потока . Мы снова можем подразделить пространственную область на конечные объемы или ячейки. Для конкретной ячейки, $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \backslash \}$, мы берем интеграл объема по общему объему ячейки, $vi\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{i\}\; \backslash \}$, что дает

$(9)\; \int \; vi\; \partial \; u\; \partial \; tdv\; +\; \int \; vi\; \nabla \; \cdot \; f\; (u)\; dv\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; quad\; (9)\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; int\; \_\; \{v\_\; \{i\}\}\; \{\{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathbf\; \{u\}\}\}\; \backslash \; over\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; \backslash ,\; dv\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{v\_\; \{\; i\}\}\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; mathbf\; \{f\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; mathbf\; \{u\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; dv\; =\; \{\backslash \; mathbf\; \{0\}\}.\}$

При интегрировании первого члена, чтобы получить среднее по объему и применение теоремы о расходимости ко второму, это дает

$(10)\; vidu\; ¯\; idt\; +\; \oint \; S\; if\; (u)\; \cdot \; nd\; S\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; quad\; (10)\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; v\_\; \{\; i\}\; \{\{d\; \{\backslash \; mathbf\; \{\backslash \; bar\; \{u\}\}\}\; \_\; \{i\}\}\; \backslash \; over\; \{dt\}\}\; +\; \backslash \; oint\; \_\; \{S\_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; mathbf\; \{f\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; mathbf\; \{u\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; mathbf\; \{n\}\}\; \backslash \; dS\; =\; \{\backslash \; mathbf\; \{0\}\},\}$

где $S\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{i\}\; \backslash \}$представляет общую площадь поверхности ячейки, а $n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{n\}\}\}$представляет собой единичный вектор, нормальный к поверхности и указывающий наружу. Итак, наконец, мы можем представить общий результат, эквивалентный (8), т.е.

$(11)\; d\; u\; ¯\; i\; d\; t\; +\; 1\; v\; i\; \oint \; S\; i\; f\; (u)\; \cdot \; n\; d\; S\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; quad\; (11)\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \{\{d\; \{\backslash \; mathbf\; \{\backslash \; bar\; \{u\}\}\}\; \_\; \{i\}\}\; \backslash \; over\; \{dt\}\}\; +\; \{\{1\}\; \backslash \; over\; \{v\_\; \{i\}\}\; \}\; \backslash \; oint\; \_\; \{S\_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; mathbf\; \{f\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; mathbf\; \{u\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; mathbf\; \{n\}\}\; \backslash \; dS\; =\; \{\backslash \; mathbf\; \{0\}\}.\; \}$

Опять же, значения для граничных потоков могут быть восстановлены путем интерполяции или экстраполяции средних значений ячеек. Фактическая численная схема будет зависеть от геометрии задачи и построения сетки. MUSCL реконструкция часто используется в схемах с высоким разрешением, где в растворе присутствуют толчки или неоднородности.

Схемы конечного объема консервативны, поскольку средние значения ячеек изменяются из-за краевых потоков. Другими словами, потеря одной клетки - это прибыль другой клетки!

• Метод конечных элементов
• Ограничитель потока
• Схема Годунова
• Теорема Годунова
• Схема высокого разрешения
• KIVA (Программное обеспечение)
• Общая модель циркуляции MIT
• Схема MUSCL
• Сергей К. Годунов
• Уменьшение полной вариации
• Метод конечного объема для нестационарного потока

• Eymard, R. Gallouët, TR, Herbin, R. (2000) Метод конечных объемов Справочник по численному анализу, Vol. VII, 2000, с. 713–1020. Редакторы: П.Г. Ciarlet и JL Lions.
• Хирш, C. (1990), Численное вычисление внутренних и внешних потоков, Том 2: Вычислительные методы для невязких и вязких потоков, Wiley.
• Лэйни, Калберт Б. (1998), Computational Gas Dynamics, Cambridge University Press.
• Левек, Рэндалл (1990), Численные методы для законов сохранения, ETH Lectures in Mathematics Series, Birkhauser-Verlag.
• LeVeque, Randall (2002), Методы конечных объемов для гиперболических задач, Cambridge University Press.
• Патанкар, Сухас В. (1980), Численный перенос тепла и поток жидкости, полушарие.
• Таннехилл, Джон К. и др. (1997), Computational Fluid Mechanics and Heat Transfer, 2nd Ed., Taylor and Francis.
• Toro, EF (1999), Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, Springer-Verlag..
• Wesseling, Pieter (2001), Principles of Computational Fluid Dynamics, Springer-Verlag.

• Методы конечных объемов Р. Эймарда, Т. Галлуэ nd Р. Хербин, обновление статьи, опубликованной в Handbook of Numerical Analysis, 2000
• Rübenkönig, Oliver. «Метод конечных объемов (FVM) - Введение». Архивировано из оригинала от 02.10.2009. Для журнала Cite требуется | journal =(), доступный под GFDL.
• FiPy: решатель конечного объема в частных производных с использованием Python из NIST.
• CLAWPACK : программный пакет, предназначенный для вычисления численных решений гиперболических уравнений в частных производных с использованием подхода распространения волн