Экстраполяция

редактировать
Метод для оценка новых данных за пределами известных точек данных

В математике, экстраполяция - это тип оценки значения за пределами исходного диапазона наблюдения. переменной на основе ее связи с другой переменной. Это похоже на интерполяцию, которая производит оценки между известными наблюдениями, но экстраполяция подвержена большей неопределенности и более высокому риску получения бессмысленных результатов. Экстраполяция также может означать расширение метода , если будут применимы аналогичные методы. Экстраполяция может также применяться к человеческому опыту для проецирования, расширения или расширения известного опыта в области, неизвестной или ранее испытанной, чтобы прийти к (обычно предполагаемому) знанию неизвестного (например, водитель экстраполирует дорогу условия за пределами его поля зрения во время вождения). Метод экстраполяции может быть применен в задаче внутренней реконструкции.

Пример иллюстрации проблемы экстраполяции, состоящей из присвоения значимого значения синему прямоугольнику в x = 7 {\ displaystyle x = 7}x = 7 с учетом красных точек данных.

Содержание

  • 1 Методы
    • 1.1 Линейный
    • 1.2 Полиномиальный
    • 1.3 Конический
    • 1.4 Французская кривая
  • 2 Качество
  • 3 В комплексной плоскости
  • 4 Быстрый
  • 5 Аргументы экстраполяции
  • 6 См. Также
  • 7 Примечания
  • 8 Ссылки

Методы

Правильный выбор того, какой метод экстраполяции применить, зависит от предварительного знания процесса, создавшего существующие данные точки. Некоторые эксперты предложили использовать причинные силы при оценке методов экстраполяции. Ключевыми вопросами являются, например, можно ли предположить, что данные являются непрерывными, гладкими, возможно, периодическими и т. Д.

Линейные

Линейная экстраполяция означает создание касательной линии в конце известных данных и расширяя его за этот предел. Линейная экстраполяция даст хорошие результаты только тогда, когда она используется для расширения графика приблизительно линейной функции или не слишком далеко за пределы известных данных.

Если две точки данных, ближайшие к точке x ∗ {\ displaystyle x _ {*}}x_ * , подлежащие экстраполяции, равны (xk - 1, yk - 1) { \ Displaystyle (x_ {k-1}, y_ {k-1})}(x _ {{k -1}}, y _ {{k-1}}) и (xk, yk) {\ displaystyle (x_ {k}, y_ {k})}(x_ {k}, y_ {k}) , линейная экстраполяция дает функцию:

y (x ∗) = yk - 1 + x ∗ - xk - 1 xk - xk - 1 (yk - yk - 1). {\ displaystyle y (x _ {*}) = y_ {k-1} + {\ frac {x _ {*} - x_ {k-1}} {x_ {k} -x_ {k-1}}} (y_ {k} -y_ {k-1}).}y (x _ {*}) = y _ {{k-1 }} + {\ frac {x _ {*} - x _ {{k-1}}} {x _ {{k}} - x _ {{k-1}}}} (y ​​_ {{k}} - y _ {{ k-1}}).

(что идентично линейной интерполяции, если xk - 1 < x ∗ < x k {\displaystyle x_{k-1}x _ {{k-1}} <x _ {*} <x_ {k} ). Можно включить более двух точек и усреднить наклон линейного интерполянта с помощью методов регрессии для точек данных, выбранных для включения. Это похоже на линейное предсказание.

Полином

экстраполяции Лагранжа последовательности 1,2,3. Экстраполяция на 4 приводит к полиному минимальной степени (голубая линия).

Полиномиальная кривая может быть построена по всем известным данным или только ближе к концу (две точки для линейной экстраполяции, три точки для квадратичной экстраполяции и т. Д.). Полученная кривая затем может быть расширена за пределы известных данных. Полиномиальная экстраполяция обычно выполняется с помощью интерполяции Лагранжа или с использованием метода конечных разностей Ньютона для создания серии Ньютона, которая соответствует данным. Полученный многочлен можно использовать для экстраполяции данных.

Полиномиальную экстраполяцию высокого порядка следует использовать с должной осторожностью. Для примера набора данных и проблемы на рисунке выше все, что выше порядка 1 (линейная экстраполяция), возможно, даст непригодные для использования значения; оценка ошибки экстраполированного значения будет расти с увеличением степени экстраполяции полинома. Это связано с феноменом Рунге..

Коническое

A сечение конуса может быть создано с использованием пяти точек ближе к концу известных данных. Если созданное коническое сечение представляет собой эллипс или круг, при экстраполяции он зациклится и воссоединится. Экстраполированная парабола или гипербола не соединятся сами с собой, но могут изгибаться назад относительно оси X. Этот тип экстраполяции может быть выполнен с помощью шаблона конических сечений (на бумаге) или с помощью компьютера.

Французская кривая

Экстраполяция французской кривой - это метод, подходящий для любого распределения, которое имеет тенденцию быть экспоненциальным, но с факторами ускорения или замедления. Этот метод успешно использовался для составления прогнозов роста ВИЧ / СПИДа в Великобритании с 1987 года и варианта CJD в Великобритании в течение ряда лет. Другое исследование показало, что экстраполяция может дать такое же качество результатов прогнозирования, как и более сложные стратегии прогнозирования.

Качество

Как правило, качество конкретного метода экстраполяции ограничивается предположениями о функция, выполненная методом. Если метод предполагает, что данные гладкие, то не сглаженная функция будет плохо экстраполирована.

Что касается сложных временных рядов, некоторые эксперты обнаружили, что экстраполяция более точна, если выполняется путем разложения причинных сил.

Даже для правильных предположений о функции экстраполяция может сильно отличаться из функции. Классический пример - усеченные степенные серии представления sin (x) и связанных тригонометрических функций. Например, взяв только данные, близкие к x = 0, мы можем оценить, что функция ведет себя как sin (x) ~ x. В окрестности x = 0 это отличная оценка. Однако вне x = 0 экстраполяция произвольно удаляется от оси x, в то время как sin (x) остается в интервале [-1, 1]. То есть погрешность неограниченно возрастает.

Включение большего количества членов в степенной ряд sin (x) вокруг x = 0 приведет к лучшему согласованию в большем интервале около x = 0, но приведет к экстраполяции, которая в конечном итоге отклонится от оси x еще быстрее чем линейное приближение.

Это расхождение является специфическим свойством методов экстраполяции и обходится только в том случае, если функциональные формы, принимаемые методом экстраполяции (случайно или намеренно из-за дополнительной информации), точно отражают природу экстраполируемой функции. Для конкретных задач эта дополнительная информация может быть доступна, но в общем случае невозможно удовлетворить все возможные варианты поведения функций с работоспособным небольшим набором потенциального поведения.

В комплексной плоскости

В комплексном анализе проблема экстраполяции может быть преобразована в задачу интерполяции путем замены переменной z ^ = 1 / z {\ displaystyle {\ hat {z}} = 1 / z}{\ hat {z}} = 1 / z . Это преобразование заменяет часть комплексной плоскости внутри единичной окружности на часть комплексной плоскости вне единичной окружности. В частности, точка компактификации на бесконечности отображается в начало координат и наоборот. Однако с этим преобразованием следует проявлять осторожность, поскольку исходная функция могла иметь «особенности», например, полюса и другие особенности, на бесконечности, которые не были очевидны из выборочных данных.

Другая проблема экстраполяции слабо связана с проблемой аналитического продолжения, где (обычно) степенной серией представлением функции является расширен в одной из своих точек сходимости для получения степенного ряда с большим радиусом сходимости. Фактически, набор данных из небольшой области используется для экстраполяции функции на большую область.

Опять же, аналитическому продолжению могут помешать функции функции, которые не были очевидны из исходных данных.

Кроме того, можно использовать преобразования последовательности, такие как аппроксимации Паде, и в качестве методов экстраполяции, которые приводят к суммированию степенного ряда, которые расходятся за пределами исходного радиуса конвергенции. В этом случае часто получают рациональные аппроксимации.

Быстро

Экстраполированные данные часто свертывают в функцию ядра. После экстраполяции данных размер данных увеличивается в N раз, здесь N составляет примерно 2–3. Если эти данные необходимо преобразовать в известную функцию ядра, численные вычисления увеличатся в N log (N) раз даже при использовании быстрого преобразования Фурье (БПФ). Есть алгоритм, который аналитически рассчитывает вклад части экстраполированных данных. Время вычисления можно опустить по сравнению с исходным вычислением свертки. Следовательно, с помощью этого алгоритма вычисления свертки с использованием экстраполированных данных почти не увеличиваются. Это называется быстрой экстраполяцией. Для реконструкции КТ-изображения была применена быстрая экстраполяция.

Аргументы экстраполяции

Аргументы экстраполяции - это неофициальные и неколичественные аргументы, которые утверждают, что что-то верно за пределами диапазона значений, для которых это известно. правда. Например, мы верим в реальность того, что видим через увеличительное стекло, потому что оно согласуется с тем, что мы видим невооруженным глазом, но выходит за его пределы; мы верим в то, что видим в световые микроскопы, потому что это согласуется с тем, что мы видим через увеличительные стекла, но выходит за рамки этого; и то же самое для электронных микроскопов.

Подобно аргументам скользкого пути, аргументы экстраполяции могут быть сильными или слабыми в зависимости от таких факторов, как то, насколько экстраполяция выходит за пределы известного диапазона.

См. Также

Найдите экстраполяцию в Викисловаре, бесплатном словаре.
Викискладе есть материалы, связанные с Экстраполяцией.

Примечания

Ссылки

  • Методы экстраполяции. Теория и практика К. Брезинского и М. Редиво Загля, Северная Голландия, 1991.
Последняя правка сделана 2021-05-19 10:19:01
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте