Преобразование последовательности

редактировать

В математике преобразование последовательности - это оператор, действующий на заданное пространство последовательностей (пробел ). Преобразования последовательностей включают в себя линейные сопоставления, такие как свертка с другой последовательностью и пересуммирование последовательности и, в более общем смысле, обычно используются для последовательного ускорения, то есть для повышения скорости сходимости медленно сходящейся последовательности или серии. Преобразования последовательности также обычно используются для численного вычисления расходящегося ряда и используются вместе с методами экстраполяции.

Содержание

1 Обзор
2 Определения
3 Примеры
4 См. Также
5 Ссылки
6 Внешние ссылки

Обзор

Классические примеры преобразований последовательностей включают биномиальное преобразование, преобразование Мёбиуса, преобразование Стирлинга и другие.

Определения

Для данной последовательности

S = {sn} n ∈ N, {\ displaystyle S = \ {s_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb { N}}, \,}

S = \ {s_ {n} \} _ {{n \ in \ mathbb {N}}}, \,

преобразованная последовательность имеет вид

T (S) = S ′ = {sn ′} n ∈ N, {\ displaystyle \ mathbf {T} (S) = S '= \ {s' _ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}}, \,}

{\mathbf {T}}(S)=S'=\{s'_{n}\}_{{n\in \mathbb{N} }},\,

где члены преобразованной последовательности обычно вычисляются из некоторого конечного числа членов исходная последовательность, т.е.

sn '= T (sn, sn + 1,…, sn + k) {\ displaystyle s_ {n}' = T (s_ {n}, s_ {n + 1}, \ dots, s_ {n + k})}

s_{n}'=T(s_{n},s_{{n+1}},\dots,s_{{n+k}})

для некоторого $k {\ displaystyle k}$ $k$ , которое часто зависит от $n {\ displaystyle n}$ $n$ (ср. например, Биномиальное преобразование ). В простейшем случае $sn {\ displaystyle s_ {n}}$ $s_ {n}$ и $sn ′ {\ displaystyle s '_ {n}}$ $s'_{n}$ равны вещественные или комплексные числа. В более общем смысле, они могут быть элементами некоторого векторного пространства или алгебры.

. В контексте ускорения сходимости преобразованная последовательность, как говорят, сходится быстрее, чем исходная последовательность, если

lim n → ∞ sn ′ - ℓ sn - ℓ = 0 {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {s '_ {n} - \ ell} {s_ {n} - \ ell}} = 0}

\lim _{{n\to \infty }}{\frac {s'_{n}-\ell }{s_{n}-\ell }}=0

где $ℓ {\ displaystyle \ ell}$ $\ ell$ - предел $S {\ displaystyle S}$ $S$ , предполагаемый сходиться. В этом случае получается ускорение схождения. Если исходная последовательность расходящаяся, преобразование последовательности действует как метод экстраполяции на антилимит $ℓ {\ displaystyle \ ell}$ $\ ell$ .

Если отображение $T { \ displaystyle T}$ $T$ является линейным в каждом из своих аргументов, т. е. для

sn ′ = ∑ m = 0 kcmsn + m {\ displaystyle s '_ {n} = \ sum _ {m = 0} ^ {k} c_ {m} s_ {n + m}}

s'_{n}=\sum _{{m=0}}^{{k}}c_{m}s_{{n+m}}

для некоторых констант $c 0,…, ck {\ displaystyle c_ {0}, \ dots, c_ {k}}$ $c_ {0}, \ dots, c_ {k}$ (который может зависеть от n), преобразование последовательности $T {\ displaystyle \ mathbf {T}}$ $\ mathbf {T}$ называется преобразованием линейной последовательности . Вызываются преобразования последовательности, которые не являются линейными.

Примеры

Простейшие примеры (линейных) преобразований последовательности включают сдвиг всех элементов, $sn ′ = sn + k {\ displaystyle s '_ {n} = s_ {n + k }}$ $s'_{n}=s_{{n+k}}$ (соответственно = 0, если n + k < 0) for a fixed k, and скалярное умножение последовательности.

Немного менее тривиальным обобщением будет дискретная свертка с фиксированной последовательностью. В частности, основной формой является оператор разности , который представляет собой свертку с последовательностью $(- 1, 1, 0,…), {\ displaystyle (-1,1, 0, \ ldots),}$ $(-1,1,0, \ ldots),$ и является дискретным аналогом производной. Биномиальное преобразование - это еще одно линейное преобразование еще более общего типа.

Пример нелинейного преобразования последовательности - это дельта-квадратный процесс Эйткена, используемый для улучшения скорости сходимости медленно сходящейся последовательности. Расширенная форма этого - преобразование Шанкса. Преобразование Мёбиуса также является нелинейным преобразованием, возможно только для целочисленной последовательности es.

См. также

Ссылки

Хью Дж. Гамильтон, "Теорема Мертенса и преобразования последовательностей ", AMS (1947)

Внешние ссылки

Преобразования целочисленных последовательностей, подстраница Он-лайн энциклопедии целочисленных последовательностей