Суммирование

Эта статья о суммах нескольких элементов. Для более элементарных аспектов см. Дополнение. Чтобы узнать о бесконечных суммах, см. Серии (математика). Для использования в других целях, см Суммирование (значения).

Арифметические операции v т е

Дополнение (+) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ left. {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ text {term}} \, + \, {\ text {term}} \\\ scriptstyle {\ text {summand}} \, + \, {\ text {summand}} \\\ scriptstyle {\ text {addend}} \, + \, {\ text {addend}} \\\ scriptstyle {\ text {augend}} \, + \, {\ text {addend}} \ end {matrix}} \ right \} \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {sum}}}$ Вычитание (-) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ left. {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ text {term}} \, - \, {\ text {term}} \\\ scriptstyle {\ text {minuend}} \, - \, {\ text {subtrahend}} \ end {matrix}} \ right \} \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {разница}}}$ Умножение (×) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ left. {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ text {factor}} \, \ times \, {\ text {factor}} \\\ scriptstyle {\ text {multiplier}} \, \ раз \, {\ text {multiplicand}} \ end {matrix}} \ right \} \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {product}}}$ Деление (÷) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ left. {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ frac {\ scriptstyle {\ text {divisor}}} {\ scriptstyle {\ text {divisor}}}} \\\ scriptstyle {\ text { }} \\\ scriptstyle {\ frac {\ scriptstyle {\ text {numerator}}} {\ scriptstyle {\ text {denominator}}}} \ end {matrix}} \ right \} \, = \,}$ ${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ text {дробь}} \\\ scriptstyle {\ text {quotient}} \\\ scriptstyle {\ text {ratio}} \ end {matrix}}}$ Возведение в степень ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {base}} ^ {\ text {exponent}} \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {power}}}$ корень n- й степени (√) ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt [{\ text {степень}}] {\ scriptstyle {\ text {radicand}}}} \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {root}}}$ Логарифм (журнал) ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ log _ {\ text {base}} ({\ text {антилогарифм}}) \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {логарифм}}}$

В математике, суммирование является дополнением из последовательности любого вида чисел, называемых аддендов или слагаемых ; результат - их сумма или итог. Помимо чисел, можно суммировать и другие типы значений: функции, векторы, матрицы, полиномы и, в общем, элементы любого типа математических объектов, для которых определена операция, обозначенная знаком «+».

Суммирования бесконечных последовательностей называются сериями. Они связаны с концепцией лимита и не рассматриваются в этой статье.

Суммирование явной последовательности обозначается как последовательность сложений. Например, суммирование [1, 2, 4, 2] обозначается 1 + 2 + 4 + 2 и дает 9, то есть 1 + 2 + 4 + 2 = 9. Поскольку сложение является ассоциативным и коммутативным, скобки не нужны, и результат один и тот же независимо от порядка слагаемых. Суммирование последовательности только одного элемента приводит к получению самого этого элемента. Суммирование пустой последовательности (последовательности без элементов) по соглашению приводит к 0.

Очень часто элементы последовательности определяются с помощью регулярного шаблона в зависимости от их места в последовательности. Для простых шаблонов суммирование длинных последовательностей может быть представлено с заменой большинства слагаемых эллипсами. Например, суммирование первых 100 натуральных чисел может быть записано как 1 + 2 + 3 + 4 + + 99 + 100. В противном случае суммирование обозначается с использованием обозначения Σ, где - увеличенная заглавная греческая буква сигма. Например, сумму первых n натуральных чисел можно обозначить как${\ textstyle \ sum}$ ${\ textstyle \ sum _ {я = 1} ^ {п} я.}$

Для длинных суммирований и суммирований переменной длины (определяемых с помощью эллипсов или обозначений Σ) поиск выражений результата в замкнутой форме является общей проблемой. Например,

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} i = {\ frac {n (n + 1)} {2}}.}$

Хотя такие формулы не всегда существуют, было обнаружено множество формул суммирования, при этом некоторые из наиболее распространенных и элементарных из них перечислены в оставшейся части этой статьи.

• 1 Обозначение
  • 1.1 Обозначение заглавной буквы
  • 1.2 Особые случаи
• 2 Формальное определение
• 3 Обозначения теории меры
• 4 Исчисление конечных разностей
• 5 Аппроксимация определенными интегралами
• 6 идентичностей
  • 6.1 Общая идентичность
  • 6.2 Степени и логарифм арифметических прогрессий
  • 6.3 Индекс суммирования в показателях
  • 6.4 Биномиальные коэффициенты и факториалы
    • 6.4.1 Использование биномиальной теоремы
    • 6.4.2 Использование чисел перестановок
    • 6.4.3 Другое
  • 6.5 Гармонические числа
• 7 Темпы роста
• 8 См. Также
• 9 Примечания
• 10 Источники
• 11 Внешние ссылки

Обозначение заглавной буквы

Символ суммирования

Математические обозначения используется символ, который компактно представляет суммирование многих подобных слагаемых: символ суммирования,, увеличенный вид вертикального капитала греческой буквы сигма. Это определяется как ${\ textstyle \ sum}$

${\ displaystyle \ sum _ {я \ mathop {=} m} ^ {n} a_ {i} = a_ {m} + a_ {m + 1} + a_ {m + 2} + \ cdots + a_ {n- 1} + a_ {n}}$

где i - индекс суммирования ; a i - индексированная переменная, представляющая каждый член суммы; m - нижняя граница суммирования, а n - верхняя граница суммирования. « I = m » под символом суммирования означает, что индекс i начинается равным m. Индекс i увеличивается на единицу для каждого последующего члена, останавливаясь, когда i = n.

Это читается как «сумма a i от i = m до n ».

Вот пример суммирования квадратов:

${\ displaystyle \ sum _ {i = 3} ^ {6} i ^ {2} = 3 ^ {2} + 4 ^ {2} + 5 ^ {2} + 6 ^ {2} = 86.}$

В целом, в то время как любая переменная может быть использована в качестве индекса суммирования ( при условии, что никакой неоднозначности не понесены), некоторые из наиболее распространенных из них включают в себя буквы, такие как,,, и ; последнее также часто используется для оценки сверху суммирования. ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle n}$

В качестве альтернативы, индекс и границы суммирования иногда не включаются в определение суммирования, если контекст достаточно ясен. Это особенно актуально, когда индекс работает от 1 до n. Например, можно написать так:

${\ displaystyle \ sum a_ {i} ^ {2} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} ^ {2}.}$

Часто встречаются обобщения этой нотации, в которых предоставляется произвольное логическое условие, и предполагается, что сумма берется по всем значениям, удовлетворяющим условию. Например:

${\ Displaystyle \ сумма _ {0 \ leq k lt;100} f (k)}$

является суммой всех ( целых чисел ) в указанном диапазоне, ${\ displaystyle f (k)}$ ${\ displaystyle k}$

${\ Displaystyle \ сумма _ {х \ mathop {\ in} S} е (х)}$

является суммой всех элементов в наборе, а ${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle S}$

${\ Displaystyle \ сумма _ {д \, | \, п} \; \ му (д)}$

это сумма по всем натуральным числам делящихся. ${\ Displaystyle \ му (д)}$${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle n}$

Есть также способы обобщить использование многих сигма-знаков. Например,

${\ displaystyle \ sum _ {я, j}}$

такой же как

${\ displaystyle \ sum _ {i} \ sum _ {j}.}$

Аналогичное обозначение применяется, когда дело доходит до обозначения произведения последовательности, которое похоже на его суммирование, но которое использует операцию умножения вместо сложения (и дает 1 для пустой последовательности вместо 0). Используется та же основная структура с увеличенной формой греческой заглавной буквы пи, заменяющей. ${\ textstyle \ prod}$ ${\ textstyle \ sum}$

Особые случаи

Можно суммировать менее 2 чисел:

• Если в суммировании есть одно слагаемое, то оцененная сумма равна.${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$
• Если в суммировании нет слагаемых, то оцененная сумма равна нулю, потому что ноль - это тождество для сложения. Это называется пустой суммой.

Эти вырожденные случаи обычно используются только тогда, когда обозначение суммирования дает вырожденный результат в частном случае. Например, если в приведенном выше определении имеется только один член в сумме; если, то нет. ${\ Displaystyle п = м}$${\ Displaystyle п = м-1}$

Суммирование может быть определено рекурсивно следующим образом:

${\ Displaystyle \ сумма _ {я = а} ^ {b} г (я) = 0}$, для b lt; a ;

${\ Displaystyle \ сумма _ {я = а} ^ {б} г (я) = г (б) + \ сумма _ {я = а} ^ {б-1} г (я)}$, при b ≥ a.

В обозначениях теории меры и интегрирования сумма может быть выражена в виде определенного интеграла,

${\ displaystyle \ sum _ {k \ mathop {=} a} ^ {b} f (k) = \ int _ {[a, b]} f \, d \ mu}$

где - подмножество целых чисел от до, а где - счетная мера. ${\ Displaystyle [а, б]}$ ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle \ mu}$

Для функции f, определенной над целыми числами в интервале [ m, n ], выполняется следующее уравнение:

${\ Displaystyle f (n) -f (m) = \ sum _ {i = m} ^ {n-1} (f (i + 1) -f (i)).}$

Это аналог основной теоремы исчисления в исчислении конечных разностей, которая гласит, что:

${\ displaystyle f (n) -f (m) = \ int _ {m} ^ {n} f '(x) \, dx,}$

куда

${\ displaystyle f '(x) = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}}}$

- производная от f.

Пример применения вышеуказанного уравнения следующий:

${\ displaystyle n ^ {k} = \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} \ left ((i + 1) ^ {k} -i ^ {k} \ right).}$

Используя биномиальную теорему, это можно переписать как:

${\ displaystyle n ^ {k} = \ sum _ {я = 0} ^ {n-1} \ left (\ sum _ {j = 0} ^ {i-1} {\ binom {k} {j}} i ^ {j} \ right).}$

Вышеупомянутая формула чаще используется для инвертирования разностного оператора, определяемого следующим образом: ${\ displaystyle \ Delta}$

${\ Displaystyle \ Delta (е) (п) = е (п + 1) -f (п),}$

где f - функция, определенная на неотрицательных целых числах. Таким образом, при такой функции F, проблема в том, чтобы вычислить antidifference из F, функции такой, что. То есть эта функция определена с точностью до константы и может быть выбрана как ${\ Displaystyle F = \ Delta ^ {- 1} f}$${\ displaystyle \ Delta F = f}$${\ Displaystyle F (n + 1) -F (n) = f (n).}$

${\ Displaystyle F (n) = \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} f (i).}$

Не всегда существует выражение в замкнутой форме для такого суммирования, но формула Фаульхабера обеспечивает замкнутую форму в случае, когда и, по линейности, для каждой полиномиальной функции от n. ${\ Displaystyle е (п) = п ^ {к}}$

Многие такие приближения могут быть получены с помощью следующей связи между суммами и интегралами, которая имеет место для любой возрастающей функции f:

${\ displaystyle \ int _ {s = a-1} ^ {b} f (s) \ ds \ leq \ sum _ {i = a} ^ {b} f (i) \ leq \ int _ {s = a } ^ {b + 1} f (s) \ ds.}$

и для любой убывающей функции f:

${\ displaystyle \ int _ {s = a} ^ {b + 1} f (s) \ ds \ leq \ sum _ {i = a} ^ {b} f (i) \ leq \ int _ {s = a -1} ^ {b} f (s) \ ds.}$

Для более общих приближений см. Формулу Эйлера – Маклорена.

Для суммирования, в котором слагаемое задается (или может быть интерполировано) интегрируемой функцией индекса, суммирование можно интерпретировать как сумму Римана, входящую в определение соответствующего определенного интеграла. Поэтому можно ожидать, например, что

${\ displaystyle {\ frac {ba} {n}} \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} f \ left (a + i {\ frac {ba} {n}} \ right) \ приблизительно \ int _ {a} ^ {b} f (x) \ dx,}$

так как правая часть по определению является пределом для левой части. Однако для данного суммирования n фиксировано, и мало что можно сказать об ошибке в приведенном выше приближении без дополнительных предположений относительно f: очевидно, что для сильно осциллирующих функций сумма Римана может быть сколь угодно далека от интеграла Римана. ${\ Displaystyle п \ к \ infty}$

В приведенных ниже формулах используются конечные суммы; для бесконечного суммирования или конечного суммирования выражений, включающих тригонометрические функции или другие трансцендентные функции, см. список математических рядов.

Общая идентичность

${\ displaystyle \ sum _ {n = s} ^ {t} C \ cdot f (n) = C \ cdot \ sum _ {n = s} ^ {t} f (n) \ quad}$( распределенность )

${\ displaystyle \ sum _ {n = s} ^ {t} f (n) \ pm \ sum _ {n = s} ^ {t} g (n) = \ sum _ {n = s} ^ {t} \ left (f (n) \ pm g (n) \ right) \ quad}$( коммутативность и ассоциативность )

${\ displaystyle \ sum _ {n = s} ^ {t} f (n) = \ sum _ {n = s + p} ^ {t + p} f (np) \ quad}$ (сдвиг индекса)

${\ Displaystyle \ сумма _ {п \ в В} е (п) = \ сумма _ {м \ в А} е (\ сигма (м)), \ квад}$для биекции σ из конечного множества A на множество B (смена индекса); это обобщает предыдущую формулу.

${\ Displaystyle \ сумма _ {п = s} ^ {т} е (п) = \ сумма _ {п = s} ^ {j} е (п) + \ сумма _ {п = j + 1} ^ {т } f (n) \ quad}$(разбиение суммы с использованием ассоциативности )

${\ displaystyle \ sum _ {n = a} ^ {b} f (n) = \ sum _ {n = 0} ^ {b} f (n) - \ sum _ {n = 0} ^ {a-1 } f (n) \ quad}$ (вариант предыдущей формулы)

${\ displaystyle \ sum _ {n = s} ^ {t} f (n) = \ sum _ {n = 0} ^ {ts} f (tn) \ quad}$ (сумма от первого до последнего члена равна сумме от последнего до первого)

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {t} f (n) = \ sum _ {n = 0} ^ {t} f (tn) \ quad}$ (частный случай формулы выше)

${\ displaystyle \ sum _ {я = k_ {0}} ^ {k_ {1}} \ sum _ {j = l_ {0}} ^ {l_ {1}} a_ {i, j} = \ sum _ { j = l_ {0}} ^ {l_ {1}} \ sum _ {i = k_ {0}} ^ {k_ {1}} a_ {i, j} \ quad}$ (снова коммутативность и ассоциативность)

${\ displaystyle \ sum _ {k \ leq j \ leq i \ leq n} a_ {i, j} = \ sum _ {i = k} ^ {n} \ sum _ {j = k} ^ {i} a_ {i, j} = \ sum _ {j = k} ^ {n} \ sum _ {i = j} ^ {n} a_ {i, j} = \ sum _ {j = 0} ^ {nk} \ сумма _ {i = k} ^ {nj} a_ {i + j, i} \ quad}$ (еще одно приложение коммутативности и ассоциативности)

${\ displaystyle \ sum _ {n = 2s} ^ {2t + 1} f (n) = \ sum _ {n = s} ^ {t} f (2n) + \ sum _ {n = s} ^ {t } f (2n + 1) \ quad}$(разбиение суммы на нечетную и четную части для четных индексов)

${\ displaystyle \ sum _ {n = 2s + 1} ^ {2t} f (n) = \ sum _ {n = s + 1} ^ {t} f (2n) + \ sum _ {n = s + 1 } ^ {t} f (2n-1) \ quad}$ (разбиение суммы на нечетные и четные части, для нечетных индексов)

${\ displaystyle \ left (\ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} \ right) \ left (\ sum _ {j = 0} ^ {n} b_ {j} \ right) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} \ sum _ {j = 0} ^ {n} a_ {i} b_ {j} \ quad}$( распределенность )

${\ displaystyle \ sum _ {i = s} ^ {m} \ sum _ {j = t} ^ {n} {a_ {i}} {c_ {j}} = \ left (\ sum _ {i = s } ^ {m} a_ {i} \ right) \ left (\ sum _ {j = t} ^ {n} c_ {j} \ right) \ quad}$ (дистрибутивность допускает факторизацию)

${\ displaystyle \ sum _ {n = s} ^ {t} \ log _ {b} f (n) = \ log _ {b} \ prod _ {n = s} ^ {t} f (n) \ quad }$( логарифм продукта - это сумма логарифмов факторов)

${\ displaystyle C ^ {\ sum \ limits _ {n = s} ^ {t} f (n)} = \ prod _ {n = s} ^ {t} C ^ {f (n)} \ quad}$( экспонента суммы является произведением экспоненты слагаемых)

Степени и логарифм арифметических прогрессий

${\ Displaystyle \ сумма _ {я = 1} ^ {n} с = nc \ quad}$для любого c, не зависящего от i

${\ Displaystyle \ сумма _ {я = 0} ^ {п} я = \ сумма _ {я = 1} ^ {п} я = {\ гидроразрыва {п (п + 1)} {2}} \ qquad}$(Сумма простейшей арифметической прогрессии, состоящей из первых n натуральных чисел.)

${\ Displaystyle \ сумма _ {я = 1} ^ {п} (2i-1) = п ^ {2} \ qquad}$ (Сумма первых нечетных натуральных чисел)

${\ Displaystyle \ сумма _ {я = 0} ^ {п} 2i = п (п + 1) \ qquad}$ (Сумма первых четных натуральных чисел)

${\ Displaystyle \ сумма _ {я = 1} ^ {п} \ журнал я = \ журнал п! \ qquad}$(Сумма логарифмов - это логарифм произведения)

${\ Displaystyle \ сумма _ {я = 0} ^ {п} я ^ {2} = \ сумма _ {я = 1} ^ {п} я ^ {2} = {\ гидроразрыва {п (п + 1) ( 2n + 1)} {6}} = {\ frac {n ^ {3}} {3}} + {\ frac {n ^ {2}} {2}} + {\ frac {n} {6}} \ qquad}$(Сумма первых квадратов, см. Квадрат пирамидального числа. )

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} i ^ {3} = \ left (\ sum _ {i = 0} ^ {n} i \ right) ^ {2} = \ left ({\ гидроразрыв {n (n + 1)} {2}} \ right) ^ {2} = {\ frac {n ^ {4}} {4}} + {\ frac {n ^ {3}} {2}} + {\ frac {n ^ {2}} {4}} \ qquad}$( Теорема Никомаха )

В более общем смысле, есть формула Фаульхабера для${\ displaystyle pgt; 1}$

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {p} = {\ frac {n ^ {p + 1}} {p + 1}} + {\ frac {1} {2}} n ^ {p} + \ sum _ {k = 2} ^ {p} {\ binom {p} {k}} {\ frac {B_ {k}} {p-k + 1}} \, n ^ { п-к + 1},}$

где обозначает число Бернулли, а - биномиальный коэффициент. ${\ displaystyle B_ {k}}$ ${\ displaystyle {\ binom {p} {k}}}$

Индекс суммирования в показателях

В следующих суммированиях предполагается, что a отличается от 1.

${\ displaystyle \ sum _ {я = 0} ^ {n-1} a ^ {i} = {\ frac {1-a ^ {n}} {1-a}}}$(сумма геометрической прогрессии )

${\ displaystyle \ sum _ {я = 0} ^ {n-1} {\ frac {1} {2 ^ {i}}} = 2 - {\ frac {1} {2 ^ {n-1}}} }$(частный случай для a = 1/2)

${\ displaystyle \ sum _ {я = 0} ^ {n-1} ia ^ {i} = {\ frac {a-na ^ {n} + (n-1) a ^ {n + 1}} {( 1-а) ^ {2}}}}$( a, умноженное на производную геометрической прогрессии по a)

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} \ left (b + id \ right) a ^ {i} amp; = b \ sum _ {i = 0} ^ { n-1} a ^ {i} + d \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} ia ^ {i} \\ amp; = b \ left ({\ frac {1-a ^ {n}} {1-a}} \ right) + d \ left ({\ frac {a-na ^ {n} + (n-1) a ^ {n + 1}} {(1-a) ^ {2}}) } \ right) \\ amp; = {\ frac {b (1-a ^ {n}) - (n-1) da ^ {n}} {1-a}} + {\ frac {da (1-a ^ {п-1})} {(1-а) ^ {2}}} \ конец {выровнено}}}$

(сумма арифметико-геометрической последовательности )

Биномиальные коэффициенты и факториалы

Основная статья: Биномиальный коэффициент § Суммы биномиальных коэффициентов

Существует очень много тождеств суммирования, включающих биномиальные коэффициенты (целая глава Конкретной математики посвящена только основным методам). Вот некоторые из самых основных.

Используя биномиальную теорему

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {n \ choose i} a ^ {ni} b ^ {i} = (a + b) ^ {n},}$ бином Ньютона

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {n \ select i} = 2 ^ {n},}$частный случай, когда a = b = 1

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {n \ choose i} p ^ {i} (1-p) ^ {ni} = 1}$, частный случай, когда p = a = 1 - b, что для выражает сумму биномиального распределения ${\ displaystyle 0 \ leq p \ leq 1,}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} i {n \ select i} = n (2 ^ {n-1}),}$значение в виде = Ь = 1 в производной по отношению к биномиальным теоремам

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {\ frac {n \ choose i} {i + 1}} = {\ frac {2 ^ {n + 1} -1} {n + 1} },}$значение в виде = Ь = 1 из первообразной относительно биномиального теоремы

Вовлечение чисел перестановки

В следующих суммах - количество k -перестановок n. ${\ displaystyle {} _ {n} P_ {k}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {} _ {i} P_ {k} {n \ choose i} = {} _ {n} P_ {k} (2 ^ {nk})}$

${\ displaystyle \ sum _ {я = 1} ^ {n} {} _ {i + k} P_ {k + 1} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ prod _ {j = 0} ^ {k} (i + j) = {\ frac {(n + k + 1)!} {(n-1)! (k + 2)}}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} i! \ cdot {n \ choose i} = \ sum _ {i = 0} ^ {n} {} _ {n} P_ {i} = \ lfloor n! \ cdot e \ rfloor, \ quad n \ in \ mathbb {Z} ^ {+}}$, где и обозначает функцию пола. ${\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}$

Другие

${\ displaystyle \ sum _ {к = 0} ^ {m} {\ binom {n + k} {n}} = {\ binom {n + m + 1} {n + 1}}}$

${\ displaystyle \ sum _ {я = k} ^ {n} {я \ выбрать k} = {n + 1 \ выбрать k + 1}}$

${\ Displaystyle \ сумма _ {я = 0} ^ {п} я \ CDOT я! = (п + 1)! - 1}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {m + i-1 \ choose i} = {m + n \ choose n}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {n \ select i} ^ {2} = {2n \ choose n}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {\ frac {1} {i!}} = {\ frac {\ lfloor n! \; e \ rfloor} {n!}}}$

Гармонические числа

${\ Displaystyle \ сумма _ {я = 1} ^ {п} {\ гидроразрыва {1} {я}} = Н_ {п}}$(это номер n- й гармоники )

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {i ^ {k}}} = H_ {n} ^ {k}}$(это обобщенное гармоническое число )

Ниже приведены полезные приближения (с использованием тета-записи ):

${\ Displaystyle \ сумма _ {я = 1} ^ {n} я ^ {c} \ in \ Theta (n ^ {c + 1})}$для действительного c больше -1

${\ displaystyle \ sum _ {я = 1} ^ {n} {\ frac {1} {i}} \ in \ Theta (\ log _ {e} n)}$(См. Число гармоник )

${\ Displaystyle \ сумма _ {я = 1} ^ {n} c ^ {i} \ in \ Theta (c ^ {n})}$для действительного c больше 1

${\ Displaystyle \ сумма _ {я = 1} ^ {n} \ log (i) ^ {c} \ in \ Theta (n \ cdot \ log (n) ^ {c})}$для неотрицательного действительного c

${\ Displaystyle \ сумма _ {я = 1} ^ {п} \ журнал (я) ^ {с} \ cdot я ^ {d} \ in \ Theta (п ^ {d + 1} \ cdot \ log (п) ^ {c})}$для неотрицательных вещественных c, d

${\ displaystyle \ sum _ {я = 1} ^ {n} \ log (i) ^ {c} \ cdot i ^ {d} \ cdot b ^ {i} \ in \ Theta (n ^ {d} \ cdot \ log (n) ^ {c} \ cdot b ^ {n})}$для неотрицательных вещественных b gt; 1, c, d

• Обозначения Эйнштейна
• Кронштейн Айверсона
• Итерированная бинарная операция
• Алгоритм суммирования Кахана
• Продукты последовательностей
• Продукт (математика)
• Суммирование по частям
• ∑ одиночный глиф суммирования (U + 2211 N-ARY SUMMATION)
• ⎲ начало парного символа (U + 23B2 SUMMATION TOP)
• ⎳ конец парного глифа (U + 23B3 СУММАЦИЯ ВНИЗ)

• СМИ, связанные с суммированием на Викискладе?