Войти
 A компактная 2-мерная поверхность без границы топологически гомеоморфно 2-сфере, если каждая петля может быть непрерывно стянута в точку. Гипотеза Пуанкаре утверждает, что то же самое верно и для трехмерных пространств. | |
| Поле | Геометрическая топология |
|---|---|
| Предполагается | Анри Пуанкаре |
| Предполагается в | 1904 |
| Сначала доказательство | Григорий Перельман |
| Первое доказательство в | 2006 |
| Подразумевается | |
| Эквивалентна | |
| Обобщения | Обобщенная гипотеза Пуанкаре |
В математике, гипотеза Пуанкаре (UK :,US :, Французский: ) - это теорема о характеристике 3-сферы, т. Е. гиперсфера, ограничивающая единичный шар в четырехмерном пространстве.
Гипотеза утверждает:
Каждое односвязное, замкнутое 3- многообразие гомеоморфно 3-сфера.
Эквивалентная форма гипотезы включает более грубую форму эквивалентности, чем гомеоморфизм, называемую гомотопической эквивалентностью : если 3-многообразие гомотопически эквивалентно 3- сфере, то он обязательно гомеоморфен ей.
Первоначально предположенная Анри Пуанкаре, теорема касается пространства, которое локально выглядит как обычное трехмерное пространство, но связно, имеет конечный размер и не имеет границ (закрытый 3-х коллектор ). Гипотеза Пуанкаре утверждает, что если такое пространство обладает дополнительным свойством, заключающимся в том, что каждую петлю в пространстве можно непрерывно стягивать до точки, то это обязательно трехмерная сфера. Аналогичные гипотезы для всех высших размерностей были доказаны до того, как было найдено доказательство исходной гипотезы.
Спустя почти столетие усилий математиков Григорий Перельман представил доказательство своей гипотезы в трех статьях, опубликованных в 2002 и 2003 годах на arXiv. Доказательство построено на программе Ричарда С. Гамильтона, использующей поток Риччи для попытки решения проблемы. Позднее Гамильтон ввел модификацию стандартного потока Риччи, названного потоком Риччи, с операцией по систематическому иссечению особых областей по мере их развития контролируемым образом, но не смог доказать, что этот метод «сходится» в трех измерениях. Перельман завершил эту часть доказательства. Несколько групп математиков подтвердили правильность доказательства Перельмана.
Гипотеза Пуанкаре до того, как была доказана, была одним из самых важных открытых вопросов в топологии. В 2000 году она была названа одной из семи Призов тысячелетия, за которую Математический институт Клэя предложил приз в 1 миллион долларов за первое правильное решение. Работа Перельмана выдержала рецензию и была подтверждена в 2006 году, в результате чего ему была предложена медаль Филдса, от которой он отказался. Перельман был награжден Премией тысячелетия 18 марта 2010 года. 1 июля 2010 года он отклонил эту премию, заявив, что, по его мнению, его вклад в доказательство гипотезы Пуанкаре не больше, чем у Гамильтона. По состоянию на 2020 год гипотеза Пуанкаре является единственной решенной проблемой тысячелетия.
22 декабря 2006 г. журнал Science признал доказательство Перельмана гипотезы Пуанкаре научным «прорывом года », причем впервые эта честь была удостоена посвящены области математики.
Ни одна из двух цветных петель на этом торе не может быть непрерывно затянута в точка. Тор не гомеоморфен сфере. В начале 20 века Анри Пуанкаре работал над основами топологии - то, что позже будет называться комбинаторная топология, а затем алгебраическая топология. Его особенно интересовало, какие топологические свойства характеризуют сферу.
. Пуанкаре утверждал в 1900 году, что гомология, инструмент, который он разработал на основе предыдущей работы Энрико Бетти, была достаточно, чтобы сказать, был ли 3-многообразие 3-сферой. Однако в статье 1904 года он описал контрпример к этому утверждению - пространство, которое теперь называется гомологической сферой Пуанкаре. Сфера Пуанкаре была первым примером гомологической сферы, многообразия, которое имело те же гомологии, что и сфера, из которых с тех пор были построены многие другие. Чтобы установить, что сфера Пуанкаре отличается от 3-сферы, Пуанкаре ввел новый топологический инвариант, фундаментальную группу и показал, что сфера Пуанкаре имеет фундаментальную группу порядка 120, а 3-сфера имела тривиальную фундаментальную группу. Таким образом он смог сделать вывод, что эти два пространства действительно были разными.
В той же статье Пуанкаре задавался вопросом, должно ли 3-многообразие с гомологией 3-сферы, а также тривиальной фундаментальной группой быть 3-сферой. Новое условие Пуанкаре, то есть «тривиальная фундаментальная группа», может быть переформулировано как «каждая петля может быть сокращена до точки».
Исходная формулировка была следующей:
Рассмотрим компактное 3-мерное многообразие V без края. Возможно ли, что фундаментальная группа V может быть тривиальной, даже если V не гомеоморфна 3-мерной сфере?
Пуанкаре никогда не заявлял, верит ли он, что это дополнительное условие будет характеризовать 3-сферу, но, тем не менее, утверждение это известно как гипотеза Пуанкаре. Вот стандартная форма гипотезы:
Каждое односвязное, замкнутое 3- многообразие гомеоморфно 3- сфера.
Обратите внимание, что "закрытый" здесь означает, как это принято в этой области, условие компактности с точки зрения заданной топологии, а также без границы (3-мерное Евклидово пространство является примером односвязного 3-многообразия, не гомеоморфного 3-сфере; но оно не компактно и, следовательно, не контрпример).
Эта проблема, казалось, не проявлялась до J. Х. К. Уайтхед возродил интерес к этой гипотезе, когда в 1930-х годах он сначала потребовал доказательства, а затем отказался от них. В процессе он обнаружил несколько примеров односвязных (действительно стягиваемых, т. Е. Гомотопически эквивалентных точке) некомпактных 3-многообразий, не гомеоморфных 
В 1950-х и 1960-х годах другие математики пытались доказать гипотезу только для того, чтобы обнаружить, что они содержат недостатки. Влиятельные математики, такие как Жорж де Рам, Р. Х. Бинг, Вольфганг Хакен, Эдвин Э. Моис и Христос Папакириакопулос пытались доказать это предположение. В 1958 г. Бинг доказал слабую версию гипотезы Пуанкаре: если каждая простая замкнутая кривая компактного 3-многообразия содержится в 3-шаре, то многообразие гомеоморфно 3-сфере. Бинг также описал некоторые ловушки при попытке доказать гипотезу Пуанкаре.
Влодзимеж Якобше показал в 1978 году, что если гипотеза Бинга – Борсука верна в размерности 3, то гипотеза Пуанкаре тоже должно быть правдой.
Со временем это предположение приобрело репутацию особенно сложной для решения проблемы. Джон Милнор заметил, что иногда ошибки в ложных доказательствах могут быть «довольно тонкими и трудно обнаруживаемыми». Работа над гипотезой улучшила понимание трехмерных многообразий. Эксперты в этой области часто неохотно оглашали доказательства и склонны относиться к любому такому объявлению со скептицизмом. 1980-е и 1990-е годы стали свидетелями нескольких широко разрекламированных ложных доказательств (которые на самом деле не были опубликованы в проверенной экспертами форме).
Изложение попыток доказать это предположение можно найти в -техническая книга «Премия Пуанкаре» Джорджа Спиро.
Классификация замкнутых поверхностей дает утвердительный ответ на аналогичный вопрос в двух измерениях. Для размерностей больше трех можно сформулировать обобщенную гипотезу Пуанкаре: гомеоморфна ли гомотопическая n-сфера n-сфере? Необходимо более сильное предположение; в размерностях четыре и выше существуют односвязные замкнутые многообразия, которые не гомотопически эквивалентны n-сфере.
Исторически, хотя гипотеза о трех измерениях казалась правдоподобной, обобщенная гипотеза считалась ложной. В 1961 году Стивен Смейл шокировал математиков, доказав обобщенную гипотезу Пуанкаре для размерностей больше четырех, и расширил свои методы, чтобы доказать фундаментальную теорему о h-кобордизме. В 1982 году Майкл Фридман доказал гипотезу Пуанкаре в четырех измерениях. Работа Фридмана оставила открытой возможность того, что существует гладкое четырехмерное многообразие, гомеоморфное четырехмерной сфере, которое не диффеоморфно четырехмерной сфере. Эта так называемая гладкая гипотеза Пуанкаре в размерности четыре остается открытой и считается очень сложной. экзотические сферы Милнора показывают, что, например, гладкая гипотеза Пуанкаре неверна в седьмом измерении.
Эти ранние успехи в высших измерениях оставили случай трех измерений в подвешенном состоянии. Гипотеза Пуанкаре по существу верна как в четырех, так и во всех более высоких измерениях по существенно разным причинам. В трехмерности гипотеза имела сомнительную репутацию до тех пор, пока гипотеза геометризации не поместила ее в рамки, управляющие всеми трехмерными многообразиями. Джон Морган писал:
Я считаю, что до работы Терстона над трехмерными гиперболическими многообразиями и... Гипотеза о геометризации не было единого мнения среди экспертов относительно того, была ли гипотеза Пуанкаре верной или ложной. После работы Терстона, несмотря на то, что она не имела прямого отношения к гипотезе Пуанкаре, был достигнут консенсус в отношении того, что гипотеза Пуанкаре (и гипотеза геометризации) верна.
Несколько этапов Поток Риччи на двумерном многообразии Программа Гамильтона была начата в его статье 1982 года, в которой он представил поток Риччи на многообразии и показал, как использовать его для доказательства некоторых особых случаи гипотезы Пуанкаре. В последующие годы он расширил эту работу, но не смог доказать гипотезу. Реальное решение не было найдено до тех пор, пока Григорий Перельман не опубликовал свои статьи.
В конце 2002 и 2003 гг. Перельман опубликовал три статьи на arXiv. В этих статьях он набросал доказательство гипотезы Пуанкаре и более общей гипотезы, гипотезы геометризации Терстона, завершая программу потока Риччи, изложенную ранее Ричардом С. Гамильтоном.
с мая по июль 2006 г., несколько групп представили статьи, которые подробно описали доказательство Перельманом гипотезы Пуанкаре, а именно:
В этой статье мы представим теорию потока Риччи Гамильтона-Перельмана. На основе этого мы дадим первое письменное изложение полного доказательства гипотезы Пуанкаре и гипотезы геометризации Терстона. В то время как полная работа - это совокупность усилий многих геометрических аналитиков, главными участниками, несомненно, являются Гамильтон и Перельман.
Все три группы обнаружили, что пробелы в статьях Перельмана были незначительными и могли быть восполнены, используя его собственные методы.
22 августа 2006 г. ICM наградил Перельмана медалью Филдса за его работу над гипотезой, но Перельман отказался от медали. Джон Морган выступил на ICM по поводу гипотезы Пуанкаре 24 августа 2006 года, заявив, что «в 2003 году Перельман решил гипотезу Пуанкаре».
В декабре 2006 года журнал Science удостоил награды Доказательство гипотезы Пуанкаре как Прорыв года, и оно было показано на обложке.
Программа Гамильтона для доказательства гипотезы Пуанкаре включает в себя сначала размещение Риманова метрика на неизвестном односвязном замкнутом трехмерном многообразии. Основная идея - попытаться «улучшить» эту метрику; например, если метрика может быть улучшена настолько, чтобы она имела постоянную положительную кривизну, то, согласно классическим результатам римановой геометрии, это должна быть 3-сфера. Гамильтон предписал «уравнения потока Риччи » для улучшения метрики;
где g - метрика, а R - кривизна Риччи, и можно надеяться, что время t увеличивается, и становится легче понять коллектор. Поток Риччи расширяет часть коллектора с отрицательной кривизной и сжимает часть с положительной кривизной.
В некоторых случаях Гамильтон смог показать, что это работает; например, его первоначальный прорыв состоял в том, чтобы показать, что если риманово многообразие имеет положительную кривизну Риччи всюду, то описанная выше процедура может выполняться только для ограниченного интервала значений параметров, 
Если вместо этого имеется только произвольная риманова метрика, уравнения потока Риччи должны привести к более сложным особенностям. Основное достижение Перельмана состояло в том, чтобы показать, что с определенной точки зрения, если они появляются в конечном времени, эти сингулярности могут выглядеть только как сжимающиеся сферы или цилиндры. Обладая количественным пониманием этого явления, он разрезает многообразие по сингулярностям, разбивая многообразие на несколько частей, а затем продолжает поток Риччи на каждой из этих частей. Эта процедура известна как поток Риччи с хирургическим вмешательством.
Перельман представил отдельный аргумент, основанный на потоке сокращения кривой, чтобы показать, что на односвязном компактном 3-многообразии любое решение потока Риччи с хирургией исчезает за конечное время. Альтернативный аргумент, основанный на теории минимума и максимума минимальных поверхностей и геометрической теории меры, был предоставлен Тобиасом Колдингом и Уильямом Миникоцци. Следовательно, в односвязном контексте все, что имеет значение, - это описанные выше феномены конечного времени потока Риччи с хирургией. Фактически, это верно даже в том случае, если фундаментальная группа является свободным произведением конечных групп и циклических групп.
Это условие на фундаментальную группу оказывается необходимым и достаточным для вымирания за конечное время. Это равносильно утверждению, что простое разложение многообразия не имеет ациклических компонентов и оказывается эквивалентным условию, что все геометрические части многообразия имеют геометрию, основанную на двух геометриях Терстона S × R и S. В контексте того, что никто не делает никаких предположений о фундаментальной группе вообще, Перельман провел дальнейшее техническое исследование предела многообразия для бесконечно больших времен и тем самым доказал гипотезу о геометризации Терстона: на больших временах многообразие имеет разложение толстый-тонкий, толстый кусок которого имеет гиперболическую структуру, а тонкий фрагмент представляет собой графовое многообразие. Однако из-за результатов Перельмана, Колдинга и Миникоцци эти дальнейшие результаты не нужны для доказательства гипотезы Пуанкаре.
Григорий Перельман 13 ноября 2002 года российский математик Григорий Перельман разместил первый из трех электронных отпечатков на arXiv с изложением решения гипотезы Пуанкаре. В доказательстве Перельмана используется модифицированная версия программы Ricci flow, разработанная Ричардом С. Гамильтоном. В августе 2006 года Перельман был награжден, но отказался от награды Медалью Филдса (стоимостью 15 000 канадских долларов) за доказательство. 18 марта 2010 г. Институт математики Клэя наградил Перельмана Премией тысячелетия в размере 1 миллиона долларов в знак признания его доказательств. Перельман также отклонил этот приз.
Перельман доказал гипотезу, деформировав коллектор с помощью потока Риччи (который ведет себя аналогично уравнению теплопроводности, описывающему диффузию тепла через объект). Поток Риччи обычно деформирует коллектор в сторону более округлой формы, за исключением некоторых случаев, когда он растягивает коллектор отдельно от себя в направлении так называемых сингулярностей. Перельман и Гамильтон затем разрезают многообразие по сингулярностям (процесс, называемый «операцией»), заставляя отдельные части принимать форму шара. Основные шаги в доказательстве включают демонстрацию того, как ведут себя многообразия, когда они деформируются потоком Риччи, исследование того, какие особенности развиваются, определение того, можно ли завершить этот процесс операции и установление того, что операцию не нужно повторять бесконечно много раз.
Первым шагом является деформация коллектора с помощью потока Риччи. Риччи С. Гамильтон определил поток Риччи как способ деформирования многообразий. Формула для потока Риччи является имитацией уравнения теплопроводности, которое описывает способ протекания тепла в твердом теле. Как и тепловой поток, поток Риччи стремится к однородному поведению. В отличие от теплового потока, поток Риччи может столкнуться с сингулярностями и перестать функционировать. Сингулярность в многообразии - это место, где она не дифференцируема: например, угол, выступ или защемление. Поток Риччи был определен только для гладких дифференцируемых многообразий. Гамильтон использовал поток Риччи, чтобы доказать, что некоторые компактные многообразия диффеоморфны сферам, и надеялся применить его для доказательства гипотезы Пуанкаре. Ему нужно было понять особенности.
Гамильтон составил список возможных сингулярностей, которые могли образоваться, но его беспокоило, что некоторые особенности могут привести к трудностям. Он хотел разрезать многообразие по сингулярностям и вставить заглавные буквы, а затем снова запустить поток Риччи, поэтому ему нужно было понять особенности и показать, что некоторые виды сингулярностей не возникают. Перельман обнаружил, что все сингулярности очень просты: по сути, трехмерные цилиндры, сделанные из сфер, вытянутых вдоль линии. Обычный цилиндр состоит из окружностей, вытянутых вдоль линии. Перельман доказал это, используя так называемый «уменьшенный объем», который тесно связан с собственным значением определенного эллиптического уравнения.
Иногда сложная операция сводится к умножению на скаляр (число). Такие числа называются собственными значениями этой операции. Собственные значения тесно связаны с частотами вибрации и используются при анализе известной проблемы: вы слышите форму барабана? По сути, собственное значение похоже на ноту, которую играет коллектор. Перельман доказал, что это замечание растет, поскольку многообразие деформируется потоком Риччи. Это помогло ему устранить некоторые из наиболее неприятных особенностей, которые волновали Гамильтона, в частности, решение сигарного солитона, которое выглядело как нить, торчащая из коллектора, с другой стороны ничего не было. По сути, Перельман показал, что все образующиеся пряди можно обрезать и закрепить, и ни одна из них не выступает только с одной стороны.
Завершая доказательство, Перельман берет любое компактное, односвязное трехмерное многообразие без границы и запускает поток Риччи. Это деформирует коллектор на круглые части с прядями, проходящими между ними. Он разрезает нити и продолжает деформировать коллектор, пока в конце концов не останется набор круглых трехмерных сфер. Затем он перестраивает исходное многообразие, соединяя сферы вместе с трехмерными цилиндрами, трансформирует их в круглую форму и видит, что, несмотря на всю первоначальную путаницу, многообразие фактически гомеоморфно сфере.
Возник сразу же вопрос: как можно быть уверенным, что бесконечное количество разрезов не нужно? Это было поднято из-за того, что сокращение потенциально может продолжаться вечно. Перельман доказал, что этого не может произойти, используя минимальные поверхности на многообразии. Минимальная поверхность - это, по сути, мыльная пленка. Гамильтон показал, что площадь минимальной поверхности уменьшается по мере того, как в многообразии течет Риччи. Перельман проверил, что произошло с площадью минимальной поверхности при разрезании многообразия. Он доказал, что в конечном итоге площадь настолько мала, что любой вырез после области будет таким маленьким, как отрубание трехмерных сфер, а не более сложных частей. Это описывается Сормани как битва с Гидрой в цитируемой ниже книге Спиро. Эта последняя часть доказательства появилась в третьей и последней статье Перельмана по этому поводу.
.
