Обозначение для дифференцирования

Обозначение дифференциального исчисления

В дифференциальном исчислении нет единой униформы обозначение дифференцирования . Вместо этого разные математики предложили несколько различных обозначений для производной функции функции или переменной. Полезность каждой нотации зависит от контекста, и иногда бывает выгодно использовать более одной нотации в данном контексте. Наиболее распространенные обозначения для дифференцирования (и его противоположной операции, антидифференциации или неопределенного интегрирования) перечислены ниже.

• 1 Нотация Лейбница
  • 1.1 Нотация Лейбница для антидифференцировки
• 2 Нотация Лагранжа
  • 2.1 Нотация Лагранжа для антидифференцировки
• 3 Нотация Эйлера
  • 3.1 Нотация Эйлера для антидифференцировки
• 4 Обозначения Ньютона
  • 4.1 Обозначения Ньютона для интегрирования
• 5 Частные производные
• 6 Обозначения в векторном исчислении
• 7 См. Также
• 8 Ссылки
• 9 Внешние ссылки

dydxdydxпервая и вторая производные от yотносительно xв нотации Лейбница.

Исходные обозначения, используемые Готфридом Лейбницем, используются во всей математике. Это особенно часто встречается, когда уравнение y = f (x) рассматривается как функциональная связь между зависимыми и независимыми переменными y и x. Нотация Лейбница делает это соотношение явным, записывая производную как

$d\; y\; d\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}.\}$

Функция, значение которой в x является производной f в x, поэтому записывается как

$dfdx\; (x)\; или\; df\; (x)\; dx\; или\; ddxf\; (\; Икс).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{df\}\; \{dx\}\}\; (x)\; \{\backslash \; text\; \{or\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{df\; (x)\}\; \{dx\}\}\; \{\backslash \; text\; \{or\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{\; dx\}\}\; f\; (x).\}$

Старшие производные записываются как

$d\; 2\; ydx\; 2,\; d\; 3\; ydx\; 3,\; d\; 4\; ydx\; 4,\dots ,\; dnydxn.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; y\}\; \{dx\; ^\; \{2\}\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{3\}\; y\}\; \{dx\; ^\; \{3\}\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{\; 4\}\; y\}\; \{dx\; ^\; \{4\}\}\},\; \backslash \; ldots,\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{n\}\; y\}\; \{dx\; ^\; \{n\}\}\}.\}$

Это наводящий на размышления прием обозначений, пришедший из формального манипуляции с символами, как в,

$d\; (d\; (dydx)\; dx)\; dx\; =\; (ddx)\; 3\; y\; =\; d\; 3\; ydx\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; right)\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; right)\}\; \{dx\}\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\; \backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{3\}\; y\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{3\}\; y\}\; \{dx\; ^\; \{3\}\}\}.\}$

С логической точки зрения эти равенства не являются теоремами. Вместо этого они просто определения обозначений.

Значение производной y в точке x = a может быть выражено двумя способами с использованием обозначений Лейбница:

$d\; y\; d\; x\; |\; x\; =\; a\; =\; dydx\; (a)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left.\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{x\; =\; a\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; (a)\}$.

Нотация Лейбница позволяет указать переменную для дифференцирования (в знаменателе). Это особенно полезно при рассмотрении частных производных. Это также упрощает запоминание и распознавание правила цепочки :

$d\; y\; d\; x\; =\; d\; y\; d\; u\; \cdot \; d\; u\; d\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{du\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{du\}\; \{dx\}\}.\}$

Нотация Лейбница для дифференцирования не требует присвоения значение для таких символов, как dx или dy, и некоторые авторы не пытаются приписать этим символам значение. Лейбниц рассматривал эти символы как бесконечно малые. Позже авторы присвоили им другие значения, такие как бесконечно малые в нестандартном анализе или внешние производные.

. Некоторые авторы и журналы вместо этого устанавливают дифференциальный символ d в римском шрифте. из курсив : dx. Этот стиль рекомендуется в руководстве по научному стилю ISO / IEC 80000.

Нотация Лейбница для антидифференциации

∫ y dx. ∫∫ y dx Одинарный и двойной неопределенные интегралы от yпо xв нотации Лейбница.

Лейбниц ввел интегральный символ ∫ в Analyseos tetragonisticae pars secunda и Methodi tangentium inversae instance (оба из 1675 г.). Теперь это стандартный символ для интегрирования.

$\int \; y\; \prime \; dx\; =\; \int \; f\; \prime \; (x)\; dx\; =\; f\; (x)\; +\; C\; 0\; =\; y\; +\; C\; 0\; \int \; ydx\; =\; \int \; f\; (x)\; dx\; =\; F\; (x)\; +\; C\; 1\; \iint \; ydx\; 2\; =\; \int \; (\int \; ydx)\; dx\; =\; \int \; X\; \times \; X\; f\; (x)\; dx\; =\; \int \; F\; (x)\; dx\; =\; g\; (x)\; +\; C\; 2\; \int \dots \; \int \; ⏟\; nydx\dots \; dx\; ⏟\; n\; Знак\; равно\; \int \; Икс\; \times \; \cdots \; \times \; Икс\; ⏟\; nf\; (x)\; dx\; =\; \int \; s\; (x)\; dx\; =\; S\; (x)\; +\; C\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; int\; y\; \text{'}\backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; int\; f\text{'}\; (\; x)\; \backslash ,\; dx\; =\; f\; (x)\; +\; C\_\; \{0\}\; =\; y\; +\; C\_\; \{0\}\; \backslash \backslash \backslash \; int\; y\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; int\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx\; =\; F\; (x)\; +\; C\_\; \{1\}\; \backslash \backslash \backslash \; iint\; y\; \backslash ,\; dx\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; int\; \backslash \; left\; (\backslash \; int\; y\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; right)\; dx\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{X\; \backslash \; times\; X\}\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; int\; F\; (x)\; \backslash ,\; dx\; =\; g\; (x)\; +\; C\_\; \{2\}\; \backslash \backslash \backslash \; underbrace\; \{\backslash \; int\; \backslash \; dots\; \backslash \; int\}\; \_\; \{\backslash !\; \backslash !\; n\}\; y\; \backslash ,\; \backslash \; underbrace\; \{dx\; \backslash \; dots\; dx\}\; \_\; \{n\; \}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; underbrace\; \{X\; \backslash \; times\; \backslash \; cdots\; \backslash \; times\; X\}\; \_\; \{n\}\}\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; int\; s\; (x)\; \backslash ,\; dx\; =\; S\; (x)\; +\; C\_\; \{n\; \}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

f′(x)Функция fof x, дифференцированная один раз в нотации Лагранжа.

Одно из наиболее распространенных современных обозначений для дифференциации принадлежит Джозефу Луи Лагранжу. В обозначениях Лагранжа штрих обозначает производную. Если f - функция, то ее производная, вычисленная в x, записывается как

$f\; \prime \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \text{'}(x)\}$.

Лагранж впервые использовал обозначение в неопубликованных работах, и оно появилось в печати в 1770 году..

Высшие производные обозначаются дополнительными штрихами, как в $f\; ″\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \text{'}\text{'}\; (x)\}$для второй производной и $f\; ‴\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \text{'}\text{'}\; \text{'}(x)\}$для третьей производной. Использование повторяющихся штрихов со временем становится громоздким. Некоторые авторы продолжают использовать римские цифры, обычно в нижнем регистре, как в

$fiv\; (x),\; fv\; (x),\; fvi\; (x),\dots ,\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{\; iv\}\}\; (x),\; f\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{v\}\}\; (x),\; f\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{vi\}\}\; (x),\; \backslash \; ldots,\}$

для обозначения четвертого, пятого, шестого и выше производные порядка. Другие авторы используют арабские цифры в скобках, например, в

$f\; (4)\; (x),\; f\; (5)\; (x),\; f\; (6)\; (x),\dots .\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{(4)\}\; (x),\; f\; ^\; \{(5)\}\; (x),\; f\; ^\; \{(6)\}\; (x),\; \backslash \; ldots.\}$

Это обозначение также позволяет описать n-ю производную, где n - переменная. Это записывается

$f\; (n)\; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{(n)\}\; (x).\}$

Символы Юникода, связанные с нотацией Лагранжа, включают

• U + 2032 ◌ ′ PRIME (производное)
• U + 2033 ◌ ″ DOUBLE PRIME (двойная производная)
• U + 2034 ◌ ‴ ТРОЙНАЯ ПЕРВИЧНОСТЬ (третья производная)
• U + 2057 ◌ ⁗ ЧЕТВЕРТОЧНАЯ ПЕРВИЧНОСТЬ (четвертая производная)

Когда есть две независимых переменных для функции f (x, y) можно следовать следующему соглашению:

$f\; \prime \; =\; dfdx\; =\; fxf\; \prime \; =\; dfdy\; =\; fyf\; \prime \; \prime \; =\; d\; 2\; fdx\; 2\; =\; fxxf\; \prime \; \prime \; =\; \partial \; 2\; f\; \partial \; x\; \partial \; y\; =\; fxyf\; \prime \; \prime \; =\; D\; 2\; fdy\; 2\; =\; fyy,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; f\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{df\}\; \{dx\}\}\; =\; f\_\; \{x\}\; \backslash \backslash \; f\; \_\; \{\backslash \; prime\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{df\}\; \{dy\}\}\; =\; f\_\; \{y\}\; \backslash \backslash \; f\; ^\; \{\backslash \; prime\; \backslash \; prime\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{dx\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; f\_\; \{xx\; \}\; \backslash \backslash \; f\; \_\; \{\backslash \; prime\}\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\; \backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash \; =\; f\_\; \{xy\}\; \backslash \backslash \; f\; \_\; \{\backslash \; prime\; \backslash \; prime\; \}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{dy\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; f\_\; \{yy\}\; \backslash ,,\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Нотация Лагранжа для антидифференциации

f (x). f (x) Одинарный и двойной неопределенные интегралы от fотносительно x, в t нотация Лагранжа.

При выборе первообразной Лагранж следовал нотации Лейбница:

$f\; (x)\; =\; \int \; f\; \prime \; (x)\; d\; x\; =\; \int \; y\; d\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; \backslash \; int\; f\; \text{'}(x)\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; int\; y\; \backslash ,\; dx.\}$

Однако, поскольку интегрирование является обратным дифференцированию, обозначение Лагранжа для производных более высокого порядка распространяется на интегралы как Что ж. Повторяющиеся интегралы от f могут быть записаны как

$f\; (-\; 1)\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{(-\; 1)\}\; (x)\}$для первого интеграла (это легко спутать с обратная функция $f\; -\; 1\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (x)\}$),

$f\; (-\; 2)\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{(-\; 2)\}\; (x)\}$для второго интеграла,

$f\; (-\; 3)\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{(-\; 3)\}\; (x)\}$для третьего интеграла и

$f\; (-\; n)\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{(-\; n)\}\; (x)\}$для n-го интеграла.

Dxy. DfПроизводная xот yи вторая производная от f, нотация Эйлера.

В нотации Леонарда Эйлера используется дифференциальный оператор, предложенный Луи Франсуа Антуан Арбогаст, обозначается как D (оператор D ) или D̃ (оператор Ньютона – Лейбница ) При применении к функции е (х), он определяется как

$(D\; f)\; (x)\; =\; df\; (x)\; dx.\; \{\backslash \; displaystyle\; (Df)\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{df\; (x)\}\; \{dx\}\}.\; \}$

Старшие производные обозначаются как степени D, как в

$D\; 2\; f\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; ^\; \{2\}\; f\}$для второй производной,

$D\; 3\; f\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; ^\; \{3\}\; f\}$для третьей производная и

$D\; nf\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; ^\; \{n\}\; f\}$для n-й производной.

В нотации Эйлера переменная, по которой выполняется дифференцирование, остается неявной. Однако эту переменную также можно указать явно. Когда f является функцией переменной x, это делается записью

$D\; xf\; \{\backslash \; displaystyle\; D\_\; \{x\}\; f\}$для первой производной,

$D\; x\; 2\; f\; \{\backslash \; displaystyle\; D\_\; \{x\}\; ^\; \{2\}\; f\}$для второй производной,

$D\; x\; 3\; f\; \{\backslash \; displaystyle\; D\_\; \{x\}\; ^\; \{3\}\; f\}$для третьей производная и

$D\; xnf\; \{\backslash \; displaystyle\; D\_\; \{x\}\; ^\; \{n\}\; f\}$для производной n.

Когда f является функцией нескольких переменных, обычно используется знак " ∂ ", а не D. Как и выше, нижние индексы обозначают производные, которые берутся. Например, вторые частные производные функции f (x, y):

$\partial \; xxf\; =\; \partial \; 2\; f\; \partial \; x\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{xx\}\; f\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{\; 2\}\; е\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{2\}\}\},\}$

$\partial \; xyf\; =\; \partial \; 2\; f\; \partial \; y\; \partial \; x,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{xy\}\; f\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\; \}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; y\; \backslash \; partial\; x\}\},\}$

$\partial \; yxf\; =\; \partial \; 2\; f\; \partial \; x\; \partial \; y,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{yx\}\; f\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\; \}\; \{\backslash \; partial\; x\; \backslash \; partial\; y\}\},\}$

$\partial \; yyf\; =\; \partial \; 2\; f\; \partial \; y\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{yy\}\; f\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; y\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

См. § Частные производные.

нотация Эйлера полезен для формулировки и решения линейных дифференциальных уравнений, так как он упрощает представление дифференциального уравнения, что может облегчить понимание основных элементов проблемы.

нотация Эйлера для антидифференцировки

D. xy. Dfxпервообразная yи вторая первообразная f, нотация Эйлера.

нотация может использоваться для антидифференцировки так же, как нотация Лагранжа. следующим образом:

$D\; -\; 1\; f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; ^\; \{-\; 1\}\; f\; (x)\}$для первого первообразного,

$D\; -\; 2\; f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; ^\; \{-\; 2\}\; f\; (x)\}$для второй первообразной и

$D\; -\; nf\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; ^\; \{-\; n\}\; f\; (x)\}$для n-го первообразного.

ẋẍПервая и вторая производные от x, обозначение Ньютона.

Обозначение Ньютона для дифференцирования (также называемое точечная нотация или иногда, грубо говоря, нотация мухи для дифференциации) ставит точку над зависимой переменной. То есть, если y является функцией t, то производная y по t равна

$y\; \dot{}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{y\}\}\}$

Высшие производные представлены с использованием нескольких точек, как в

$у\; ¨,\; у...\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; ddot\; \{y\}\},\; \{\backslash \; overset\; \{...\}\; \{y\}\}\}$

Ньютон довольно далеко расширил эту идею:

$y ¨ ≡ d 2 ydt 2 = ddt (dydt) = ddt (y ˙) = ddt (f ′ (t)) = D t 2 y = f ″ (t) = yt ″ y... = y ¨ ˙ ≡ d 3 y d t 3 = D t 3 y = f (t) = y t ‴ y ˙ 4 = y.... = y ¨ ¨ ≡ d 4 y d t 4 = D t 4 y = f I V (t) = y t (4) y ˙ 5 = y... ¨ = y ¨ ¨ ˙ = y ¨ ˙ ≡ d 5 y d t 5 = D t 5 y = f V (t) = y t (5) y ˙ 6 = y...... ≡ d 6 y d t 6 = D t 6 y = f V I (t) = y t (6) y ˙ 7 = y...... ˙ ≡ d 7 ydt 7 = D t 7 y = f VII (t) = yt (7) y ˙ 10 = y ¨ ¨ ¨ ¨ d 10 ydt 10 = D t 10 y = f X (t) = yt (10) y ˙ N ≡ dnydtn = D tny = f (n) (t) = yt (n) {\ displaystyle {\ begin {align} {\ ddot {y}} \ Equiv {\ frac {d ^ { 2} y} {dt ^ {2}}} = {\ frac {d} {dt}} \ left ({\ frac {dy} {dt}} \ right) = {\ frac {d} {dt}} {\ Bigl (} {\ dot {y}} {\ Bigr)} = {\ frac {d} {dt}} {\ Bigl (} f '(t) {\ Bigr)} = D_ {t} ^ { 2} y = f '' (t) = y '' _ {t} \\ {\ overset {...} {y}} = {\ dot {\ ddot {y}}} \ Equiv {\ frac {d ^ {3} y} {dt ^ {3}}} = D_ {t} ^ {3} y = f '' '(t) = y' '' _ {t} \\ {\ overset {\, 4} {\ dot {y}}} = {\ overset {....} {y}} = {\ ddot {\ ddot {y}}} \ Equiv {\ frac {d ^ {4} y } {dt ^ {4}}} = D_ {t} ^ {4} y = f ^ {\ rm {IV}} (t) = y_ {t} ^ {(4)} \\ {\ overset {\, 5} {\ dot {y}}} = {\ ddot {\ overset {...} {y}}} = {\ dot {\ ddot {\ ddot {y}}}} = {\ ddot { \ dot {\ ddot {y}}}} \ Equiv {\ frac {d ^ {5} y} {dt ^ {5}}} = D_ {t} ^ {5} y = f ^ {\ rm {V }} (t) = y_ {t} ^ {(5)} \\ {\ overset {\, 6} {\ dot {y}}} = {\ overset {...} {\ overset {...} {y}}} \ Equiv {\ frac {d ^ {6} y} {dt ^ {6}}} = D_ {t} ^ {6} y = f ^ {\ rm {VI}} (t) = y_ {t} ^ {(6)} \\ {\ overset {\, 7} {\ dot {y}}} = {\ точка {\ overset {...} {\ overset {...} {y}}}} \ Equiv {\ frac {d ^ {7} y} {dt ^ {7}}} = D_ {t} ^ {7} y ​​= f ^ {\ rm {VII}} (t) = y_ {t} ^ {(7)} \\ {\ overset {\, 10} {\ dot {y}}} = {\ ddot {\ ddot {\ ddot {\ ddot {\ ddot {y}}}}}} \ Equiv {\ frac {d ^ {10} y} {dt ^ {10}}} = D_ {t} ^ {10 } y = f ^ {\ rm {X}} (t) = y_ {t} ^ {(10)} \\ {\ overset {\, n} {\ dot {y}}} \ Equiv {\ frac {d ^ {n} y} {dt ^ {n}}} = D_ {t} ^ {n} y = f ^ {(n)} (t) = y_ {t} ^ {(n)} \ конец {выравнивается}}}$

символы Юникода, относящиеся к нотации Ньютона, включают:

• U + 0307 ◌̇ ОБЪЕДИНЕНИЕ ТОЧКИ ВЫШЕ (производная)
• U + 0308 ◌̈ ОБЪЕДИНЕНИЕ ДИАРЕЗА (двойная производная)
• U + 20DB ◌⃛ ОБЪЕДИНЕНИЕ ТРЕХ ТОЧЕК ВЫШЕ (третья производная) ← заменено на «объединение диэрезиса» + «объединение точки сверху».
• U + 20DC ◌⃜ ОБЪЕДИНЕНИЕ ЧЕТЫРЕ ТОЧЕК ВЫШЕ (четвертая производная) ← дважды заменяется на «объединение диэрезиса».
• U + 030D ◌̍ ОБЪЕДИНЕНИЕ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ЛИНИИ ВЫШЕ (интеграл)
• U + 030E ◌̎ ОБЪЕДИНЕНИЕ ДВОЙНОЙ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ЛИНИИ ВЫШЕ (второй интеграл)
• U + 25AD ▭ БЕЛЫЙ ПРЯМОУГОЛЬНИК (интегральный)
• U + 20DE ◌⃞ ОБЪЕДИНЕНИЕ ЗАКРЫТИЯ ПЛОЩАДИ (интеграл)
• U + 1DE0 ◌ᷠ ОБЪЕДИНЕНИЕ СТРОЧНОЙ ЛАТИНСКОЙ БУКВЫ N (n-я производная)

Обычно используется ньютоновская нотация, когда независимая переменная обозначает время. Если положение y является функцией t, то $y\; \dot{}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{y\}\}\}$обозначает скорость и $y\; ¨\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; ddot\; \{y\}\}\}$обозначает ускорение. Это обозначение популярно в физике и математической физике. Он также появляется в областях математики, связанных с физикой, таких как дифференциальные уравнения. Он популярен только для первой и второй производных, но в приложениях это обычно единственные производные, которые необходимы.

При взятии производной зависимой переменной y = f (x) существует альтернативное обозначение:

$y\; \dot{}\; x\; \dot{}\; =\; y\; \dot{}:\; x\; \dot{}\; \equiv \; dydt:\; dxdt\; =\; dydtdxdt\; =\; dydx\; =\; ddt\; (\; е\; (х))\; =\; D\; y\; =\; f\; \text{'}(x)\; =\; y\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; dot\; \{y\}\}\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\}\; =\; \{\backslash \; dot\; \{y\}\}:\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \backslash \; Equiv\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dt\}\}:\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{dt\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dt\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{dt\}\; \}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; \{\backslash \; Bigl\; (\}\; f\; (x)\; \{\backslash \; Bigr)\}\; =\; Dy\; =\; f\; \text{'}(x)\; =\; y\text{'}\}$

Ньютон разработал следующие операторы в частных производных, используя боковые точки на изогнутом X (ⵋ). Определения, данные Уайтсайдом, приведены ниже:

$X\; =\; f\; (x,\; y),\; \cdot \; X\; =\; x\; \partial \; f\; \partial \; x\; =\; xfx,\; X\; \cdot \; =\; y\; \partial \; f\; \partial \; y\; =\; yfy,:\; X\; или\; \cdot \; (\cdot \; X)\; =\; x\; 2\; \partial \; 2\; f\; \partial \; x\; 2\; =\; x\; 2\; fxx,\; X:\; или\; (X\; \cdot )\; \cdot \; =\; y\; 2\; \partial \; 2\; f\; \partial \; y\; 2\; =\; y\; 2\; fyy,\; \cdot \; X\; \cdot \; =\; xy\; \partial \; 2\; f\; \partial \; x\; \partial \; y\; =\; xyfxy,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{X\}\}\; \backslash \; =\; \backslash \; f\; (x,\; y)\; \backslash ,,\; \backslash \backslash \backslash \; cdot\; \{\backslash \; mathcal\; \{X\}\}\; \backslash \; =\; \backslash \; x\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; частичный\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; =\; xf\_\; \{x\}\; \backslash ,,\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; mathcal\; \{X\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; =\; \backslash \; y\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; =\; yf\_\; \{\; y\}\; \backslash ,,\; \backslash \backslash \backslash \; двоеточие\; \{\backslash \; mathcal\; \{X\}\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; text\; \{или\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; (\backslash \; cdot\; \{\backslash \; mathcal\; \{X\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; =\; \backslash \; x\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; x\; ^\; \{2\}\; f\_\; \{xx\}\; \backslash ,,\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; mathcal\; \{X\}\}\; \backslash \; двоеточие\; \backslash ,\; \{\backslash \; text\; \{или\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; mathcal\; \{X\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; right)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; =\; \backslash \; y\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; частичный\; y\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; y\; ^\; \{2\}\; f\_\; \{yy\}\; \backslash ,,\; \backslash \backslash \backslash \; cdot\; \{\backslash \; mathcal\; \{X\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; \backslash \; =\; \backslash \; xy\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\; \backslash \; partial\; y\}\}\; =\; xyf\_\; \{xy\}\; \backslash ,,\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Ньютоновская нотация для интегрирования

x̍x̎Первая и вторая первообразные xв одной из ньютоновских нотаций.

Ньютон разработал множество различных обозначений для интегрирования в своей Quadratura curvarum (1704) и более поздних работах : он написал небольшую вертикальную черту или штрих над зависимой переменной (y̍), префикс прямоугольник (▭y) или вложение термина в прямоугольник (y) для обозначения плавного или интеграла времени (спада ).

$y\; =\; ◻\; y\; \dot{}\; \equiv \; \int \; y\; \dot{}\; dt\; =\; \int \; f\; \prime \; (t)\; dt\; =\; D\; t\; -\; 1\; (D\; ty)\; =\; f\; (t)\; +\; C\; 0\; =\; yt\; +\; C\; 0\; y\; \prime \; =\; ◻\; y\; \equiv \; \int \; ydt\; знак\; равно\; \int \; е\; (T)\; dt\; знак\; равно\; D\; t\; -\; 1\; Y\; =\; F\; (t)\; +\; C\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; y\; =\; \backslash \; Box\; \{\backslash \; dot\; \{y\}\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; int\; \{\backslash \; dot\; \{\; y\}\}\; \backslash ,\; dt\; =\; \backslash \; int\; f\; \text{'}(t)\; \backslash ,\; dt\; =\; D\_\; \{t\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (D\_\; \{t\}\; y)\; =\; f\; (t)\; +\; C\_\; \{0\}\; =\; y\_\; \{t\}\; +\; C\_\; \{0\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; overset\; \{\backslash ,\; \backslash \; prime\}\; \{y\}\}\; =\; \backslash \; Box\; y\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; int\; y\; \backslash ,\; dt\; =\; \backslash \; int\; f\; (t)\; \backslash ,\; dt\; =\; D\_\; \{t\}\; ^\; \{-\; 1\}\; y\; =\; F\; (t)\; +\; C\_\; \{1\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Для обозначения нескольких интегралов Ньютон использовал две маленькие вертикальные черты или простые числа (y̎) или комбинацию предыдущих символов ▭y̍y̍, чтобы обозначают второй интеграл по времени (абсолютность).

$y\; \prime \; \prime \; знак\; равно\; ◻\; y\; \prime \; \equiv \; \int \; y\; \prime \; dt\; =\; \int \; F\; (t)\; dt\; =\; D\; t\; -\; 2\; y\; =\; g\; (t)\; +\; C\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overset\; \{\backslash ,\; \backslash \; prime\; \backslash \; prime\}\; \{y\}\}\; =\; \backslash \; Box\; \{\backslash \; overset\; \{\backslash ,\; \backslash \; prime\}\; \{y\}\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; int\; \{\backslash \; overset\; \{\backslash ,\; \backslash \; prime\}\; \{y\}\}\; \backslash ,\; dt\; =\; \backslash \; int\; F\; (t)\; \backslash ,\; dt\; =\; D\_\; \{t\}\; ^\; \{-\; 2\}\; y\; =\; g\; (t)\; +\; C\_\; \{2\}\}$

Интегралы по времени высшего порядка были следующими:

$y\; \prime \; \prime \; \prime \; =\; ◻\; y\; \prime \; \prime \; \equiv \; \int \; y\; \prime \; \prime \; dt\; =\; \int \; g\; (t)\; dt\; =\; D\; t\; -\; 3\; y\; =\; G\; (t)\; +\; C\; 3\; y\; \prime \; \prime \; \prime \; \prime \; =\; ◻\; y\; \prime \; \prime \; \prime \; \equiv \; \int \; y\; \prime \; \prime \; \prime \; dt\; =\; \int \; G\; (t)\; dt\; =\; D\; t\; -\; 4\; y\; =\; h\; (t)\; +\; C\; 4\; y\; \prime \; n\; =\; ◻\; y\; \prime \; n\; -\; 1\; \equiv \; \int \; y\; \prime \; n\; -\; 1\; dt\; =\; \int \; s\; (t)\; dt\; =\; D\; t\; -\; ny\; =\; S\; (t)\; +\; C\; n\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; overset\; \{\backslash ,\; \backslash \; prime\; \backslash \; prime\; \backslash \; prime\}\; \{y\}\}\; =\; \backslash \; Box\; \{\backslash \; overset\; \{\backslash ,\; \backslash \; prime\; \backslash \; prime\}\; \{y\}\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; int\; \{\backslash \; overset\; \{\backslash ,\; \backslash \; prime\; \backslash \; prime\}\; \{y\}\}\; \backslash ,\; dt\; =\; \backslash \; int\; g\; (t)\; \backslash ,\; dt\; =\; D\_\; \{t\}\; ^\; \{-\; 3\}\; y\; =\; G\; (t)\; +\; C\_\; \{3\}\; \backslash \backslash \; \{\; \backslash \; overset\; \{\backslash ,\; \backslash \; prime\; \backslash \; prime\; \backslash \; prime\; \backslash \; prime\}\; \{y\}\}\; =\; \backslash \; Box\; \{\backslash \; overset\; \{\backslash ,\; \backslash \; prime\; \backslash \; prime\; \backslash \; prime\}\; \{y\}\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; int\; \{\backslash \; overset\; \{\backslash ,\; \backslash \; prime\; \backslash \; prime\; \backslash \; prime\}\; \{y\}\}\; \backslash ,\; dt\; =\; \backslash \; int\; G\; (t)\; \backslash ,\; dt\; =\; D\_\; \{t\}\; ^\; \{-\; 4\}\; y\; =\; h\; (t)\; +\; C\_\; \{4\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; overset\; \{\; \backslash ;\; n\}\; \{\backslash \; overset\; \{\backslash ,\; \backslash \; prime\}\; \{y\}\}\}\; =\; \backslash \; Box\; \{\backslash \; overset\; \{\backslash ;\; n-1\}\; \{\backslash \; overset\; \{\backslash ,\; \backslash \; prime\}\; \{y\}\}\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; int\; \{\backslash \; overset\; \{\backslash ;\; n-1\}\; \{\backslash \; overset\; \{\backslash ,\; \backslash \; prime\}\; \{y\}\}\}\; \backslash ,\; dt\; =\; \backslash \; int\; s\; (t)\; \backslash ,\; dt\; =\; D\_\; \{t\}\; ^\; \{-\; n\; \}\; y\; =\; S\; (t)\; +\; C\_\; \{n\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Эта математическая нотация не получила широкого распространения из-за трудностей с печатью и спора по поводу исчисления Лейбница – Ньютона.

fxfxyФункция f, дифференцированная от x, затем от xи y.

, когда необходимы более конкретные типы дифференцирования, такие как в многомерном исчислении или тензорном анализе используются другие обозначения.

Для функции f (x) мы можем выразить производную, используя индексы независимой переменной:

$f\; x\; =\; d\; f\; d\; x\; f\; x\; x\; =\; d\; 2\; f\; d\; x\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; f\_\; \{x\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{df\}\; \{dx\}\}\; \backslash \backslash \; f\_\; \{xx\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{dx\; ^\; \{2\}\; \}\}.\; \backslash \; end\; \{выравнивание\}\}\}$

Этот тип записи особенно полезен для взятия частных производных функции нескольких переменных.

∂f/∂xФункция f, дифференцированная по отношению к x.

Частные производные обычно отличаются от обычных производных заменой дифференциального оператора d на "∂ "символ. Например, мы можем указать частную производную f (x, y, z) по x, но не по y или z, несколькими способами:

$\partial \; f\; \partial \; x\; =\; fx\; =\; \partial \; xf\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; =\; f\_\; \{x\}\; =\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; f\}$.

Важным это различие делает то, что нечастная производная, такая как $dfdx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{\backslash \; frac\; \{df\}\; \{dx\}\}\}$может, в зависимости от контекста, интерпретироваться как скорость изменения $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$относительного на $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, когда все переменные могут изменяться одновременно, тогда как с частной производной, такой как $\partial \; f\; \partial \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\}$явно, что только одна переменная должна изменяться.

Другие обозначения можно найти в различных подполях математики, физики и инженерии, см., Например, соотношения Максвелла в термодинамике. Символ $(\partial \; T\; \partial \; V)\; S\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; T\}\; \{\backslash \; partial\; V\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{S\}\}$является производным от температура T относительно объема V при сохранении постоянной энтропии (нижний индекс) S, в то время как $(\partial \; T\; \partial \; V)\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; T\}\; \{\backslash \; partial\; V\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{P\}\}$- производная температуры по объему при постоянном давлении P. Это становится необходимым в ситуациях, когда количество переменных превышает количество степеней свободы, так что нужно выбрать, какие другие переменные следует оставить фиксированными.

Частные производные высшего порядка по одной переменной выражаются как

$\partial \; 2\; f\; \partial \; x\; 2\; =\; fxx\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; f\_\; \{xx\}\}$

$\partial \; 3\; f\; \partial \; x\; 3\; =\; fxxx.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{3\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{3\}\}\}\; =\; f\_\; \{xxx\}.\}$

Смешанные частные производные могут быть выражены как

$\partial \; 2\; f\; \partial \; y\; \partial \; х\; =\; fxy.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; y\; \backslash \; partial\; x\}\}\; =\; f\_\; \{xy\}.\}$

В этом последнем случае переменные записываются в обратном порядке между двумя обозначениями, объясняется следующим образом:

$(fx)\; y\; =\; fxy\; \{\backslash \; displaystyle\; (f\_\; \{x\})\; \_\; \{y\}\; =\; f\_\; \{xy\}\}$

$\partial \; \partial \; y\; (\partial \; f\; \partial \; x)\; =\; \partial \; 2\; f\; \partial \; y\; \partial \; Икс\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\; \}\; \{\backslash \; partial\; y\; \backslash \; partial\; x\}\}\}$

Векторное исчисление касается дифференцирования и интегрирования вектора вектора или скалярные поля. Распространены несколько обозначений, характерных для случая трехмерного евклидова пространства.

Предположим, что (x, y, z) - заданная декартова система координат, что A - это векторное поле с компонентами $A\; =\; (A\; x,\; A\; y,\; A\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; =\; (\backslash \; mathbf\; \{A\}\; \_\; \{x\},\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \_\; \{y\},\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \_\; \{\; z\})\}$, и что $\phi \; =\; \phi \; (x,\; y,\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; =\; \backslash \; varphi\; (x,\; y,\; z)\}$является скалярное поле.

Дифференциальный оператор, введенный Уильямом Роуэном Гамильтоном, записанный ∇ и названный del или набла, символически определяется в форме вектор,

$\nabla \; знак\; равно\; (\partial \; \partial \; x,\; \partial \; \partial \; y,\; \partial \; \partial \; z),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\}\; \backslash \; right),\}$

где терминология символически отражает, что оператор ∇ также будет рассматриваться как обычный вектор.

∇φГрадиент скалярного поля φ.

• Градиент : градиент $grad\; \phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{grad\; \backslash ,\}\; \backslash \; varphi\}$скаляра. поле $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$представляет собой вектор, который символически выражается умножением числа ∇ и скалярного поля $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$,

$град\; \; \phi \; знак\; равно\; (\partial \; \phi \; \partial \; x,\; \partial \; \phi \; \partial \; y,\; \partial \; \phi \; \partial \; z)\; =\; (\partial \; \partial \; x,\; \partial \; \partial \; y,\; \partial \; \partial \; z)\; \phi \; =\; \nabla \; \phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; имя\; оператора\; \{grad\}\; \backslash \; varphi\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; varphi\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; varphi\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; varphi\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; varphi\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; nabla\; \backslash \; varphi\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

∇∙AДивергенция векторного поля A.

• Divergence : дивергенция $div\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{div\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\}$векторного поля A является скаляром, который символически выражается скалярное произведение из ∇ и вектора A,

$div\; \; A\; =\; \partial \; A\; x\; \partial \; x\; +\; \partial \; A\; y\; \partial \; y\; +\; \partial \; A\; z\; \partial \; z\; =\; (\partial \; \partial \; x,\; \partial \; \partial \; y,\; \partial \; \partial \; z)\; \cdot \; A\; =\; \nabla \; \cdot \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; operatorname\; \{div\}\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; =\; \{\backslash \; partial\; A\_\; \{x\}\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\}\; +\; \{\backslash \; partial\; A\_\; \{y\}\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; y\}\; +\; \{\backslash \; partial\; A\_\; \{z\}\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; z\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; y\; \}\},\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

∇φЛапласиан скалярного поля φ.

• лапласиан : Лапласиан $div\; \; grad\; \; \phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{div\}\; \backslash \; operatorname\; \{grad\}\; \backslash \; varphi\}$скалярного поля $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$представляет собой скаляр, который символически выражается скалярным умножением ∇ и скалярного поля φ,

$div\; \; grad\; \; \phi \; =\; \nabla \; \cdot \; (\nabla \; \phi )\; знак\; равно\; (\nabla \; \cdot \; \nabla )\; \phi \; =\; \nabla \; 2\; \phi \; =\; \Delta \; \phi \; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; \backslash \; OperatorName\; \{div\}\; \backslash \; OperatorName\; \{grad\}\; \backslash \; varphi\; =\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; (\backslash \; nabla\; \backslash \; varphi)\; \backslash \backslash \; =\; (\backslash \; nabla\; \backslash \; cd\; ot\; \backslash \; nabla)\; \backslash \; varphi\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; \backslash \; varphi\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; Delta\; \backslash \; varphi\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

∇×AРотор векторного поля A.

• Вращение : поворот $curl\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{curl\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\}$или $rot\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{rot\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\}$векторного поля A - вектор, который символически выражается перекрестным произведением числа ∇ и вектора A,

$. curl ⁡ A = (∂ A z ∂ y - ∂ A y ∂ z, ∂ A x ∂ z - ∂ A z ∂ x, ∂ A y ∂ x - ∂ A x ∂ y) = (∂ A z ∂ y - ∂ A y ∂ z) i + (∂ A x ∂ z - ∂ A z ∂ x) j + (∂ A y ∂ x - ∂ A x ∂ y) k = | i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z A x A y A z | Знак равно ∇ × A {\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {curl} \ mathbf {A} = \ left ({\ partial A_ {z} \ over {\ partial y}} - {\ partial A_ {y } \ over {\ partial z}}, {\ partial A_ {x} \ over {\ partial z}} - {\ partial A_ {z} \ over {\ partial x}}, {\ partial A_ {y} \ над {\ partial x}} - {\ partial A_ {x} \ over {\ partial y}} \ right) \\ = \ left ({\ partial A_ {z} \ over {\ partial y}} - { \ partial A_ {y} \ over {\ partial z}} \ right) \ mathbf {i} + \ left ({\ partial A_ {x} \ over {\ partial z}} - {\ partial A_ {z} \ над {\ partial x}} \ right) \ mathbf {j} + \ left ({\ partial A_ {y} \ over {\ partial x}} - {\ partial A_ {x} \ over {\ partial y}} \ right) \ mathbf {k} \\ = {\ begin {vmatrix} \ mathbf {i} \ mathbf {j} \ mathbf {k} \\ {\ cfrac {\ partial} {\ partial x}} {\ cfrac {\ partial} {\ partial y}} {\ cfrac {\ partial} {\ partial z}} \\ A_ {x} A_ {y} A_ {z} \ end {vmatrix}} \\ = \ nabla \ times \ mathbf {A} \ end {align}}}$

Многие символьные операции над производными могут быть напрямую обобщены с помощью оператора градиента в декартовых координатах. Например, у правила произведения одной переменной есть прямой аналог в умножении скалярных полей путем применения оператора градиента, как в

$(fg)\; \prime \; =\; f\; \prime \; g\; +\; fg\; \prime \; ⟹\; \nabla \; (\; \varphi \; \psi )\; =\; (\nabla \; \varphi )\; \psi \; +\; \varphi \; (\nabla \; \psi ).\; \{\backslash \; displaystyle\; (fg)\; \text{'}=\; f\text{'}g\; +\; fg\text{'}\; ~~~\; \backslash \; Longrightarrow\; ~~~\; \backslash \; nabla\; (\backslash \; phi\; \backslash \; psi)\; =\; (\backslash \; nabla\; \backslash \; phi)\; \backslash \; psi\; +\; \backslash \; phi\; (\backslash \; nabla\; \backslash \; psi).\}$

Многие другие правила исчисления одной переменной имеют аналоги векторного исчисления для градиента, дивергенции, изгиба и лапласиана.

Для более экзотических типов пространств были разработаны дальнейшие обозначения. Для вычислений в пространстве Минковского, оператор Даламбера, также называемый даламбертовским, волновым оператором или оператором прямоугольника, представлен как $◻\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Box\}$или как $\Delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\}$, если он не противоречит символу лапласиана.

• Аналитическое общество
• Производная
• Матрица Якоби
• Матрица Гессе

• Раннее использование символов математики, поддерживается Джеффом Миллером.