Проективная линия над кольцом

Восемь цветов показывают проективную линию над полем Галуа GF (7)

В математике, проективная линия над кольцом является расширением концепции проективной линии на поле. Для кольца A с 1 проективная прямая P (A) над A состоит из точек, идентифицируемых проективными координатами. Пусть U будет группой элементов A; пары (a, b) и (c, d) из A × A связаны, если существует u в U такое, что ua = c и ub = d. Это отношение является отношением эквивалентности. Типичный класс эквивалентности записывается как U [a, b].

P (A) = {U [a, b]: aA + bA = A}, то есть U [a, b] находится на проективной прямой, если идеал порождал по a и b - это все A.

Проективная прямая P (A) снабжена группой омографий. Гомографии выражаются посредством использования кольца матриц над A и его группой единиц V следующим образом: если c находится в Z (U), центр U, то групповое действие матрицы $(c\; 0\; 0\; c)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; c\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; c\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$на P (A) то же, что и действие единичной матрицы. Такие матрицы представляют собой нормальную подгруппу N группы V. Омографии P (A) соответствуют элементам фактор-группы V / N.

P (A) считается расширением кольца A, поскольку оно содержит копию A из-за вложения E: a → U [a, 1]. мультипликативное обратное отображение u → 1 / u, обычно ограниченное группой единиц U элемента A, выражается гомографией на P (A):

$U\; [a,\; 1]\; (0\; 1\; 1\; 0)\; =\; U\; [1,\; a]\; \sim \; U\; [a\; -\; 1,\; 1].\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; [a,\; 1]\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; 1\; \backslash \backslash \; 1\; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; U\; [1,\; a]\; \backslash \; Thicksim\; U\; [a\; ^\; \{-\; 1\},\; 1].\}$

Кроме того, для u, v ∈ U отображение a → uav может быть расширено до гомографии:

$(u\; 0\; 0\; 1)\; (0\; 1\; 1\; 0)\; (v\; 0\; 0\; 1)\; (0\; 1\; 1\; 0)\; =\; (\; u\; 0\; 0\; v).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; u\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; 1\; \backslash \backslash \; 1\; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; v\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\; \}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; 1\; \backslash \backslash \; 1\; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; u\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; v\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}.\}$

$U\; [a,\; 1]\; (v\; 0\; 0\; u)\; =\; U\; [av,\; u]\; \sim \; U\; [u\; -\; 1\; av,\; 1].\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; [a,\; 1]\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; v\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; u\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; U\; [av,\; u]\; \backslash \; Thicksim\; U\; [u\; ^\; \{-\; 1\}\; av,\; 1].\}$

Поскольку u произвольно, его можно заменить на u. Гомографии на P (A) называются дробно-линейными преобразованиями, поскольку

$U\; [z,\; 1]\; (acbd)\; =\; U\; [za\; +\; b,\; zc\; +\; d]\; \sim \; U\; [(zc\; +\; d)\; -\; 1\; (za\; +\; b),\; 1].\; \{\backslash \; Displaystyle\; U\; [z,\; 1]\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; a\; c\; \backslash \backslash \; b\; d\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; U\; [za\; +\; b,\; zc\; +\; d]\; \backslash \; Thicksim\; U\; [(zc\; +\; d)\; ^\; \{-\; 1\}\; (za\; +\; b),\; 1].\}$

• 1 Экземпляры
  • 1.1 Над конечными кольцами
  • 1.2 Над топологическими кольцами
• 2 Цепи
  • 2.1 Точечный параллелизм
• 3 модуля
• 4 Перекрестное соотношение
• 5 История
• 6 См. Также
• 7 Примечания и ссылки
• 8 Дополнительная литература
• 9 Внешние ссылки

Шесть цветов показывают проекционную линию над полем Галуа GF (5)

Кольца, которые являются полями, наиболее известны: проективная линия над GF (2) имеет три элемента: U [0,1], U [1,0] и U [1,1]. Его группа гомографии - это группа перестановок на этих трех.

Кольцо Z/3Z, или GF (3), имеет элементы 1, 0 и -1; его проективная линия состоит из четырех элементов: U [1,0], U [1,1], U [0,1], U [1, −1], поскольку и 1, и −1 являются единицами. Группа гомографии на этой проективной прямой состоит из 12 элементов, также описываемых матрицами или перестановками. Для конечного поля GF (q) проективная линия - это геометрия Галуа PG (1, q). Дж. В.П. Хиршфельд описал гармонические тетрады в проекционных линиях для q = 4, 5, 7, 8, 9.

Над конечными кольцами

Рассмотрим P (Z/nZ), когда n является составным числом. Если p и q - разные простые числа, делящие n, то

и являются максимальными идеалами в Z/nZи по тождеству Безу существуют a и b в Z такое, что ap + bq = 1, так что U [p, q] находится в P (Z/nZ), но не является изображением элемента при каноническом вложении. Вся P (Z/nZ) заполнена элементами U [up, vq], u ≠ v, u, v ∈ U = единицами Z/nZ. Экземпляры Z/nZприведены здесь для n = 6, 10 и 12, где согласно модульной арифметике группа элементов кольца U = {1,5}, U = {1, 3,7,9} и U = {1,5,7,11} соответственно. Модульная арифметика подтвердит, что в каждой таблице данная буква представляет несколько точек. В этих таблицах точка U [m, n] обозначена буквой m в строке внизу таблицы и n в столбце слева от таблицы. Например, точка на бесконечности A = U [v, 0], где v - единица кольца.

Таблицы, показывающие проекционные линии над кольцами Z/nZдля n = 6, 10, 12. Упорядоченные пары, отмеченные одной и той же буквой, принадлежат одной и той же точке.

Проективная прямая над кольцом Z/6Z 5 B G F E D C 4 J K H 3 I L L I 2 H K J 1 B C D E F G 0 A A 0 1 2 3 4 5

Проективная прямая над кольцом Z / 10 Z 9 B K J I H G F E D C 8 P O Q M L 7 B E H K D G J C F I 6 O L Q P M 5 N R N R R N R N 4 M P Q L O 3 B I F C J G D K H E 2 L M Q O P 1 B C D E F G H I J K 0 A A A A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Проективная прямая над кольцом Z / 12 Z 11 B M L K J I H G F E D C 10 T U N T U N 9 S V W S O W V O 8 R X P R X P 7 B I D K F M H C J E L G 6 Q Q Q Q 5 B G L E J C H M F K D I 4 P X R P X R 3 O V W O S W V S 2 N U T N U T 1 B C D E F G H I J K L M 0 A A A A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Дополнительные точки могут быть связаны с Q⊂ R⊂ C, рациональными числами в расширенной комплексной верхней полуплоскости. Группа гомографий на P (Z/nZ) называется главной конгруэнтной подгруппой.

над топологическими кольцами

Проективная прямая над телом приводит к единственному вспомогательному точка ∞ = U [1,0]. Примеры включают реальную проективную линию, комплексную проективную линию и проективную линию над кватернионами. Эти примеры топологических колец имеют проективную линию как их одноточечные компактификации. Случай комплексного числа, поля C имеет группу Мебиуса в качестве группы гомографии. Для рациональных чисел Qоднородность координат означает, что каждый элемент P (Q ) может быть представлен элементом P (Z ). Точно так же гомография P (Q ) соответствует элементу модулярной группы, автоморфизмам P (Z ).

Проективная прямая над двойственными числами была описана Йозефом Грюнвальдом в 1906 году. Это кольцо включает ненулевой нильпотент n, удовлетворяющий nn = 0. Плоскость {z = x + yn: x, y ∈ R } двойных чисел имеет проективную прямую, включающую линию точек U [1, xn], x ∈ R.Исаак Яглом описал ее как "обратная галилеевская плоскость", имеющая топологию цилиндра , когда включена дополнительная линия. Аналогично, если A является локальным кольцом, то P (A) образовано примыканием точек, соответствующих элементам максимального идеала кольца A.

Проективное линия над кольцом M комплексных чисел с разбиением вводит вспомогательные прямые {U [1, x (1 + j)]: x ∈ R } и {U [1, x ( 1 - j)]: x ∈ R }. При использовании стереографической проекции плоскость разделенных комплексных чисел замыкается этими линиями на гиперболоид одного листа. Проективную прямую над M можно назвать плоскостью Минковского, если она характеризуется поведением гипербол при гомографическом отображении.

Реальная линия в комплексной плоскости заменяется кругами и другими действительными линиями при преобразованиях Мебиуса, которые фактически переставляют каноническое вложение действительной проективной прямой в комплексную проективную прямую. Предположим, что A - это алгебра над полем F, обобщая случай, когда F - это поле вещественных чисел, а A - поле комплексных чисел. Каноническое вложение P (F) в P (A) есть

$U\; F\; [x,\; 1]\; \mapsto \; U\; A\; [x,\; 1],\; U\; F\; [1,\; 0]\; \mapsto \; U\; A\; [1,\; 0].\; \{\backslash \; Displaystyle\; U\_\; \{F\}\; [x,\; 1]\; \backslash \; mapsto\; U\_\; \{A\}\; [x,\; 1],\; \backslash \; quad\; U\_\; \{F\}\; [1,0]\; \backslash \; mapsto\; U\_\; \{A\}\; [1,0].\}$

A цепь - это образ P (F) при гомографии на P (A). Четыре точки лежат на цепочке тогда и только тогда, когда их перекрестное отношение находится в F. Карл фон Штаудт использовал это свойство в своей теории «реальных ударов» [reeler Zug].

Точка-параллельность

Две точки P (A) являются параллельными, если их не соединяет цепь. Было принято соглашение, что точки параллельны сами себе. Это отношение инвариантно относительно действия гомографии на проективной прямой. Учитывая три попарно непараллельных точки, существует уникальная цепь, которая соединяет их.

Проективная прямая P (A) над кольцом A также может быть идентифицирована как пространство проективных модулей в module $A\; \oplus \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; oplus\; A\}$. Тогда элемент P (A) является прямым слагаемым из $A\; \oplus \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; oplus\; A\}$. Этот более абстрактный подход следует взгляду на проективную геометрию как на геометрию подпространств в векторном пространстве, иногда связанного с теорией решетки из Гарретта Биркгофа или книги «Линейная алгебра и проективная геометрия» Рейнхольда Бэра. В случае кольца рациональных целых чисел Zопределение модульного слагаемого для P (Z ) сужает внимание к U [m, n], m взаимно простому элементу в n и сбрасывает вложения, которые являются основной особенностью P (A), когда A топологичен. В статье 1981 г. W. Benz, Hans-Joachim Samaga и Helmut Scheaffer упоминается определение прямого слагаемого.

В статье «Проективные представления: проективные линии над кольцами» группа единиц матричного кольца M2(R) и концепции модуля и бимодуль используются для определения проективной прямой над кольцом. Группа единиц обозначается GL (2, R), принимая обозначения из общей линейной группы, где R обычно считается полем.

Проективная прямая - это множество орбит под GL (2, R) свободного циклического подмодуля R (1,0) в R × R. Расширяя коммутативную теорию Бенца, существование правого или левого мультипликативного обратного элемента кольца связано с P (R) и GL (2, R). Охарактеризовано свойство дедекиндово-конечного. Наиболее важно то, что представление группы P (R) в проективном пространстве над телом K осуществляется с помощью (K, R) -бимодуля U, который является левым K-векторным пространством и правым R-модулем. Точки P (R) - это подпространства в P (K, U × U), изоморфные своим дополнениям.

гомография h, которая переводит три конкретных элемента кольца a, b, c в точки проективной прямой U [0,1], U [1,1], U [ 1,0] называется гомографией с перекрестным соотношением . Иногда кросс-отношение принимается как значение h в четвертой точке x: (x, a, b, c) = h (x).

Чтобы построить h из a, b, c, омографии генератора

$(0\; 1\; 1\; 0),\; (1\; 0\; t\; 1),\; (u\; 0\; 0\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; Используются\; 0\; 1\; \backslash \backslash \; 1\; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\},\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; t\; 1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\},\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; u\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

, с учетом неподвижных точек : +1 и −1 фиксируются при инверсии, U [1,0] фиксируются при переносе, а «вращение» с u оставляет U [0,1] и U [1,0] исправлено. Инструкции состоят в том, чтобы сначала поместить c, затем привести a к U [0,1] с перемещением и, наконец, использовать вращение для перемещения b к U [1,1].

Лемма: если A - коммутативное кольцо и b - a, c - b, c - a - все единицы, то

$1\; b\; -\; c\; +\; 1\; c\; -\; a\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{bc\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{ca\}\}\}$- единица.

доказательство: Очевидно, $b\; -\; a\; (b\; -\; c)\; (с\; -\; а)\; знак\; равно\; (б\; -\; с)\; +\; (с\; -\; а)\; (б\; -\; с)\; (с\; -\; а)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{ba\}\; \{(bc)\; (ca)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(bc)\; +\; (ca)\}\; \{(bc)\; (ca)\}\}\}$- единица измерения, если требуется.

Теорема: Если $(b\; -\; c)\; -\; 1\; +\; (c\; -\; a)\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; (bc)\; ^\; \{-\; 1\}\; +\; (ca)\; ^\; \{-\; 1\}\}$- единица, то существует гомография h в G (A) такая, что

h (a) = U [0,1], h (b) = U [1,1] и h (c) = U [1,0].

доказательство: точка $p\; =\; (b\; -\; c)\; -\; 1\; +\; (c\; -\; a)\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; =\; (bc)\; ^\; \{-\; 1\; \}\; +\; (ca)\; ^\; \{-\; 1\}\}$- это изображение b после того, как a было помещено в 0 и затем инвертировано в U [1,0], а изображение c перенесено в U [0, 1]. Поскольку p - единица, его инверсия, используемая при вращении, переместит p в U [1,1], в результате чего a, b, c будут размещены правильно. Лемма относится к достаточным условиям существования h.

Одно применение перекрестного отношения определяет проективное гармоническое сопряжение тройки a, b, c как элемент x, удовлетворяющий (x, a, b, c) = -1. Такая четверка - это гармоническая тетрада . Гармонические тетрады на проективной прямой над конечным полем GF (q) использовались в 1954 году для разграничения проективных линейных групп PGL (2, q) для q = 5, 7 и 9 и демонстрации случайные изоморфизмы.

Август Фердинанд Мёбиус исследовал преобразования Мебиуса между своей книгой «Барицентрическое исчисление» (1827) и статьей 1855 года «Theorie der Kreisverwandtschaft in rein geometrischer Darstellung». Карл Вильгельм Фейербах и Юлиус Плюккер также приписывают использование однородных координат. Эдуард Этюд в 1898 году и Эли Картан в 1908 году написали статьи о гиперкомплексных числах для Немецкой и Французской энциклопедий математики соответственно, где они использовали эту арифметику с дробно-линейные преобразования в подражание Мёбиусу. В 1902 году Теодор Вален представил короткую, но хорошо цитируемую статью, в которой исследуются некоторые дробно-линейные преобразования алгебры Клиффорда. Кольцо из двойных чисел D дало Йозефу Грюнвальду возможность выставить P (D) в 1906 году. Коррадо Сегре (1912) продолжил разработку этого кольца.

Артур Конвей, один из первых приверженцев теории относительности с помощью преобразований бикватернионов, рассмотрел кватернионно-мультипликативно-обратное преобразование в своем исследовании относительности 1911 года. В 1947 г. некоторые элементы геометрии инверсивных кватернионов были описаны П.Г. Гормли в Ирландии. В 1968 году «Комплексные числа в геометрии» Исаака Яглома вышли на английском языке, переведены с русского. Здесь он использует P (D) для описания линейной геометрии на евклидовой плоскости и P (M) для описания ее для плоскости Лобачевского. Текст Яглома «Простая неевклидова геометрия» появился на английском языке в 1979 году. На страницах 174–200 он развивает геометрию Минковского и описывает P (M) как «обратную плоскость Минковского». Русский оригинал текста Яглома был опубликован в 1969 году. Между двумя выпусками Вальтер Бенц (1973) опубликовал свою книгу, которая включала однородные координаты, взятые из М.

• Сад Евклида

• Скай Брюэр (2012) «Проективное кросс-отношение на гиперкомплексных числах», Успехи в прикладных алгебрах Клиффорда, DOI 10.1007 / s00006-12-0335-7.
• И. М. Яглом (1968) Комплексные числа в геометрии.

• Г. Ancochea (1941) "Теория фон Штаудта в géométrie projective quaternionienne", Journal für Mathematik, Band 184, Heft 4, SS. 193–8.
• Н. Б. Лимай (1972) «Кросс-отношения и проекции линии», Mathematische Zeitschrift 129: 49–53, MR 0314823.
• B.V. Лимай и Н. Лимай (1977) "Основная теорема для проективной прямой над коммутативными кольцами", Aequationes Mathematica 16: 275–81. MR 0513873.
• B.V. Лимай и Н. Лимай (1977) "Основная теорема для проективной прямой над некоммутативными локальными кольцами", Archiv der Mathematik 28 (1): 102–9 MR 0480495.
• Марсель Уайлд (2006) " Фундаментальная теорема проективной геометрии для модуля произвольной длины два ", Rocky Mountain Journal of Mathematics 36 (6): 2075–80.

• Митод Санига (2006) Проективные линии над конечными кольцами (pdf) из Астрономического института Словацкой академии наук