Обобщенная сложная структура

В области математики, известной как дифференциальная геометрия, Обобщенная комплексная структура - это свойство дифференциального многообразия, которое включает в качестве частных случаев комплексную структуру и симплектическую структуру. Обобщенные сложные структуры были введены Найджелом Хитчином в 2002 году и в дальнейшем развиты его учениками и.

Эти структуры впервые возникли в программе Хитчина для характеристики геометрических структур с помощью функционалов от дифференциальных форм, связи, которая легла в основу Робберта Дейкграфа, Сергей Гуков и Кумрун Вафа, предложение 2004 года о том, что топологические теории струн являются частными случаями топологической M-теории. Сегодня обобщенные сложные структуры также играют ведущую роль в физической теории струн, поскольку суперсимметричные компактификации потока, которые связывают 10-мерную физику с 4-мерными мирами, такими как наш, требуют (возможно, скрученных) обобщенно сложных структур.

• 1 Определение
  • 1.1 Обобщенный касательный пучок
  • 1.2 Скобка Куранта
  • 1.3 Определение
• 2 Максимальные изотропные подгруппы
  • 2.1 Классификация
  • 2.2 Тип
  • 2.3 Действительный index
• 3 Каноническая связка
  • 3.1 Обобщенные почти сложные структуры
  • 3.2 Интегрируемость и другие структуры
• 4 Локальная классификация
  • 4.1 Каноническая связка
  • 4.2 Регулярная точка
  • 4.3 Теорема Дарбу
  • 4.4 Локальная голоморфность
• 5 Примеры
  • 5.1 Комплексные многообразия
  • 5.2 Симплектические многообразия
• 6 Связь с G-структурами
  • 6.1 Сравнение метрики Калаби и Калаби – Яу
• 7 Ссылки

Обобщенное касательное расслоение

Рассмотрим N-многообразие M. касательное расслоение к M, которое будет обозначаться T, является векторное расслоение над M, слои которого состоят из всех касательных векторов к M. Раздел из T - это векторное поле на M. Котангенсное расслоение к M, обозначенное T, является векторным расслоением ov er M, сечения которого являются одноформными на M.

В комплексной геометрии рассматриваются структуры на касательных расслоениях многообразий. В симплектической геометрии вместо этого интересуются внешние мощности котангенсного расслоения. Обобщенная геометрия объединяет эти два поля, рассматривая участки обобщенного касательного пучка, который представляет собой прямую сумму $T\; \oplus \; T\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{T\}\; \backslash \; oplus\; \backslash \; mathbf\; \{T\}\; ^\; \{*\}\}$касательных и кокасательных расслоений, которые являются формальными суммами векторного поля и одной формы.

Волокна снабжены натуральным внутренним продуктом с подписью (N, N). Если X и Y - векторные поля, а ξ и η - одноформы, то скалярное произведение X + ξ и Y + η определяется как

$⟨X\; +\; \xi ,\; Y\; +\; \eta ⟩\; =\; 1\; 2\; (\xi \; (Y)\; +\; \eta \; (X)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; X\; +\; \backslash \; xi,\; Y\; +\; \backslash \; eta\; \backslash \; rangle\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (\backslash \; xi\; (Y)\; +\; \backslash \; eta\; (X)).\}$

A обобщенная почти сложная структура это просто почти комплексная структура обобщенного касательного расслоения, сохраняющая естественный внутренний продукт:

$J:\; T\; \oplus \; T\; \ast \; \to \; T\; \oplus \; T\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{J\}\}:\; \backslash \; mathbf\; \{T\}\; \backslash \; oplus\; \backslash \; mathbf\; \{T\}\; ^\; \{*\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbf\; \{T\}\; \backslash \; oplus\; \backslash \; mathbf\; \{T\}\; ^\; \{*\}\}$

такой, что $J\; 2\; =\; -\; I\; d,\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{J\}\}\; ^\; \{2\}\; =\; -\; \{\backslash \; rm\; \{Id\}\},\}$и

$⟨J\; (X\; +\; \xi ),\; J\; (Y\; +\; \eta )⟩\; =\; ⟨X\; +\; \xi ,\; Y\; +\; \eta ⟩.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \{\backslash \; mathcal\; \{J\}\}\; (X\; +\; \backslash \; xi),\; \{\backslash \; mathcal\; \{J\}\}\; (Y\; +\; \backslash \; eta)\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; langle\; X\; +\; \backslash \; xi,\; Y\; +\; \backslash \; eta\; \backslash \; rangle.\}$

Как в случае обычной почти сложной структуры обобщенная почти сложная структура однозначно определяется своим $-\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{-1\}\}\}$-собственным расслоением, то есть подгруппа $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$комплексного обобщенного касательного пучка $(T\; \oplus \; T\; \ast )\; \otimes \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbf\; \{T\}\; \backslash \; oplus\; \backslash \; mathbf\; \{\; T\}\; ^\; \{*\})\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$, заданное как

$L\; =\; \{X\; +\; \xi \; \in \; (T\; \oplus \; T\; \ast )\; \otimes \; C:\; J\; (X\; +\; \xi )\; =\; -\; 1\; (Икс\; +\; \xi )\}\; \{\backslash \; Displaystyle\; L\; =\; \backslash \; \{X\; +\; \backslash \; xi\; \backslash \; in\; (\backslash \; mathbf\; \{T\}\; \backslash \; oplus\; \backslash \; mathbf\; \{T\}\; ^\; \{*\})\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; \backslash :\; \backslash \; \{\backslash \; mathcal\; \{J\}\}\; (X\; +\; \backslash \; xi)\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{-1\}\}\; (X\; +\; \backslash \; xi)\; \backslash \}\}$

Такое подрасслоение L удовлетворяет следующим свойствам:

(i) пересечение с его комплексно-сопряженное - нулевое сечение: $L\; \cap \; L\; ¯\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; \backslash \; cap\; \{\backslash \; overline\; \{L\}\}\; =\; 0\}$;

(ii) L максимальное изотропный, т.е. его сложный ранг равно N и $⟨\ell ,\; \ell \; \prime ⟩\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; ell,\; \backslash \; ell\; \text{'}\backslash \; rangle\; =\; 0\}$для всех $\ell ,\; \ell \; \prime \; \in \; L.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell,\; \backslash \; ell\; \text{'}\backslash \; in\; L.\}$

И наоборот, любая подгруппа L, удовлетворяющая (i), (ii), является $-\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{-1\}\}\}$-собственное расслоение единственной обобщенной почти комплексной структуры, так что свойства (i), (ii) можно рассматривать как альтернативное определение обобщенной почти комплексной структуры.

Скобка Куранта

В обычной сложной геометрии почти сложная структура интегрируема в сложную структуру тогда и только тогда. если скобка Ли двух секций голоморфного подрасслоения является другой секцией голоморфного подрасслоения.

В обобщенной сложной геометрии человека интересуют не векторные поля, а формальные суммы векторных полей и одноформ. Своеобразная скобка Ли для таких формальных сумм была введена в 1990 г. и называется скобкой Куранта, которая определяется как

$[X\; +\; \xi ,\; Y\; +\; \eta ]\; =\; [X,\; Y]\; +\; LX\; \eta \; -\; LY\; \xi \; -\; 1\; 2\; d\; (я\; (X)\; \eta \; -\; я\; (Y)\; \xi )\; \{\backslash \; Displaystyle\; [X\; +\; \backslash \; xi,\; Y\; +\; \backslash \; eta]\; =\; [X,\; Y]\; +\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{X\}\; \backslash \; eta\; -\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{Y\}\; \backslash \; xi\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; d\; (i\; (X)\; \backslash \; eta\; -i\; (Y)\; \backslash \; xi)\}$

где $LX\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{X\}\}$- производная Ли вдоль векторного поля X, d - внешняя производная и i - внутренний продукт.

Определение

A обобщенная комплексная структура - это обобщенная почти комплексная структура, такая что пространство гладких сечений L замкнуто относительно скобки Куранта.

Классификация

Существует взаимно однозначное соответствие между максимальной изотропной подгруппой из $T\; \oplus \; T\; \ast \; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{T\}\; \backslash \; oplus\; \backslash \; mathbf\; \{T\}\; ^\; \{*\}\}$и пары $(E,\; \epsilon )\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbf\; \{E\},\; \backslash \; varepsilon)\}$, где E - это подгруппа T, а $\epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\}$- 2-форма. Это соответствие прямо распространяется на сложный случай.

По паре $(E,\; \epsilon )\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbf\; \{E\},\; \backslash \; varepsilon)\}$можно построить максимально изотропное подрасслоение $L\; (E\; \epsilon )\; \{\backslash \; Displaystyle\; L\; (\backslash \; mathbf\; \{E\},\; \backslash \; varepsilon)\}$из $T\; \oplus \; T\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{T\}\; \backslash \; oplus\; \backslash \; mathbf\; \{T\}\; ^\; \{*\; \}\}$следующим образом. Элементами подгруппы являются формальные суммы $X\; +\; \xi \; \{\backslash \; displaystyle\; X\; +\; \backslash \; xi\}$, где векторное поле X - это часть E, а единичная форма ξ, ограниченная двойным пространством $E\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; ^\; \{*\}\}$, равна одна форма $\epsilon \; (X).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; (X).\}$

Чтобы увидеть, что $L\; (E,\; \epsilon )\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; (\backslash \; mathbf\; \{E\},\; \backslash \; varepsilon)\}$изотропен, обратите внимание что если Y является частью E и $\xi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; xi\}$, ограничивается $E\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; ^\; \{*\}\; \}$равно $\epsilon \; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; (X)\}$, тогда $\xi \; (Y)\; =\; \epsilon \; (X,\; Y),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; xi\; (Y)\; =\; \backslash \; varepsilon\; (X,\; Y),\}$как часть $\xi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; xi\}$, ортогональная $E\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; ^\; \{*\}\}$аннулирует Y. Таким образом, если $X\; +\; \xi \; \{\backslash \; displaystyle\; X\; +\; \backslash \; xi\}$и $Y\; +\; \eta \; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; +\; \backslash \; eta\}$- это разделы $T\; \oplus \; T\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{T\}\; \backslash \; oplus\; \backslash \; mathbf\; \{T\}\; ^\; \{*\}\}$, затем

$⟨Икс\; +\; \xi ,\; Y\; +\; \eta ⟩\; знак\; равно\; 1\; 2\; (\xi \; (Y)\; +\; \eta \; (X))\; =\; 1\; 2\; (\epsilon \; (Y,\; X)\; +\; \epsilon \; (X,\; Y))\; =\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; langle\; X\; +\; \backslash \; xi,\; Y\; +\; \backslash \; eta\; \backslash \; rangle\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (\backslash \; xi\; (Y)\; +\; \backslash \; eta\; (X))\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (\backslash \; varepsilon\; (Y,\; X)\; +\; \backslash \; varepsilon\; (X,\; Y))\; =\; 0\}$

и поэтому $L\; (E,\; \epsilon )\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; (\backslash \; mathbf\; \{E\},\; \backslash \; varepsilon)\}$изотропен. Кроме того, $L\; (E,\; \epsilon )\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; (\backslash \; mathbf\; \{E\},\; \backslash \; varepsilon)\}$является максимальным, поскольку есть $dim\; \; (E)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; dim\; (\backslash \; mathbf\; \{E\})\}$(комплексные) измерения вариантов для $E,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{E\},\}$и $\epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\}$не ограничивается дополнением из $E\; \ast ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; ^\; \{*\},\}$, которое имеет (комплексная) размерность $n\; -\; dim\; \; (E).\; \{\backslash \; displaystyle\; n-\; \backslash \; dim\; (\backslash \; mathbf\; \{E\}).\}$Таким образом, общее (комплексное) измерение в n. Гуальтьери доказал, что все максимальные изотропные подрасслоения имеют вид $L\; (E,\; \epsilon )\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; (\backslash \; mathbf\; \{E\},\; \backslash \; varepsilon)\}$для некоторых $E\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\}$и $\epsilon .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon.\}$

Тип

Тип тип максимального изотропного подгруппы $L\; (E,\; \epsilon )\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; (\backslash \; mathbf\; \{E\},\; \backslash \; varepsilon)\}$- реальное измерение подгруппы, которая уничтожает E . Эквивалентно это 2N минус реальный размер проекции $L\; (E,\; \epsilon )\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; (\backslash \; mathbf\; \{E\},\; \backslash \; varepsilon)\}$на касательный пучок T . Другими словами, типом максимального изотропного подрасслоения является коразмерность его проекции на касательное расслоение. В сложном случае используется комплексное измерение, и тип иногда называют комплексным типом . Хотя типом подрасслоения в принципе может быть любое целое число от 0 до 2N, обобщенные почти сложные структуры не могут иметь тип больше N, потому что сумма подрасслоения и его комплексно сопряженного элемента должна быть полностью $(T\; \oplus \; T\; \ast )\; \otimes \; C.\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbf\; \{T\}\; \backslash \; oplus\; \backslash \; mathbf\; \{T\}\; ^\; \{*\})\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbb\; \{C\}.\}$

Тип максимальной изотропной подгруппы инвариант под диффеоморфизмами, а также при сдвигах B-поля, которые являются изометриями $T\; \oplus \; T\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{T\}\; \backslash \; oplus\; \backslash \; mathbf\; \{T\}\; ^\; \{*\}\}$формы

$X\; +\; \xi \; ⟶\; X\; +\; \xi \; +\; i\; XB\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; +\; \backslash \; xi\; \backslash \; longrightarrow\; X\; +\; \backslash \; xi\; +\; i\_\; \{X\}\; B\}$

, где B - произвольная замкнутая 2-форма, называемая B-полем в литературе по теории струн.

Тип обобщенной почти сложной структуры, как правило, не постоянный, он может перескакивать на любое четное целое число. Однако это верхний полунепрерывный, что означает, что каждая точка имеет открытую окрестность, в которой тип не увеличивается. На практике это означает, что подмножества большего типа, чем окружающий тип, встречаются на подмногообразиях с положительной коразмерностью.

Действительный индекс

Реальный индекс r максимального изотропного подпространства L является комплексной размерностью пересечение L с его комплексно сопряженным. Максимальное изотропное подпространство в $(T\; \oplus \; T\; \ast )\; \otimes \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbf\; \{T\}\; \backslash \; oplus\; \backslash \; mathbf\; \{T\}\; ^\; \{*\})\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$является обобщенной почти сложной структурой тогда и только тогда, когда r = 0.

Как и в случае обычной комплексной геометрии, существует соответствие между обобщенными почти комплексными структурами и сложные линейные пакеты. Сложное линейное расслоение, соответствующее конкретной обобщенной почти сложной структуре, часто называют каноническим расслоением, поскольку оно обобщает каноническое расслоение в обычном случае. Иногда его еще называют, поскольку его секции являются чистыми спинорами.

Обобщенные почти комплексные структуры

Каноническое расслоение - это одномерное комплексное подрасслоение расслоения $\Lambda \; \ast \; T\; \otimes \; C\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; Lambda\}\; ^\; \{*\}\; \backslash \; mathbf\; \{T\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$сложных дифференциальных форм на M. Напомним, что гамма-матрицы определяют изоморфизм между дифференциальными формами и спинорами. В частности, четная и нечетная формы соответствуют двум хиральностям спиноров Вейля. Векторы действуют на дифференциальные формы, создаваемые продуктом интерьера. Единые формы действуют на формы, заданные продуктом клина. Таким образом, разделы пакета $(T\; \oplus \; T\; \ast )\; \otimes \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbf\; \{T\}\; \backslash \; oplus\; \backslash \; mathbf\; \{T\}\; ^\; \{*\})\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$действовать по дифференциальным формам. Это действие является представлением действия алгебры Клиффорда на спинорах.

Спинор называется чистым спинором, если он аннигилирован половиной набора из набора образующих алгебры Клиффорда. Спиноры - это части нашего расслоения $\Lambda \; \ast \; T,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; Lambda\}\; ^\; \{*\}\; \backslash \; mathbf\; \{T\},\}$, а генераторы алгебры Клиффорда - это слои нашего другое расслоение $(T\; \oplus \; T\; \ast )\; \otimes \; C.\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbf\; \{T\}\; \backslash \; oplus\; \backslash \; mathbf\; \{T\}\; ^\; \{*\})\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbb\; \{C\}.\}$Следовательно, данный чистый спинор аннигилирует полумерным подрасслоением E из $(T\; \oplus \; T\; \ast )\; \otimes \; C.\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbf\; \{T\}\; \backslash \; oplus\; \backslash \; mathbf\; \{T\}\; ^\; \{*\})\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbb\; \{C\}.\}$Такие подгруппы всегда изотропны, поэтому для определения почти сложной структуры нужно только наложить, что сумма E и его комплексно сопряженного элемента равна $(T\; \oplus \; T\; \ast )\; \otimes \; C.\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbf\; \{T\}\; \backslash \; oplus\; \backslash \; mathbf\; \{T\}\; ^\; \{*\})\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbb\; \{C\}.\}$Это верно, если произведение клина из чистый спинор и его комплексное сопряжение содержат компоненту высшей размерности. Такие чистые спиноры определяют обобщенно-почти сложные структуры.

Учитывая обобщенную почти сложную структуру, можно также определить чистый спинор с точностью до умножения на произвольную комплексную функцию. Эти выборы чистых спиноров определяются как сечения канонического расслоения.

Интегрируемость и другие структуры

Если чистый спинор, определяющий конкретную сложную структуру, является закрытым, или, в более общем смысле, если его внешняя производная равна действию гаммы матрица сама по себе, то почти сложная структура интегрируема, и поэтому такие чистые спиноры соответствуют обобщенным комплексным структурам.

Если далее наложить, что каноническое расслоение голоморфно тривиально, что означает, что это глобальные секции, которые являются замкнутыми формами, то оно определяет обобщенную структуру Калаби-Яу, а M называется обобщенной структурой Калаби. -Многообразие Яу .

Каноническое расслоение

Локально все чистые спиноры могут быть записаны в одной и той же форме, в зависимости от целого числа k, 2-форма B-поля B, a невырожденная симплектическая форма ω и k-форма Ω. В локальной окрестности любой точки чистый спинор Φ, который порождает каноническое расслоение, всегда можно представить в форме

$\Phi \; =\; e\; B\; +\; i\; \omega \; \Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; =\; e\; ^\; \{B\; +\; i\; \backslash \; omega\}\; \backslash \; Omega\}$

, где Ω разложимо как произведение клина одноформ.

Обычная точка

Определите подгруппу E комплексного касательного пучка $T\; \otimes \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{T\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; \}$как проекция голоморфного подрасслоения L из $(T\; \oplus \; T\; \ast )\; \otimes \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbf\; \{T\}\; \backslash \; oplus\; \backslash \; mathbf\; \{T\}\; ^\; \{*\})\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}\; от$до $T\; \otimes \; C.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{T\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbb\; \{C\}.\}$В определении обобщенной почти сложной структуры мы установили, что пересечение L и его сопряженного элемента содержит только начало координат, иначе они не смогли бы охватить все $(T\; \oplus \; T\; \ast )\; \otimes \; C.\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbf\; \{T\}\; \backslash \; oplus\; \backslash \; mathbf\; \{T\}\; ^\; \{*\})\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbb\; \{C\}.\}$Однако пересечение их проекций не должно быть тривиальным. Обычно это пересечение имеет вид

$E\; \cap \; E\; ¯\; =\; \Delta \; \otimes \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; \backslash \; cap\; \{\backslash \; overline\; \{E\}\}\; =\; \backslash \; Delta\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$

для некоторого подгруппы Δ. Точка, которая имеет открытую окрестность, в которой размерность слоев Δ постоянна, называется регулярной точкой .

Теорема Дарбу

Каждая регулярная точка в обобщенном комплексном многообразии имеет открытую окрестность, которая после диффеоморфизма и сдвига B-поля имеет ту же обобщенную комплексную структуру, что и декартово произведение комплексного векторного пространства . $C\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; ^\; \{k\}\}$и стандартное симплектическое пространство $R\; 2\; n\; -\; 2\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{2n-2k\}\}$со стандартной симплектической формой, которая представляет собой прямую сумму двух недиагональных матриц с элементами 1 и −1.

Локальная голоморфность

Вблизи нерегулярных точек приведенная выше теорема классификации не применяется. Однако относительно любой точки обобщенное комплексное многообразие с точностью до диффеоморфизма и B-поля является произведением симплектического многообразия на обобщенное комплексное многообразие, которое имеет комплексный тип в этой точке, во многом подобно теореме Вайнштейна для локальной структуры Пуассоновы многообразия. Остается вопрос о локальной структуре: как выглядит обобщенная сложная структура около точки сложного типа? Фактически, оно будет индуцировано голоморфной пуассоновой структурой.

Комплексные многообразия

Пространство комплексных дифференциальных форм $\Lambda \; \ast \; T\; \otimes \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; Lambda\}\; ^\; \{*\}\; \backslash \; mathbf\; \{T\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$имеет операцию комплексного сопряжения, заданную комплексным сопряжением в $C.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}.\}$Это позволяет определить голоморфные и антиголоморфные одноформы и (m, n) -формы, которые являются однородные многочлены от этих одноформ с m голоморфными множителями и n антиголоморфными множителями. В частности, все (n, 0) -формы связаны локально посредством умножения на комплексную функцию и, таким образом, образуют комплексное линейное расслоение.

(n, 0) -формы являются чистыми спинорами, так как они аннулируются антиголоморфными касательными векторами и голоморфными одноформами. Таким образом, это линейное расслоение можно использовать как каноническое расслоение для определения обобщенной сложной структуры. Ограничение аннигилятора от $(T\; \oplus \; T\; \ast )\; \otimes \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbf\; \{T\}\; \backslash \; oplus\; \backslash \; mathbf\; \{T\}\; ^\; \{*\})\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$к комплексифицированному касательному расслоению получается подпространство антиголоморфных векторных полей. Следовательно, эта обобщенная комплексная структура на $(T\; \oplus \; T\; \ast )\; \otimes \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbf\; \{T\}\; \backslash \; oplus\; \backslash \; mathbf\; \{T\}\; ^\; \{*\})\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$определяет обычную сложную структуру на касательном пучке.

Поскольку голоморфна только половина базиса векторных полей, эти комплексные структуры относятся к типу N. На самом деле это комплексные многообразия, а многообразия, полученные умножением чистого спинорного расслоения, определяющего комплексное многообразие, на комплексное, $\partial \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\}$-closed (2,0) -form, единственные обобщенные комплексные многообразия типа N.

Симплектические многообразия

Чистое спинорное расслоение, порожденное

$\varphi \; =\; ei\; \omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; =\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; omega\}\}$

для невырожденной двухформы ω определяет симплектическую структуру на касательном пространстве. Таким образом, симплектические многообразия также являются обобщенными комплексными многообразиями.

Вышеупомянутый чистый спинор определен глобально, поэтому каноническое расслоение тривиально. Это означает, что симплектические многообразия - это не только обобщенные комплексные многообразия, но, по сути, обобщенные многообразия Калаби-Яу.

Чистый спинор $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$связан с чистым спинором, который представляет собой просто число посредством мнимого сдвига B-поля, который представляет собой сдвиг формы Кэлера. Следовательно, эти обобщенные комплексные структуры того же типа, что и соответствующие скалярному чистому спинору. Скаляр аннулируется всем касательным пространством, поэтому эти структуры относятся к типу 0.

Вплоть до сдвига B-поля, который соответствует умножению чистого спинора на экспоненту замкнутого вещественного 2-формы симплектические многообразия - единственные обобщенные комплексные многообразия типа 0. Многообразия, которые являются симплектическими вплоть до сдвига B-поля, иногда называют B-симплектическими .

Некоторые из почти структур в обобщенной комплексной геометрии можно перефразировать в язык G-структур. Слово «почти» удаляется, если структура интегрируема.

Пакет $(T\; \oplus \; T\; \ast )\; \otimes \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbf\; \{T\}\; \backslash \; oplus\; \backslash \; mathbf\; \{T\}\; ^\; \{*\})\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$с указанным выше внутренним продуктом представляет собой структуру O (2n, 2n). Обобщенная почти комплексная структура - это сведение этой структуры к структуре U (n, n). Следовательно, пространство обобщенных комплексных структур - это смежный класс

$O\; (2\; n,\; 2\; n)\; U\; (n,\; n).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{O\; (2n,\; 2n)\}\; \{U\; (n,\; n)\}\}.\}$

A - это пара коммутирующих обобщенных комплексных структур, таких что минус произведение соответствующие тензоры являются положительно определенной метрикой на $(T\; \oplus \; T\; \ast )\; \otimes \; C.\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbf\; \{T\}\; \backslash \; oplus\; \backslash \; mathbf\; \{T\}\; ^\; \{*\})\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbb\; \{C\}.\}$Обобщенные кэлеровы структуры - это сокращения структурной группы до $U\; (п)\; \times \; U\; (п).\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (n)\; \backslash \; times\; U\; (n).\}$Обобщенные кэлеровы многообразия и их скрученные аналоги эквивалентны открытому Сильвестром Джеймсом Гейтсом, Крисом Халл и Мартин Рочек в контексте двумерных суперсимметричных квантовых теорий поля в 1984 году.

Наконец, обобщенное почти Метрическая структура Калаби-Яу - это дальнейшее сокращение структурной группы до $SU\; (n)\; \times \; SU\; (n).\; \{\backslash \; displaystyle\; SU\; (n)\; \backslash \; times\; SU\; (n).\}$

Сравнение метрики Калаби и метрики Калаби – Яу

Обратите внимание, что обобщенная метрическая структура Калаби, введенная Марко Гуальтьери, является более сильным условием, чем обобщенная структура Калаби – Яу, введенная Найджелом Хитчином. В частности, обобщенная метрическая структура Калаби – Яу подразумевает существование двух коммутирующих обобщенных почти комплексных структур.

• Hitchin, Nigel (2003). «Обобщенные многообразия Калаби-Яу». Ежеквартальный математический журнал. 54(3): 281–308. doi : 10.1093 / qmath / hag025.
• Гуальтьери, Марко (2004). Обобщенная комплексная геометрия (кандидатская диссертация). arXiv : math.DG / 0401221.
• Гуальтьери, Марко (2011). «Обобщенная сложная геометрия». Анналы математики. (2). 174 (1): 75–123. doi : 10.4007 / annals.2011.174.1.3.
• Гранья, Мариана (2006). «Компактификации потоков в теории струн: всесторонний обзор». Phys. Отчет 423 : 91–158. arXiv : hep-th / 0509003.
• Дейкграаф, Робберт ; Гуков Сергей ; Neitzke, Эндрю; Вафа, Джумран (2005). «Топологическая М-теория как объединение форм теории гравитации». Успехи теоретической и математической физики. 9(4): 603–665. doi :10.4310/ATMP.2005.v9.n4.a5.