Скобка Куранта

редактировать

В области математики, известной как дифференциальная геометрия, Курант скобка является обобщением скобки Ли от операции на касательном пучке до операции над прямой суммой касательного пучка и векторное расслоение из p-форм.

Случай p = 1 был представлен Теодором Джеймсом Курантом в его докторской диссертации 1990 года как структура, соединяющая геометрию Пуассона и предсимплектическая геометрия, основанная на работе с его советником Аланом Вайнштейном. Скрученная версия скобки Куранта была представлена в 2001 году и изучена в сотрудничестве с Вайнштейном.

Сегодня сложная версия скобки Куранта p = 1 играет центральную роль в области обобщенной сложной геометрии, введенной Найджелом Хитчином в 2002 году. Замыкание под скобкой Куранта - это условие интегрируемости обобщенной почти комплексной структуры.

Содержание

1 Определение
2 Свойства
- 2.1 Тождество Якоби
- 2.2 Симметрии
3 Дирака и обобщенные комплексные структуры
4 Скобка Дорфмана
5 Алгеброид Куранта
6 Скрученная скобка Куранта
- 6.1 Определение и свойства
- 6.2 p = 0: Инвариант окружности векторные поля
- 6.3 Интегральные скручивания и гербы
7 Ссылки

Определение

Пусть X и Y являются векторными полями на N-мерном вещественном многообразии M и пусть ξ и η p-формы. Тогда X + ξ и Y + η являются сечениями прямой суммы касательного расслоения и пучка p-форм. Скобка Куранта для X + ξ и Y + η определяется как

[X + ξ, Y + η] = [X, Y] + LX η - LY ξ - 1 2 d (i (X) η - я (Y) ξ) {\ Displaystyle [X + \ xi, Y + \ eta] = [X, Y] + {\ mathcal {L}} _ {X} \ eta - {\ mathcal {L}} _ {Y} \ xi - {\ frac {1} {2}} d (i (X) \ eta -i (Y) \ xi)}

[ X + \ xi, Y + \ eta] = [X, Y] + {\ mathcal {L}} _ {X} \ eta - {\ mathcal {L}} _ {Y} \ xi - {\ frac {1} { 2}} d (i (X) \ eta -i (Y) \ xi)

где $LX {\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ { X}}$ $\ mathcal {L} _X$ - производная Ли вдоль векторного поля X, d - внешняя производная, а i - внутренний продукт.

Свойства

Скобка Куранта антисимметрична, но она не удовлетворяет тождеству Якоби для p больше нуля.

Тождество Якоби

Однако, по крайней мере, в случае p = 1, показатель, который измеряет несоответствие скобки тождеству Якоби, является точной формой. Это внешняя производная формы, которая играет роль тензора Нейенхейса в обобщенной комплексной геометрии.

Скобка Куранта - это антисимметризация скобки Дорфмана, которая действительно удовлетворяет своего рода тождеству Якоби.

Симметрии

Как и скобка Ли, скобка Куранта инвариантна относительно диффеоморфизмов многообразия M. Она также обладает дополнительной симметрией относительно автоморфизма векторного расслоения

X + ξ ↦ Икс + ξ + я (Икс) α {\ Displaystyle X + \ xi \ mapsto X + \ xi + i (X) \ alpha}

X + \ xi \ mapsto X + \ xi + i (X) \ alpha

, где α - замкнутая p + 1-форма. В случае p = 1, который является релевантным для геометрии компактификации потока в теории струн, это преобразование известно в физической литературе как сдвиг в Поле B.

Дирак и обобщенные сложные структуры

Котангенсный пучок, $T ∗ {\ displaystyle {\ mathbf {T}} ^ {*}}$ ${{\ mathbf T}} ^ {*}$ M - расслоение дифференциальных одноформ. В случае p = 1 скобка Куранта отображает два раздела $T ⊕ T ∗ {\ displaystyle {\ mathbf {T}} \ oplus {\ mathbf {T}} ^ {*}}$ ${{\ mathbf T}} \ oplus {{\ mathbf {T}}} ^ {*}$ , прямая сумма касательных и котангенсных пучков, к другому участку $T ⊕ T ∗ {\ displaystyle {\ mathbf {T}} \ oplus {\ mathbf {T}} ^ {*}}$ ${{\ mathbf T}} \ oplus {{\ mathbf {T}}} ^ {*}$ . Волокна $T ⊕ T ∗ {\ displaystyle {\ mathbf {T}} \ oplus {\ mathbf {T}} ^ {*}}$ ${{\ mathbf T}} \ oplus {{\ mathbf {T}}} ^ {*}$ допускают внутренние продукты с подпись (N, N), заданная как

⟨X + ξ, Y + η⟩ = 1 2 (ξ (Y) + η (X)). {\ displaystyle \ langle X + \ xi, Y + \ eta \ rangle = {\ frac {1} {2}} (\ xi (Y) + \ eta (X)).}

\ langle X + \ xi, Y + \ eta \ rangle = {\ frac {1} {2}} ( \ xi (Y) + \ eta (X)).

A линейное подпространство из $T ⊕ T ∗ {\ displaystyle {\ mathbf {T}} \ oplus {\ mathbf {T}} ^ {*}}$ ${{\ mathbf T}} \ oplus {{\ mathbf {T}}} ^ {*}$ , в котором все пары векторов имеют нулевое внутреннее произведение, называется изотропное подпространство. Волокна $T ⊕ T ∗ {\ displaystyle {\ mathbf {T}} \ oplus {\ mathbf {T}} ^ {*}}$ ${{\ mathbf T}} \ oplus {{\ mathbf {T}}} ^ {*}$ являются 2N-мерными и имеют максимальную размерность изотропным подпространством является N. N-мерное изотропное подпространство называется максимальным изотропным подпространством.

A - максимально изотропное подрасслоение $T ⊕ T ∗ {\ displaystyle {\ mathbf {T}} \ oplus {\ mathbf {T}} ^ {*}}$ ${{\ mathbf T}} \ oplus {{\ mathbf {T}}} ^ {*}$ секции которого закрываются скобкой Куранта. Структуры Дирака включают в качестве частных случаев симплектические структуры, пуассоновы структуры и расслоенные геометрии.

A обобщенная комплексная структура определяется идентично, но один тензор $T ⊕ T ∗ {\ displaystyle {\ mathbf {T}} \ oplus {\ mathbf {T}} ^ {*}}$ ${{\ mathbf T}} \ oplus {{\ mathbf {T}}} ^ {*}$ комплексными числами и использует комплексное измерение в приведенных выше определениях, и одно требует, чтобы прямая сумма подгруппы и ее комплексно-сопряженного была всей исходной связкой (T $⊕ {\ displaystyle \ oplus}$ $\ oplus$ T) $⊗ {\ displaystyle \ otimes}$ $\ otimes$ C. Частные случаи обобщенных сложных структур включают сложную структуру и версию кэлеровской структуры, которая включает B-поле.

скобка Дорфмана

В 1987 году была введена скобка Дорфмана [,] D, которая, как и скобка Куранта, обеспечивает условие интегрируемости структур Дирака и определяется как

[A, B] D = [ A, B] + d ⟨A, B⟩ {\ displaystyle [A, B] _ {D} = [A, B] + d \ langle A, B \ rangle }

[A, B] _ {D} = [A, B] + d \ langle A, B \ rangle

Скобка Дорфмана не антисимметрична, но ее часто легче вычислить, чем скобку Куранта, потому что она удовлетворяет правилу Лейбница, которое напоминает тождество Якоби

[A, [B, C ] D] D = [[A, B] D, C] D + [B, [A, C] D] D. {\ displaystyle [A, [B, C] _ {D}] _ {D} = [[A, B] _ {D}, C] _ {D} + [B, [A, C] _ {D }] _ {D}.}

[A, [B, C] _ {D}] _ {D} = [[A, B] _ {D}, C] _ {D} + [B, [A, C] _ {D}] _ {D}.

алгеброид Куранта

Скобка Куранта не удовлетворяет тождеству Якоби и поэтому не определяет алгеброид Ли, кроме того, он не удовлетворяет условию алгеброида Ли на. Вместо этого он определяет более общую структуру, введенную Аланом Вайнштейном и известную как алгеброид Куранта.

Скрученная скобка Куранта

Определение и свойства

Курант скобка может быть скручена с помощью (p + 2) -формы H путем добавления внутреннего произведения векторных полей X и Y поля H. Она остается антисимметричной и инвариантной при добавлении внутреннего произведения с a (p + 1) - форма B. Когда B не замкнут, эта инвариантность все еще сохраняется, если добавить дБ к окончательному H.

Если H замкнуто, то якобиатор точен, и поэтому скрученная скобка Куранта по-прежнему определяет алгеброид Куранта. В теории струн H интерпретируется как 3-форма Невё – Шварца.

p = 0: векторные поля, инвариантные по окружности

При p = 0 скобка Куранта сокращается к скобке Ли на главном круговом расслоении над M с кривизной, заданной скручиванием 2-форм H. Связка 0-форм - это тривиальное расслоение, и сечение прямой суммы касательного расслоения и тривиального расслоения определяет окружность на этом круговом расслоении.

Конкретно, сечение суммы касательного и тривиального расслоений задается векторным полем X и функцией f, а скобка Куранта имеет вид

[X + f, Y + g] = [X, Y] + X g - Y f {\ displaystyle [X + f, Y + g] = [X, Y] + Xg-Yf}

[X + f, Y + g] = [X, Y] + Xg-Yf

, который представляет собой скобку Ли векторных полей

[X + е, Y + g] = [Икс + е ∂ ∂ θ, Y + g ∂ ∂ θ] L т.е. {\ displaystyle [X + f, Y + g] = [X + f {\ frac {\ partial} { \ partial \ theta}}, Y + g {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}}] _ {Lie}}

[X + f, Y + g] = [X + f {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}}, Y + g {\ frac {\ partial} { \ partial \ theta}}] _ {{Lie}}

где θ - координата на окружности. Отметим, в частности, что скобка Куранта удовлетворяет тождеству Якоби в случае p = 0.

Интегральные скручивания и гербы

Кривизна круговой связки всегда представляет собой интегральный класс когомологий, класс Черна круговой связки. Таким образом, приведенная выше геометрическая интерпретация скрученной скобки Куранта p = 0 существует только тогда, когда H представляет собой интегральный класс. Аналогично, при более высоких значениях p скрученные скобки Куранта могут быть геометрически реализованы как раскрученные скобки Куранта, скрученные на гербами, когда H является интегральным классом когомологий.

Ссылки

Курант, Теодор (1990). «Многообразия Дирака». Пер. Амер. Математика. Soc. 319 : 631–661.
Гуальтьери, Марко (2004). Обобщенная комплексная геометрия (кандидатская диссертация). arXiv :math.DG/0401221.