Тензоры в криволинейных координатах

Криволинейные координаты могут быть сформулированы в тензорном исчислении с важными приложениями в физика и инженерия, особенно для описания перемещения физических величин и деформации материи в механике жидкости и механике сплошных сред.

• 1 Векторная и тензорная алгебра в трехмерных криволинейных координатах
  • 1.1 Преобразования координат
    • 1.1.1 Якобиан
  • 1.2 Векторы в криволинейных координатах
  • 1.3 Тензоры второго порядка в криволинейных координатах
    • 1.3.1 Метрика тензор и отношения между компонентами
  • 1.4 Альтернативный тензор
  • 1.5 Векторные операции
    • 1.5.1 Карта идентичности
    • 1.5.2 Скалярное (точечное) произведение
    • 1.5.3 Векторное (перекрестное) произведение
  • 1.6 Тензорные операции
    • 1.6.1 Идентификационная карта
    • 1.6.2 Действие тензора второго порядка на вектор
    • 1.6.3 Внутреннее произведение двух тензоров второго порядка
    • 1.6.4 Определитель тензора второго порядка
  • 1.7 Связь между криволинейными и декартовыми базисными векторами
• 2 Векторное и тензорное исчисление в трехмерных криволинейных координатах
  • 2.1 Основные определения
  • 2.2 Касательный вектор к координатные кривые
  • 2.3 Градиент
    • 2.3.1 Скалярное поле
    • 2.3.2 Векторное поле
    • 2.3.3 Символы Кристоффеля первого рода
    • 2.3.4 Символы Кристоффеля второго рода
    • 2.3.5 Явное выражение для градиента векторного поля
    • 2.3.6 Представление физического векторного поля
  • 2.4 Тензорное поле второго порядка
    • 2.4.1 Явное выражение для градиента
    • 2.4.2 Представление физическое тензорное поле второго порядка
  • 2.5 Дивергенция
    • 2.5.1 Векторное поле
    • 2.5.2 Тензорное поле второго порядка
  • 2.6 Лапласиан
    • 2.6.1 Скалярное поле
  • 2.7 Завиток векторное поле
• 3 Ортогональные криволинейные координаты
  • 3.1 Метрический тензорв ортогональных криволинейных координатах
    • 3.1.1 Пример: полярные координаты
  • 3.2 Линейные и поверхностные интегралы
    • 3.2.1 Линейные интегралы
    • 3.2.2 Поверхностные интегралы
  • 3.3 Град, curl, div, лапласиан
• 4 Пример: Цилиндрические полярные координаты
  • 4.1 Представление физического векторного поля
  • 4.2 Градиент скалярное поле
  • 4.3 Градиент векторного поля
  • 4.4 Дивергенция векторного поля
  • 4.5 Лапласиан скалярного поля
  • 4.6 Представление физического тензорного поля второго порядка
  • 4.7 Градиент секунды тензорное поле второго порядка
  • 4.8 Дивергенция тензорного поля второго порядка
• 5 См. также
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Примечание : соглашение Эйнштейна о суммировании суммирования по повторяющимся индексам используется ниже.

Элементарная векторная и тензорная алгебра в криволинейных координатах используется в некоторой старой научной литературе по механике и физика и может быть незаменим для понимания работ начала и середины 1900-х годов, например текста Грина и Зерны. Некоторые полезные rel В этом разделе приведены элементы алгебры векторов и тензоров второго порядка в криволинейных координатах. Обозначения и содержание в основном взяты из Огдена, Нагди, Симмондса, Грина и Зерны, Басара и Вейхерта и Чиарлета.

Преобразования координат

Рассмотрим две системы координат с координатными переменными $(Z\; 1,\; Z\; 2,\; Z\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; (Z\; ^\; \{1\},\; Z\; ^\; \{2\},\; Z\; ^\; \{3\})\}$и $(Z\; 1\; ´,\; Z\; 2\; ´,\; Z\; 3\; ´)\; \{\backslash \; displaystyle\; (Z\; ^\; \{\backslash \; Acustric\; \{1\}\},\; Z\; ^\; \{\backslash \; sharp\; \{2\}\},\; Z\; ^\; \{\backslash \; sharp\; \{3\}\})\}$, который мы будем представлять вкратце, просто $Z\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; ^\; \{i\}\}$и $Z\; i\; ´\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; ^\; \{\backslash \; строго\; \{i\}\}\}$соответственно и всегда предполагаем, что наш индекс $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$проходит от 1 до 3. Мы будем предполагать,что эти системы координат встроены в трехмерное евклидово пространство. Могут использоваться координаты $Z\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; ^\; \{i\}\}$и $Z\; i\; ´\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; ^\; \{\backslash \; строго\; \{i\}\}\}$. чтобы объяснить друг друга, потому что, перемещаясь по линии координат в одной системе координат, мы можем использовать другую для описания нашего положения. Таким образом, координаты $Z\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; ^\; \{i\}\}$и $Z\; i\; ´\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; ^\; \{\backslash \; строго\; \{i\}\}\}$являются функциями друг друга

$Z\; я\; =\; fi\; (Z\; 1\; ´,\; Z\; 2\; ´,\; Z\; 3\; ´)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; ^\; \{i\}\; =\; f\; ^\; \{i\}\; (Z\; ^\; \{\backslash \; строго\; \{1\}\},\; Z\; ^\; \{\backslash \; острый\; \{2\}\},\; Z\; ^\; \{\backslash \; острый\; \{3\}\})\}$для $i\; =\; 1,\; 2,\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; =\; 1,2,3\}$

, который можно записать как

$Z\; i\; =\; Z\; i\; (Z\; 1\; ´,\; Z\; 2\; ´,\; Z\; 3\; ´)\; =\; Z\; i\; (Z\; i\; ´)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; ^\; \{i\}\; =\; Z\; ^\; \{i\}\; (Z\; ^\; \{\backslash \; строго\; \{1\}\},\; Z\; ^\; \{\backslash \; строго\; \{2\}\},\; Z\; ^\; \{\backslash \; строго\; \{3\}\})\; =\; Z\; ^\; \{i\}\; (Z\; ^\; \{\backslash \; строго\; \{i\}\})\}$для $i\; ´,\; i\; =\; 1,\; 2,\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; строго\; \{i\}\},\; i\; =\; 1,2,3\}$

Эти три уравнения вместе также называются координатами преобразование из $Z\; i\; ´\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; ^\; \{\backslash \; строго\; \{i\}\}\}$в $Z\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; ^\; \{i\}\}$. мы обозначим это преобразование как $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$. Поэтому мы представим преобразование из системы координат с координатными переменными $Z\; i\; ´\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; ^\; \{\backslash \; строго\; \{i\}\}\}$в систему координат с координатами $Z\; i\; \{\; \backslash \; displaystyle\; Z\; ^\; \{i\}\}$как:

$Z\; =\; T\; (z\; ´)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; =\; T\; (\{\backslash \; строго\; \{z\}\})\}$

Аналогичным образом мы можем представить $Z\; я\; ´\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; ^\; \{\backslash \; строго\; \{i\}\}\}$как функция от $Z\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; ^\; \{i\}\}$следующим образом :

$Z\; я\; ´\; =\; gi\; ´\; (Z\; 1,\; Z\; 2,\; Z\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; ^\; \{\backslash \; строго\; \{i\}\}\; =\; g\; ^\; \{\backslash \; строго\; \{i\}\}\; (Z\; ^\; \{1\},\; Z\; ^\; \{2\},\; Z\; ^\; \{3\})\}$для $i\; ´\; =\; 1,\; 2,\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; строго\; \{i\}\}\; =\; 1,2,3\}$

аналогичным образом мы можем записать свободные уравнения болеекомпактно как

$Z\; i\; ´\; =\; Z\; i\; ´\; (Z\; 1,\; Z\; 2,\; Z\; 3)\; =\; Z\; i\; ´\; (Z\; i)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; ^\; \{\backslash \; строго\; \{i\}\}\; =\; Z\; ^\; \{\backslash \; строго\; \{i\}\}\; (Z\; ^\; \{1\},\; Z\; ^\; \{2\},\; Z\; ^\; \{3\})\; =\; Z\; ^\; \{\backslash \; строго\; \{i\}\}\; (Z\; ^\; \{i\})\}$для $i\; ´,\; i\; =\; 1,\; 2,\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; строго\; \{i\}\},\; i\; =\; 1,2,3\}$

Эти три уравнения вместе также называются преобразованием координат из $Z\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; ^\; \{i\}\}$до $Z\; i\; ´\; curvilinear\; coordinates$

Let (b1, b2, b3) be an arbitrary basis for three-dimensional Euclidean space. In general, the basis vectors are neither unit vectors nor mutually orthogonal. However, they are required to be linearly independent. Then a vector vcan be expressed as

$v\; =\; v\; k\; b\; k\; \{\backslash displaystyle\; \backslash mathbf\; \{v\}\; =v^\{k\}\backslash ,\backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{k\}\}$

The components v are the contravariantcomponents of the vector v.

The reciprocal basis(b, b, b) is defined by the relation

$b\; i\; \cdot \; b\; j\; =\; \delta \; j\; i\; \{\backslash displaystyle\; \backslash mathbf\; \{b\}\; ^\{i\}\backslash cdot\; \backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{j\}=\backslash delta\; \_\{j\}^\{i\}\}$

where δjis the Kronecker delta.

The vector vcan also be expressed in terms of the reciprocal basis:

$v\; =\; v\; k\; b\; k\; \{\backslash displaystyle\; \backslash mathbf\; \{v\}\; =v\_\{k\}~\backslash mathbf\; \{b\}\; ^\{k\}\}$

The components vkare the covariantcomponents of the vector $v\; \{\backslash displaystyle\; \backslash mathbf\; \{v\}\; \}$.

Second-order tensors in curvilinear coordinates

A second-order tensor can be expressed as

$S\; =\; S\; i\; j\; b\; i\; \otimes \; b\; j\; =\; S\; j\; i\; b\; i\; \otimes \; b\; j\; =\; S\; i\; j\; b\; i\; \otimes \; b\; j\; =\; S\; i\; j\; b\; i\; \otimes \; b\; j\; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash boldsymbol\; \{S\}\}=S^\{ij\}~\backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{i\}\backslash otimes\; \backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{j\}=S\_\{~j\}^\{i\}~\backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{i\}\backslash otimes\; \backslash mathbf\; \{b\}\; ^\{j\}=S\_\{i\}^\{~j\}~\backslash mathbf\; \{b\}\; ^\{i\}\backslash otimes\; \backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{j\}=S\_\{ij\}~\backslash mathbf\; \{b\}\; ^\{i\}\backslash otimes\; \backslash mathbf\; \{b\}\; ^\{j\}\}$

The components S are called the contravariantcomponents, Sjthe mixed right-covariantcomponents, Sithe mixed left-covariantcomponents, and Sijthe covariantcomponents of the second-order tensor.

Metric tensor and relations between components

The quantities gij, g are defined as

$g\; i\; j\; =\; b\; i\; \cdot \; b\; j\; =\; g\; j\; i\; ;\; g\; i\; j\; =\; b\; i\; \cdot \; b\; j\; =\; g\; j\; i\; \{\backslash displaystyle\; g\_\{ij\}=\backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{i\}\backslash cdot\; \backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{j\}=g\_\{ji\}~;~~g^\{ij\}=\backslash mathbf\; \{b\}\; ^\{i\}\backslash cdot\; \backslash mathbf\; \{b\}\; ^\{j\}=g^\{ji\}\}$

From the above equations we have

$v\; i\; =\; g\; i\; k\; v\; k\; ;\; v\; i\; =\; g\; i\; k\; v\; k\; ;\; b\; i\; =\; g\; i\; j\; b\; j\; ;\; b\; i\; =\; g\; i\; j\; b\; j\; \{\backslash displaystyle\; v^\{i\}=g^\{ik\}~v\_\{k\}~;~~v\_\{i\}=g\_\{ik\}~v^\{k\}~;~~\backslash mathbf\; \{b\}\; ^\{i\}=g^\{ij\}~\backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{j\}~;~~\backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{i\}=g\_\{ij\}~\backslash mathbf\; \{b\}\; ^\{j\}\}$

The components of a vector are related by

$v\; \cdot \; b\; i\; =\; v\; k\; b\; k\; \cdot \; b\; i\; =\; v\; k\; \delta \; k\; i\; =\; v\; i\; \{\backslash displaystyle\; \backslash mathbf\; \{v\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\; \{b\}\; ^\{i\}=v^\{k\}~\backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{k\}\backslash cdot\; \backslash mathbf\; \{b\}\; ^\{i\}=v^\{k\}~\backslash delta\; \_\{k\}^\{i\}=v^\{i\}\}$

$v\; \cdot \; b\; i\; =\; v\; k\; b\; k\; \cdot \; b\; i\; =\; v\; k\; \delta \; i\; k\; =\; v\; i\; \{\backslash displaystyle\; \backslash mathbf\; \{v\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{i\}=v\_\{k\}~\backslash mathbf\; \{b\}\; ^\{k\}\backslash cdot\; \backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{i\}=v\_\{k\}~\backslash delta\; \_\{i\}^\{k\}=v\_\{i\}\}$

Also,

$v\; \cdot \; b\; i\; =\; v\; k\; b\; k\; \cdot \; b\; i\; =\; g\; k\; i\; v\; k\; \{\backslash displaystyle\; \backslash mathbf\; \{v\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{i\}=v^\{k\}~\backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{k\}\backslash cdot\; \backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{i\}=g\_\{ki\}~v^\{k\}\}$

$v\; \cdot \; b\; i\; =\; v\; k\; b\; k\; \cdot \; b\; i\; =\; g\; k\; i\; v\; k\; \{\backslash displaystyle\; \backslash mathbf\; \{v\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\; \{b\}\; ^\{i\}=v\_\{k\}~\backslash mathbf\; \{b\}\; ^\{k\}\backslash cdot\; \backslash mathbf\; \{b\}\; ^\{i\}=g^\{ki\}~v\_\{k\}\}$

The components of the second-order tensor are related by

$S\; i\; j\; =\; g\; i\; k\; S\; k\; j\; =\; g\; j\; k\; S\; k\; i\; =\; g\; i\; k\; g\; j\; l\; S\; k\; l\; \{\backslash displaystyleS^\{ij\}=g^\{ik\}~S\_\{k\}^\{~j\}=g^\{jk\}~S\_\{~k\}^\{i\}=g^\{ik\}~g^\{jl\}~S\_\{kl\}\}$

The alternating tensor

In an orthonormal right-handed basis, the third-order alternating tensor is defined as

$E\; =\; \epsilon \; i\; j\; k\; e\; i\; \otimes \; e\; j\; \otimes \; e\; k\; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash boldsymbol\; \{\backslash mathcal\; \{E\}\}\}=\backslash varepsilon\; \_\{ijk\}~\backslash mathbf\; \{e\}\; ^\{i\}\backslash otimes\; \backslash mathbf\; \{e\}\; ^\{j\}\backslash otimes\; \backslash mathbf\; \{e\}\; ^\{k\}\}$

In a general curvilinear basis the same tensor may be expressed as

$E\; =\; E\; i\; j\; k\; b\; i\; \otimes \; b\; j\; \otimes \; b\; k\; =\; E\; i\; j\; k\; b\; i\; \otimes \; b\; j\; \otimes \; b\; k\; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash boldsymbol\; \{\backslash mathcal\; \{E\}\}\}=\{\backslash mathcal\; \{E\}\}\_\{ijk\}~\backslash mathbf\; \{b\}\; ^\{i\}\backslash otimes\; \backslash mathbf\; \{b\}\; ^\{j\}\backslash otimes\; \backslash mathbf\; \{b\}\; ^\{k\}=\{\backslash mathcal\; \{E\}\}^\{ijk\}~\backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{i\}\backslash otimes\; \backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{j\}\backslash otimes\; \backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{k\}\}$

It can be shown that

$E\; i\; j\; k\; =\; [\; b\; i,\; b\; j,\; b\; k\; ]\; =\; (\; b\; i\; \times \; b\; j)\; \cdot \; b\; k\; ;\; E\; i\; j\; k\; =\; [\; b\; i,\; b\; j,\; b\; k\; ]\; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash mathcal\; \{E\}\}\_\{ijk\}=\backslash left[\backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{i\},\backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{j\},\backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{k\}\backslash right]=(\backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{i\}\backslash times\; \backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{j\})\backslash cdot\; \backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{k\}~;~~\{\backslash mathcal\; \{E\}\}^\{ijk\}=\backslash left[\backslash mathbf\; \{b\}\; ^\{i\},\backslash mathbf\; \{b\}\; ^\{j\},\backslash mathbf\; \{b\}\; ^\{k\}\backslash right]\}$

Now,

$b\; i\; \times \; b\; j\; =\; J\; \epsilon \; i\; j\; p\; b\; p\; =\; g\; \epsilon \; i\; j\; p\; b\; p\; \{\backslash displaystyle\; \backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{i\}\backslash times\; \backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{j\}=J~\backslash varepsilon\; \_\{ijp\}~\backslash mathbf\; \{b\}\; ^\{p\}=\{\backslash sqrt\; \{g\}\}~\backslash varepsilon\; \_\{ijp\}~\backslash mathbf\; \{b\}\; ^\{p\}\}$

Hence,

$E\; i\; j\; k\; =\; J\; \epsilon \; i\; j\; k\; =\; g\; \epsilon \; i\; j\; k\; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash mathcal\; \{E\}\}\_\{ijk\}=J~\backslash varepsilon\; \_\{ijk\}=\{\backslash sqrt\; \{g\}\}~\backslash varepsilon\; \_\{ijk\}\}$

Similarly, we can show that

$E\; i\; j\; k\; =\; 1\; J\; \epsilon \; i\; j\; k\; =\; 1\; g\; \epsilon \; i\; j\; k\; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash mathcal\; \{E\}\}^\{ijk\}=\{\backslash cfrac\; \{1\}\{J\}\}~\backslash varepsilon\; ^\{ijk\}=\{\backslash cfrac\; \{1\}\{\backslash sqrt\; \{g\}\}\}~\backslash varepsilon\; ^\{ijk\}\}$

Vector operations

Identity map

The identity map Idefined by $I\; \cdot \; v\; =\; v\; \{\backslash displaystyle\; \backslash mathbf\; \{I\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\; \{v\}\; =\backslash mathbf\; \{v\}\; \}$can be shown to be:

$I\; =\; g\; i\; j\; b\; i\; \otimes \; b\; j\; =\; g\; i\; j\; b\; i\; \otimes \; b\; j\; =\; b\; i\; \otimes \; b\; i\; =\; b\; i\; \otimes \; b\; i\; \{\backslash displaystyle\; \backslash mathbf\; \{I\}\; =g^\{ij\}\backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{i\}\backslash otimes\; \backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{j\}=g\_\{ij\}\backslash mathbf\; \{b\}\; ^\{i\}\backslash otimes\; \backslash mathbf\; \{b\}\; ^\{j\}=\backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{i\}\backslash otimes\; \backslash mathbf\; \{b\}\; ^\{i\}=\backslash mathbf\; \{b\}\; ^\{i\}\backslash otimes\; \backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{i\}\}$

Scalar (dot) product

The scalar product of two vectors in curvilinear coordinates is

$u\; \cdot \; v\; =\; u\; i\; v\; i\; =\; u\; i\; v\; i\; =\; g\; i\; j\; u\; i\; v\; j\; =\; g\; i\; j\; u\; i\; v\; j\; \{\backslash displaystyle\; \backslash mathbf\; \{u\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\; \{v\}\; =u^\{i\}v\_\{i\}=u\_\{i\}v^\{i\}=g\_\{ij\}u^\{i\}v^\{j\}=g^\{ij\}u\_\{i\}v\_\{j\}\}$

Vector (cross) product

The cross product of two vectors is given by:

$u\; \times \; v\; =\; \epsilon \; i\; j\; k\; u\; j\; v\; k\; e\; i\; \{\backslash displaystyle\; \backslash mathbf\; \{u\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\; \{v\}\; =\backslash varepsilon\; \_\{ijk\}u\_\{j\}v\_\{k\}\backslash mathbf\; \{e\}\; \_\{i\}\}$

where εijkis the permutation symbol and eiis a Cartesian basis vector. In curvilinear coordinates, the equivalent expression is:

$u\; \times \; v\; =\; [\; (\; b\; m\; \times \; b\; n)\; \cdot \; b\; s\; ]\; u\; m\; v\; n\; b\; s\; =\; E\; s\; m\; n\; u\; m\; v\; n\; b\; s\; \{\backslash displaystyle\; \backslash mathbf\; \{u\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\; \{v\}\; =[(\backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{m\}\backslash times\; \backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{n\})\backslash cdot\; \backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{s\}]u^\{m\}v^\{n\}\backslash mathbf\; \{b\}\; ^\{s\}=\{\backslash mathcal\; \{E\}\}\_\{smn\}u^\{m\}v^\{n\}\backslash mathbf\; \{b\}\; ^\{s\}\}$

where $E\; i\; j\; k\{\backslash displaystyle\; \{\backslash mathcal\; \{E\}\}\_\{ijk\}\}$is the third-order alternating tensor. The cross product of two vectors is given by:

$u\; \times \; v\; =\; \epsilon \; i\; j\; k\; u\; ^\; j\; v\; ^\; k\; e\; i\; \{\backslash displaystyle\; \backslash mathbf\; \{u\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\; \{v\}\; =\backslash varepsilon\; \_\{ijk\}\{\backslash hat\; \{u\}\}\_\{j\}\{\backslash hat\; \{v\}\}\_\{k\}\backslash mathbf\; \{e\}\; \_\{i\}\}$

where εijkis the permutation symbol and $e\; i\; \{\backslash displaystyle\; \backslash mathbf\; \{e\}\; \_\{i\}\}$is a Cartesian basis vector. Therefore,

$e\; p\; \times \; e\; q\; =\; \epsilon \; i\; p\; q\; e\; i\; \{\backslash displaystyle\; \backslash mathbf\; \{e\}\; \_\{p\}\backslash times\; \backslash mathbf\; \{e\}\; \_\{q\}=\backslash varepsilon\; \_\{ipq\}\backslash mathbf\; \{e\}\; \_\{i\}\}$

and

$b\; m\; \times \; b\; n\; =\; \partial \; x\; \partial \; q\; m\; \times \; \partial \; x\; \partial \; q\; n\; =\; \partial \; (\; x\; p\; e\; p)\; \partial \; q\; m\; \times \; \partial \; (\; x\; q\; e\; q)\; \partial \; q\; n\; =\; \partial \; x\; p\; \partial \; q\; m\; \partial \; x\; q\; \partial \; q\; n\; e\; p\; \times \; e\; q\; =\; \epsilon \; i\; p\; q\; \partial \; x\; p\; \partial \; q\; m\; \partial \; x\; q\; \partial \; q\; n\; e\; i.\; \{\backslash displaystyle\; \backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{m\}\backslash times\; \backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{n\}=\{\backslash frac\; \{\backslash partial\; \backslash mathbf\; \{x\}\; \}\{\backslash partial\; q^\{m\}\}\}\backslash times\; \{\backslash frac\; \{\backslash partial\; \backslash mathbf\; \{x\}\; \}\{\backslash partial\; q^\{n\}\}\}=\{\backslash frac\; \{\backslash partial\; (x\_\{p\}\backslash mathbf\; \{e\}\; \_\{p\})\}\{\backslash partial\; q^\{m\}\}\}\backslash times\; \{\backslash frac\; \{\backslash partial\; (x\_\{q\}\backslash mathbf\; \{e\}\; \_\{q\})\}\{\backslash partial\; q^\{n\}\}\}=\{\backslash frac\; \{\backslash partial\; x\_\{p\}\}\{\backslash partial\; q^\{m\}\}\}\{\backslash frac\; \{\backslash partial\; x\_\{q\}\}\{\backslash partial\; q^\{n\}\}\}\backslash mathbf\; \{e\}\; \_\{p\}\backslash times\; \backslash mathbf\; \{e\}\; \_\{q\}=\backslash varepsilon\; \_\{ipq\}\{\backslash frac\; \{\backslash partial\; x\_\{p\}\}\{\backslash partial\; q^\{m\}\}\}\{\backslash frac\; \{\backslash partial\; x\_\{q\}\}\{\backslash partial\; q^\{n\}\}\}\backslash mathbf\; \{e\}\; \_\{i\}.\}$

Hence,

$(\; b\; m\; \times \; b\; n)\; \cdot \; b\; s\; =\; \epsilon \; i\; p\; q\; \partial \; x\; p\; \partial \; q\; m\; \partial \; x\; q\; \partial \; q\; n\; \partial \; x\; i\; \partial \; q\; s\; \{\backslash displaystyle\; (\backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{m\}\backslash times\; \backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{n\})\backslash cdot\; \backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{s\}=\backslash varepsilon\; \_\{ipq\}\{\backslash frac\; \{\backslash partial\; x\_\{p\}\}\{\backslash partial\; q^\{m\}\}\}\{\backslash frac\; \{\backslash partial\; x\_\{q\}\}\{\backslash partial\; q^\{n\}\}\}\{\backslash frac\; \{\backslash partial\; x\_\{i\}\}\{\backslash partial\; q^\{s\}\}\}\}$

Returning to the vector product andusing the relations:

$u\; ^\; j\; =\; \partial \; x\; j\; \partial \; q\; m\; u\; m,\; v\; ^\; k\; =\; \partial \; x\; k\; \partial \; q\; n\; v\; n,\; e\; i\; =\; \partial \; x\; i\; \partial \; q\; s\; b\; s,\; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash hat\; \{u\}\}\_\{j\}=\{\backslash frac\; \{\backslash partial\; x\_\{j\}\}\{\backslash partial\; q^\{m\}\}\}u^\{m\},\backslash quad\; \{\backslash hat\; \{v\}\}\_\{k\}=\{\backslash frac\; \{\backslash partial\; x\_\{k\}\}\{\backslash partial\; q^\{n\}\}\}v^\{n\},\backslash quad\; \backslash mathbf\; \{e\}\; \_\{i\}=\{\backslash frac\; \{\backslash partial\; x\_\{i\}\}\{\backslash partial\; q^\{s\}\}\}\backslash mathbf\; \{b\}\; ^\{s\},\}$

gives us:

$u\; \times \; v\; =\; \epsilon \; i\; j\; k\; u\; ^\; j\; v\; ^\; k\; e\; i\; =\; \epsilon \; i\; j\; k\; \partial \; x\; j\; \partial \; q\; m\; \partial \; x\; k\; \partial \; q\; n\; \partial \; x\; i\; \partial \; q\; s\; u\; m\; v\; n\; b\; s\; =\; [\; (\; b\; m\; \times \; b\; n)\; \cdot \; b\; s\; ]\; u\; m\; v\; n\; b\; s\; =\; E\; s\; m\; n\; u\; m\; v\; n\; b\; s\; \{\backslash displaystyle\; \backslash mathbf\; \{u\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\; \{v\}\; =\backslash varepsilon\; \_\{ijk\}\{\backslash hat\; \{u\}\}\_\{j\}\{\backslash hat\; \{v\}\}\_\{k\}\backslash mathbf\; \{e\}\; \_\{i\}=\backslash varepsilon\; \_\{ijk\}\{\backslash frac\; \{\backslash partial\; x\_\{j\}\}\{\backslash partial\; q^\{m\}\}\}\{\backslash frac\; \{\backslash partial\; x\_\{k\}\}\{\backslash partial\; q^\{n\}\}\}\{\backslash frac\; \{\backslash partial\; x\_\{i\}\}\{\backslash partial\; q^\{s\}\}\}u^\{m\}v^\{n\}\backslash mathbf\; \{b\}\; ^\{s\}=[(\backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{m\}\backslash times\; \backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{n\})\backslash cdot\; \backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{s\}]u^\{m\}v^\{n\}\backslash mathbf\; \{b\}\; ^\{s\}=\{\backslash mathcal\; \{E\}\}\_\{smn\}u^\{m\}v^\{n\}\backslash mathbf\; \{b\}\; ^\{s\}\}$

Tensor operations

Identity map

The identity map $I\; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash mathsf\; \{I\}\}\}$defined by $I\; \cdot \; v\; =\; v\; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash mathsf\; \{I\}\}\backslash cdot\; \backslash mathbf\; \{v\}\; =\backslash mathbf\; \{v\}\; \}$can be shown to be

$I\; =\; g\; i\; j\; b\; i\; \otimes \; b\; j\; =\; g\; i\; j\; b\; i\; \otimes \; b\; j\; =\; b\; i\; \otimes \; b\; i\; =\; b\; i\; \otimes \; b\; i\; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash mathsf\; \{I\}\}=g^\{ij\}\backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{i\}\backslash otimes\; \backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{j\}=g\_\{ij\}\backslash mathbf\; \{b\}\; ^\{i\}\backslash otimes\; \backslash mathbf\; \{b\}\; ^\{j\}=\backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{i\}\backslash otimes\; \backslash mathbf\; \{b\}\; ^\{i\}=\backslash mathbf\; \{b\}\; ^\{i\}\backslash otimes\backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{i\}\}$

Action of a second-order tensor on a vector

The action $v\; =\; S\; \cdot \; u\; \{\backslash displaystyle\; \backslash mathbf\; \{v\}\; =\{\backslash boldsymbol\; \{S\}\}\backslash cdot\; \backslash mathbf\; \{u\}\; \}$can be expressed in curvilinear coordinates as

$v\; i\; b\; i\; =\; S\; i\; j\; u\; j\; b\; i\; =\; S\; j\; i\; u\; j\; b\; i\; ;\; v\; i\; b\; i\; =\; S\; i\; j\; u\; i\; b\; i\; =\; S\; i\; j\; u\; j\; b\; i\; \{\backslash displaystyle\; v^\{i\}\backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{i\}=S^\{ij\}u\_\{j\}\backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{i\}=S\_\{j\}^\{i\}u^\{j\}\backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{i\};\backslash qquad\; v\_\{i\}\backslash mathbf\; \{b\}\; ^\{i\}=S\_\{ij\}u^\{i\}\backslash mathbf\; \{b\}\; ^\{i\}=S\_\{i\}^\{j\}u\_\{j\}\backslash mathbf\; \{b\}\; ^\{i\}\}$

Inner product of two second-order tensors

The inner product of two second-order tEnsors $U\; =\; S\; \cdot \; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{U\}\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{T\}\}\}$может быть выражено в криволинейных координатах как

$U\; ijbi\; \otimes \; bj\; =\; S\; ik\; T.\; Дж\; К\; б\; я\; \otimes \; б\; J\; знак\; равно\; S\; я.\; к\; T\; kjbi\; \otimes \; bj\; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{ij\}\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; ^\; \{i\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; ^\; \{j\}\; =\; S\_\; \{ik\}\; T\; \_\; \{.\; j\}\; ^\; \{k\}\; \backslash \; mathbf\; \{b\; \}\; ^\; \{i\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; ^\; \{j\}\; =\; S\_\; \{i\}\; ^\; \{.\; k\}\; T\_\; \{kj\}\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; ^\; \{i\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; ^\; \{j\}\; \}$

В качестве альтернативы

$U\; =\; S\; ij\; T.\; н\; м\; г\; дж\; м\; б\; я\; \otimes \; б\; н\; знак\; равно\; S.\; м\; я\; т.\; nmbi\; \otimes \; bn\; =\; S\; ij\; T\; jnbi\; \otimes \; bn\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{U\}\}\; =\; S\; ^\; \{ij\}\; T\; \_\; \{.\; n\}\; ^\; \{m\}\; g\_\; \{jm\}\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; ^\; \{n\}\; =\; S\; \_\; \{.\; m\}\; ^\; \{i\}\; T\; \_\; \{.\; n\}\; ^\; \{m\}\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; ^\; \{n\}\; =\; S\; ^\; \{ij\}\; T\_\; \{jn\}\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; ^\; \{n\}\}$

Определитель тензора второго порядка

Если $S\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\}$- тензор второго порядка, тогда определитель определяется соотношением

$[S\; \cdot \; u,\; S\; \cdot \; v,\; S\; \cdot \; w\; ]\; =\; det\; S\; [u,\; v,\; w]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{u\},\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{v\},\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{w\}\; \backslash \; right]\; =\; \backslash \; det\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; mathbf\; \{u\},\; \backslash \; mathbf\; \{v\},\; \backslash \; mathbf\; \{w\}\; \backslash \; right]\}$

где $u,\; v,\; w\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{u\},\; \backslash \; mathbf\; \{v\},\; \backslash \; mathbf\; \{w\}\}$- произвольные векторы, а

$[u,\; v,\; w\; ]:\; =\; u\; \cdot \; (v\; \times \; w).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\backslash \; mathbf\; \{u\},\; \backslash \; mathbf\; \{v\},\; \backslash \; mathbf\; \{w\}\; \backslash \; right]:\; =\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; \backslash \; cdot\; (\backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{w\}).\; \}$

Отношения между криволинейными и декартовыми базисными векторами

Пусть (e1, e2, e3) - обычные декартовы базисные векторы для интересующего евклидова пространства, и пусть

$bi\; =\; F\; \cdot \; ei\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \_\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\}$

, где Fi- тензор преобразования второго порядка, который отображает eiв bi. Тогда

$b\; i\; \otimes \; e\; i\; =\; (F\; \cdot \; e\; i)\otimes \; e\; i\; =\; F\; \cdot \; (e\; i\; \otimes \; e\; i)\; =\; F.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\; =\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\})\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{e\; \}\; \_\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; \backslash \; cdot\; (\backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\})\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; ~.\}$

Из этого соотношения мы можем показать, что

$bi\; =\; F\; -\; T\; \cdot \; ei;\; g\; i\; j\; =\; [F\; -\; 1\; \cdot \; F\; -\; T]\; i\; j;\; gij\; =\; [gij]\; -\; 1\; =\; [FT\; \cdot \; F]\; ij\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; ^\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; ^\; \{-\; \{\backslash \; rm\; \{T\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{\; e\}\; ^\; \{i\}\; ~;\; ~~\; g\; ^\; \{ij\}\; =\; [\{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; ^\; \{-\; \{\backslash \; rm\; \{1\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; ^\; \{-\; \{\backslash \; rm\; \{T\}\}\}]\; \_\; \{ij\}\; ~;\; ~~\; g\_\; \{ij\}\; =\; [g\; ^\; \{ij\}]\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; [\{\backslash \; bol\; dsymbol\; \{F\}\}\; ^\; \{\backslash \; rm\; \{T\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}]\; \_\; \{ij\}\}$

Пусть $J:\; =\; det\; F\; \{\backslash \; displaystyle\; J:\; =\; \backslash \; det\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\}$будет Якобиан преобразования. Тогда, согласно определению определителя,

$[b\; 1,\; b\; 2,\; b\; 3]\; =\; det\; F\; [e\; 1,\; e\; 2,\; e\; 3].\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\backslash \; mathbf\; \{b\}\; \_\; \{1\},\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \_\; \{2\},\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \_\; \{3\}\; \backslash \; right]\; =\; \backslash \; det\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{1\},\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{2\},\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{3\}\; \backslash \; right]\; ~.\}$

Поскольку

$[e\; 1,\; e\; 2,\; е\; 3]\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{1\},\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{2\},\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{3\}\; \backslash \; right]\; =\; 1\}$

мы иметь

$J\; =\; det\; F\; =\; [b\; 1,\; b\; 2,\; b\; 3]\; =\; b\; 1\; \cdot \; (b\; 2\; \times \; b\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; =\; \backslash \; det\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; =\; \backslash \; left\; [\backslash \; mathbf\; \{b\}\; \_\; \{1\},\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \_\; \{2\},\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \_\; \{3\}\; \backslash \; right]\; =\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \_\; \{1\}\; \backslash \; cdot\; (\backslash \; mathbf\; \{b\}\; \_\; \{\; 2\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \_\; \{3\})\}$

С помощью приведенных выше соотношений можно получить ряд интересных результатов.

Сначала рассмотрим

$g:\; =\; det\; [gij]\; \{\backslash \; displaystyle\; g:\; =\; \backslash \; det\; [g\_\; \{ij\}]\}$

Затем

$g\; =\; det\; [FT]\; \cdot \; det\; [\; F]\; =\; J\; \cdot \; J\; =\; J\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; =\; \backslash \; det\; [\{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; ^\; \{\backslash \; rm\; \{T\}\}]\; \backslash \; cdot\; \backslash \; det\; [\{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}]\; =\; J\; \backslash \; cdot\; J\; =\; J\; ^\; \{2\}\}$

Аналогичным образом мы можем показать, что

$det\; [gij]\; =\; 1\; J\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; det\; [g\; ^\; \{ij\}]\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{J\; ^\; \{2\}\}\}\}$

Следовательно, используя тот факт, что $[gij]\; =\; [gij]\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; [g\; ^\; \{ij\}]\; =\; [g\_\; \{ij\}]\; ^\; \{-\; 1\}\}$,

$\partial \; g\; \partial \; gij\; знак\; равно\; 2\; J\; \partial \; J\; \partial \; gij\; =\; ggij\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; g\}\; \{\backslash \; partial\; g\_\; \{ij\}\}\}\; =\; 2\; ~\; J\; ~\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; J\}\; \{\backslash \; partial\; g\_\; \{ij\; \}\}\}\; =\; g\; ~\; g\; ^\; \{ij\}\}$

Еще одно интересное соотношение выводится ниже. Напомним, что

$bi\; \cdot \; bj\; =\; \delta \; ji\; \Rightarrow \; b\; 1\; \cdot \; b\; 1\; =\; 1,\; b\; 1\; \cdot \; b\; 2\; bf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \_\; \{j\}\; ~\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{j\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{i\}\}\}\}$

Из этих результатов имеем

$ek\; \cdot \; bi\; =\; \partial \; xk\; \partial \; qi\; \Rightarrow \; \partial \; xk\; \partial \; qibi\; =\; ek\; \cdot \; (bi\; \otimes \; bi)\; =\; эк\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; ^\; \{k\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \_\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{k\}\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{i\}\}\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; Rightarrow\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{k\}\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{i\}\}\}\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; ^\; \{i\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; ^\; \{k\}\; \backslash \; cdot\; (\backslash \; mathbf\; \{b\; \}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; ^\; \{i\})\; =\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; ^\; \{k\}\}$

и

$bk\; =\; \partial \; qk\; \partial \; xiei\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; ^\; \{k\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{k\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{i\}\}\}\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; ^\; \{i\}\}$

Примечание: соглашение Эйнштейна о суммировании суммирования по повторяющимся индексам используется ниже.

Симмондс в своей книге по тензорному анализу цитирует Альберта Эйнштейна высказывание

Магия этой теории вряд ли перестанет навязываться любому, кто действительно понимает od это; он представляет собой подлинный триумф метода абсолютного дифференциального исчисления, основанного Гауссом, Риманом, Риччи и Леви-Чивита.

Векторное и тензорное исчисление в общих криволинейных координатах используется в тензорном анализе четырехмерных криволинейных многообразий в общей теории относительности, в механике криволинейных оболочки, при исследовании свойств инвариантности уравнений Максвелла, которые представляли интерес в метаматериалах и во многих других областях.

В этом разделе приведены некоторые полезные соотношения в исчислении векторов и тензоров второго порядка в криволинейных координатах. ион. Обозначения и содержание в основном взяты из Огдена, Симмондса, Грина и Зерны, Басара и Вейхерта и Чиарлета.

Основные определения

Пусть положение точки в пространстве характеризуется тремя координатными переменными $(q\; 1,\; q\; 2,\; q\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; (q\; ^\; \{1\},\; q\; ^\; \{2\},\; q\; ^\; \{3\})\}$.

Координатная кривая q представляет кривая, на которой q, q постоянны. Пусть x будет вектором положения точки относительно некоторого начала. Тогда, предполагая, что такое отображение и обратное ему отображение существуют и непрерывны, мы можем записать

$x\; =\; \phi \; (q\; 1,\; q\; 2,\; q\; 3);\; qi\; знак\; равно\; \psi \; я\; (Икс)\; знак\; равно\; [\phi \; -\; 1\; (Икс)]\; я\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; varphi\}\}\; (q\; ^\; \{1\},\; q\; ^\; \{2\},\; q\; ^\; \{\; 3\})\; ~;\; ~~\; q\; ^\; \{i\}\; =\; \backslash \; psi\; ^\; \{i\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\; =\; [\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; varphi\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})]\; ^\; \{i\}\}$

Поля ψ (x ) называются функциями криволинейных координат в криволинейной системе координат ψ(x) = φ(x).

Координатные кривые q определяются однопараметрическим семейством функций, задаваемым

$xi\; (\alpha )\; =\; \phi \; (\alpha ,\; qj,\; qk),\; i\; \ne \; j\; \ne \; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{i\}\; (\backslash \; alpha)\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; varphi\}\}\; (\backslash \; alpha,\; q\; ^\; \{j\},\; q\; ^\; \{k\})\; ~,\; ~~\; i\; \backslash \; neq\; j\; \backslash \; neq\; k\}$

с фиксированными q, q.

Касательный вектор к координатным кривым

Касательный вектор к кривой xiв точке xi(α) (или к координатной кривой q я в точке x ) равно

$dxid\; \alpha \; \equiv \; \partial \; x\; \partial \; qi\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; rm\; \{\{d\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{i\}\}\; \}\; \{\backslash \; rm\; \{\{d\}\; \backslash \; alpha\}\}\}\; \backslash \; Equiv\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{i\}\}\}\}$

Градиент

Скалярное поле

Пусть f (x ) будет скалярным полем в пространстве. Тогда

$f\; (x)\; =\; f\; [\phi \; (q\; 1,\; q\; 2,\; q\; 3)]\; =\; f\; \phi \; (q\; 1,\; q\; 2,\; q\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\; =\; f\; [\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; varphi\}\}\; (q\; ^\; \{1\},\; q\; ^\; \{2\},\; q\; ^\; \{3\})]\; =\; f\; \_\; \{\backslash \; varphi\}\; (q\; ^\; \{1\},\; q\; ^\; \{2\},\; q\; ^\; \{\; 3\})\}$

Градиент поля f определяется как

$[\nabla \; f\; (x)]\; \cdot \; c\; =\; dd\; \alpha \; f\; (x\; +\; \alpha \; c)\; |\; \alpha \; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; [\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; е\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})]\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mat\; hbf\; \{c\}\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; rm\; \{d\}\}\; \{\backslash \; rm\; \{\{d\}\; \backslash \; alpha\}\}\}\; f\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; +\; \backslash \; alpha\; \backslash \; mathbf\; \{c\})\; \{\backslash \; biggr\; |\}\; \_\; \{\; \backslash \; alpha\; =\; 0\}\}$

где c - произвольный постоянный вектор. Если мы определим компоненты c из c таковы, что

$qi\; +\; \alpha \; ci\; =\; \psi \; i\; (x\; +\; \alpha \; c)\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; ^\; \{i\}\; +\; \backslash \; alpha\; ~\; c\; ^\; \{i\}\; =\; \backslash \; psi\; ^\; \{i\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; +\; \backslash \; alpha\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{c\})\}$

, затем

$[\nabla \; f\; (x)]\; \cdot \; c\; =\; dd\; \alpha \; f\; \phi \; (q\; 1\; +\; \alpha \; c\; 1,\; q\; 2\; +\; \alpha \; c\; 2,\; q\; 3\; +\; \alpha \; c\; 3)\; |\; \alpha \; знак\; равно\; 0\; знак\; равно\; \partial \; е\; \phi \; \partial \; qici\; =\; \partial \; е\; \partial \; qici\; \{\backslash \; displaystyle\; [\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; f\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})]\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; rm\; \{\; d\}\}\; \{\backslash \; rm\; \{\{d\}\; \backslash \; alpha\}\}\}\; f\; \_\; \{\backslash \; varphi\}\; (q\; ^\; \{1\}\; +\; \backslash \; alpha\; ~\; c\; ^\; \{1\},\; q\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; alpha\; ~\; c\; ^\; \{2\},\; q\; ^\; \{3\}\; +\; \backslash \; alpha\; ~\; c\; ^\; \{3\})\; \{\backslash \; biggr\; |\}\; \_\; \{\backslash \; alpha\; =\; 0\}\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; f\; \_\; \{\backslash \; varphi\}\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{i\}\}\; \}\; ~\; c\; ^\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{i\}\}\}\; ~\; c\; ^\; \{i\}\}$

Если мы положим $f\; (x)\; =\; \psi \; i\; (\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\; =\; \backslash \; psi\; ^\; \{i\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\}$, то, поскольку $qi\; =\; \psi \; i\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; ^\; \{i\}\; =\; \backslash \; psi\; ^\; \{i\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\}$, имеем

$[\nabla \; \psi \; i\; (x)]\; \cdot \; c\; =\; \partial \; \psi \; i\; \partial \; qjcj\; =\; ci\; \{\backslash \; displaystyle\; [\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; psi\; ^\; \{i\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})]\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; psi\; ^\; \{i\}\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{j\}\}\}\; ~\; c\; ^\; \{j\}\; =\; c\; ^\; \{i\}\}$

, который обеспечивает средства извлечения контравариантной компоненты вектора c.

Если biявляется ковариантным (или естественным) базисом в точке, и если b является контравариантным (или обратным) базисом в этой точке, то

$[\nabla \; f\; (x)]\; \cdot \; c\; =\; \partial \; f\; \partial \; qi\; ci\; знак\; равно\; (\partial \; е\; \partial \; qibi)\; (cibi)\; \Rightarrow \; \nabla \; е\; (x)\; =\; \partial \; f\; \partial \; qibi\; \{\backslash \; displaystyle\; [\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; f\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})]\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{i\}\}\}\; ~\; c\; ^\; \{i\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{i\}\}\}\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; ^\; \{i\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (c\; ^\; \{i\}\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; quad\; \backslash \; Rightarrow\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; f\; (\backslash \; mathbf\; \{\; x\})\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{i\}\}\}\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; ^\; \{i\}\}$

Краткое обоснование этого выбора базиса дается в следующем разделе..

Векторное поле

Аналогичный процесс можно использовать для получения градиента a vector field f(x). The gradient is given by

$[\; \nabla \; f\; (\; x)\; ]\; \cdot \; c\; =\; \partial \; f\; \partial \; q\; i\; c\; i\; \{\backslash displaystyle\; [\{\backslash boldsymbol\; \{\backslash nabla\; \}\}\backslash mathbf\; \{f\}\; (\backslash mathbf\; \{x\})]\backslash cdot\; \backslash mathbf\; \{c\}\; =\{\backslash cfrac\; \{\backslash partial\; \backslash mathbf\; \{f\}\; \}\{\backslash partial\; q^\{i\}\}\}~c^\{i\}\}$

If we consider the gradient of the position vector field r(x) = x, then we can show that

$c\; =\; \partial \; x\; \partial \; q\; i\; c\; i\; =\; b\; i\; (\; x)\; c\; i\; ;\; b\; i\; (\; x)\; :=\; \partial \; x\; \partial \; q\; i\{\backslash displaystyle\; \backslash mathbf\; \{c\}\; =\{\backslash cfrac\; \{\backslash partial\; \backslash mathbf\; \{x\}\; \}\{\backslash partial\; q^\{i\}\}\}~c^\{i\}=\backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{i\}(\backslash mathbf\; \{x\})~c^\{i\}~;~~\backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{i\}(\backslash mathbf\; \{x\}):=\{\backslash cfrac\; \{\backslash partial\; \backslash mathbf\; \{x\}\; \}\{\backslash partial\; q^\{i\}\}\}\}$

The vector field biis tangent to the q coordinate curve and forms a natural basisat each point on the curve. This basis, as discussed at the beginning of this article, is also called the covariantcurvilinear basis. We can also define a reciprocal basis, or contravariantcurvilinear basis, b. All the algebraic relations between the basis vectors, as discussed in the section on tensor algebra, apply for the natural basis and its reciprocal at each point x.

Since cis arbitrary, we can write

$\nabla \; f\; (\; x)\; =\; \partial \; f\; \partial \; q\; i\; \otimes \; b\; i\; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash boldsymbol\; \{\backslash nabla\; \}\}\backslash mathbf\; \{f\}\; (\backslash mathbf\; \{x\})=\{\backslash cfrac\; \{\backslash partial\; \backslash mathbf\; \{f\}\; \}\{\backslash partial\; q^\{i\}\}\}\backslash otimes\; \backslash mathbf\; \{b\}\; ^\{i\}\}$

Note that the contravariant basis vector bis perpendicular to the surface of constant ψ and is given by

$b\; i\; =\; \nabla \; \psi \; i\; \{\backslash displaystyle\; \backslash mathbf\; \{b\}\; ^\{i\}=\{\backslash boldsymbol\; \{\backslash nabla\; \}\}\backslash psi\; ^\{i\}\}$

Christoffel symbols of the first kind

The Christoffel symbols of the first kind are defined as

$b\; i,\; j\; =\; \partial \; b\; i\; \partial \; q\; j\; :=\; \Gamma \; i\; j\; k\; b\; k\; \Rightarrow \; b\; i,\; j\; \cdot \; b\; l\; =\; \Gamma \; i\; j\; l\; \{\backslash displaystyle\; \backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{i,j\}=\{\backslash frac\; \{\backslash partial\; \backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{i\}\}\{\backslash partial\; q^\{j\}\}\}:=\backslash Gamma\; \_\{ijk\}~\backslash mathbf\; \{b\}\; ^\{k\}\backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; \backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{i,j\}\backslash cdot\; \backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{l\}=\backslash Gamma\; \_\{ijl\}\}$

To express Γijkin terms of gijwe note that

$g\; ij,\; k\; =\; (\; b\; i\; \cdot \; b\; j),\; k\; =\; b\; i,\; k\; \cdot \; b\; j\; +\; b\; i\; \cdot \; b\; j,\; k\; =\; \Gamma \; i\; k\; j\; +\; \Gamma \; j\; k\; i\; g\; i\; k,\; j\; =\; (\; b\; i\; \cdot \; b\; k),\; j\; =\; b\; i,\; j\; \cdot \; b\; k\; +\; b\; i\; \cdot \; b\; k,\; j\; =\; \Gamma \; i\; j\; k\; +\; \Gamma \; k\; j\; i\; g\; j\; k,\; i\; =\; (\; b\; j\; \cdot \; b\; k),\; i\; =\; b\; j,\; i\; \cdot \; b\; k\; +\; b\; j\; \cdot \; b\; k,\; i\; =\; \Gamma \; j\; i\; k\; +\; \Gamma \; k\; i\; j\; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash begin\{aligned\}g\_\{ij,k\}=(\backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{i\}\backslash cdot\; \backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{j\})\_\{,k\}=\backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{i,k\}\backslash cdot\; \backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{j\}+\backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{i\}\backslash cdot\; \backslash math\; bf\; \{b\}\; \_\{j,k\}=\backslash Gamma\; \_\{ikj\}+\backslash Gamma\; \_\{jki\}\backslash \backslash g\_\{ik,j\}=(\backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{i\}\backslash cdot\; \backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{k\})\_\{,j\}=\backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{i,j\}\backslash cdot\; \backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{k\}+\backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{i\}\backslash cdot\; \backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{k,j\}=\backslash Gamma\; \_\{ijk\}+\backslash Gamma\; \_\{kji\}\backslash \backslash g\_\{jk,i\}=(\backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{j\}\backslash cdot\; \backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{k\})\_\{,i\}=\backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{j,i\}\backslash cdot\; \backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{k\}+\backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{j\}\backslash cdot\; \backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{k,i\}=\backslash Gamma\; \_\{jik\}+\backslash Gamma\; \_\{kij\}\backslash end\{aligned\}\}\}$

Since b i,j= bj,iwe have Γijk= Γjik. Using these to rearrange the above relations gives

$\Gamma \; i\; j\; k\; =\; 1\; 2\; (\; g\; i\; k,\; j\; +\; g\; j\; k,\; i\; -\; g\; i\; j,\; k)\; =\; 1\; 2\; [\; (\; b\; i\; \cdot \; b\; k),\; j\; +\; (\; b\; j\; \cdot \; b\; k),\; i\; -\; (\; b\; i\; \cdot \; b\; j),\; k\; ]\; \{\backslash displaystyle\; \backslash Gamma\; \_\{ijk\}=\{\backslash frac\; \{1\}\{2\}\}(g\_\{ik,j\}+g\_\{jk,i\}-g\_\{ij,k\})=\{\backslash frac\; \{1\}\{2\}\}[(\backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{i\}\backslash cdot\; \backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{k\})\_\{,j\}+(\backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{j\}\backslash cdot\; \backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{k\})\_\{,i\}-(\backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{i\}\backslash cdot\; \backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{j\})\_\{,k\}]\}$

Christoffel symbols of the second kind

The Christoffel symbols of the second kind are defined as

$\Gamma \; i\; j\; k\; =\; \Gamma \; j\; i\; k\; \{\backslash displaystyle\; \backslash Gamma\; \_\{ij\}^\{k\}=\backslash Gamma\; \_\{ji\}^\{k\}\}$

in which

$\partial \; b\; i\; \partial \; q\; j\; =\; \Gamma \; i\; j\; k\; b\; k\; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash cfrac\; \{\backslash partial\; \backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{i\}\}\{\backslash partial\; q^\{j\}\}\}=\backslash Gamma\; \_\{ij\}^\{k\}~\backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{k\}\}$

This implies that

$\Gamma \; i\; j\; k\; =\; \partial \; b\; i\; \partial \; q\; j\; \cdot \; b\; k\; =\; -\; b\; i\; \cdot \; \partial \; b\; k\; \partial \; q\; j\; \{\backslash displaystyle\; \backslash Gamma\; \_\{ij\}^\{k\}=\{\backslash cfrac\; \{\backslash partial\; \backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{i\}\}\{\backslash partial\; q^\{j\}\}\}\backslash cdot\; \backslash mathbf\; \{b\}\; ^\{k\}=-\backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{i\}\backslash cdot\; \{\backslash cfrac\; \{\backslash partial\; \backslash mathbf\; \{b\}\; ^\{k\}\}\{\backslash partial\; q^\{j\}\}\}\}$

Other relations that follow are

$\partial \; b\; i\; \partial \; q\; j\; =\; -\; \Gamma \; j\; k\; i\; b\; k\; ;\; \nabla \; b\; i\; =\; \Gamma \; i\; j\; k\; b\; k\; \otimes \; b\; j\; ;\; \nabla \; b\; i\; =\; -\; \Gamma \; j\; k\; i\; b\; k\; \otimes \; b\; j\{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; ^\; \{i\}\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{j\}\}\}\; =\; -\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{jk\}\; ^\; \{i\}\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; ^\; \{k\; \}\; ~;\; ~~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \_\; \{i\}\; =\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{ij\}\; ^\; \{k\}\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \_\; \{k\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; ^\; \{j\}\; ~;\; ~~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; ^\; \{i\}\; =\; -\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{jk\}\; ^\; \{i\}\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; ^\; \{k\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; ^\; \{j\}\}$

Еще одно особенно полезное соотношение, которое показывает, что символ Кристоффеля зависит от l y от метрического тензора и его производных, это

$\Gamma \; ijk\; =\; gkm\; 2\; (\partial \; gmi\; \partial \; qj\; +\; \partial \; gmj\; \partial \; qi\; -\; \partial \; gij\; \partial \; qm)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{ij\}\; ^\; \{k\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{g\; ^\; \{km\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; g\_\; \{mi\}\; \}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{j\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; g\_\; \{mj\}\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{i\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; g\_\; \{ij\}\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{m\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

Явное выражение для градиента векторного поля

Следующие выражения для градиента векторного поля в криволинейных координатах весьма полезны.

$\nabla \; v\; =\; [\partial \; vi\; \partial \; qk\; +\; \Gamma \; lkivl]\; bi\; \otimes \; bk\; =\; [\partial \; vi\; \partial \; qk\; -\; \Gamma \; kilvl]\; bi\; \otimes \; bk\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; v\; ^\; \{i\}\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{k\}\}\}\; +\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{lk\}\; ^\; \{i\}\; ~\; v\; ^\; \{l\}\; \backslash \; right]\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; ^\; \{k\}\; \backslash \backslash \; [8pt]\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; v\_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{k\}\; \}\}\; -\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{ki\}\; ^\; \{l\}\; ~\; v\_\; \{l\}\; \backslash \; right]\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; ^\; \{i\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; ^\; \{k\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Представление физического векторного поля

Векторное поле v может быть представлено как

$v\; =\; vibi\; =\; v\; ^\; ib\; ^\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; =\; v\_\; \{\; i\}\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; ^\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; hat\; \{v\}\}\; \_\; \{i\}\; ~\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{b\}\}\}\; ^\; \{i\}\}$

где $vi\; \{\; \backslash \; displaystyle\; v\_\; \{i\}\}$- ковариантные компоненты поля, $v\; ^\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{v\}\}\; \_\; \{i\}\}$- физические компоненты и (без суммирования )

$b\; ^\; i\; =\; bigii\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{b\}\}\}\; ^\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; m\; athbf\; \{b\}\; ^\; \{i\; \}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{g\; ^\; \{ii\}\}\}\}\}$

- нормализованный контравариантный базис v эктор.

Тензорное поле второго порядка

Градиент тензорного поля второго порядка может аналогичным образом быть выражено как

$\nabla \; S\; =\; \partial \; S\; \partial \; qi\; \otimes \; bi\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\}\; \{\backslash \; частичное\; q\; ^\; \{i\}\}\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; ^\; \{i\}\}$

Явные выражения для градиента

Если мы рассмотрим выражение для тензора в терминах контравариантного базиса, то

$\nabla \; S\; =\; \partial \; \partial \; qk\; [S\; ijbi\; \otimes \; bj]\; \otimes \; bk\; =\; [\partial \; S\; ij\; \partial \; qk\; -\; \Gamma \; kil\; S\; lj\; -\; \Gamma \; kjl\; S\; il]\; bi\; \otimes \; bj\; \otimes \; bk\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\; \}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{k\}\}\}\; [S\_\; \{ij\}\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; ^\; \{i\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; ^\; \{\; j\}]\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; ^\; \{k\}\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; S\_\; \{ij\}\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{k\}\}\}\; -\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{ki\}\; ^\; \{l\}\; ~\; S\_\; \{lj\}\; -\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{kj\}\; ^\; \{l\}\; ~\; S\_\; \{il\}\; \backslash \; right]\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; ^\; \{i\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; ^\; \{j\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{\; b\}\; ^\; \{k\}\}$

Мы также можем написать

$\nabla \; S\; =\; [\partial \; S\; ij\; \partial \; qk\; +\; \Gamma \; kli\; S\; lj\; +\; \Gamma \; klj\; S\; il]\; bi\; \otimes \; bj\; \otimes \; bk\; =\; [\partial \; S\; ji\; \partial \; qk\; +\; \Gamma \; kli\; S\; jl\; -\; \Gamma \; kjl\; S\; li]\; bi\; \otimes \; bj\; \otimes \; bk\; =\; [\partial \; S\; ij\; \partial \; qk\; -\; \Gamma \; ikl\; S\; lj\; +\; \Gamma \; klj\; S\; il]\; bi\; \otimes \; bj\; \otimes \; b\; к\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; S\; ^\; \{ij\}\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{k\}\; \}\}\; +\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{kl\}\; ^\; \{i\}\; ~\; S\; ^\; \{lj\}\; +\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{kl\}\; ^\; \{j\}\; ~\; S\; ^\; \{il\}\; \backslash \; right]\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \_\; \{j\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; ^\; \{k\}\; \backslash \backslash \; [8pt]\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; S\_\; \{~\; j\}\; ^\; \{i\}\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{k\}\}\}\; +\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{kl\}\; ^\; \{i\}\; ~\; S\_\; \{~\; j\}\; ^\; \{l\}\; -\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{kj\}\; ^\; \{l\}\; ~\; S\_\; \{~\; l\}\; ^\; \{i\}\; \backslash \; right]\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; ^\; \{j\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; ^\; \{k\}\; \backslash \backslash \; [8pt]\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; S\_\; \{i\}\; ^\; \{~\; j\}\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{k\}\}\}\; -\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{ik\}\; ^\; \{l\}\; ~\; S\_\; \{l\}\; ^\; \{~\; j\}\; +\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{kl\}\; ^\; \{\; j\}\; ~\; S\_\; \{i\}\; ^\; \{~\; l\}\; \backslash \; right]\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; ^\; \{i\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \_\; \{j\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; ^\; \{k\}\; \backslash \; end\; \{\; выровнено\}\}\}$

Представление физического тензорного поля второго порядка

Физические компоненты тензорного поля второго порядка могут быть получены с использованием нормированного контравариантного базиса, т. е.

$S\; =\; S\; ijbi\; \otimes \; bj\; =\; S\; ^\; ijb\; ^\; i\; \otimes \; b\; ^\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\; =\; S\_\; \{ij\}\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; ^\; \{i\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; ^\; \{j\}\; =\; \{\; \backslash \; hat\; \{S\}\}\; \_\; \{ij\}\; ~\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{b\}\}\}\; ^\; \{i\}\; \backslash \; otimes\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{b\}\}\}\; ^\; \{j\}\}$

, где штрихованные базисные векторы нормализованы. Это означает, что (опять же без суммирования)

$S\; ^\; ij\; =\; S\; ijgiigjj\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{S\}\}\; \_\; \{ij\}\; =\; S\_\; \{ij\}\; ~\; \{\backslash \; sqrt\; \{g\; ^\; \{ii\}\; ~\; g\; ^\; \{\; jj\}\}\}\}$

Дивергенция

Векторное поле

Дивергенция векторного поля ($v\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\}$) определяется как

$div\; \; v\; =\; \nabla \; \cdot \; v\; =\; tr\; (\nabla \; v)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{div\}\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; =\; \{\backslash \; text\; \{tr\}\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{v\})\}$

В терминах компонентов относительно криволинейного базиса

$\nabla \; \cdot \; v\; =\; \partial \; vi\; \partial \; qi\; +\; \Gamma \; \ell \; iiv\; \ell \; =\; [\partial \; vi\; \partial \; qj\; -\; \Gamma \; ji\; \ell \; v\; \ell ]\; gij\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; v\; ^\; \{\; i\}\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{i\}\}\}\; +\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{\backslash \; ell\; i\}\; ^\; \{i\}\; ~\; v\; ^\; \{\backslash \; ell\}\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; v\_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; частичное\; q\; ^\; \{j\}\}\}\; -\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{ji\}\; ^\; \{\backslash \; ell\}\; ~\; v\; \_\; \{\backslash \; ell\}\; \backslash \; right]\; ~\; g\; ^\; \{ij\}\}$

Альтернативным уравнением для расходимости векторного поля является часто используемый. Чтобы вывести это соотношение, напомним, что

$\nabla \; \cdot \; v\; =\; \partial \; vi\; \partial \; qi\; +\; \Gamma \; \ell \; iiv\; \ell \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; v\; ^\; \{\; i\}\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{i\}\}\}\; +\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{\backslash \; ell\; i\}\; ^\; \{i\}\; ~\; v\; ^\; \{\backslash \; ell\}\}$

Теперь

$\Gamma \; \ell \; ii\; =\; \Gamma \; i\; \ell \; i\; знак\; равно\; gmi\; 2\; [\partial \; gim\; \partial \; q\; \ell \; +\; \partial \; g\; \ell \; m\; \partial \; qi\; -\; \partial \; gil\; \partial \; qm]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{\backslash \; ell\; i\}\; ^\; \{i\}\; =\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{i\; \backslash \; ell\}\; ^\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{g\; ^\; \{mi\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; g\_\; \{im\}\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{\backslash \; ell\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; g\; \_\; \{\backslash \; ell\; m\}\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{i\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; g\_\; \{il\}\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{m\}\}\}\; \backslash \; right]\}$

Отмечая, что из-за симметрии из $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{g\}\}\}$,

$gmi\; \partial \; g\; \ell \; m\; \partial \; qi\; =\; gmi\; \partial \; gi\; \ell \; \partial \; qm\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; ^\; \{mi\}\; ~\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; g\_\; \{\; \backslash \; ell\; m\}\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{i\}\}\}\; =\; g\; ^\; \{mi\}\; ~\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; g\_\; \{i\; \backslash \; ell\}\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{m\}\}\}\}$

мы иметь

$\nabla \; \cdot \; v\; =\; \partial \; vi\; \partial \; qi\; +\; gmi\; 2\; \partial \; gim\; \partial \; q\; \ell \; v\; \ell \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; v\; ^\; \{\; i\}\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{i\}\}\}\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{g\; ^\; \{mi\}\}\; \{2\}\}\; ~\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; g\_\; \{im\}\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{\backslash \; ell\}\}\}~v^\{\backslash ell\; \}\}$

Recall that if [gij] is the matrix whose components are gij, then the inverse of the matrix is $[\; g\; i\; j\; ]\; -\; 1\; =\; [\; g\; i\; j\; ]\; \{\backslash displaystyle\; [g\_\{ij\}]^\{-1\}=[g^\{ij\}]\}$. The inverse of the matrix is given by

$[\; g\; i\; j\; ]\; =\; [\; g\; i\; j\; ]\; -\; 1\; =\; A\; i\; j\; g\; ;\; g\; :=\; det\; (\; [\; g\; i\; j\; ])\; =\; det\; g\; \{\backslash displaystyle\; [g^\{ij\}]=[g\_\{ij\}]^\{-1\}=\{\backslash cfrac\; \{A^\{ij\}\}\{g\}\}~;~~g:=\backslash det(\; [g\_\{ij\}])=\backslash det\; \{\backslash boldsymbol\; \{g\}\}\}$

where A are the Cofactor matrix of the components gij. From matrix algebra we have

$g\; =\; det\; (\; [\; g\; i\; j\; ])\; =\; \sum \; i\; g\; i\; j\; A\; i\; j\; \Rightarrow \; \partial \; g\; \partial \; g\; i\; j\; =\; A\; i\; j\; \{\backslash displaystyle\; g=\backslash det([g\_\{ij\}])=\backslash sum\; \_\{i\}g\_\{ij\}~A^\{ij\}\backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; \{\backslash frac\; \{\backslash partial\; g\}\{\backslash partial\; g\_\{ij\}\}\}=A^\{ij\}\}$

Hence,

$[\; g\; i\; j\; ]\; =\; 1\; g\; \partial \; g\; \partial \; g\; i\; j\; \{\backslash displaystyle\; [g^\{ij\}]=\{\backslash cfrac\; \{1\}\{g\}\}~\{\backslash frac\; \{\backslash partial\; g\}\{\backslash partial\; g\_\{ij\}\}\}\}$

Plugging this relation into the expression for the divergence gives

$\nabla \; \cdot \; v\; =\; \partial \; v\; i\; \partial \; q\; i\; +\; 1\; 2\; g\; \partial \; g\; \partial \; g\; m\; i\; \partial \; g\; i\; m\; \partial \; q\; \ell \; v\; \ell \; =\; \partial \; v\; i\; \partial \; q\; i\; +\; 1\; 2\; g\; \partial \; g\; \partial \; q\; \ell \; v\; \ell \; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash boldsymbol\; \{\backslash nabla\; \}\}\backslash cdot\; \backslash mathbf\; \{v\}\; =\{\backslash frac\; \{\backslash partial\; v^\{i\}\}\{\backslash partial\; q^\{i\}\}\}+\{\backslash cfrac\; \{1\}\{2g\}\}~\{\backslash frac\; \{\backslash partial\; g\}\{\backslash partial\; g\_\{mi\}\}\}~\{\backslash frac\; \{\backslash partial\; g\_\{im\}\}\{\backslash partial\; q^\{\backslash ell\; \}\}\}~v^\{\backslash ell\; \}=\{\backslash frac\; \{\backslash partial\; v^\{i\}\}\{\backslash partial\; q^\{i\}\}\}+\{\backslash cfrac\; \{1\}\{2g\}\}~\{\backslash frac\; \{\backslash partial\; g\}\{\backslash partial\; q^\{\backslash ell\; \}\}\}~v^\{\backslash ell\; \}\}$

A little manipulation leads to the more compact form

$\nabla \; \cdot \; v\; =\; 1\; g\; \partial \; \partial \; q\; i\; (\; v\; i\; g)\; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash boldsymbol\; \{\backslash nabla\; \}\}\backslash cdot\; \backslash mathbf\; \{v\}\; =\{\backslash cfrac\; \{1\}\{\backslash sqrt\; \{g\}\}\}~\{\backslash frac\; \{\backslash partial\; \}\{\backslash partial\; q^\{i\}\}\}(v^\{i\}~\{\backslash sqrt\; \{g\}\})\}$

Second-order tensor field

The divergence of a second-order tensor field is defined using

$(\; \nabla \; \cdot \; S)\; \cdot \; a\; =\; \nabla \; \cdot \; (\; S\; \cdot \; a)\; \{\backslash displaystyle\; (\{\backslash boldsymbol\; \{\backslash nabla\; \}\}\backslash cdot\; \{\backslash boldsymbol\; \{S\}\})\backslash cdot\; \backslash mathbf\{a\}\; =\{\backslash boldsymbol\; \{\backslash nabla\; \}\}\backslash cdot\; (\{\backslash boldsymbol\; \{S\}\}\backslash cdot\; \backslash mathbf\; \{a\})\}$

where ais an arbitrary constant vector. In curvilinear coordinates,

$∇ ⋅ S = [ ∂ S i j ∂ q k − Γ k i l Slj - Γ kjl S il] gikbj = [∂ S ij ∂ qi + Γ ili S lj + Γ ilj S il] bj = [∂ S ji ∂ qi + Γ ili S jl - Γ ijl S li] bj = [∂ S ij ∂ qk - Γ ikl S lj + Γ klj S il] gikbj {\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot {\ boldsymbol {S}} = \ left [{\ cfrac { \ partial S_ {ij}} {\ partial q ^ {k}}} - \ Gamma _ {ki} ^ {l} ~ S_ {lj} - \ Gamma _ {kj} ^ {l} ~ S_ {il} \ right] ~ g ^ {ik} ~ \ math bf {b} ^ {j} \\ [8pt] = \ left [{\ cfrac {\ partial S ^ {ij}} {\ partial q ^ {i}} } + \ Gamma _ {il} ^ {i} ~ S ^ {lj} + \ Gamma _ {il} ^ {j} ~ S ^ {il} \ right] ~ \ mathbf {b} _ {j} \\ [8pt] = \ left [{\ cfrac {\ partial S_ {~ j} ^ {i}} {\ partial q ^ {i}}} + \ Gamma _ {il} ^ {i} ~ S_ {~ j } ^ {l} - \ Gamma _ {ij} ^ {l} ~ S_ {~ l} ^ {i} \ right] ~ \ mathbf {b} ^ {j} \\ [8pt] = \ left [{ \ cfrac {\ partial S_ {i} ^ {~ j}} {\ partial q ^ {k}}} - \ Gamma _ {ik} ^ {l} ~ S_ {l} ^ {~ j} + \ Gamma _ {kl} ^ {j} ~ S_ {i} ^ {~ l} \ right] ~ g ^ {ik} ~ \ mathbf {b} _ {j} \ end {align}}}$

лапласиан

Скалярное поле

Лапласиан скалярного поля φ (x ) определяется как

$\nabla \; 2\; \phi :\; =\; \nabla \; \cdot \; (\nabla \; \phi )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; na\; bla\; ^\; \{2\}\; \backslash \; varphi:\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; cdot\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; varphi)\}$

Использование альтернативного выражения для дивергенции векторного поля дает нам

$\nabla \; 2\; \phi \; знак\; равно\; 1\; г\; \partial \; \partial \; qi\; ([\nabla \; \phi ]\; ig)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; \backslash \; varphi\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{g\}\}\}\; ~\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{i\}\}\}\; ([\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; varphi]\; ^\; \{i\}\; ~\; \{\backslash \; sqrt\; \{g\}\})\}$

Теперь

$\nabla \; \phi \; =\; \partial \; \phi \; \partial \; qlbl\; знак\; равно\; gli\; \partial \; \phi \; \partial \; qlbi\; \Rightarrow \; [\nabla \; \phi ]\; я\; =\; gli\; \partial \; \phi \; \partial \; ql\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; varphi\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; varphi\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{l\; \}\}\}\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; ^\; \{l\}\; =\; g\; ^\; \{li\}\; ~\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; varphi\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{l\}\}\}\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; Rightarrow\; \backslash \; quad\; [\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; varphi]\; ^\; \{i\}\; =\; g\; ^\; \{li\}\; ~\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; varphi\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{l\}\}\}\}$

Следовательно,

$\nabla \; 2\; \phi \; =\; 1\; г\; \partial \; \partial \; qi\; (gli\; \partial \; \phi \; \partial \; qlg)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; \backslash \; varphi\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{g\}\}\}\; ~\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{i\}\}\}\; \backslash \; left\; (g\; ^\; \{li\}\; ~\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; varphi\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{l\}\}\}\; ~\; \{\backslash \; sqrt\; \{g\; \}\}\; \backslash \; right)\}$

Ротор векторного поля

The curl of a vector field vin covariant curvilinear coordinates can be written as

$\nabla \; \times \; v\; =\; E\; r\; s\; t\; v\; s\; |\; r\; b\; t\; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash boldsymbol\; \{\backslash nabla\; \}\}\backslash times\; \backslash mathbf\; \{v\}\; =\{\backslash mathcal\; \{E\}\}^\{rst\}v\_\{s|r\}~\backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{t\}\}$

where

$v\; s\; |\; r\; =\; v\; s,\; r\; -\; \Gamma \; s\; r\; i\; v\; i\; \{\backslash displaystyle\; v\_\{s|r\}=v\_\{s,r\}-\backslash Gamma\; \_\{sr\}^\{i\}~v\_\{i\}\}$

Assume, for thepurposes of this section, that the curvilinear coordinate system is orthogonal, i.e.,

$b\; i\; \cdot \; b\; j\; =\; \{\; g\; i\; i\; if\; i\; =\; j\; 0\; if\; i\; \ne \; j,\; \{\backslash displaystyle\; \backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{i\}\backslash cdot\; \backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{j\}=\{\backslash begin\{cases\}g\_\{ii\}\{\backslash text\{if\; \}\}i=j\backslash \backslash 0\{\backslash text\{if\; \}\}i\backslash neq\; j,\backslash end\{cases\}\}\}$

or equivalently,

$b\; i\; \cdot \; b\; j\; =\; \{\; g\; i\; i\; if\; i\; =\; j\; 0\; if\; i\; \ne \; j,\; \{\backslash displaystyle\; \backslash mathbf\; \{b\}\; ^\{i\}\backslash cdot\; \backslash mathbf\; \{b\}^\{j\}=\{\backslash begin\{cases\}g^\{ii\}\{\backslash text\{if\; \}\}i=j\backslash \backslash 0\{\backslash text\{if\; \}\}i\backslash neq\; j,\backslash end\{cases\}\}\}$

where $g\; i\; i\; =\; g\; i\; i\; -\; 1\; \{\backslash displaystyle\; g^\{ii\}=g\_\{ii\}^\{-1\}\}$. As before, $b\; i,\; b\; j\; \{\backslash displaystyle\; \backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{i\},\backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{j\}\}$are covariant basis vectors and b, bare contravariant basis vectors. Also, let (e, e, e) be a background, fixed, Cartesian basis. A list of orthogonal curvilinear coordinates is given below.

Metric tensor in orthogonal curvilinear coordinates

Let r(x) be the position vector of the point xwith respect to the origin of the coordinate system. The notation can be simplified by noting that x= r(x). At each point we can construct a small line element dx. The square of the length of the line element is the scalar product dx• dxand is called the metric of the space. Recall that the space of interest is assumed to be Euclidean when we talk of curvilinear coordinates. Let us express the position vector in terms of the background, fixed, Cartesian basis, i.e.,

$x\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; 3\; x\; i\; e\; i\; \{\backslash displaystyle\; \backslash mathbf\; \{x\}\; =\backslash sum\; \_\{i=1\}^\{3\}x\_\{i\}~\backslash mathbf\; \{e\}\; \_\{i\}\}$

Using the chain rule, we can then express dxin terms of three-dimensional orthogonal curvilinear coordinates (q, q, q) as

$d\; x\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; 3\; \sum \; j\; =\; 1\; 3\; (\; \partial \; x\; i\; \partial \; q\; j\; e\; i)\; d\; q\; j\; \{\backslash displaystyle\; \backslash mathrm\; \{d\}\; \backslash mathbf\; \{x\}\; =\backslash sum\; \_\{i=1\}^\{3\}\backslash sum\; \_\{j=1\}^\{3\}\backslash left(\{\backslash cfrac\; \{\backslash partial\; x\_\{i\}\}\{\backslash partial\; q^\{j\}\}\}~\backslash mathbf\; \{e\}\; \_\{i\}\backslash right)\backslash mathrm\; \{d\}\; q^\{j\}\}$

Therefore, the metric is given by

$d\; x\; \cdot \; d\; x\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; 3\; \sum \; j\; =\; 1\; 3\; \sum \; k\; =\; 1\; 3\; \partial \; x\; i\; \partial \; q\; j\; \partial \; x\; i\; \partial \; q\; k\; d\; q\; j\; d\; q\; k\; \{\backslash displaystyle\; \backslash mathrm\; \{d\}\; \backslash mathbf\; \{x\}\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\; \{d\}\; \backslash mathbf\; \{x\}\; =\backslash sum\; \_\{i=1\}^\{3\}\backslash sum\; \_\{j=1\}^\{3\}\backslash sum\; \_\{k=1\}^\{3\}\{\backslash cfrac\; \{\backslash partial\; x\_\{i\}\}\{\backslash partial\; q^\{j\}\}\}~\{\backslash cfrac\; \{\backslash partial\; x\_\{i\}\}\{\backslash partial\; q^\{k\}\}\}~\backslash mathrm\; \{d\}\; q^\{j\}~\backslash mathrm\; \{d\}\; q^\{k\}\}$

The symmetric quantity

$g\; i\; j\; (\; q\; i,\; q\; j)\; =\; \sum \; k\; =\; 1\; 3\; \partial \; x\; k\; \partial \; q\; i\; \partial \; x\; k\; \partial \; q\; j\; =\; b\; i\; \cdot \; b\; j\; \{\backslash displaystyle\; g\_\{ij\}(q^\{i\},q^\{j\})=\backslash sum\; \_\{k=1\}^\{3\}\{\backslash cfrac\; \{\backslash partial\; x\_\{k\}\}\{\backslash partial\; q^\{i\}\}\}~\{\backslash cfrac\; \{\backslash partial\; x\_\{k\}\}\{\backslash partial\; q^\{j\}\}\}=\backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{i\}\backslash cdot\; \backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{j\}\}$

is called the fundamental (or metric) tensor of the Euclidean space in curvilinear coordinates.

Note also that

$g\; i\; j\; =\; \partial \; x\; \partial \; q\; i\; \cdot \; \partial \; x\; \partial \; q\; j\; =\; (\; \sum \; k\; h\; k\; i\; e\; k)\; \cdot \; (\; \sum \; m\; h\; m\; j\; e\; m)\; =\; \sum \; k\; h\; k\; i\; h\; k\; j\; \{\backslash displaystyle\; g\_\{ij\}=\{\backslash cfrac\; \{\backslash partial\; \backslash mathbf\; \{x\}\; \}\{\backslash partial\; q^\{i\}\}\}\backslash cdot\; \{\backslash cfrac\; \{\backslash partial\; \backslash mathbf\; \{x\}\; \}\{\backslash partial\; q^\{j\}\}\}=\backslash left(\backslash sum\; \_\{k\}h\_\{ki\}~\backslash mathbf\; \{e\}\; \_\{k\}\backslash right)\backslash cdot\; \backslash left(\backslash sum\; \_\{m\}h\_\{mj\}~\backslash mathbf\; \{e\}\; \_\{m\}\backslash right)=\backslash sum\; \_\{k\}h\_\{ki\}~h\_\{kj\}\}$

where hijare the Lamé coefficients.

If we define the scale factors, hi, using

$b\; i\; \cdot \; b\; i\; =\; g\; i\; i\; =\; \sum \; k\; h\; k\; i\; 2\; =:\; h\; i\; 2\; \Rightarrow \; |\; \partial \; x\; \partial \; q\; i\; |\; =\; |\; b\; i\; |\; =\; g\; i\; i\; =\; h\; i\; \{\backslash displaystyle\; \backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{i\}\backslash cdot\; \backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{i\}=g\_\{ii\}=\backslash sum\; \_\{k\}h\_\{ki\}^\{2\}=:h\_\{i\}^\{2\}\backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\backslash left|\{\backslash cfrac\; \{\backslash partial\; \backslash mathbf\; \{x\}\; \}\{\backslash partial\; q^\{i\}\}\}\backslash right|=\backslash left|\backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{i\}\backslash right|=\{\backslash sqrt\; \{g\_\{ii\}\}\}=h\_\{i\}\}$

we get a relation between the fundamental tensor and the Lamé coefficients.

Пример: полярные координаты

Если мы рассмотрим полярные координаты для R, обратите внимание, что

$(x,\; y)\; =\; (r\; cos\; \; \theta ,\; r\; sin\; \; \theta )\; \{\backslash \; displaystyle\; (\; x,\; y)\; =\; (r\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta,\; r\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta)\}$

(r, θ) - криволинейные координаты, а определитель Якоби преобразования (r, θ) → (r cos θ, r sin θ) равно r.

Ортогональные базисные векторы равны br= (cos θ, sin θ), bθ= (−r sin θ, r cos θ). Нормализованные базисные векторы: er= (cos θ, sin θ), eθ= (−sin θ, cos θ), а масштабные коэффициенты - h r = 1 и h θ. = р. Фундаментальный тензор равен g 11 = 1, g 22 = r, g 12 = g 21 = 0.

Линейные и поверхностные интегралы

Если мы хотим использовать криволинейные координаты для вычислений векторного исчисления, необходимо внести корректировки в вычисление линейных, поверхностных и объемных интегралов. Для простоты мы снова ограничим обсуждение тремя измерениями и ортогональными криволинейными координатами. Однако те же аргументы применимы к $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$-мерным задачам, хотя в выражениях есть некоторые дополнительные члены, когда система координат не ортогональна.

Линейные интегралы

Обычно при вычислении линейных интегралов нас интересует вычисление

$\int \; C\; f\; d\; s\; =\; \int \; a\; b\; f\; (x\; (t))\; |\; \partial \; x\; \partial \; t\; |\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{C\}\; f\; \backslash ,\; ds\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; (t))\; \backslash \; left\; |\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; t\}\; \backslash \; right\; |\; \backslash ;\; dt\}$

где x (t) параметризует C в декартовых координатах. В криволинейных координатах член

$|\; \partial \; x\; \partial \; t\; |\; =\; |\; \sum \; i\; =\; 1\; 3\; \partial \; x\; \partial \; q\; i\; \partial \; q\; i\; \partial \; t\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; |\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; t\}\; \backslash \; right\; |\; =\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{3\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; q\; ^\; \{i\}\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{i\}\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; t\}\; \backslash \; right\; |\}$

по правилу цепочки . И из определения коэффициентов Ламе,

$\partial \; x\; \partial \; q\; i\; =\; \sum \; k\; h\; k\; i\; e\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; q\; ^\; \{i\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; h\; \_\{ki\}~\backslash mathbf\; \{e\}\; \_\{k\}\}$

and thus

$|\; \partial \; x\; \partial \; t\; |\; =\; |\; \sum \; k\; (\; \sum \; i\; h\; k\; i\; \partial \; q\; i\; \partial \; t)\; e\; k\; |\; =\; \sum \; i\; \sum \; j\; \sum \; k\; h\; k\; i\; h\; k\; j\; \partial \; q\; i\; \partial \; t\; \partial \; q\; j\; \partial \; t\; =\; \sum \; i\; \sum \; j\; g\; i\; j\; \partial \; q\; i\; \partial \; t\; \partial \; q\; j\; \partial \; t\; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash begin\{aligned\}\backslash left|\{\backslash partial\; \backslash mathbf\; \{x\}\; \backslash over\; \backslash partial\; t\}\backslash right|=\backslash left|\backslash sum\; \_\{k\}\backslash left(\backslash sum\; \_\{i\}h\_\{ki\}~\{\backslash cfrac\; \{\backslash partial\; q^\{i\}\}\{\backslash partial\; t\}\}\backslash right)\backslash mathbf\; \{e\}\; \_\{k\}\backslash right|\backslash \backslash [8pt]=\{\backslash sqrt\; \{\backslash sum\; \_\{i\}\backslash sum\; \_\{j\}\backslash sum\_\{k\}h\_\{ki\}~h\_\{kj\}\{\backslash cfrac\; \{\backslash partial\; q^\{i\}\}\{\backslash partial\; t\}\}\{\backslash cfrac\; \{\backslash partial\; q^\{j\}\}\{\backslash partial\; t\}\}\}\}=\{\backslash sqrt\; \{\backslash sum\; \_\{i\}\backslash sum\; \_\{j\}g\_\{ij\}~\{\backslash cfrac\; \{\backslash partial\; q^\{i\}\}\{\backslash partial\; t\}\}\{\backslash cfrac\; \{\backslash partial\; q^\{j\}\}\{\backslash partial\; t\}\}\}\}\backslash end\{aligned\}\}\}$

Now, since $g\; i\; j\; =\; 0\; \{\backslash displaystyle\; g\_\{ij\}=0\}$when $i\; \ne \; j\; \{\backslash displaystyle\; i\backslash neq\; j\}$, we have

$|\; \partial \; x\; \partial \; t\; |\; =\; \sum \; i\; g\; i\; i\; (\; \partial \; q\; i\; \partial \; t)\; 2\; =\; \sum \; ih\; i\; 2\; (\; \partial \; q\; i\; \partial \; t)\; 2\; \{\backslash displaystyle\; \backslash left|\{\backslash partial\; \backslash mathbf\; \{x\}\; \backslash over\; \backslash partial\; t\}\backslash right|=\{\backslash sqrt\; \{\backslash sum\; \_\{i\}g\_\{ii\}~\backslash left(\{\backslash cfrac\; \{\backslash partial\; q^\{i\}\}\{\backslash partial\; t\}\}\backslash right)^\{2\}\}\}=\{\backslash sqrt\; \{\backslash sum\; \_\{i\}h\_\{i\}^\{2\}~\backslash left(\{\backslash cfrac\; \{\backslash partial\; q^\{i\}\}\{\backslash partial\; t\}\}\backslash right)^\{2\}\}\}\}$

and we can proceed normally.

Surface integrals

Likewise, if we are interested in a surface integral, the relevant calculation, with the parameterization of the surface in Cartesian coordinates is:

$\int \; S\; f\; d\; S\; =\; \iint \; T\; f\; (\; x\; (\; s,\; t))\; |\; \partial \; x\; \partial \; s\; \times \; \partial \; x\; \partial \; t\; |\; d\; s\; d\; t\; \{\backslash displaystyle\; \backslash int\; \_\{S\}f\backslash ,dS=\backslash iint\; \_\{T\}f(\backslash mathbf\; \{x\}\; (s,t))\backslash left|\{\backslash partial\; \backslash mathbf\; \{x\}\; \backslash over\; \backslash partial\; s\}\backslash times\; \{\backslash partial\; \backslash mathbf\; \{x\}\; \backslash over\; \backslash partial\; t\}\backslash right|\backslash ,ds\backslash ,dt\}$

Again, in curvilinear coordinates, we have

$|\; \partial \; x\; \partial \; s\; \times \; \partial \; x\; \partial \; t\; |\; =\; |\; (\; \sum \; i\; \partial \; x\; \partial \; q\; i\; \partial \; q\; i\; \partial \; s)\; \times \; (\; \sum \; j\; \partial \; x\; \partial \; q\; j\; \partial \; q\; j\; \partial \; t)\; |\; \{\backslash displaystyle\; \backslash left|\{\backslash partial\; \backslash mathbf\; \{x\}\; \backslash over\; \backslash partial\; s\}\backslash times\; \{\backslash partial\; \backslash mathbf\; \{x\}\; \backslash over\; \backslash partial\; t\}\backslash right|=\backslash left|\backslash left(\backslash sum\; \_\{i\}\{\backslash partial\; \backslash mathbf\; \{x\}\; \backslash over\; \backslash partial\; q^\{i\}\}\{\backslash partial\; q^\{i\}\; \backslash over\; \backslash partial\; s\}\backslash right)\backslash times\; \backslash left(\backslash sum\; \_\{j\}\{\backslash partial\; \backslash mathbf\; \{x\}\; \backslash over\; \backslash partial\; q^\{j\}\}\{\backslash partial\; q^\{j\}\; \backslash over\; \backslash partial\; t\}\backslash right)\backslash right|\}$

и снова используем определение криволинейных координат, чтобы получить

$\partial \; x\; \partial \; q\; i\; \partial \; q\; i\; \partial \; s\; =\; \sum \; k\; (\sum \; i\; =\; 1\; 3\; h\; k\; i\; \partial \; q\; i\; \partial \; s)\; e\; k;\; \partial \; x\; \partial \; qj\; \partial \; qj\; \partial \; T\; знак\; равно\; \sum \; м\; (\sum \; j\; =\; 1\; 3\; hmj\; \partial \; qj\; \partial \; t)\; em\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; q\; ^\; \{i\}\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{i\}\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; s\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{3\}\; h\_\; \{ki\}\; ~\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{i\}\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; s\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{k\}\; ~;\; ~~\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; q\; ^\; \{j\}\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{j\}\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; t\}\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{m\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{3\}\; h\_\; \{mj\}\; ~\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{j\}\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; t\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{m\; \}\}$

Следовательно,

$|\; \partial \; x\; \partial \; s\; \times \; \partial \; x\; \partial \; t\; |\; =\; |\; \sum \; k\; \sum \; m\; (\sum \; i\; =\; 1\; 3\; h\; k\; i\; \partial \; q\; i\; \partial \; s)\; (\sum \; j\; =\; 1\; 3\; h\; m\; j\; \partial \; q\; j\; \partial \; t)\; e\; k\; \times \; e\; m\; |\; =\; |\; \sum \; p\; \sum \; k\; \sum \; m\; E\; k\; m\; p\; (\sum \; i\; =\; 1\; 3\; h\; k\; i\; \partial \; q\; i\; \partial \; s)\; (\sum \; j\; =\; 1\; 3\; h\; m\; j\; \partial \; q\; j\; \partial \; t)\; e\; p\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; left\; |\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; s\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; t\}\; \backslash \; right\; |\; =\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{3\}\; h\_\; \{ki\}\; ~\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{i\}\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; s\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{3\}\; h\_\; \{mj\}\; ~\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{j\}\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; t\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{k\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{\; e\}\; \_\; \{m\}\; \backslash \; right\; |\; \backslash \backslash \; [8pt]\; =\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; sum\; \_\; \{p\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; \_\; \{kmp\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{3\}\; h\_\; \{ki\}\; ~\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{i\}\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; s\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{3\}\; h\_\; \{mj\}\; ~\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{j\}\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; t\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{p\}\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где $E\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\}$- это символ перестановки .

В детерминантной форме перекрестное произведение с точки зрения криволинейных координат будет:

$|\; e\; 1\; e\; 2\; e\; 3\; \sum \; ih\; 1\; i\; \partial \; qi\; \partial \; s\; \sum \; ih\; 2\; i\; \partial \; qi\; \partial \; s\; \sum \; ih\; 3\; i\; \partial \; qi\; \partial \; s\; \sum \; jh\; 1\; j\; \partial \; qj\; \partial \; t\; \sum \; jh\; 2\; j\; \partial \; qj\; \partial \; t\; \sum \; jh\; 3\; j\; \partial \; qj\; \partial \; t\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{vmatrix\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{1\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{3\}\; \backslash \backslash \; \backslash \backslash \backslash \; сумма\; \_\; \{i\}\; h\_\; \{1i\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{i\}\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; s\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; h\_\; \{2i\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{i\}\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; s\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; h\_\; \{3i\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{i\}\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; s\}\; \backslash \backslash \; \backslash \backslash \backslash \; сумма\; \_\; \{j\}\; h\_\; \{1j\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{j\}\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; t\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; h\_\; \{2j\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{j\}\; \backslash over\; \backslash partial\; t\}\backslash sum\; \_\{j\}h\_\{3j\}\{\backslash partial\; q^\{j\}\; \backslash over\; \backslash partial\; t\}\backslash end\{vmatrix\}\}\}$

Grad, curl, div, Laplacian

In orthogonal curvilinear coordinates of 3 dimensions, where

$b\; i\; =\; \sum \; k\; g\; i\; k\; b\; k\; ;\; g\; i\; i\; =\; 1\; g\; i\; i\; =\; 1\; h\; i\; 2\; \{\backslash displaystyle\; \backslash mathbf\; \{b\}\; ^\{i\}=\backslash sum\; \_\{k\}g^\{ik\}~\backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{k\}~;~~g^\{ii\}=\{\backslash cfrac\; \{1\}\{g\_\{ii\}\}\}=\{\backslash cfrac\; \{1\}\{h\_\{i\}^\{2\}\}\}\}$

one can express the gradient of a scalar or vector field as

$\nabla \; \phi \; =\; \sum \; i\; \partial \; \phi \; \partial \; q\; i\; b\; i\; =\; \sum \; i\; \sum \; j\; \partial \; \phi \; \partial \; q\; i\; g\; i\; j\; b\; j\; =\; \sum \; i\; 1\; h\; i\; 2\; \partial \; f\; \partial \; q\; i\; b\; i\; ;\; \nabla \; v\; =\; \sum \; i\; 1\; h\; i\; 2\; \partial \; v\; \partial \; q\; i\; \otimes \; b\; i\; \{\backslash displaystyle\; \backslash nabla\; \backslash varphi\; =\backslash sum\; \_\{i\}\{\backslash partial\; \backslash varphi\; \backslash over\; \backslash partial\; q^\{i\}\}~\backslash mathbf\; \{b\}\; ^\{i\}=\backslash sum\; \_\{i\}\backslash sum\; \_\{j\}\{\backslash partial\; \backslash varphi\; \backslash over\; \backslash partial\; q^\{i\}\}~g^\{ij\}~\backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{j\}=\backslash sum\; \_\{i\}\{\backslash cfrac\; \{1\}\{h\_\{i\}^\{2\}\}\}~\{\backslash partial\; f\; \backslash over\; \backslash partial\; q^\{i\}\}~\backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{i\}~;~~\backslash nabla\; \backslash mathbf\; \{v\}\; =\backslash sum\; \_\{i\}\{\backslash cfrac\; \{1\}\{h\_\{i\}^\{2\}\}\}~\{\backslash partial\; \backslash mathbf\; \{v\}\; \backslash over\; \backslash partial\; q^\{i\}\}\backslash otimes\; \backslash mathbf\; \{b\}\; \_\{i\}\}$

For an orthogonal basis

$g\; =\; g\; 11\; g\; 22\; g\; 33\; =\; h\; 1\; 2\; h\; 2\; 2\; h\; 3\; 2\; \Rightarrow \; g\; =\; h\; 1\; h\; 2\; h\; 3\; \{\backslash displaystyle\; g=g\_\{11\}~g\_\{22\}~g\_\{33\}=h\_\{1\}^\{2\}~h\_\{2\}^\{2\}~h\_\{3\}^\{2\}\backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; \{\backslash sqrt\; \{g\}\}=h\_\{1\}h\_\{2\}h\_\{3\}\}$

The divergence of a vector field can then be written as

$\nabla \; \cdot \; v\; =\; 1\; h\; 1\; h\; 2\; h\; 3\; \partial \; \partial \; q\; i\; (\; h\; 1\; h\; 2\; h\; 3\; v\; i)\; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash boldsymbol\; \{\backslash nabla\; \}\}\backslash cdot\; \backslash mathbf\; \{v\}\; =\{\backslash cfrac\; \{1\}\{h\_\{1\}h\_\{2\}h\_\{3\}\}\}~\{\backslash frac\; \{\backslash partial\; \}\{\backslash partial\; q^\{i\}\}\}(h\_\{1\}h\_\{2\}h\_\{3\}~v^\{i\})\}$

Also,

$v\; i\; =\; g\; i\; k\; v\; k\; \Rightarrow \; v\; 1\; =\; g\; 11\; v\; 1\; =\; v\; 1\; h\; 1\; 2\; ;\; v\; 2\; =\; g\; 22\; v\; 2\; =\; v\; 2\; h\; 2\; 2\; ;\; v\; 3\; =\; g\; 33\; v\; 3\; =\; v\; 3\; h\; 3\; 2\; \{\backslash displaystyle\; v^\{i\}=g^\{ik\}~v\_\{k\}\backslash quad\; \backslash Rightarrow\; v^\{1\}=g^\{11\}~v\_\{1\}=\{\backslash cfrac\; \{v\_\{1\}\}\{h\_\{1\}^\{2\}\}\}~;~~v^\{2\}=g^\{22\}~v\_\{2\}=\{\backslash cfrac\; \{v\_\{2\}\}\{h\_\{2\}^\{2\}\}\}~;~~v^\{3\}=g^\{33\}~v\_\{3\}=\{\backslash cfrac\; \{v\_\{3\}\}\{h\_\{3\}^\{2\}\}\}\}$

Therefore,

$\nabla \; \cdot \; v\; =\; 1\; h\; 1\; h\; 2\; h\; 3\; \sum \; i\; \partial \; \partial \; q\; i\; (\; h\; 1\; h\; 2\; h\; 3\; h\; i\; 2\; v\; i)\; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash boldsymbol\; \{\backslash nabla\; \}\}\backslash cdot\; \backslash mathbf\; \{v\}\; =\{\backslash cfrac\; \{1\}\{h\_\{1\}h\_\{2\}h\_\{3\}\}\}~\backslash sum\; \_\{i\}\{\backslash frac\; \{\backslash partial\; \}\{\backslash partial\; q^\{i\}\}\}\backslash left(\{\backslash cfrac\; \{h\; \_\{1\}h\_\{2\}h\_\{3\}\}\{h\_\{i\}^\{2\}\}\}~v\_\{i\}\backslash right)\}$

We can get an expression for the Laplacian in a similar manner by noting that

$g\; l\; i\; \partial \; \phi \; \partial \; q\; l\; =\; \{\; g\; 11\; \partial \; \phi \; \partial \; q\; 1,\; g\; 22\; \partial \; \phi \; \partial \; q\; 2,\; g\; 33\; \partial \; \phi \; \partial \; q\; 3\; \}\; =\; \{\; 1\; h\; 1\; 2\; \partial \; \phi \; \partial \; q\; 1,\; 1\; h\; 2\; 2\; \partial \; \phi \; \partial \; q\; 2,\; 1\; h\; 3\; 2\; \partial \; \phi \; \partial \; q\; 3\; \}\; \{\backslash displaystyle\; g^\{li\}~\{\backslash frac\; \{\backslash partial\; \backslash varphi\; \}\{\backslash partial\; q^\{l\}\}\}=\backslash left\backslash \{g^\{11\}~\{\backslash frac\; \{\backslash partial\; \backslash varphi\; \}\{\backslash partialq^\{1\}\}\},g^\{22\}~\{\backslash frac\; \{\backslash partial\; \backslash varphi\; \}\{\backslash partial\; q^\{2\}\}\},g^\{33\}~\{\backslash frac\; \{\backslash partial\; \backslash varphi\; \}\{\backslash partial\; q^\{3\}\}\}\backslash right\backslash \}=\backslash left\backslash \{\{\backslash cfrac\; \{1\}\{h\_\{1\}^\{2\}\}\}~\{\backslash frac\; \{\backslash partial\; \backslash varphi\; \}\{\backslash partial\; q^\{1\}\}\},\{\backslash cfrac\; \{1\}\{h\_\{2\}^\{2\}\}\}~\{\backslash frac\; \{\backslash partial\; \backslash varphi\; \}\{\backslash partial\; q^\{2\}\}\},\{\backslash cfrac\; \{1\}\{h\_\{3\}^\{2\}\}\}~\{\backslash frac\; \{\backslash partial\; \backslash varphi\; \}\{\backslash partial\; q^\{3\}\}\}\backslash right\backslash \}\}$

Then we have

$\nabla \; 2\; \phi \; =\; 1\; h\; 1\; h\; 2\; h\; 3\; \sum \; i\; \partial \; \partial \; q\; i\; (\; h\; 1\; h\; 2\; h\; 3\; h\; i\; 2\partial \; \phi \; \partial \; q\; i)\; \{\backslash displaystyle\; \backslash nabla\; ^\{2\}\backslash varphi\; =\{\backslash cfrac\; \{1\}\{h\_\{1\}h\_\{2\}h\_\{3\}\}\}~\backslash sum\; \_\{i\}\{\backslash frac\; \{\backslash partial\; \}\{\backslash partial\; q^\{i\}\}\}\backslash left(\{\backslash cfrac\; \{h\_\{1\}h\_\{2\}h\_\{3\}\}\{h\_\{i\}^\{2\}\}\}~\{\backslash frac\; \{\backslash partial\; \backslash varphi\; \}\{\backslash partial\; q^\{i\}\}\}\backslash right)\}$

The expressions for the gradient, divergence, and Laplacian can be directly extended to n-dimensions.

The curl of a vector field is given by

$\nabla \; \times \; v\; =\; 1\; h\; 1\; h\; 2\; h\; 3\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; e\; i\; \sum \; j\; k\; \epsilon \; i\; j\; k\; h\; i\; \partial \; (\; h\; k\; v\; k)\; \partial \; q\; j\; \{\backslash displaystyle\; \backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\; \{v\}\; =\{\backslash frac\; \{1\}\{h\_\{1\}h\_\{2\}h\_\{3\}\}\}\backslash sum\; \_\{i=1\}^\{n\}\backslash mathbf\; \{e\}\; \_\{i\}\backslash sum\; \_\{jk\}\backslash varepsilon\; \_\{ijk\}h\_\{i\}\{\backslash frac\; \{\backslash partial\; (h\_\{k\}v\_\{k\})\}\{\backslash partial\; q^\{j\}\}\}\}$

where εijkis the Levi-Civita symbol.

For cylindrical coordinates we have

$(\; x\; 1,\; x\; 2,\; x\; 3)\; =\; x\; =\; \phi \; (\; q\; 1,\; q\; 2,\; q\; 3)\; =\; \phi \; (\; r,\; \theta ,\; z)\; =\; \{\; r\; cos\; \; \theta ,\; r\; sin\; \; \theta ,\; z\; \}\; \{\backslash displaystyle\; (x\_\{1\},x\_\{2\},x\_\{3\})=\backslash mathbf\; \{x\}\; =\{\backslash boldsymbol\; \{\backslash varphi\; \}\}(q^\{1\},q^\{2\},q^\{3\})=\{\backslash boldsymbol\; \{\backslash varphi\; \}\}(r,\backslash theta,z)=\backslash \{r\backslash cos\; \backslash theta,r\backslash sin\; \backslash theta,z\backslash \}\}$

and

$\{\; \psi \; 1\; (\; x),\; \psi \; 2\; (\; x),\; \psi \; 3\; (\; x)\; \}\; =\; (\; q\; 1,\; q\; 2,\; q\; 3)\; \equiv \; (\; r,\; \theta ,\; z)\; =\; \{\; x\; 1\; 2\; +\; x\; 2\; 2,\; tan\; -\; 1\; (Икс\; 2\; /\; Икс\; 1),\; Икс\; 3\}\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; \{\backslash \; psi\; ^\; \{1\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}),\; \backslash \; psi\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}),\; \backslash \; psi\; ^\; \{3\; \}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\; \backslash \}\; =\; (q\; ^\; \{1\},\; q\; ^\; \{2\},\; q\; ^\; \{3\})\; \backslash \; эквив\; (r,\; \backslash \; theta,\; z)\; =\; \backslash \; \{\{\backslash \; sqrt\; \{x\_\; \{1\; \}\; ^\; \{2\}\; +\; x\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\}\},\; \backslash \; tan\; ^\; \{-\; 1\}\; (x\_\; \{2\}\; /\; x\_\; \{1\}),\; x\_\; \{3\}\; \backslash \}\}$

где

Тогда ковариантный и контравариантный базисные векторы равны

$b\; 1\; =\; er\; =\; b\; 1\; b\; 2\; =\; re\; \theta \; =\; r\; 2\; b\; 2\; b\; 3\; =\; ez\; =\; b\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \_\; \{1\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{r\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; ^\; \{1\}\; \backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \_\; \{2\}\; =\; r\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{\backslash \; theta\}\; =\; r\; ^\; \{2\}\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \_\; \{3\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{z\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; ^\; \{3\}\; \backslash \; end\; \{\; выровнено\}\}\}$

где $er,\; e\; \theta ,\; ez\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{r\},\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{\backslash \; theta\},\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{z\}\; \}$- единичные векторы в направлениях $r,\; \theta ,\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; r,\; \backslash \; theta,\; z\}$.

Обратите внимание, что компоненты метрического тензора таковы, что

$g\; i\; j\; =\; g\; i\; j\; =\; 0\; (i\; \ne \; j);\; g\; 11\; =\; 1,\; g\; 22\; =\; 1\; r,\; g\; 33\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; ^\; \{ij\}\; =\; g\_\; \{ij\}\; =\; 0\; (i\; \backslash \; neq\; j)\; ~;\; ~~\; \{\backslash \; sqrt\; \{g\; ^\; \{11\}\}\; \}\; =\; 1,\; ~\; \{\backslash \; sqrt\; \{g\; ^\; \{22\}\}\}\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{r\}\},\; ~\; \{\backslash \; sqrt\; \{g\; ^\; \{33\}\}\}\; =\; 1\}$

, что показывает, что базис ортогонален.

Ненулевые компоненты символа Кристоффеля второго типа равны

$\Gamma \; 12\; 2\; =\; \Gamma \; 21\; 2\; =\; 1\; r;\; \Gamma \; 22\; 1\; =\; -\; р\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{12\}\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{21\}\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{r\}\}\; ~;\; ~~\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{22\; \}\; ^\; \{1\}\; =\; -\; r\}$

Представление физического векторного поля

Нормализованные контрвариантные базисные векторы в цилиндрических полярных координатах:

$b\; ^\; 1\; =\; er;\; Ь\; ^\; 2\; =\; е\; \theta ;\; b\; ^\; 3\; =\; ez\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{b\}\}\}\; ^\; \{1\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{r\}\; ~;\; ~~\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{b\}\}\}\; ^\; \{\; 2\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{\backslash \; theta\}\; ~;\; ~~\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{b\}\}\}\; ^\; \{3\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{z\}\}$

и физические компоненты вектора v равны

$(v\; ^\; 1,\; v\; ^\; 2,\; v\; ^\; 3)\; =\; (v\; 1,\; v\; 2\; /\; r,\; v\; 3)\; =:\; (vr,\; v\; \theta ,\; vz)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\{\backslash \; hat\; \{v\}\}\; \_\; \{1\},\; \{\backslash \; hat\; \{v\}\}\; \_\; \{2\},\; \{\backslash \; hat\; \{v\}\}\; \_\; \{3\})\; =\; (v\_\; \{1\},\; v\_\; \{2\; \}\; /\; r,\; v\_\; \{3\})\; =\; :(\; v\_\; \{r\},\; v\; \_\; \{\backslash \; theta\},\; v\_\; \{z\})\}$

Градиент скалярного поля

Градиент скалярного поля, f (x ), в цилиндрических координатах может теперь вычисляется из общего выражения в криволинейных координатах и ​​имеет вид

$\nabla \; f\; =\; \partial \; f\; \partial \; rer\; +\; 1\; r\; \partial \; f\; \partial \; \theta \; e\; \theta \; +\; \partial \; f\; \partial \; zez\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; f\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; r\}\}\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{r\}\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{r\}\}\; ~\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; theta\; \}\}\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{\backslash \; theta\}\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\}\; ~\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{z\}\}$

Градиент вектора или поля

Аналогично, градиент векторного поля, v(x), в цилиндрических координатах может быть показан как

$∇ v = ∂ vr ∂ rer ⊗ er + 1 r (∂ vr ∂ θ - v θ) er ⊗ e θ + ∂ vr ∂ zer ⊗ ez + ∂ v θ ∂ re θ ⊗ er + 1 r (∂ v θ ∂ θ + vr) e θ ⊗ e θ + ∂ v θ ∂ ze θ ⊗ ez + ∂ vz ∂ rez ⊗ er + 1 р ∂ vz ∂ θ ez ⊗ e θ + ∂ vz ∂ zez ⊗ ez {\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v} = {\ cfrac {\ частичный v_ {r}} {\ partial r}} ~ \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} + {\ cfrac {1} {r}} \ left ({\ cfrac {\ partial v_ {r}} {\ partial \ theta}} - v _ {\ theta} \ right) ~ \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf {e} _ {\ theta} + {\ cfrac {\ partial v_ {r}} {\ partial z}} ~ \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf {e} _ {z} \\ [8pt] + {\ cfrac {\ partial v _ {\ theta}} {\ partial r}} ~ \ mathbf {e} _ {\ theta} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} + {\ cfrac { 1} {r}} \ left ({\ cfrac {\ partial v _ {\ theta}} {\ partial \ theta}} + v_ {r} \ right) ~ \ mathbf {e} _ {\ theta} \ otimes \ mathbf {e} _ {\ theta} + {\ cfrac {\ partial v _ {\ theta}} {\ partial z}} ~ \ mathbf {e} _ {\ theta} \ otimes \ mathbf {e} _ {z} \\ [8pt] + {\ cfrac {\ partial v_ {z}} {\ partial r}} ~ \ mathbf {e} _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} + {\ cfrac { 1} {r}} {\ cfrac {\ partial v_ {z}} {\ partial \ theta}} ~ \ mathbf {e} _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ {\ theta} + {\ cfrac {\ partial v_ {z}} {\ partial z}} ~ \ mathbf {e} _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ {z} \ end {align}}}$

Дивергенция векторного поля

Используя уравнение для расходимости векторного поля в криволинейных координатах, можно показать, что расхождение в цилиндрических координатах составляет

$\nabla \; \cdot \; v\; =\; \partial \; vr\; \partial \; r\; +\; 1\; r\; (\partial \; v\; \theta \; \partial \; \theta \; +\; vr)\; +\; \partial \; vz\; \partial \; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; bo\; л\; dsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; v\_\; \{r\}\}\; \{\backslash \; partial\; r\}\}\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{r\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; cfrac\; \{\; \backslash \; partial\; v\; \_\; \{\backslash \; theta\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; theta\}\}\; +\; v\_\; \{r\}\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; v\_\; \{z\}\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Лапласиан скалярного поля

Лапласиан легче вычислить, если учесть, что $\nabla \; 2\; f\; =\; \nabla \; \cdot \; \nabla \; f\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; ^\; \{2\}\; f\; =\; \{\; \backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; f\}$. В цилиндрических полярных координатах

$v\; =\; \nabla \; f\; =\; [vrv\; \theta \; vz]\; =\; [\partial \; f\; \partial \; r\; 1\; r\; \partial \; f\; \partial \; \theta \; \partial \; f\; \partial \; z]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\; \}\; f\; =\; \backslash \; left\; [v\_\; \{r\}\; ~~\; v\; \_\; \{\backslash \; theta\}\; ~~\; v\_\; \{z\}\; \backslash \; right]\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; r\}\}\; ~~\; \{\backslash \; cfrac\; \{\; 1\}\; \{r\}\}\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; theta\}\}\; ~~\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\}\; \backslash \; right]\}$

Следовательно,

$\nabla \; \cdot \; v\; =\; \nabla \; 2\; f\; =\; \partial \; 2\; f\; \partial \; r\; 2\; +\; 1\; r\; (1\; r\; \partial \; 2\; f\; \partial \; \theta \; 2\; +\; \partial \; f\; \partial \; r)\; +\; \partial \; 2\; f\; \partial \; z\; 2\; =\; 1\; r\; [\partial \; \partial \; r\; (r\; \partial \; f\; \partial \; r)]\; +\; 1\; р\; 2\; \partial \; 2\; е\; \partial \; \theta \; 2\; +\; \partial \; 2\; е\; \partial \; Z\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; ^\; \{2\; \}\; f\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; r\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{r\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{r\}\}\; \{\; \backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; theta\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; r\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\; \}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; z\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{r\}\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; r\}\}\; \backslash \; left\; (r\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; r\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; theta\; ^\; \{2\}\; \}\}\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; z\; ^\; \{2\}\}\}\; \}$

Представление физического тензорного поля второго порядка

Физические компоненты тензорного поля второго порядка - это те, которые получаются, когда тензор выражается в терминах нормированного контравариантного базиса. В цилиндрических полярных координатах эти компоненты следующие:

$S\; ^\; 11\; =\; S\; 11\; =:\; S\; rr,\; S\; ^\; 12\; =\; S\; 12\; r\; =:\; S\; r\; \theta ,\; S\; ^\; 13\; =\; S\; 13\; =:\; S\; rz\; S\; ^\; 21\; =\; S\; 21\; r\; =:\; S\; \theta \; r,\; S\; ^\; 22\; =\; S\; 22\; r\; 2\; =:\; S\; \theta \; \theta ,\; S\; ^\; 23\; =\; S\; 23\; r\; =:\; S\; \theta \; z\; S\; ^\; 31\; =\; S\; 31\; =:\; S\; zr,\; S\; ^\; 32\; =\; S\; 32\; р\; знак\; равно:\; S\; z\; \theta ,\; S\; ^\; 33\; =\; S\; 33\; =:\; S\; zz\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; hat\; \{S\}\}\; \_\; \{11\}\; =\; S\_\; \{11\}\; =:\; S\_\; \{rr\},\; \{\backslash \; hat\; \{S\}\}\; \_\; \{12\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{S\_\; \{12\}\}\; \{r\}\}\; =:\; S\_\; \{r\; \backslash \; theta\},\; \{\backslash \; hat\; \{S\}\}\; \_\; \{13\}\; =\; S\_\; \{13\}\; =:\; S\_\; \{rz\}\; \backslash \backslash \; [6pt]\; \{\backslash \; hat\; \{S\}\}\; \_\; \{21\}\; =\; \{\; \backslash \; frac\; \{S\_\; \{21\}\}\; \{r\}\}\; =:\; S\; \_\; \{\backslash \; theta\; r\},\; \{\backslash \; hat\; \{S\}\}\; \_\; \{22\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{S\_\; \{22\}\}\; \{r\; ^\; \{2\}\; \}\}\; =:\; S\; \_\; \{\backslash \; theta\; \backslash \; theta\},\; \{\backslash \; hat\; \{S\}\}\; \_\; \{23\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{S\_\; \{23\}\}\; \{r\}\}\; =:\; S\; \_\; \{\backslash \; theta\; z\}\; \backslash \backslash \; [\; 6pt]\; \{\backslash \; hat\; \{S\}\}\; \_\; \{31\}\; =\; S\_\; \{31\}\; =:\; S\_\; \{zr\},\; \{\backslash \; hat\; \{S\}\}\; \_\; \{32\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{S\_\; \{32\}\}\; \{\; r\}\}\; =:\; S\_\; \{z\; \backslash \; theta\},\; \{\backslash \; hat\; \{S\}\}\; \_\; \{33\}\; =\; S\_\; \{33\}\; =:\; S\_\; \{zz\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Градиент секунды тензорное поле -порядка

Используя приведенные выше определения, мы можем показать, что градиент тензорного поля второго порядка в цилиндрических полярных координатах может быть выражен как

$∇ S = ∂ S rr ∂ rer ⊗ er ⊗ er + 1 r [∂ S rr ∂ θ - (S θ r + S r θ)] er ⊗ er ⊗ e θ + ∂ S rr ∂ zer ⊗ er ⊗ ez + ∂ S r θ ∂ rer ⊗ e θ ⊗ er + 1 r [∂ S r θ ∂ θ + (S rr - S θ θ)] er ⊗ e θ ⊗ e θ + ∂ S r θ ∂ zer ⊗ e θ ez + ∂ S rz ∂ rer ⊗ ez er + 1 r [∂ S rz ∂ θ - S θ z] er ⊗ ez ⊗ e θ + ∂ S rz ∂ zer ⊗ ez ⊗ ez + ∂ S θ r ∂ re θ ⊗ er ⊗ er + 1 r [∂ S θ r ∂ θ + (S rr - S θ θ)] e θ ⊗ er ⊗ e θ + ∂ S θ r ∂ ze θ ⊗ er ⊗ ez + ∂ S θ θ ∂ re θ ⊗ e θ ⊗ er + 1 r [∂ S θ θ ∂ θ + (S r θ + S θ r)] e θ ⊗ e θ ⊗ e θ + ∂ S θ θ ∂ ze θ ⊗ e θ ⊗ ez + ∂ S θ z ∂ re θ ⊗ ez ⊗ er + 1 r [∂ S θ z ∂ θ + S rz] e θ ⊗ ez ⊗ e θ + ∂ S θ z ∂ ze θ ⊗ ez ⊗ ez + ∂ S zr ∂ rez ⊗ er ⊗ er + 1 r [∂ S zr ∂ θ - S z θ] ez ⊗ er ⊗ e θ + ∂ S zr ∂ zez ⊗ er ⊗ ez + ∂ S z θ ∂ rez ⊗ e θ ⊗ er + 1 r [∂ S z θ ∂ θ + S zr] ez ⊗ e θ ⊗ e θ + ∂ S z θ ∂ zez ⊗ e θ ⊗ ez + ∂ S zz ∂ rez ⊗ ez ⊗ er + 1 r ∂ S zz ∂ θ ez ⊗ ez ⊗ e θ + ∂ S zz ∂ zez ⊗ ez ⊗ ez {\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {\ nabla}} {\ boldsymbol {S}} = {\ frac {\ partial S_ {rr}} {\ partial r}} ~ \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} + {\ cfrac {1} {r}} \ left [{\ frac { \ partial S_ {rr}} {\ partial \ theta}} - (S _ {\ theta r} + S_ {r \ theta}) \ right] ~ \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf {e} _ {\ theta} + {\ frac {\ partial S_ {rr}} {\ partial z}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]+{\frac {\partial S_{r\theta }}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{r\theta }}{\partial \theta }}+(S_{rr}-S_{\theta \theta })\right]~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac{\partial S_{r\theta }}{\partial z}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]+{\frac {\partial S_{rz}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{rz}}{\partial \theta }}-S_{\theta z}\right]~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{rz}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]+{\frac {\partial S_{\theta r}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta r}}{\partial \theta }}+(S_{rr}-S_{\theta \theta })\right]~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{\theta r}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]+{\frac {\partial S_{\theta \theta }}{\partial r}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta \theta }}{\partial \theta }}+(S_{r\theta }+S_{\theta r})\right]~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{\theta \theta }}{\partial z}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]+{\frac {\partial S_{\theta z}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta z}}{\partial \theta }}+S_{rz}\right]~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes\ mathbf {e} _ {\ theta} + {\ frac {\ partial S _ {\ theta z}} {\ partial z}} ~ \ mathbf {e} _ {\ theta} \ otimes \ mathbf {e} _ { z} \ otimes \ mathbf {e} _ {z} \\ [8pt] + {\ frac {\ partial S_ {zr}} {\ partial r}} ~ \ mathbf {e} _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} + {\ cfrac {1} {r}} \ left [{\ frac {\ partial S_ {zr}} {\ partial \ theta} } -S_ {z \ theta} \ right] ~ \ mathbf {e} _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf {e} _ {\ theta} + {\ frac {\ частичный S_ {zr}} {\ partial z}} ~ \ mathbf {e} _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf {e} _ {z} \\ [8pt] + {\ frac {\ partial S_ {z \ theta}} {\ partial r}} ~ \ mathbf {e} _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ {\ theta} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} + {\ cfrac {1} {r}} \ left [{\ frac {\ partial S_ {z \ theta}} {\ partial \ theta}} + S_ {zr} \ right] ~ \ mathbf {e } _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ {\ theta} \ otimes \ mathbf {e} _ {\ theta} + {\ frac {\ partial S_ {z \ theta}} {\ partial z}} ~ \ mathbf {e} _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ {\ theta} \ otimes \ mathbf {e} _ {z} \\ [8pt] + {\ frac {\ partial S_ {zz}} {\ partial r}} ~ \ mathbf {e} _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ {z} \ oti mes \ mathbf {e} _ {r} + {\ cfrac {1} {r}} ~ {\ frac {\ partial S_ {zz}} {\ partial \ theta}} ~ \ mathbf {e} _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ {\ theta} + {\ frac {\ partial S_ {zz}} {\ partial z}} ~ \ mathbf {e} _ {z } \ otimes \ mathbf {e} _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ {z} \ end {align}}}$

Дивергенция тензорного поля второго порядка

Дивергенция тензорное поле второго порядка в цилиндрических полярных координатах может быть получено из выражения для градиента путем сбора членов, в которых скалярное произведение двух внешних векторов в диадических произведениях отлично от нуля. Следовательно,

$∇ ⋅ S = ∂ S rr ∂ rer + ∂ S r θ ∂ re θ + ∂ S rz ∂ rez + 1 r [∂ S r θ ∂ θ + (S rr - S θ θ)] er + 1 r [∂ S θ θ ∂ θ + (S r θ + S θ r)] e θ + 1 r [∂ S θ z ∂ θ + S rz] ez + ∂ S zr ∂ zer + ∂ S z θ ∂ ze θ + ∂ S zz ∂ zez {\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot {\ boldsymbol {S}} = {\ frac {\ partial S_ {rr}} {\ partial r }} ~ \ mathbf {e} _ {r} + {\ frac {\ partial S_ {r \ theta}} {\ partial r}} ~ \ m athbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{rz}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{z}\\[8pt]+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{r\theta }}{\partial \theta }}+(S_{rr}-S_{\theta \theta })\right]~\mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta \theta }}{\partial \theta }}+(S_{r\theta }+S_{\theta r})\right]~\mathbf {e} _{\theta }+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partialS_{\theta z}}{\partial \theta }}+S_{rz}\right]~\mathbf {e} _{z}\\[8pt]+{\frac {\partial S_{zr}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{r}+{\frac {\partial S_{z\theta }}{\partial z}}~\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{zz}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\end{aligned}}}$

• Covariance and contravariance
• Basic introduction to the mathematics of curved spacetime
• Orthogonal coordinates
• Frenet–Serret formulas
• Covariant derivative
• Tensor derivative (continuum mechanics)
• Curvilinear perspective
• Del in cylindrical and spherical coordinates

Notes

Further reading

• Derivation of Unit Vectors in Curvilinear Coordinates
• MathWorld's page on Curvilinear Coordinates
• Prof. R. Brannon's E-Book on Curvilinear Coordinates