Войти
Самым знакомым сферическим многогранником является футбольный мяч, представленный как сферический усеченный икосаэдр.
Этот пляжный мяч показывает хозоэдр с шестью лунными гранями, если убрать белые круги на концах. В математике, сферический многогранник или сферическая мозаика является мозаика сферы , в которой поверхность разделена или разделена большими дугами на ограниченные области, называемые сферическими многоугольниками. Большая часть теории симметричных многогранников наиболее удобно выводится таким образом.
Самый известный сферический многогранник - это футбольный мяч, который представляет собой сферический усеченный икосаэдр. Следующим по популярности сферическим многогранником является пляжный мяч, рассматриваемый как осоэдр.
Некоторые «неправильные» многогранники, такие как hosohedra и их двойники, диэдры существуют как сферические многогранники, но не имеют аналога с плоскими гранями. Пример шестиугольного пляжного мяча, {2, 6}, является осоэдром, а {6, 2} - его двойным диэдром.
Первые известные рукотворные многогранники - это сферические многогранники , высеченные в камне. Многие из них были найдены в Шотландии и датируются неолитическим периодом (новый каменный век).
В 10 веке исламский ученый Абу аль-Вафа 'Бузджани (Абу'л Вафа) написал первое серьезное исследование сферических многогранников.
Двести лет назад, в начале XIX века, Пуансо использовал сферические многогранники, чтобы обнаружить четыре правильных звездных многогранника.
В середине XX века, Коксетер использовал их для перечисления всех, кроме одного, из однородных многогранников посредством построения калейдоскопов (конструкция Витхоффа ).
Все правильные, полуправильные многогранники и их двойники могут быть спроецированы на сферу как мозаики:
| символ Шлефли | {p, q} | t {p, q} | r {p, q} | t {q, p} | { q, p} | rr {p, q} | tr {p, q} | sr {p, q} |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Вершинная фигура | p | q. 2p. 2p | pqpq | стр. 2q.2q | q | q.4.p. 4 | 4.2q.2p | 3.3.q.3.p |
| Тетраэдр. (3 3 2) |  . 3 |  . 3.6.6 |  . 3.3.3.3 |  . 3.6.6 |  . 3 |  . 3.4.3.4 |  . 4.6.6 |  . 3.3.3.3.3 |
 . V3.6.6 |  . V3.3.3.3 | . V3.6.6 |  . V3.4.3.4 |  . V4.6.6 |  . V3.3.3.3.3 | |||
| Октаэдрический. (4 3 2) |  . 4 |  . 3.8.8 |  . 3.4.3.4 |  . 4.6.6 |  . 3 |  . 3.4.4.4 |  . 4.6.8 |  . 3.3.3.3.4 |
 . V3.8.8 | . V3.4.3.4 | . V4.6.6 |  . V3.4.4.4 |  . V4.6.8 |  . V3.3.3.3.4 | |||
| Икосаэдрический. (5 3 2) | . 5 |  . 3.10.10 |  . 3.5.3.5 |  . 5.6.6 |  . 3 |  . 3.4.5.4 |  . 4.6.10 |  . 3.3.3.3.5 |
 . V3.10.10 |  . V3.5.3.5 |  . V5.6.6 |  . V3.4.5.4 |  . V4.6.10 |  . V3.3.3.3.5 | |||
| Двугранный. пример p = 6. (2 2 6) |  . 6 |  . 2.12.12 | . 2.6.2.6 |  . 6.4.4 |  . 2 |  . 4.6.4 |  . 4.4.12 |  . 3.3.3.6 |
Замощение сферы треугольниками (это икосаэдр с некоторыми искаженными треугольниками). | Класс | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Призма. (2 2 p) |  |  |  |  |  |  |  |  |
| Бипирамида. (2 2 p) |  |  |  |  |  |  |  |  |
| Антипризма |  |  |  |  |  |  |  | |
| Трапецоэдр | |  |  |  |  |  |  |  |
Сферические мозаики допускают случаи, которых нет у многогранников, а именно хозоэдры : обычный фигуры как {2, n} и диэдры : правильные фигуры как {n, 2}.
| Изображение |  |  |  |  |  |  |  |  |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| символ Шлефли | {2,1} | {2,2} | {2,3} | {2,4} | {2,5} | {2,6} | {2,7} | {2,8 }... |
| Диаграмма Кокстера |    | |  |  |  |  |  |  |
| Грани и ребра | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| Вершины | 2 | |||||||
| Изображение |  |  |  |  |  |  |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Символ Шлефли | h {2,2} = { 1,2} | {2,2} | {3,2} | {4,2} | {5,2} | {6,2}... |
| Диаграмма Кокстера |  | | | | | |
| Лица | 2 {1} | 2 {2} | 2 {3 } | 2 {4} | 2 {5} | 2 {6} |
| Ребра и вершины | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Сферические многогранники, имеющие хотя бы одну инверсивную симметрию, связаны с проективными многогранниками (мозаика реальной проективной плоскости ) - так же, как сфера имеет 2 -to-1 , покрывающее отображение проективной плоскости, проективные многогранники под 2-кратным покрытием соответствуют сферическим многогранникам, которые симметричны относительно отражения t через начало координат.
Самыми известными примерами проективных многогранников являются правильные проективные многогранники, частные центрально-симметричных Платоновых тел, а также два бесконечных класса четных диэдры и осоэдры :
 | На Викискладе есть материалы, связанные с Сферическими многогранниками. |
