Интегрирование с помощью замены

В исчислении интегрирование с помощью замены, также известный как u-подстановка или замена переменных, представляет собой метод вычисления интегралов и первообразных. Это аналог правила цепочки для дифференциации, фактически, его можно условно представить как использование правила цепочки «назад».

• 1 Замена одной переменной
  • 1.1 Введение
  • 1.2 Определенные интегралы
  • 1.3 Доказательство
  • 1.4 Примеры
    • 1.4.1 Пример 1:
    • 1.4.2 Пример 2:
  • 1.5 Первообразные
• 2 Замена нескольких переменных
• 3 Применение в вероятности
• 4 См. Также
• 5 Примечания
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Введение

Прежде чем строго сформулировать результат, давайте рассмотрим простой случай с использованием неопределенных интегралов.

Compute $\int \; (2\; x\; 3\; +\; 1)\; 7\; (x\; 2)\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; int\; (2x\; ^\; \{3\}\; +1)\; ^\; \{7\}\; (x\; ^\; \{2\})\; \backslash ,\; dx\}$.

Установить $u\; =\; 2\; x\; 3\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; 2x\; ^\; \{3\}\; +1\}$. Это означает $dudx\; =\; 6\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{\backslash \; frac\; \{du\}\; \{dx\}\}\; =\; 6x\; ^\; \{2\}\}$или в дифференциальной форме $du\; =\; 6\; x\; 2\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; du\; =\; 6x\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; dx\}$. Теперь

$\int \; (2\; x\; 3\; +\; 1)\; 7\; (x\; 2)\; dx\; =\; 1\; 6\; \int \; (2\; x\; 3\; +\; 1)\; 7\; ⏟\; u\; 7\; (6\; x\; 2)\; dx\; ⏟\; du\; =\; 1\; 6\; \int \; u\; 7\; du\; =\; 1\; 6\; (1\; 8\; u\; 8)\; =\; 1\; 48\; (2\; x\; 3\; +\; 1)\; 8\; +\; C.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; (2x\; ^\; \{3\}\; +1)\; ^\; \{7\}\; (x\; ^\; \{2\})\; \backslash ,\; dx\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{6\}\}\; \backslash \; int\; \backslash \; underbrace\; \{(2x\; ^\; \{3\}\; +1)\; ^\; \{7\}\}\; \_\; \{u\; ^\; \{7\}\}\; \backslash \; underbrace\; \{(6x\; ^\; \{2\})\; \backslash ,\; dx\}\; \_\; \{du\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{6\}\}\; \backslash \; int\; u\; ^\; \{\; 7\}\; \backslash ,\; du\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{6\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{8\}\}\; u\; ^\; \{8\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{48\}\}\; (2x\; ^\; \{3\}\; +1)\; ^\; \{8\}\; +\; C.\}$

Эта процедура часто используется, но не все интегралы имеют форму, позволяющую ее использовать. В любом случае результат следует проверить путем дифференцирования и сравнения с исходным подынтегральным выражением.

$d\; d\; x\; [1\; 48\; (2\; x\; 3\; +\; 1)\; 8]\; =\; 1\; 6\; (2\; x\; 3\; +\; 1)\; 7\; (6\; x\; 2)\; =\; (2\; x\; 3\; +\; 1)\; 7\; (x\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{48\}\}\; (2x\; ^\; \{3\}\; +1)\; ^\; \{8\}\; \backslash \; right]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\; 6\}\}\; (2x\; ^\; \{3\}\; +1)\; ^\; \{7\}\; (6x\; ^\; \{2\})\; =\; (2x\; ^\; \{3\}\; +1)\; ^\; \{7\}\; (x\; ^\; \{2\}).\}$

Для определенных интегралов, пределы интегрирования также должны быть скорректированы, но процедура в основном такая же.

Определенные интегралы

Пусть φ: [a, b] → I - дифференцируемая функция с непрерывной производной, где I ⊆ R - интервал. Предположим, что f: I → R - это непрерывная функция. Тогда

$\int \; a\; b\; f\; (\phi \; (x))\; \phi \; \prime \; (x)\; d\; x\; =\; \int \; \phi \; (a)\; \phi \; (b)\; f\; (u)\; d\; u.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; е\; (\backslash \; varphi\; (x))\; \backslash \; varphi\; \text{'}(x)\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; varphi\; (a)\}\; ^\; \{\backslash \; varphi\; (b)\}\; f\; (u)\; \backslash ,\; du.\}$

В обозначениях Лейбница замена u = φ (x) дает

$dudx\; =\; \phi \; \prime \; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{du\}\; \{dx\}\}\; =\; \backslash \; varphi\; \text{'}(x).\}$

Эвристическая работа с бесконечно малыми дает уравнение

$du\; =\; \phi \; \prime \; (x)\; dx,\; \{\backslash \; displaystyle\; du\; =\; \backslash \; varphi\; \text{'}(x)\; \backslash ,\; dx,\}$

что предлагает формулу замены выше. (Это уравнение можно положить на строгий фундамент, интерпретируя его как утверждение о дифференциальных формах.) Можно рассматривать метод интегрирования путем подстановки как частичное обоснование нотации Лейбница для интегралы и производные.

Формула используется для преобразования одного интеграла в другой, который легче вычислить. Таким образом, формулу можно читать слева направо или справа налево, чтобы упростить данный интеграл. При использовании прежним способом это иногда называют u-подстановкой или w-подстановкой, в которой новая переменная определяется как функция исходной переменной, находящейся внутри составного функция, умноженная на производную внутренней функции. Последний способ обычно используется в тригонометрической подстановке, где исходная переменная заменяется тригонометрической функцией новой переменной, а исходный дифференциал - дифференциалом тригонометрической функция.

Доказательство

Интегрирование подстановкой может быть получено из фундаментальной теоремы исчисления следующим образом. Пусть f и φ - две функции, удовлетворяющие вышеприведенной гипотезе о том, что f непрерывна на I, а φ ′ интегрируема на отрезке [a, b]. Тогда функция f (φ (x)) φ ′ (x) также интегрируема на [a, b]. Следовательно, интегралы

$\int \; abf\; (\phi \; (x))\; \phi \; \prime \; (x)\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\; (\backslash \; varphi\; (x))\; \backslash \; varphi\; \text{'}(x)\; \backslash ,\; dx\; \}$

и

$\int \; \phi \; (a)\; \phi \; (b)\; f\; (u)\; du\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; varphi\; (a)\}\; ^\; \{\backslash \; varphi\; (b)\}\; f\; (u)\; \backslash ,\; du\; \}$

на самом деле существуют, и осталось показать, что они равны.

Поскольку f непрерывен, он имеет первообразную F. Затем определяется составная функция F ∘ φ. Поскольку φ дифференцируема, объединение цепного правила и определения первообразной дает

$(F\; \circ \; \phi )\; \prime \; (x)\; =\; F\; \prime \; (\phi \; (x))\; \phi \; \prime \; (x)\; =\; f\; (\phi \; (x))\; \phi \; \prime \; (x).\; \{\backslash \; Displaystyle\; (F\; \backslash \; circ\; \backslash \; varphi)\; \text{'}(x)\; =\; F\text{'}\; (\backslash \; varphi\; (x))\; \backslash \; varphi\; \text{'}(x)\; =\; f\; (\backslash \; varphi\; (x))\; \backslash \; varphi\text{'}\; (x).\}$

Применение основной теоремы исчисления дважды дает

$\int \; abf\; (\phi \; (x))\; \phi \; \prime \; (x)\; dx\; =\; \int \; ab\; (F\; \circ \; \phi )\; \prime \; (x)\; dx\; =\; (F\; \circ \; \phi )\; (б)\; -\; (F\; \circ \; \phi )\; (a)\; знак\; равно\; F\; (\phi \; (b))\; -\; F\; (\phi \; (a))\; =\; \int \; \phi \; (a)\; \phi \; (b)\; f\; (u)\; du,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\; (\backslash \; varphi\; (x))\; \backslash \; varphi\; \text{'}(x)\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; (F\; \backslash \; circ\; \backslash \; varphi)\text{'}\; (\; x)\; \backslash ,\; dx\; \backslash \backslash \; =\; (F\; \backslash \; circ\; \backslash \; varphi)\; (b)\; -\; (F\; \backslash \; circ\; \backslash \; varphi)\; (a)\; \backslash \backslash \; =\; F\; (\backslash \; varphi\; (b))\; -\; F\; (\backslash \; varphi\; (a))\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; varphi\; (a)\}\; ^\; \{\backslash \; varphi\; (b)\}\; f\; (u)\; \backslash ,\; du,\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

, которое является правилом замены.

Примеры

Пример 1:

Рассмотрим интеграл

$\int \; 0\; 2\; x\; cos\; \; (x\; 2\; +\; 1)\; d\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; x\; \backslash \; cos\; (x\; ^\; \{2\}\; +1)\; dx.\}$

Сделайте замену $u\; =\; x\; 2\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; x\; ^\; \{2\}\; +1\}$, чтобы получить $du\; =\; 2\; xdx\; \{\backslash \; displaystyle\; du\; =\; 2xdx\}$, что означает $xdx\; =\; 1\; 2\; du\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; xdx\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; du\}$. Следовательно,

$\int \; x\; =\; 0\; x\; =\; 2\; x\; cos\; \; (x\; 2\; +\; 1)\; dx\; =\; 1\; 2\; \int \; u\; =\; 1\; u\; =\; 5\; cos\; \; (u)\; du\; =\; 1\; 2\; (sin\; \; (5)\; -\; sin\; \; (1)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; int\; \_\; \{x\; =\; 0\}\; ^\; \{x\; =\; 2\}\; x\; \backslash \; cos\; (x\; ^\; \{2\}\; +1)\; dx\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{u\; =\; 1\}\; ^\; \{u\; =\; 5\}\; \backslash \; cos\; (u)\; \backslash ,\; du\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (\backslash \; sin\; (5)\; -\; \backslash \; sin\; (1)).\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Поскольку нижний предел $x\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; 0\}$был заменен на $u\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; 1\}$, а верхний предел $x\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; 2\}$с $2\; 2\; +\; 1\; =\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; ^\; \{2\}\; +\; 1\; =\; 5\}$, преобразование обратно в выражения $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$было ненужным.

В качестве альтернативы можно сначала полностью вычислить неопределенный интеграл (см. Ниже), а затем применить граничные условия. Это становится особенно удобным, когда используются несколько замен.

Пример 2:

Для интеграла

$\int \; 0\; 1\; 1\; -\; x\; 2\; dx,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-x\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\; dx,\}$

необходим вариант вышеописанной процедуры. Замена $x\; =\; sin\; sin\; u\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \backslash \; sin\; u\}$, подразумевая $dx\; =\; cos\; \; udu\; \{\backslash \; displaystyle\; dx\; =\; \backslash \; cos\; udu\}$, является полезно, потому что $1\; -\; грех\; 2\; \; U\; =\; соз\; \; (u)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; u\}\}\; =\; \backslash \; cos\; (u)\}$. Таким образом, имеем

$\int \; 0\; 1\; 1\; -\; x\; 2\; dx\; =\; \int \; 0\; \pi \; /\; 2\; 1\; -\; sin\; 2\; \; u\; cos\; \; (u)\; du\; =\; \int \; 0\; \pi \; /\; 2\; cos\; 2\; \; udu\; =\; [u\; 2\; +\; sin\; \; (\; 2\; u)\; 4]\; |\; 0\; \pi \; /\; 2\; =\; \pi \; 4\; +\; 0\; =\; \pi \; 4.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-x\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; pi\; /\; 2\}\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{1-\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; u\}\}\; \backslash \; cos\; (u)\; \backslash ,\; du\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; pi\; /\; 2\}\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; u\; \backslash ,\; du\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{u\}\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; (2u)\}\; \{4\}\}\; \backslash \; right]\; \{\backslash \; Biggl\; |\}\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; pi\; /\; 2\}\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{4\}\}\; +\; 0\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{4\}\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Результирующий интеграл можно вычислить с помощью интегрирования по частям или формулы двойного угла, $2\; cos\; 2\; \; u\; =\; 1\; +\; cos\; \; (2\; u)\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; u\; =\; 1\; +\; \backslash \; cos\; (2u)\}$, после чего следует еще одна замена. Можно также отметить, что интегрируемая функция представляет собой верхнюю правую четверть круга с радиусом, равным единице, и, следовательно, интегрирование верхней правой четверти от нуля до единицы является геометрическим эквивалентом площади одной четверти единичного круга, или $\pi \; /\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; /\; 4\}$.

Первообразные

Замещение может использоваться для определения первообразных. Один выбирает отношение между $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$и $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$, определяет соответствующее отношение между $dx\; \{\backslash \; displaystyle\; dx\; \}$и $du\; \{\backslash \; displaystyle\; du\}$путем дифференцирования и выполняет замены. Можно надеяться, что первообразная замещенной функции может быть определена; исходная замена между $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$и $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$затем отменяется.

Подобно примеру 1 выше, с помощью этого метода можно получить следующую первообразную:

$\int \; x\; cos\; \; (x\; 2\; +\; 1)\; dx\; =\; 1\; 2\; \int \; 2\; x\; cos\; \; (x\; 2\; +\; 1)\; dx\; знак\; равно\; 1\; 2\; \int \; соз\; \; udu\; =\; 1\; 2\; грех\; \; U\; +\; C\; =\; 1\; 2\; грех\; \; (x\; 2\; +\; 1)\; +\; C,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; int\; x\; \backslash \; cos\; (x\; ^\; \{2\}\; +1)\; \backslash ,\; dx\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; int\; 2x\; \backslash \; cos\; (x\; ^\; \{2\}\; +1)\; \backslash ,\; dx\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \}\; \backslash \; int\; \backslash \; cos\; u\; \backslash ,\; du\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sin\; u\; +\; C\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sin\; (x\; ^\; \{2\}\; +1)\; +\; C,\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$- произвольная константа интегрирования.

Не было интегральных границ для преобразовать, но на последнем шаге необходимо было вернуть исходную замену $u\; =\; x\; 2\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; x\; ^\; \{2\}\; +1\}$. При вычислении определенных интегралов с помощью подстановки можно сначала полностью вычислить первообразную, а затем применить граничные условия. В этом случае нет необходимости преобразовывать граничные члены.

тангенциальную функцию можно интегрировать с помощью подстановки, выразив ее через синус и косинус:

$\int \; tan\; \; xdx\; =\; \int \; sin\; \; x\; cos\; \; xdx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \backslash \; tan\; x\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; x\}\; \{\backslash \; cos\; x\}\}\; \backslash ,\; dx\}$

Использование подстановки $u\; =\; cos\; \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; \backslash \; cos\; x\; \}$дает $du\; =\; -\; sin\; \; xdx\; \{\backslash \; displaystyle\; du\; =\; -\; \backslash \; sin\; x\; \backslash ,\; dx\}$и

$\int \; tan\; \; xdx\; =\; \int \; sin\; \; x\; cos\; \; xdx\; =\; \int \; -\; duu\; =\; -\; ln\; \; |\; u\; |\; +\; C\; =\; -\; ln\; \; |\; cos\; \; x\; |\; +\; C\; =\; ln\; \; |\; сек\; \; x\; |\; +\; С.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; int\; \backslash \; tan\; x\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; x\}\; \{\backslash \; cos\; x\}\}\; \backslash ,\; dx\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; int\; -\; \{\backslash \; frac\; \{du\}\; \{u\}\}\; \backslash \backslash \; =\; -\; \backslash \; ln\; |\; u\; |\; +\; C\; \backslash \backslash \; =\; -\; \backslash \; ln\; |\; \backslash \; cos\; x\; |\; +\; C\; =\; \backslash \; ln\; |\; \backslash \; sec\; x\; |\; +\; C.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Можно также использовать подстановку при интегрировании функций нескольких переменных. Здесь функция подстановки (v 1,..., v n) = φ (u 1,..., u n) должен быть инъективным и непрерывно дифференцируемым, а дифференциалы преобразуются как

$dv\; 1\; \cdots \; dvn\; =\; |\; det\; (D\; \phi )\; (u\; 1,\dots ,\; u\; n)\; |\; ду\; 1\; \cdots \; дан,\; \{\backslash \; displaystyle\; dv\_\; \{1\}\; \backslash \; cdots\; dv\_\; \{n\}\; =\; |\; \backslash \; det\; (D\; \backslash \; varphi)\; (u\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; u\_\; \{n\})\; |\; \backslash ,\; du\_\; \{1\}\; \backslash \; cdots\; du\_\; \{n\},\}$

где det (Dφ) (u 1,..., u n) обозначает определитель элемента Матрица Якоби частных производных функции φ в точке (u 1,..., u n). Эта формула выражает тот факт, что абсолютное значение определителя матрицы равно объему параллелоэдра, охватываемого его столбцами или строками.

Более точно, формула замены переменных сформулирована в следующей теореме:

Теорема . Пусть U - открытое множество в R и φ: U → R - инъективная дифференцируемая функция с непрерывными частными производными, якобиан которой отличен от нуля для любого x в U. Тогда для любой вещественнозначной непрерывной функции f с компактным носителем и носителем, содержащимся в φ (U),

$\int \; \phi \; (U)\; f\; (v)\; dv\; =\; U\; f\; (\phi \; (u))\; |\; det\; (D\; \phi )\; (u)\; |\; d\; u.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; varphi\; (U)\}\; е\; (\backslash \; mathbf\; \{v\})\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{U\}\; f\; (\backslash \; varphi\; (\backslash \; mathbf\; \{u\}))\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; det\; (D\; \backslash \; varphi)\; (\backslash \; mathbf\; \{u\})\; \backslash \; right\; |\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mathbf\; \{u\}.\}$

Условия теоремы можно ослабить различными способами. Во-первых, требование, чтобы φ была непрерывно дифференцируемой, можно заменить более слабым предположением, что φ просто дифференцируема и имеет непрерывное обратное. Это гарантированно выполняется, если φ непрерывно дифференцируем по теореме об обратной функции. В качестве альтернативы требование, чтобы det (Dφ) ≠ 0, можно исключить, применив теорему Сарда.

Для измеримых по Лебегу функций теорема может быть сформулирована в следующей форме:

Теорема . Пусть U - измеримое подмножество R и φ: U → R - инъективная функция, и предположим, что для каждого x в U существует φ ′ (x) в R такое, что φ (y) = φ (x) + φ ′ (x) (y - x) + o (|| y - x ||) при y → x (здесь o равно краткое обозначение ). Тогда φ (U) измеримо, и для любой вещественнозначной функции f, определенной на φ (U),

$\int \; \phi \; (U)\; f\; (v)\; d\; v\; =\; f\; U\; f\; (\phi \; (u))\; |\; det\; \phi \; \prime \; (u)\; |\; du\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; varphi\; (U)\}\; f\; (v)\; \backslash ,\; dv\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{U\}\; f\; (\backslash \; varphi\; (u))\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; det\; \backslash \; varphi\; \text{'}(u)\; \backslash \; right\; |\; \backslash ,\; du\}$

в том смысле, что если существует какой-либо интеграл (включая возможность быть бесконечным), то существует и другой, и они имеют одинаковое значение.

Другая очень общая версия в теории меры следующая: Теорема . Пусть X - локально компактное хаусдорфово пространство, снабженное конечной мерой Радона μ, и пусть Y - σ-компактное хаусдорфово пространство с σ-конечной мерой Радона ρ. Пусть φ: X → Y - непрерывная и абсолютно непрерывная функция (где последнее означает, что ρ (φ (E)) = 0, если μ (E) = 0). Тогда существует вещественнозначная измеримая по Борелю функция w на X такая, что для любой интегрируемой по Лебегу функции f: Y → R функция (f ∘ φ) ⋅ w интегрируема по Лебегу на X и

$\int \; Y\; f\; (y)\; d\; \rho \; (y)\; =\; \int \; X\; (f\; \circ \; \phi )\; (x)\; w\; (x)\; d\; \mu \; (x).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Int\; \_\; \{Y\}\; е\; (Y)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; rho\; (y)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{X\}\; (е\; \backslash \; circ\; \backslash \; varphi)\; (x)\; \backslash ,\; w\; (x)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\; (\; x).\}$

Кроме того, можно написать

$w\; (x)\; =\; (g\; \circ \; \phi )\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; (x)\; =\; (g\; \backslash \; circ\; \backslash \; varphi)\; (x)\}$

для некоторой измеримой по Борелю функции g на Y.

В геометрической теории меры интегрирование путем подстановки используется с липшицевыми функциями. Билипшицевой функцией называется липшицева функция φ: U → R, которая инъективна и обратная функция которой φ: φ (U) → U также липшицева. По теореме Радемахера билипшицево отображение дифференцируемо почти всюду. В частности, якобиев определитель билипшицевого отображения det Dφ корректно определен почти всюду. Тогда имеет место следующий результат:

Теорема. Пусть U - открытое подмножество в R и φ: U → R - билипшицево отображение. Пусть f: φ (U) → R измеримо. Тогда

$\int \; U\; (f\; \circ \; \phi )\; (x)\; |\; det\; D\; \phi \; (x)\; |\; dx\; знак\; равно\; \int \; \phi \; (U)\; е\; (x)\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{U\}\; (f\; \backslash \; circ\; \backslash \; varphi)\; (x)\; |\; \backslash \; det\; D\; \backslash \; varphi\; (x)\; |\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; varphi\; (U)\}\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx\}$

в том смысле, что если один интеграл существует (или, собственно, бесконечен), то существует и другой, и они имеют одинаковое значение.

Приведенная выше теорема была впервые предложена Эйлером, когда он разработал понятие двойных интегралов в 1769 году. Хотя и обобщен на тройные интегралы Лагранжем в 1773 году и использовался Лежандром, Лапласом, Гауссом и впервые обобщен на n переменных Михаилом Остроградским в 1836 году, он сопротивлялся полностью строгим формальным доказательством в течение удивительно долгого времени, и впервые было удовлетворительно разрешено 125 лет спустя Эли Картаном в серии статей, начиная с середины 1890-х годов.

Подстановка может использоваться для ответа на следующий важный вопрос о вероятности: задана случайная величина $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$с плотностью вероятности $p\; X\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{X\}\}$и другая случайная величина $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$такая, что $Y\; =\; \varphi \; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; =\; \backslash \; phi\; (X)\; \}$, какова плотность вероятности для $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$?

It i На этот вопрос проще всего ответить, сначала ответив на несколько иной вопрос: какова вероятность того, что $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$принимает значение в некотором конкретном подмножестве $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$? Обозначим эту вероятность $P\; (Y\; \in \; S)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (Y\; \backslash \; in\; S)\}$. Конечно, если $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$имеет плотность вероятности $p\; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{Y\}\}$, тогда ответ будет

$P\; (\; Y\; \in \; S)\; знак\; равно\; \int \; S\; п\; Y\; (y)\; dy,\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (Y\; \backslash \; in\; S)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{S\}\; p\_\; \{Y\}\; (y)\; \backslash ,\; dy,\}$

но это не t действительно полезно, потому что мы не знаем $p\; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{Y\}\}$; это то, что мы пытаемся найти. Мы можем добиться прогресса, рассмотрев проблему в переменной $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$. $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$, принимающей значение в $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$всякий раз, когда $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$принимает значение в $\varphi \; -\; 1\; (S)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; ^\; \{-\; 1\}\; (S)\}$, поэтому

$P\; (Y\; \in \; S)\; =\; \int \; \varphi \; -\; 1\; (S)\; p\; X\; (x)\; dx.\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (Y\; \backslash \; in\; S)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; phi\; ^\; \{-\; 1\}\; (S)\}\; p\_\; \{X\}\; (x)\; \backslash ,\; dx.\}$

Переход от переменной $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$до $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$дает

$P\; (Y\; \in \; S)\; =\; \int \; \varphi \; -\; 1\; (S)\; p\; X\; (x)\; dx\; =\; \int \; S\; p\; X\; (\varphi \; -\; 1\; (y))\; |\; d\; \varphi \; -\; 1\; d\; y\; |\; д\; г\; \{\backslash \; Displaystyle\; P\; (Y\; \backslash \; in\; S)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; phi\; ^\; \{-\; 1\}\; (S)\}\; p\_\; \{X\}\; (x)\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{S\}\; p\_\; \{X\}\; (\backslash \; phi\; ^\; \{-\; 1\}\; (y))\; \backslash \; left\; |\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; phi\; ^\; \{-\; 1\}\}\; \{dy\}\}\; \backslash \; right\; |\; \backslash ,\; dy.\}$

Объединение этого с нашим первым уравнением дает

$S\; p\; Y\; (y)\; dy\; =\; \int \; S\; p\; X\; (\varphi \; -\; 1\; (y))\; |\; d\; \varphi \; -\; 1\; d\; y\; |\; dy,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{S\}\; p\_\; \{Y\}\; (y)\; \backslash ,\; dy\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{S\}\; p\_\; \{X\}\; (\backslash \; phi\; ^\; \{-\; 1\}\; (y))\; \backslash \; left\; |\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; phi\; ^\; \{-\; 1\}\}\; \{dy\}\}\; \backslash \; right\; |\; \backslash ,\; dy,\}$

поэтому

$p\; Y\; (y)\; =\; p\; X\; (\varphi \; -\; 1\; (y))\; |\; d\; \varphi \; -\; 1\; d\; y\; |.\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{Y\}\; (y)\; =\; p\_\; \{X\}\; (\backslash \; phi\; ^\; \{-\; 1\}\; (y))\; \backslash \; left\; |\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; phi\; ^\; \{-\; 1\}\}\; \{dy\}\}\; \backslash \; right\; |.\}$

В случае, когда $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$и $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$зависят от нескольких некоррелированных переменных, т. Е. $п\; Икс\; =\; п\; Икс\; (х\; 1,\dots ,\; xn)\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{X\}\; =\; p\_\; \{X\}\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\})\}$и $y\; =\; \varphi \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; \backslash \; phi\; (x)\}$, $p\; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{Y\}\}$можно найти путем подстановки нескольких переменных, описанных выше. Результат:

$p\; Y\; (y)\; =\; p\; X\; (\varphi \; -\; 1\; (y))\; |\; det\; D\; \varphi \; -\; 1\; (y)\; |.\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{Y\}\; (y)\; =\; p\_\; \{X\}\; (\backslash \; phi\; ^\; \{-\; 1\}\; (y))\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; det\; D\; \backslash \; phi\; ^\; \{-\; 1\}\; (y)\; \backslash \; right\; |.\}$

• Портал математики

• Функция плотности вероятности
• Подстановка переменных
• Тригонометрическая подстановка
• Подстановка Вейерштрасса
• Подстановка Эйлера
• Прогрессивная мера

• Бриггс, Уильям; Кокран, Лайл (2011), Calculus / Early Transcendentals (Single Variable ed.), Addison-Wesley, ISBN 978-0-321-66414-3
• Ферзола, Энтони П. ( 1994), «Эйлер и дифференциалы», The College Mathematics Journal, 25(2): 102–111, doi : 10.2307 / 2687130
• Fremlin, DH (2010), Measure Theory, Volume 2, Torres Fremlin, ISBN 978-0-9538129-7-4.
• Хьюитт, Эдвин ; Стромберг, Карл (1965), Реальный и абстрактный анализ, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-04559-7.
• Кац, В. (1982), "Замена переменных в кратных интегралах: от Эйлера до Картана ", Mathematics Magazine, 55(1): 3–11, doi : 10.2307 / 2689856
• Рудин, Уолтер (1987), Реальный и комплексный анализ, McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054234-1.
• Своковски, Эрл У. (1983), Исчисление с аналитической геометрией (альтернативное изд.), Prindle, Weber Schmidt, ISBN 0-87150-341-7
• Spivak, Michael (1965), Calculus on Manifolds, Westview Press, ISBN 978-0-8053-9021-6.

В Wikibook Calculus есть страница по теме: Правило замещения

В Викиверситете есть учебные ресурсы по Интеграция заменой

• Интеграция заменой в Энциклопедия математики
• Формула площади в Энциклопедия математики