Перспективная мера

В теории меры, дисциплине в математике, продвигающей меры (также сдвиг вперед, сдвиг вперед или измерение изображения ) получается путем передачи («продвижения вперед») меры из одного измеримое пространство в другое с использованием измеримой функции.

• 1 Определение
• 2 Основное свойство: формула замены переменных
• 3 Примеры и приложения
• 4 Обобщение
• 5 См. Также
• 6 Примечания
• 7 Ссылки

Учитывая измеримые пространства $(X\; 1,\; \Sigma \; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; (X\_\; \{\; 1\},\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{1\})\}$и $(X\; 2,\; \Sigma \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; (X\_\; \{2\},\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{2\})\}$, измеримое отображение $f:\; X\; 1\; \to \; X\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; двоеточие\; X\_\; \{1\}\; \backslash \; to\; X\_\; \{2\}\}$и мера $\mu :\; \Sigma \; 1\; \to \; [\; 0,\; +\; \infty ]\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mu\; \backslash \; двоеточие\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{1\}\; \backslash \; to\; [0,\; +\; \backslash \; infty]\}$, переход вперед из $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$определяется как мера $f\; \ast \; (\mu ):\; \Sigma \; 2\; \to \; [0,\; +\; \infty ]\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \_\; \{*\}\; (\backslash \; mu)\; \backslash \; двоеточие\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{2\}\; \backslash \; to\; [\; 0,\; +\; \backslash \; infty]\}$, задаваемый

$(f\; \ast \; (\mu ))\; (B)\; =\; \mu \; (f\; -\; 1\; (B))\; \{\backslash \; displaystyle\; (f\; \_\; \{*\}\; (\backslash \; mu))\; (B)\; =\; \backslash \; mu\; \backslash \; left\; (f\; ^\; \{-\; 1\}\; (B)\; \backslash \; right)\}$для $B\; \in \; \Sigma \; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; \backslash \; in\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{2\}.\}$

Это определение применяется mutatis mutandis к подписанной или сложной мере. Мера продвижения вперед также обозначается как $\mu \; \circ \; f\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \backslash \; circ\; f\; ^\; \{-\; 1\}\}$, $f\; ♯\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \_\; \{\backslash \; sharp\}\; \backslash \; mu\}$, $f\; ♯\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; sharp\; \backslash \; mu\}$или $f\; \#\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; \#\; \backslash \; mu\}$.

Теорема: измеримая функция g на X 2 интегрируема относительно меры прямого распространения f ∗ (μ) тогда и только тогда, когда композиция $g\; \circ \; f\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \backslash \; circ\; f\}$интегрируем по мере μ. В этом случае интегралы совпадают, т.е.

$\int \; X\; 2\; g\; d\; (f\; \ast \; \mu )\; =\; \int \; X\; 1\; g\; \circ \; f\; d\; \mu .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{X\_\; \{2\}\}\; g\; \backslash ,\; d\; (f\; \_\; \{*\}\; \backslash \; mu)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{X\_\; \{1\}\}\; g\; \backslash \; circ\; f\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu.\}$

• Естественная «мера Лебега » на единичной окружности S(здесь рассматривается как подмножество комплексной плоскости C) может быть определена с помощью нажатия -прямая конструкция и мера Лебега λ на вещественной прямой R. Пусть λ также обозначает ограничение меры Лебега на интервал [0, 2π), и пусть f: [0, 2π) → S - естественная биекция, определяемая формулой f (t) = exp (i t). Тогда естественной «мерой Лебега» на S является мера продвижения вперед f ∗ (λ). Меру f ∗ (λ) можно также назвать «мерой длины дуги » или «угловой мерой», поскольку f ∗ (λ) -мерой дуга в S - это в точности длина ее дуги (или, что то же самое, угол, который она образует в центре окружности).
• Предыдущий пример хорошо расширяется, чтобы дать естественный "Лебеговский" мера "на n-мерном торе T. Предыдущий пример - особый случай, поскольку S= T. Эта мера Лебега на T с точностью до нормализации является мерой Хаара для компактной, связанной группы Ли T.
• Гауссовские меры в бесконечномерных векторных пространствах определяются с использованием метода проталкивания вперед и стандартной гауссовской меры на вещественной прямой: борелевской меры γ на разделимой Банахово пространство X называется гауссовым, если продвижение γ любым ненулевым линейным функционалом в непрерывном двойственном пространстве к X равно гауссовская мера на R.
• . Рассмотрим измеримую функцию f: X → X и композицию функции f с самой собой n раз:

$f\; (n)\; =\; f\; \circ \; f\; \circ \; \cdots \; \circ \; f\; ⏟\; n\; раз:\; Х\; \to \; Х.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{(n)\}\; =\; \backslash \; underbrace\; \{f\; \backslash \; circ\; f\; \backslash \; circ\; \backslash \; dots\; \backslash \; circ\; f\}\; \_\; \{n\; \backslash \; mathrm\; \{\backslash ,\; times\}\}:\; от\; X\; \backslash \; до\; X.\}$

Это итерированная функция формирует динамическую систему. При исследовании таких систем часто представляет интерес найти меру μ на X, которую отображение f оставляет неизменной, так называемую инвариантную меру, то есть такую, для которой f ∗ (μ) = μ.

• Можно также рассмотреть квазиинвариантные меры для такой динамической системы: мера $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$на $(X,\; \Sigma )\; \{\backslash \; displaystyle\; (X,\; \backslash \; Sigma)\}$называется квазиинвариантным относительно $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$, если сдвиг вперед $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$на $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$просто эквивалент исходной мере μ, не обязательно равный ему. Пара мер $\mu ,\; \nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu,\; \backslash \; nu\}$на одном пространстве эквивалентны тогда и только тогда, когда $\forall \; A\; \in \; \Sigma :\; \mu \; (A)\; =\; 0\; ⟺\; \nu \; (A)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; forall\; A\; \backslash \; in\; \backslash \; Sigma:\; \backslash \; \backslash \; mu\; (A)\; =\; 0\; \backslash \; iff\; \backslash \; nu\; (A)\; =\; 0\}$, поэтому $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$квазиинвариантен относительно $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$, если $\forall \; A\; \in \; \Sigma :\; \mu \; (A)\; =\; 0\; ⟺\; f\; \ast \; \mu \; (A)\; знак\; равно\; \mu \; (е\; -\; 1\; (A))\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; forall\; A\; \backslash \; in\; \backslash \; Sigma:\; \backslash \; \backslash \; mu\; (A)\; =\; 0\; \backslash \; iff\; f\; \_\; \{*\}\; \backslash \; mu\; (A)\; =\; \backslash \; mu\; \{\backslash \; big\; (\; \}\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (A)\; \{\backslash \; big)\}\; =\; 0\}$

• Многие естественные распределения вероятностей, такие как распределение хи, могут быть получены с помощью этой конструкции.

Как правило, любую измеримую функцию можно продвинуть вперед, тогда продвижение вперед становится линейным оператором, известным как оператор переноса или оператор Фробениуса – Перрона. В конечных пространствах этот оператор обычно удовлетворяет требованиям теоремы Фробениуса – Перрона, а максимальное собственное значение оператора соответствует инвариантной мере.

Дополнением к продвижению вперед является возврат ; в качестве оператора пространств функций на измеримых пространствах это оператор композиции или оператор Купмана.

• Сохраняющая меру динамическая система

1. ^Разделы 3.6 –3,7 в Богачев ошибка harvnb: нет цели: ЦИТЕРЕФБогачев (справка )

• Богачев, Владимир И. (2007), Теория меры, Берлин: Springer Verlag, ISBN 9783540345138
• Тешл, Джеральд (2015), Темы реального и функционального анализа