Равномерный звездный многогранник

Отображение однородных многогранников в Музее науки в Лондоне The малый курносый икосикосододекаэдр представляет собой однородный звездчатый многогранник с вершиной фигуры 3./2

В геометрии однородный звездчатый многогранник является самопересекающимся однородным многогранником. Их также иногда называют невыпуклыми многогранниками, что подразумевает самопересечение. Каждый многогранник может содержать грани звездообразного многоугольника, звездообразный многоугольник вершины фигур или и то, и другое.

Полный набор из 57 непризматических однородных звездных многогранников включает 4 правильных, называемых многогранниками Кеплера – Пуансо, 5 квазирегулярными и 48 полуправильными.

Есть также два бесконечных набора однородных звездных призм и однородных звездных антипризм.

Так же, как (невырожденные) звездчатые многоугольники (которые имеют плотность полигонов больше 1) соответствуют круговым многоугольникам с перекрывающимися плитками, звездные многогранники, которые не проходят через центр, имеют плотность многогранников больше 1 и соответствуют сферическим многогранникам с перекрывающимися плитками; таких однородных звездных многогранников 47 непризматических. Остальные 10 непризматических однородных звездных многогранников, проходящие через центр, являются гемиполиэдрами, а также монстром Миллера и не имеют четко определенной плотности.

Невыпуклые формы построены из треугольников Шварца.

Все однородные многогранники перечислены ниже по их группам симметрии и сгруппированы по их расположению вершин.

Правильные многогранники обозначаются символом Шлефли. Другие нерегулярные однородные многогранники перечислены с их конфигурацией вершин.

Дополнительная фигура, псевдо-большой ромбокубооктаэдр, обычно не включается как действительно однородный звездный многогранник, несмотря на то, что он состоит из правильных граней и имеет те же вершины.

Примечание: для невыпуклых форм ниже дополнительного дескриптора Неоднородный используется, когда выпуклая оболочка расположение вершин имеет ту же топологию, что и одна из них, но имеет нестандартные лица. Например, неоднородная угловая форма может иметь прямоугольники, созданные на месте краев, а не квадраты.

• 1 Двугранная симметрия
• 2 Тетраэдрическая симметрия
• 3 Октаэдрическая симметрия
• 4 Икосаэдрическая симметрия
• 5 Вырожденные случаи
  • 5.1 Фигура Скиллинга
• 6 См. Также
• 7 Ссылки
• 8 Внешние ссылки

См. Призматическая однородный многогранник.

(3 3 2) треугольники на сфере

Существует одна невыпуклая форма, тетрагемигексаэдр, который имеет тетраэдрическую симметрию (с фундаментальной областью треугольник Мёбиуса (3 3 2)).

Есть два треугольника Шварца, которые образуют уникальные невыпуклые однородные многогранники: один прямоугольный треугольник (⁄ 2 3 2) и один общий треугольник (⁄ 2 3 3). Общий треугольник (⁄ 2 3 3) образует октагемиоктаэдр, который описан ниже с его полной октаэдрической симметрией.

Расположение вершин. (Выпуклая оболочка )	Невыпуклые формы
. Тетраэдр
. Выпрямленный тетраэдр. Октаэдр	. 4. ⁄ 2.4.3. ​⁄23 | 2
. Усеченный тетраэдр
. Кантеллированный тетраэдр. (Кубооктаэдр )
. Омноусеченный тетраэдр. (Усеченный октаэдр )
. Плоский тетраэдр. (Икосаэдр )

(4 3 2) треугольники на сфере

Есть 8 выпуклых форм и 10 невыпуклых форм с октаэдрической симметрией (с фундаментальной областью треугольник Мёбиуса (4 3 2

Есть четыре треугольника Шварца, которые порождают невыпуклые формы, два прямоугольных треугольника (⁄ 2 4 2) и (⁄ 3 3 2) и два общих треугольника: (⁄ 3 4 3), (⁄ 2 4 4).

Расположение вершин. (Выпуклая оболочка )	Невыпуклые формы
. Куб
. Октаэдр
. Кубооктаэдр	. 6. ⁄ 3.6.4. ​⁄34 | 3	. 6. ⁄ 2.6.3. ​⁄23 | 3
. Усеченный куб	. 4. ⁄ 3. ⁄ 3. ⁄ 5. 2 ⁄ 3 (⁄ 2​⁄2) |	. ​⁄3.3. ⁄ 3.4. 3 4 | ⁄ 3	. 4. ⁄ 2.4.4. ​⁄24 | 2
. Усеченный октаэдр
. Ромбокубооктаэдр	. 4.8. ⁄ 3.8. 2 4 (⁄ 2​⁄2) |	. 8. ⁄ 2.8.4. ​⁄24 | 4	. ​⁄3. ⁄ 3.3. 2 3 | ⁄ 3
. Неоднородный. усеченный кубооктаэдр	. 4.6. ⁄ 3. 2 3 ⁄ 3|
. Неоднородный. усеченный кубооктаэдр	. ​⁄3.6,8. 3 4 ⁄ 3|
. Курносый куб

(5 3 2) треугольников на сфере

Есть 8 выпуклых форм и 46 невыпуклых форм с икосаэдрической симметрией (с фундаментальной область треугольник Мёбиуса (5 3 2)). (или 47 невыпуклых форм, если включить фигуру Скиллинга). Некоторые из невыпуклых курносых форм обладают отражающей вершинной симметрией.

Расположение вершин. (Выпуклая оболочка )	Невыпуклые формы
. Икосаэдр	. {5, ⁄ 2}	. {⁄ 2, 5}	. {3, ⁄ 2}
. Неоднородный. усеченный икосаэдр	. 10.10. ⁄ 2. 2 ⁄ 2 | 5	. 3. ⁄ 3. ⁄ 2. ⁄ 7. ​⁄23 | ⁄ 3	. 3.4. ⁄ 3.4. ​⁄33 | 2	. 4. ⁄ 3. ⁄ 3. ⁄ 7. 2 ⁄ 3 (⁄ 2​⁄4) |
. Неоднородный. усеченный икосаэдр	. 4. ⁄ 2.4.5. ​⁄25 | 2	. 5.6. ⁄ 3.6. ​⁄35 | 3	. 4.6. ⁄ 3. ⁄ 5. 2 3 (⁄ 4​⁄2) |
. Неоднородный. усеченный икосаэдр	. 3. ⁄ 2. | ⁄ 2 3 3
. Икосододекаэдр	. 3.10. ⁄ 2.10. ​⁄23 | 5	. 5.10. ⁄ 4.10. ​⁄45 | 5	. 3. ⁄ 2.3. ⁄ 2. 2 | 3 ⁄ 2	. ​⁄2. ⁄ 3. ⁄ 3. ⁄ 3. ​⁄3​⁄2| ⁄ 3	. 3. ⁄ 3. ⁄ 2. ⁄ 3. 3 3 | ⁄ 3	. 5. ⁄ 2.5. ⁄ 2. 2 | 5 ⁄ 2	. 6. ⁄ 2.6. ⁄ 3. ​⁄3​⁄2| 3	. 5.6. ⁄ 4.6. ​⁄45 | 3
. Неоднородный усеченный додекаэдр	. 3. ⁄ 3.5. ⁄ 3. 3 5 | ⁄ 3	. 5.6. ⁄ 2.6. ​⁄25 | 3	. 6. ⁄ 3. ⁄ 5. ⁄ 7. 3 ⁄ 3 (⁄ 2​⁄2) |
. Неоднородный. усеченный додекаэдр	. (3. ⁄ 3) / 2. | ⁄ 2​⁄2​⁄2
. Додекаэдр	. {⁄ 2, 3}	. (3. ⁄ 2). 3 | ⁄ 23	. (5. ⁄ 3). 3 | ⁄ 35	. (3.5) / 2 ​⁄2| 3 5
. Ромбикосододекаэдр	. 5.10. ⁄ 2.10. ​⁄25 | 5	. 4.10. ⁄ 3. ⁄ 9. 2 5 (⁄ 2​⁄2) |	. 5. ⁄ 3. ⁄ 3. 2 5 | ⁄ 3
. Неоднородный. ромбикосододекаэдр	. 6.6. ⁄ 2. 2 ⁄ 2 | 3
. Неоднородный. ромбикосододекаэдр	. 6. ⁄ 2.6.3. ​⁄23 | 3	. 3.10. ⁄ 3.10. ​⁄33 | 5	. 6.10. ⁄ 5. ⁄ 9. 3 5 (⁄ 2​⁄4) |	. 3. ⁄ 3. ⁄ 3. 2 3 | ⁄ 3
. Неоднородный. ромбикосододекаэдр	. 4. ⁄ 3.4.3.4. ⁄ 2.4. ⁄ 2. | ⁄ 2​⁄33 ⁄ 2	. 3.3.3. ⁄ 2.3. ⁄ 3. | ⁄ 3​⁄23	. Фигура Скиллинга. (см. Ниже)
. Неоднородный. усеченный икосододекаэдр	. 6.10. ⁄ 3. 3 5 ⁄ 3|
. Неоднородный. усеченный икосододекаэдр	. 4. ⁄ 9. ⁄ 3. 2 5 ⁄ 3|
. Неоднородный. усеченный икосододекаэдр	. 4.6. ⁄ 3. 2 3 ⁄ 3|
. Неоднородный. курносый додека эдрон	. 3.3. ⁄ 2.3.5. | 2 ⁄ 25	. 3.3.3.5.3. ⁄ 3. | ⁄ 3 3 5	. 3. ⁄ 2. | 2 ⁄ 23	. 3. ⁄ 3. | ⁄ 3 2 3	. 3.3.5.3. ⁄ 3. | ⁄ 3 2 5	. (3. ⁄ 2 )/2. | ⁄ 2​⁄32

.

Коксетер с помощью метода построения Уайтхоффа идентифицировали ряд вырожденных звездных многогранников, которые содержат перекрывающиеся ребра или вершины. Эти вырожденные формы включают:

• Малый сложный икосододекаэдр
• Большой сложный икосододекаэдр
• Малый сложный ромбикосододекаэдр
• Большой сложный ромбикосододекаэдр
• Сложный ромбидодекадодекаэдр <68450>Сложный ромбидодекадодекаэдр <68450>214>Еще одним невыпуклым вырожденным многогранником является большой диргомбидодекаэдр диснуба, также известный как фигура Скиллинга, однородная по вершинам, но имеющая пары ребер, которые совпадают в пространстве, так что четыре грани пересекаются на некоторых ребрах. считается вырожденным однородным многогранником, а не однородным многогранником из-за его двойных ребер. Он имеет симметрию I h.

  

  См. также
  • Звездный многоугольник
  • Список однородных многогранников
  • Список равномерных многогранников треугольником Шварца
  Литература
  • Кокстер, HSM (Ma y 13, 1954). «Равномерные многогранники». Философские труды Лондонского королевского общества. Серия А, Математические и физические науки. 246 (916): 401–450. doi : 10.1098 / rsta.1954.0003.
  • Веннингер, Магнус (1974). Модели многогранников. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-09859-9. OCLC 1738087.
  • Brückner, M. Vielecke und vielflache. Theorie und geschichte.. Лейпциг, Германия: Teubner, 1900. [1]
  • Сопов, С.П. (1970), «Доказательство полноты списка элементарных однородных многогранников», Украинский геометрический сборник (8) : 139–156, MR 0326550
  • Скиллинг, Дж. (1975), "Полный набор однородных многогранников", Философские труды Лондонского королевского общества. Серия A. Математические и физические науки, 278 : 111–135, doi : 10.1098 / rsta.1975.0022, ISSN 0080-4614, JSTOR 74475, MR 0365333
  • Har'El, Z. Равномерное решение для однородных многогранников., Geometriae Dedicata 47, 57- 110, 1993. Цви Хар'Эль, Программное обеспечение Kaleido, Изображения, двойные изображения
  • Мэдер, RE Однородные многогранники. Mathematica J. 3, 48-57, 1993. [2]
  • Messer, Peter W. Выражения в замкнутой форме для однородных многогранников и их двойников., Discrete Computational Geometry 27: 353 -375 (2002).
  • Клитцинг, Ричард. «Трехмерные однородные многогранники».
  Внешние ссылки
  • Вайсштейн, Эрик У. «Однородный многогранник». MathWorld.