Равномерная сходимость

редактировать

В поле Математическое в анализ, равномерная сходимость режимом сходимости функций, более сильной, чем поточечной сходимости. последовательность из функций $(fn) {\ displaystyle (f_ {n})}$ $(f_{n})$ равномерно сходится к предельной функции $f {\ displaystyle f }$ $f$ в наборе $E {\ displaystyle E}$ $E$ , если для любого произвольно малого положительного числа $ϵ {\ displaystyle \ epsilon}$ $\epsilon$ число $N {\ displaystyle N}$ $N$ может быть найдено таким образом, что каждая из функций $f N, f N + 1, f N + 2,… {\ displaystyle f_ {N}, f_ {N + 1}, f_ {N + 2}, \ ldots}$ $f_{N},f_{N+1},f_{N+2},\ldots$ отличаются от $f {\ displaystyle f}$ $f$ не более чем на $ϵ {\ displaystyle \ epsilon}$ $\epsilon$ в каждой точке $x {\ displaystyle x}$ $x$ в $E {\ displaystyle E}$ $E$ . Неформально описывается, если $fn {\ displaystyle f_ {n}}$ $f_{n}$ сходится к $f {\ displaystyle f}$ $f$ равномерно, то скорость, с которой $fn (x) {\ displaystyle f_ {n} (x)}$ $f_{n}(x)$ приближается к $f (x) {\ displaystyle f (x)}$ $f(x)$ везде "единообразно" его домен в следующий смысл: чтобы определить, насколько большим должен быть $n {\ displaystyle n}$ $n$ , чтобы устойчивость, что $fn (x) {\ displaystyle f_ {n} (x)}$ $f_{n}(x)$ находится на определенном расстоянии $ϵ {\ displaystyle \ epsilon}$ $\epsilon$ из $f (x) {\ displaystyle f (x)}$ $f(x)$ , нам не нужно знать значение $x ∈ E {\ displaystyle x \ in E}$ $x\in E$ , о котором идет речь - существует единственное значение $N = N (ϵ) {\ displaystyle N = N (\ epsilon) }$ $N=N(\epsilon)$ независимо от $x {\ displaystyle x}$ $x$ , так что при выборе $n {\ displaystyle n}$ $n$ быть больше, чем $N {\ displaystyle N}$ $N$ , будет достаточно.

Разница между равномерной и точечной сходимостью не была полностью оценена на ранней истории математического анализа, что приводило к ошибочным рассуждениям. Концепция, которая была впервые формализована Карлом Вейерштрассом, важна, потому что некоторые свойства функций $fn {\ displaystyle f_ {n}}$ $f_{n}$ , такие как непрерывность, интегрируемость по Риману и, с дополнительными гипотезами, дифференцируемость, переносятся в предел $f {\ displaystyle f}$ $f$ , если сходимость равномерная, но не обязательно, если сходимость не равномерная.

Содержание

1
2 Определение
- 2.1 Примечания
- 2.2 Обобщения
- 2.3 Определение в гиперреальной обстановке
3 Примеры
- 3.1 Экспоненциальная функция
4 Свойства
5 Приложения
- 5.1 К непрерывности
- 5.2 К дифференцируемости
- 5.3 К интегрируемости
- 5.4 К аналитичности
- 5.5 К ряду
6 Почти равномерная сходимость
7 См. Также
8 Примечания
9 Ссылки
10 Внешние ссылки

История

В 1821 году Огюстен-Луи Коши опубликовал доказательство того, что сходящаяся сумма непрерывных функций непрерывна, который Нильс Хенрик Абель в 1826 году нашел предполагаемые контрпримеры в контексте ряда Фурье, утверждено, что доказательство Коши должно быть неверным. Полностью стандартным понятий сходимости в то время не существовало, и коши обрабатывать сходимость, методы бесконечно. Говоря современным языком, Коши доказал, что равномерно сходящаяся последовательность непрерывных непрерывный предел. Неспособность просто поточечной сходимости предела непрерывных функций показать важность различных типов сходимости при обработке последовательностей функций.

Термин равномерная сходимость, вероятно, впервые был использован Кристоф Гудерманн в статье 1838 года о эллиптических функций, где он использовал фразу «сходимость единообразным образом», когда «режим» »» Сходимости »ряд $∑ N = 1 ∞ fn (x, ϕ, ψ) {\ displaystyle \ textstyle {\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} f_ {n} (x, \ phi, \ psi)}}$ $\textstyle {\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x,\phi,\psi)}$ не зависит от числа $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\phi$ и $ψ. {\ displaystyle \ psi.}$ $\psi.$ Хотя он считал «замечательным фактом», что ряд сходится таким образом, он не своих формальных определений использовал это свойство ни в одном из доказательств.

Позже ученик Гудермана Карл Вейерштрасс, который посещает его курс эллиптических функций в 1839–1840 годах, ввел термин gleichmäßig konvergent (немецкий : одинаково сходный), который он использовал в своих Статья 1841 года Zur Theorie der Potenzreihen, опубликованная в 1894 году. Независимо, аналогичные концепции были сформулированы Джорджем Филиппом Людвигом фон Зайделем и ем Габриэлем Стоуксом. Г. Х. Харди сравнивает три определения в статье «Сэр Джордж Стоукс и однородной конвергенции» и замечает: «Открытие Вейерштрасса было самым ранним, и только он полностью осознает его далеко идущее как одной из фундаментальных идей. анализа ".

Под областью Вейерштрасса и Бернхарда Римана эта концепция и связанные с ней вопросы интенсивно изучались в конце XIX века Германом Ганкелем, Поль дю Буа- Реймон, Улисс Дини, Чезаре Арзела и другие.

Определение

Сначала мы определим равномерную сходимость для функций с действительными значениями, хотя эту концепцию легко обобщить для функций, отображаемых в метрических пространствах и, в более общем смысле, однородные пространства (см. ниже ).

Предположим, что $E {\ displaystyle E}$ $E$ - это набор и $(fn) n ∈ N {\ displaystyle (f_ {n }) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ - это последовательность функций с действительным знаком на нем. Мы говорим, что последовательность $(fn) n ∈ N {\ displaystyle (f_ { n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ равномерно сходится на $E {\ displaystyle E}$ $E$ с ограни чени ем $е: E → R {\ displaystyle f: E \ to \ mathbb {R}}$ $f:E\to \mathbb {R}$ если для каждого $ϵ>0, {\ displaystyle \ epsilon>0,}$ $\epsilon>0,$ существует натуральное число $N {\ displaystyle N}$ $N$ такое, что для всех $n ≥ N {\ displaystyle n \ geq N}$ $n\geq N$ и $x ∈ E {\ displaystyle x \ in E}$ $x \in E$

| fn (x) - f (x) | < ϵ. {\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon.}

|f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon.

Обозначение для равномерной сходимости $fn {\ displaystyle f_ {n}}$ $f_{n}$ to $f {\ displaystyle f}$ $f$ не совсем стандартизирован, и разные авторы использовали разные символы, в том числе (примерно в порядке убывания значений):

fn ⇉ f, uniflimn → ∞ fn = f, fn ⟶ unif. f. {\ displaystyle f_ {n} \ rightrightarr ows f, \ quad {\ underset {n \ to \ infty} {\ mathrm {unif \ lim}}} f_ {n} = f, \ quad f_ {n} {\ overset {\ mathrm {unif.}} {\ longrightarrow}} f.}

f_{n}\rightrightarrows f,\quad {\underset {n\to \infty }{\mathrm {unif\ lim} }}f_{n}=f,\quad f_{n}{\overset {\mathrm {unif.} }{\longrightarrow }}f.

Часто специальный символ не используется, и авторы просто пишут

fn → funiformly {\ displaystyle f_ {n} \ to f \ quad \ mathrm { равномерно}}

f_{n}\to f\quad \mathrm {uniformly}

в указать, что сходимость равномерна. (Напротив, выражение $fn → f {\ displaystyle f_ {n} \ to f}$ $f_{n}\to f$ на $E {\ displaystyle E}$ $E$ без наречия берется означает точечная сходимость на $E {\ displaystyle E}$ $E$ : для всех $x ∈ E {\ displaystyle x \ in E}$ $x\in E$ , $fn (x) → е (x) {\ displaystyle f_ {n} (x) \ to f (x)}$ $f_n(x)\to f(x)$ as $n → ∞ {\ displaystyle n \ to \ infty}$ $n\to \infty$ .)

Измерение $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\mathbb {R}$ полным метрическим пространством, критерий Коши может быть, чтобы дать эквивалентную альтернативную формулировку для равномерной сходимости: $(fn) n ∈ N {\ displaystyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ $(f_n)_{n\in\N}$ сходится равномерно на $E {\ displaystyle E }$ $E$ (тогда в предыдущем смысле) тогда и только, когда для каждого $ϵ>0 {\ displaystyle \ epsilon>0}$ $\epsilon>0$ , существует природа l число $N {\ displaystyle N}$ $N$ такое, что

x ∈ E, m, n ≥ N ⟹ | f m (x) - f n (x) | < ϵ {\displaystyle x\in E,m,n\geq N\implies |f_{m}(x)-f_{n}(x)|<\epsilon }

x\in E,m,n\geq N\implies |f_{m}(x)-f_{n}(x)|<\epsilon

В еще одной эквивалентной формулировке, если мы определим

d n = sup x ∈ E | f n (x) - f (x) |, {\ displaystyle d_ {n} = \ sup _ {x \ in E} | f_ {n} (x) -f (x) |,}

d_{n}=\sup _{x\in E}|f_{n}(x)-f(x)|,

затем $fn {\ displaystyle f_ {n}}$ $f_{n}$ сходится к $f {\ displaystyle f}$ $f$ равномерно тогда и только тогда, когда $dn → 0 {\ displaystyle d_ {n} \ to 0}$ $d_{n}\to 0$ как $n → ∞ {\ displaystyle n \ to \ infty}$ $n\to \infty$ . Таким образом, мы можем охарактеризовать равномерную сходимость $(fn) n ∈ N {\ displaystyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ на $E { \ displaystyle E}$ $E$ как (простая) сходимость $(fn) n ∈ N {\ displaystyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ в функциональном пространстве $RE {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {E}}$ $\mathbb {R} ^{E}$ по отношению к унифицированной метрике (также называемой метрика супремума), определяемая как

d (f, g) = sup x ∈ E | f (x) - g (x) |. {\ displaystyle d (f, g) = \ sup _ {x \ in E} | f (x) -g (x) |.}

d(f,g)=\sup _{x\in E}|f(x)-g(x)|.

Символически

fn ⇉ f ⟺ lim n → ∞ d (fn, f) = 0 {\ displaystyle f_ {n} \ rightrightarrows f \ iff \ lim _ {n \ to \ infty} d (f_ {n}, f) = 0}

f_{n}\rightrightarrows f\iff \lim _{n\to \infty }d(f_{n},f)=0

Последовательность $(fn) n ∈ N {\ displaystyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N }}}$ $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ называется локально равномерно сходящимся с пределом $f {\ displaystyle f}$ $f$ , если $E {\ displaystyle E}$ $E$ является метрическим пространством и для каждого $x ∈ E {\ displaystyle x \ in E}$ $x\in E$ существует $r>0 {\ displaystyle r>0}$ $r>0$ такой, что $(fn) {\ displaystyle (f_ {n})}$ $(f_{n})$ сходится равномерно на $B (x, r) ∩ E. {\ displaystyle B (x, r) \ cap E. }$ $B(x,r)\cap E.$ Ясно, равномерная сходимость подразумевает локальную равномерную сходимость, что подразумевает поточечную сходимость.

Примеч ан ия

Интуитивно, как равенство функций $fn {\ displaystyle f_ {n}}$ $f_{n}$ равномерно сходится к $f {\ displaystyle f}$ $f$ если, если задано сколь угодно маленькое $ϵ>0 {\ displaystyle \ epsilon>0}$ $\epsilon>0$ , мы можем найти $N ∈ N {\ displaystyle N \ in \ mathbb {N}}$ $N\in \mathbb {N}$ , так что функции $fn {\ displaystyle f_ {n}}$ $f_{n}$ с $n>N {\ displaystyle n>N}$ $n>N$ все попадают в "трубу" шириной $2 ϵ {\ displaystyle} 167 293>центр вокруг f {\ displaystyle f}$ $f$ (то есть есть между $f (x) - ϵ {\ displaystyle f (x) - \ epsilon}$ $f(x)-\epsilon$ и $е (х) + ϵ {\ displaystyle f (x) + \ epsilon}$ $f(x)+\epsilon$ ) для вс ей определения области функции.

Обратите внимание, что изменение порядка кванторов в равномерной сходимости путем перемещения «для всех $x ∈ E {\ displaystyle x \ in E}$ $x\in E$ » перед «там» существует натуральное число $N {\ displaystyle N}$ $N$ "приводит к определению поточечной сходимости, чтобы сделать это различие явным, в случае равномерной сходимости $N = N (ϵ) {\ displaystyle N = N (\ epsilon)}$ $N=N(\epsilon)$ может зависеть только от $ϵ {\ displaystyle \ epsilon}$ $\epsilon$ , и выбор $N {\ displaystyle N}$ $N$ должен работать для всех $x ∈ E {\ displaystyle x \ in E}$ $x\in E$ для конкретного заданного значения $ϵ {\ displaystyle \ epsilon}$ $\epsilon$ . Напротив, в случае поточечной сходимости $N = N (ϵ, x) {\ displaystyle N = N (\ epsilon, x)}$ $N=N(\epsilon,x)$ может зависеть как от $ϵ {\ displaystyle \ epsilon}$ $\epsilon$ и $x {\ displaystyle x}$ $x$ , и выбор $N {\ displaystyle N}$ $N$ должен работать для соответствующих заданных зна че ний $ϵ {\ displaystyle \ epsilon}$ $\epsilon$ и $x {\ displaystyle x}$ $x$ . Таким образом, примерная сходимость подразумевает поточечную сходимость, однако обратное неверно, как показано в следующем разделе.

Обобщения

Можно напрямую расширить концепцию функций E → M, где (M, d) - метрическое пространство, заменив $| f n (x) - f (x) | {\ displaystyle | f_ {n} (x) -f (x) |}$ $|f_{n}(x)-f(x)|$ с $d (fn (x), f (x)) {\ displaystyle d (f_ {n} (x), f (x))}$ $d(f_{n}(x),f(x))$ .

Наиболее общая установка - это равномерная сходимость сетей функций E → X, где X - равномерное пространство. Мы говорим, что сеть $(f α) {\ displaystyle (f _ {\ alpha})}$ $(f_{\alpha })$ сходится равномерно с пределом f: E → X тогда и только тогда, когда для каждого окружения V в X существует $α 0 {\ displaystyle \ alpha _ {0}}$ $\alpha _{0}$ , такое, что для каждого x в E и каждого $α ≥ α 0 {\ displaystyle \ альфа \ geq \ альфа _ {0}}$ $\alpha \geq \alpha _{0}$ , $(е α (х), f (х)) {\ displaystyle (f _ {\ alpha} (x), f (x))}$ $(f_{\alpha }(x),f(x))$ принадлежит V. В этой ситуации равномерный предел непрерывных функций непрерывным.

Определение в гиперреальной настройке

Равномерная конвергенция допускает упрощенное определение в настройке гиперреальной. Таким образом, последовательность $fn {\ displaystyle f_ {n}}$ $f_{n}$ сходится к f равномерно, если для всех x в области $f ∗ {\ displaystyle f ^ {*}}$ $f^{*}$ и все бесконечные n, $fn ∗ (x) {\ displaystyle f_ {n} ^ {*} (x)}$ $f_{n}^{*}(x)$ бесконечно близко к $f ∗ (x) {\ displaystyle f ^ {*} (x)}$ $f^{*}(x)$ (см. микропрерывность для аналогичного определения однородной непрерывности).

Примеры

Используя топологическое пространство X, мы оборудовали пространство вещественного или комплексного -значные функции над X с топологией равномерной нормальной метрикой с равномерной метрикой, определенной как

d (f, g) = ‖ f - g ‖ ∞ = sup x ∈ X | f (x) - g (x) |. {\ displaystyle d (f, g) = \ | fg \ | _ {\ infty} = \ sup _ {x \ in X} | f (x) -g (x) |.}

d(f,g)=\|f-g\|_{\infty }=\sup _{x\in X}|f(x)-g(x)|.

означает равномерную сходимость просто сходимость в топологии равномерной нормы :

lim n → ∞ ‖ fn - f ‖ ∞ знак равно 0 {\ Displaystyle \ lim _ {п \ к \ infty} \ | f_ {n} -f \ | _ {\ infty} = 0}

\lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{\infty }=0

Последовательность функций $(fn) {\ displaystyle (f_ {n})}$ $(f_{n})$

{fn: [0, 1] → [0, 1] fn (x) = xn {\ displaystyle {\ begin {case} f_ {n}: [0,1] \ to [0,1] \\ f_ {n} (x) = x ^ {n} \ end {case}}}

{\begin{cases}f_{n}:[0,1]\to [0,1]\\f_{n}(x)=x^{n}\end{cases}}

- классический пример следовать функциям, сходящейся к функциям $f {\ displaystyle f}$ $f$ точечно, но не равномерно. Чтобы показать это, сначала заметим, что поточечный предел $(fn) {\ displaystyle (f_ {n})}$ $(f_{n})$ as $n → ∞ {\ displaystyle n \ to \ infty}$ $n\to \infty$ - функция $f {\ displaystyle f}$ $f$ , заданная как

f (x) = lim n → ∞ fn (x) = {0, x ∈ [0, 1); 1, х знак равно 1. {\ Displaystyle е (х) = \ lim _ {п \ к \ infty} е_ {п} (х) = {\ begin {case} 0, х \ in [0,1) ; \ \ 1, x = 1. \ End {cases}}}

f(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)={\begin{cases}0,x\in [0,1);\\1,x=1.\end{cases}}

Точечная сходимость: сходимость тривиальна для $x = 0 {\ displaystyle x = 0}$ $x=0$ и $x = 1 {\ displaystyle x = 1}$ $x=1$ , поскольку $fn (0) = f (0) = 0 {\ displaystyle f_ {n} (0) = f (0) = 0}$ $f_{n}(0)=f(0)=0$ и $fn (1) = f (1) = 1 {\ displaystyle f_ {n} (1) = f (1) = 1}$ $f_{n}(1)=f(1)=1$ , для всех $n {\ Displaystyle n}$ $n$ . Для $x ∈ (0, 1) {\ displaystyle x \ in (0,1)}$ $x\in (0,1)$ и задано $ϵ>0 {\ displaystyle \ epsilon>0}$ $\epsilon>0$ , мы можем, что $| fn (x) - f (x) | < ϵ {\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon }$ $|f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon$ всякий раз, когда $n ≥ N {\ displaystyle n \ geq N}$ $n\geq N$ , выбирая $N = ⌈ log ⁡ ϵ / log ⁡ x ⌉ {\ displaystyle N = \ lceil \ log \ epsilon / \ log x \ rceil}$ $N=\lceil \log \epsilon /\log x\rceil$ (здесь верхние квадратные скобки обозначают округление вверх, см. функция потолка ). Следовательно, $fn → f {\ displaystyle f_ {n} \ to f}$ $f_{n}\to f$ точечно для всех $x ∈ [0, 1] {\ displaystyle x \ in [0,1]}$ $x\in [0,1]$ . Обратите внимание, что выбор $N {\ displaystyle N}$ $N$ зависит от значений $ϵ {\ displaystyle \ epsilon}$ $\epsilon$ и $x {\ displaystyle x}$ $x$ . Более того, для фиксированного выбора $ϵ {\ displaystyle \ epsilon}$ $\epsilon$ , $N {\ d isplaystyle N}$ $N$ (который не может быть определен как см Aller) неограниченно по мере, как $x {\ displaystyle x}$ $x$ приближается к 1. Эти наблюдения исключают возможность равномерного схождения.

Неравномерность сходимости: сходимость неоднородна, потому что мы можем найти $ϵ>0 {\ displaystyle \ epsilon>0}$ $\epsilon>0$ , поэтому независимо от размера мы выбираем $N, {\ displaystyle N,}$ $N,$ будут значения $x ∈ [0, 1] {\ displaystyle x \ in [0,1]}$ $x \in [0,1]$ и $n ≥ N {\ displaystyle n \ geq N}$ $n\geq N$ такой, что $| fn (x) - f (x) | ≥ ϵ. {\ Displaystyle | f_ {n} (x) -f (x) | \ geq \ epsilon.}$ $|f_{n}(x)-f(x)|\geq \epsilon.$ Чтобы увидеть это, сначала заметьте, что независимо от того, насколько большим становится $n {\ displaystyle n}$ $n$ , всегда существует $x 0 ∈ [0, 1) {\ displaystyle x_ {0} \ in [0,1)}$ $x_{0}\in [0,1)$ такой, что $fn (x 0) = 1/2. {\ Displaystyle f_ {n} (x_ {0}) = 1 / 2.}$ $f_{n}(x_{0})=1/2.$ Таким образом, если мы выберем $ϵ = 1/4, {\ displaystyle \ epsilon = 1/4,}$ $\epsilon =1/4,$ , мы никогда не смо жем найдите $N {\ displaystyle N}$ $N$ такой, что $| f n (x) - f (x) | < ϵ {\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon }$ $|f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon$ для всех $x ∈ [0, 1] {\ displaystyle x \ in [0,1]}$ $x\in [0,1]$ и $n ≥ N {\ displaystyle n \ geq N}$ $n\geq N$ . Явно, какой бы кандидат мы ни выбрали для $N {\ displaystyle N}$ $N$ , учитывайте значение $f N {\ displaystyle f_ {N}}$ $f_{N}$ в $Икс 0 = (1/2) 1 / N {\ Displaystyle x_ {0} = (1/2) ^ {1 / N}}$ $x_{0}=(1/2)^{1/N}$ . Начиная с

| f N (x 0) - f (x 0) | = | [(1/2) 1 N] N - 0 | Знак равно 1 2>1 4 знак равно ϵ, {\ Displaystyle \ влево | f_ {N} (x_ {0}) - f (x_ {0}) \ right | = \ left | \ left [(1/2) ^ {\ frac {1} {N}} \ right] ^ {N} -0 \ right | = {\ frac {1} {2}}>{\ frac {1} {4}} = \ epsilon,}

$\left|f_{N}(x_{0})-f(x_{0})\right|=\left|\left[(1/2)^{\frac {1}{N}}\right]^{N}-0\right|={\frac {1}{2}}>{\ frac {1} {4}} = \ epsilon,$

кандидат не работает, потому что мы нашли пример $x ∈ [0, 1] {\ displaystyle x \ in [0,1]}$ $x\in [0,1]$ , «избежал» попытка «ограничить» каждый $fn (n ≥ N) {\ displaystyle f_ {n} \ (n \ geq N)}$ $f_{n}\ (n\geq N)$ с точностью до $ϵ {\ displaystyle \ epsilon}$ $\epsilon$ из $f {\ displaystyle f}$ $f$ для всех $x ∈ [0, 1] {\ displaystyle x \ in [0,1]}$ $x\in [0,1]$ . На самом деле, легко увидеть, что

lim n → ∞ ‖ Fn - е ‖ ∞ = 1, {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ | f_ {n} -f \ | _ {\ infty} = 1,}

\lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{\infty }=1,

вопреки требованию, чтобы $‖ Fn - е ∞ ∞ → 0 {\ displaystyle \ | f_ {n} -f \ | _ {\ infty} \ к 0}$ $\|f_{n}-f\|_{\infty }\to 0$ , если $fn ⇉ f {\ displaystyle f_ {n } \ rightrightarrows f}$ $f_{n}\rightrightarrows f$ .

В этом примере легко увиде ть, что поточеч ная сходимость не соответствует дифференцируемости или непрерывности. Хотя каждая функция встроена гладкой, есть для всех n $fn ∈ C ∞ ([0, 1]) {\ displaystyle f_ {n} \ in C ^ {\ infty} ([0, 1])}$ $f_{n}\in C^{\infty }([0,1])$ , предел $lim n → ∞ fn {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} f_ {n}}$ ${\displayst yle \lim _{n\to \infty }f_{n}}$ даже не является непрерывным.

Экспоненциальная функция

Можно показать, что разложение в ряд экспоненциальной функции равномерно сходится на любом ограниченном подмножестве $S ⊂ C {\ displaystyle S \ subset \ mathbb { C}}$ $S\subset \mathbb {C}$ с использованием М-критерия Вейерштрасса.

Теорема (М-критерий Вейерштрасса). Пусть $(fn) {\ displaystyle (f_ {n})}$ $(f_{n})$ - последовательность функций $fn: E → C {\ displaystyle f_ {n}: E \ to \ mathbb {C}}$ $f_{n}:E\to \mathbb {C}$ и пусть $M n {\ displaystyle M_ {n}}$ $M_{n}$ - последовательность положительных действительных чисел, такая что $| f n (x) | < M n {\displaystyle |f_{n}(x)|$ $|f_{n}(x)|<M_{n}$ для всех $x ∈ E {\ displaystyle x \ in E}$ $x\in E$ и $n = 1, 2, 3,… {\ displaystyle n = 1,2,3, \ ldots}$ $n=1,2,3,\ldots$ Если $∑ n M n {\ textstyle \ sum _ {n} M_ {n}}$ ${\textstyle \sum _{n}M_{n}}$ сходится, то $∑ nfn {\ textstyle \ sum _ {n} f_ {n}}$ ${\textstyle \sum _{n}f_{n}}$ сходится равномерно на $E {\ displaystyle E}$ $E$ .

Комплексная экспоненциальная функция может быть выражена в виде ряда:

∑ n = 0 ∞ znn!. {\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {n}} {n!}}.}

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.

Любое ограниченное подмножество является подмножеством некоторого диска $DR {\ displaystyle D_ {R}}$ $D_{R}$ радиуса $R, {\ displaystyle R,}$ $R,$ с центром в исходной точке в комплексной плоскости. M-тест Вейерштрасса требует от нас найти верхнюю границу $M n {\ displaystyle M_ {n}}$ $M_{n}$ условий ряда с $M n {\ displaystyle M_ {n}}$ $M_{n}$ независимо от позиции на диске:

| z n n! | ≤ M N, ∀ Z ∈ D R. {\ displaystyle \ left | {\ frac {z ^ {n}} {n!}} \ right | \ leq M_ {n}, \ forall z \ in D_ {R}.}

\left|{\frac {z^{n}}{n!}}\right|\leq M_{n},\forall z\in D_{R}.

Для этого мы уведомляем

| z n n! | ≤ | z | п п! ≤ R n n! {\ displaystyle \ left | {\ frac {z ^ {n}} {n!}} \ right | \ leq {\ frac {| z | ^ {n}} {n!}} \ leq {\ frac {R ^ {n}} {n!}}}

\left|{\frac {z^{n}}{n!}}\right|\leq {\frac {|z|^{n}}{n!}}\leq {\frac {R^{n}}{n!}}

и возьмите $M n = R nn!. {\ displaystyle M_ {n} = {\ tfrac {R ^ {n}} {n!}}.}$ $M_{n}={\tfrac {R^{n}}{n!}}.$

Если $∑ n = 0 ∞ M n {\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} M_ {n}}$ $\sum _{n=0}^{\infty }M_{n}$ сходится, тогда M-тест утверждает, что исходный ряд сходится равномерно.

Здесь можно использовать тест отношения :

lim n → ∞ M n + 1 M n = lim n → ∞ R n + 1 R n n! (п + 1)! знак равно lim n → ∞ р N + 1 знак равно 0 {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {M_ {n + 1}} {M_ {n}}} = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {R ^ {n + 1}} {R ^ {n}}} {\ frac {n!} {(n + 1)!}} = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {R} {n + 1}} = 0}

\lim _{n\to \infty }{\frac {M_{n+1}}{M_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {R^{n+1}}{R^{n}}}{\frac {n!}{(n+1)!}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {R}{n+1}}=0

, что означает, что ряд по $M n {\ displaystyle M_ {n}}$ $M_{n}$ сходится. Таким образом, исходный ряд сходится равномерно для всех $z ∈ DR, {\ displaystyle z \ in D_ {R},}$ $z\in D_{R},$ , а поскольку $S ⊂ DR {\ displaystyle S \ subset D_ {R}}}$ $S\subset D_{R}$ , ряд также равномерно сходится на $S. {\ displaystyle S.}$ $S.$

Свойства

Каждая равномерно сходящаяся последовательность локально равномерно сходится.
Каждая локально равномерно сходящаяся последовательность компактно сходится.
Для локально компактных пространств локальная равномерная сходимость и компактная сходимость совпадают.
Последовательность непрерывных функций в метрических пространствах с полным метрическим пространством сходится тогда и только тогда, когда она равномерно Коши.
Если $S {\ displaystyle S}$ $S$ представляет собой компактный интервал (или вообще компактное топологическое пространство) и $(fn) {\ displaystyle (f_ {n})}$ $(f_{n})$ - это монотонно возрастающая последовательность (что означает $fn (x) ≤ fn + 1 (x) {\ displaystyle f_ {n} (x) \ leq f_ {n + 1} (x)}$ $f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)$ для всех n и x)) непрерывным непрерывным функционированием $f {\ displaystyle f}$ $f$ , работающим непрерывно, постоянно равномерно (теорема Дини ). Равномерная сходимость также гарантируется, если $S {\ displaystyle S}$ $S$ является компактным интервалом и $(fn) {\ displaystyle (f_ {n})}$ $(f_{n})$ равностепенно непрерывная последовательность, сходящаяся поточечно.

Применения

к непрерывности

Контрпример к усилению теоремы о равномерной сходимости, в котором обязана поточечная, а не равномерная сходимость. Непрерывные зеленые функции

грех n ⁡ (x) {\ displaystyle \ sin ^ {n} (x)}

\sin ^{n}(x)

сходятся к прерывистой красной функции. Это может произойти только в том случае, если сходимость неоднородна.

Если $E {\ displaystyle E}$ $E$ и $M {\ displaystyle M}$ $M$ являются топологическими пробеловами, тогда имеет смысл говорить о непрерывности функций $fn, f: E → M {\ displaystyle f_ {n}, f: E \ to M}$ $f_{n},f:E\to M$ . Если мы предположим, что $M {\ displaystyle M}$ $M$ является метрическим пространством, тогда (равномерная) сходимость $fn {\ displaystyle f_ {n}}$ $f_{n}$ - $f {\ displaystyle f}$ $f$ также хорошо известен. Следующий результат утверждает, что непрерывность сохраняется за равномерной сходимости:

Равномерная предельная теорема . Предположим, что

E {\ displaystyle E}

E

- топологическое пространство,

M {\ displaystyle M}

M

- метрическое пространство и

(fn) {\ displaystyle (f_ {n})}

(f_{n})

- последовательность непрерывных функций

fn: E → M {\ displaystyle f_ {n}: E \ to M}

f_{n}:E\to M

. Если

fn ⇉ f {\ displaystyle f_ {n} \ rightrightarrows f}

f_{n}\rightrightarrows f

на

E {\ displaystyle E}

E

, то

f {\ displaystyle f }

f

также является непрерывным.

Эта теорема доказывает "приемом ε / 3" и является типичным примером этого приема: для использования данного метода демонстрируется непрерывность и равномерная сходимость для получения 3 неравенств (ε / 3). для получения желаемого неравенства.

Эта теорема является частью истории реального и анализа Фурье, поскольку многие математики века интуитивно понимали, что последовательность непрерывных функций всегда сходится к непрерывной функции. На изображении показано контрпример, и многие прерывистые функции фактически записаны как ряд Фурье непрерывных функций. Ошибочное утверждение о непрерывности поточечного предела непрерывных функций. Равномерная предельная теорема показывает, что необходима более сильная форма сходимости, равномерная сходимость, сохранение непрерывности в предельной функции.

Точнее, эта теорема утверждает, что равномерный предел равномерно непрерывных равномерно непрерывен; для локально компактного пространства непрерывности эквивалентна равномерной непрерывности, и, следовательно, равномерный предел непрерывных функций непрерывен.

К дифференцируемости

Если $S {\ displaystyle S}$ $S$ - интервал и все функции $fn {\ displaystyle f_ {n}}$ $f_{n}$ дифференцируемые сходы иятся к пределу $f {\ displaystyle f}$ $f$ , часто желательно определить производную функцию $f ′ {\ displaystyle f '}$ $f'$ , взяв предел следовать $fn ′ {\ displaystyle f '_ {n}}$ $f'_{n}$ . Однако в общем случае это невозможно: даже если сходимость является равномерной, предельная функция не обязательно должна быть дифференцируемой (даже если существует последовательность из повсюду- аналитических функций, см. функция Вейерштрасса ), и Даже если она дифференцируема, производная предельная функция не обязательно должна быть пределу производных. Рассмотрим, например, $fn (x) = n - 1/2 sin ⁡ (nx) {\ displaystyle f_ {n} (x) = n ^ {- 1/2} {\ sin (nx)}}$ $f_{n}(x)=n^{-1/2}{\sin(nx)}$ с единым ограничением $fn ⇉ f ≡ 0 {\ displaystyle f_ {n} \ rightrightarrows f \ Equiv 0}$ $f_{n}\rightrightarrows f\equiv 0$ . Ясно, что $f '{\ displaystyle f'}$ $f'$ также идентично нулю. Однако производные функции задаются следующим образом: $fn ′ (x) = n 1/2 cos ⁡ nx, {\ displaystyle f '_ {n} (x) = n ^ {1/2} \ cos nx,}$ $f'_{n}(x)=n^{1/2}\cos nx,$ и последовательность $fn ′ {\ displaystyle f '_ {n}}$ $f'_{n}$ не сходится к $f ′, {\ displaystyle f',}$ $f',$ или вообще любой функции. Чтобы связь между пределом выполнялась дифференцируемых возможностей и пределом для выполнения производных, требуется стабильная сходимость, чтобы обеспечить выполнение функций, хотя бы в одной точке:

Если

(fn) {\ displaystyle (f_ {n})}

(f_{n})

- последовательность дифференцируемых функций на

[a, b] {\ displaystyle [a, b]}

[a,b]

такое, что

lim n → ∞ fn (x 0) {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} f_ {n} (x_ {0})}

\lim _{n\to \infty }f_{n}(x_{0})

существует (и конечно) для некоторого

x 0 ∈ [a, b] {\ displaystyle x_ { 0} \ in [a, b]}

x_{0}\in [a,b]

и следовать

(fn ′) {\ displaystyle (f '_ {n})}

(f'_{n})

равномерно сходится на

[ a, b] {\ displaystyle [a, b]}

[a,b]

, затем

fn {\ displaystyle f_ {n}}

f_{n}

равномерно сходится к функциям

f {\ displaystyle f}

f

на

[a, b] {\ displaystyle [a, b]}

[a,b]

f ′ (x) = lim n → ∞ fn ′ (x) {\ Displaystyle F '(х) = \ lim _ {п \ к \ в f ty} f '_ {n} (x)}

f'(x)=\lim _{n\to \infty }f'_{n}(x)

для

x ∈ [a, b] {\ displaystyle x \ in [a, b]}

x\in [a,b]

К интегрируемости

Точно так же часто хочется обмениваться интегралами и ограничивать процессы. Для интеграла Римана это можно сделать, если равномерная сходимость:

Если

(fn) n = 1 ∞ {\ displaystyle (f_ {n}) _ {n = 1} ^ {\ infty}}

(f_{n})_{n=1}^{\infty }

- последовательность интегрируемых функций Римана, определенных на компактном интервале

I {\ displaystyle I}

I

, которые равномерно сходятся с пределом

f {\ displaystyle f}

f

, тогда

f {\ displaystyle f}

f

является интегрируемым по Риману, и его интеграл может быть вычислен как предел интегралов

fn {\ displaystyle f_ {n}}

f_{n}

∫ I f = lim n → ∞ ∫ I fn. {\ displaystyle \ int _ {I} f = \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {I} f_ {n}.}

\int _{I}f=\lim _{n\to \infty }\int _{I}f_{n}.

Фактически, для равномерно сходящегося семейства ограниченных функций на интервале, верхний и нижний интегралы Римана сходятся к верхнему и нижнему интегралам Римана от предельной функции. Это следует потому, что для достаточно большого n график $fn {\ displaystyle f_ {n}}$ $f_{n}$ находится в пределах ε графика f, поэтому верхняя сумма и нижняя сумма $fn {\ displaystyle f_ {n}}$ $f_{n}$ находятся в пределах $ε | Я | {\ displaystyle \ varepsilon | I |}$ $\varepsilon |I|$ значения верхней и нижней сумм $f {\ displaystyle f}$ $f$ соответственно.

Гораздо более сильные теоремы в этом отношении, которые требуют не более чем поточечной сходимости, должны быть получены, если отказаться от интеграла Римана и использовать вместо него интеграл Лебега.

Аналитические функции

Если последовательность аналитических функций сходится равномерно в области S комплексной плоскости, то является пределом в S. Этот пример демонстрирует, что комплексная функции ведут себя лучше, чем реальные функции, поскольку равномерный предел аналитических функций на действительном интервале не обязательно должен быть дифференцируемым (см. функция Вейерштрасса ).

К серии

Мы говорим, что $∑ n = 1 ∞ fn {\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} f_ {n}}$ $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}$ сходится:

i) поточечно на E тогда и только тогда, когда последовательность частичных сумм $sn (x) = ∑ j = 1 nfj (x) {\ displaystyle s_ {n } (x) = \ sum _ {j = 1} ^ {n} f_ {j} (x)}$ $s_{n}(x)=\sum _{j=1}^{n}f_{j}(x)$ сходится для каждого $x ∈ E {\ displaystyle x \ in E}$ $x\in E$ .

ii) равномерно на E тогда и только тогда, когда s n сходится равномерно как $n → ∞ {\ displaystyle n \ to \ infty}$ $n\to \infty$ .

iii) абсолютно на E тогда и только тогда, когда $∑ n = 1 ∞ | f n | {\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} | f_ {n} |}$ $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }|f_{n}|$ сходится для каждого $x ∈ E {\ displaystyle x \ in E}$ $x\in E$ .

Это определение дает следующий результат:

Пусть x 0 содержится в наборе E, и каждый f n будет непрерывным в x 0. Если $f = ∑ n = 1 ∞ fn {\ displaystyle \ textstyle f = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} f_ {n}}$ $\textstyle f=\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}$ равномерно сходится на E, то f равно непрерывно в x 0 в E. Предположим, что $E = [a, b] {\ displaystyle E = [a, b]}$ $E=[a,b]$ и каждый f n интегрируема на E. Если $∑ n = 1 ∞ fn {\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} f_ {n}}$ $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}$ равномерно сходится на E тогда f интегрируема на E и ряд интегралов от f n равен интегралу ряда f n.

Почти равномерная сходимость

Если область определения функций a пространство меры E, то можно определить соответствующее понятие почти равномерной сходимости . Мы говорим, что последовательность функций $(fn) {\ displaystyle (f_ {n})}$ $(f_{n})$ сходится почти равномерно на E, если для каждого $δ>0 {\ displaystyle \ delta>0}$ $\delta>0$ там существует измеримое множество $E δ {\ displaystyle E _ {\ delta}}$ $E_{\delta }$ с размером меньше $δ {\ displaystyle \ delta}$ $\delta$ , такое что последовательность функций $(fn) {\ displaystyle (f_ {n})}$ $(f_{n})$ равномерно сходится на $E ∖ E δ {\ displaystyle E \ setminus E _ {\ delta}}$ $E\setminus E_{\delta }$ . Другими словами, почти равномерная сходимость означает, что существуют множества сколь угодно малой меры, для которых последовательность функций сходится равномерно на их дополнении.

Обратите внимание, что почти равномерная сходимость последовательности не означает, что последовательность сходится равномерно почти везде, как можно понять из названия. Однако теория Егорова em действительно гарантирует, что на пространстве с конечной мерой последовательность функций, сходящаяся почти всюду, также сходится почти равномерно на том же множестве.

Почти равномерная сходимость подразумевает сходимость почти всюду и сходимость по мере.

См. Также

Примечания

Ссылки

Конрад Кнопп, Теория и применение бесконечных рядов ; Blackie and Son, Лондон, 1954, перепечатано Dover Publications, ISBN 0-486-66165-2.
G. Х. Харди, сэр Джордж Стоукс и концепция единой конвергенции ; Протоколы Кембриджского философского общества, 19, стр. 148–156 (1918)
Бурбаки ; Элементы математики: общая топология. Главы 5–10 ( Paperback); ISBN 0-387-19374-X
Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw–Hill, 1976.
Gerald Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Second Edition, John Wiley Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-31716-0.
William Wade, An Introduction to Analysis, 3rd ed., Pearson, 2005

External links

, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
"Uniform convergence". PlanetMath.
"Limit point of function". PlanetMath.
"Converges uniformly". PlanetMath.
"Convergent series". PlanetMath.
Graphic examples of uniform convergence of Fourier series from the University of Colorado