М-тест Вейерштрасса

редактировать

В математике, М-тест Вейерштрасса - это тест для определения того, сходится ли бесконечный ряд из функций равномерно и абсолютно. Он применяется к рядам, членами которых являются ограниченные функции с действительными или комплексными значениями, и аналогичен сравнительному тесту для определения сходимости. серий действительных или комплексных чисел. Он назван в честь немецкого математика Карла Вейерштрасса (1815-1897).

Содержание

1 Утверждение
2 Доказательство
3 Обобщение
4 См. Также
5 Ссылки

Утверждение

М-тест Вейерштрасса. Предположим, что (f n) - это последовательность функций с действительным или комплексным знаком, определенных в наборе A, и что существует последовательность неотрицательных чисел (M n), удовлетворяющие

∀ n ≥ 1, ∀ x ∈ A: | f n (x) | ≤ M n, {\ displaystyle \ forall n \ geq 1, \ forall x \ in A: \ | f_ {n} (x) | \ leq M_ {n},}

\ forall n \ geq 1, \ forall x \ in A: \ | f_ {n} (x) | \ leq M_ {n},

∑ n = 1 ∞ M n < ∞. {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }M_{n}<\infty.}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} M_ {n} <\ infty.}

Тогда ряд

∑ N = 1 ∞ fn (x) {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} f_ {n} (x)}

\ sum _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} f_ {n} (x)

сходится абсолютно и равномерно на A.

Замечание. Результат часто используется в сочетании с равномерной предельной теоремой. Вместе они говорят, что если, в дополнение к вышеуказанным условиям, множество A является топологическим пространством, а функции f n являются непрерывными на A, то ряд сходится к непрерывной функции.

Доказательство

Рассмотрим последовательность функций

S n (x) = ∑ k = 1 n f k (x). {\ Displaystyle S_ {n} (x) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} f_ {k} (x).}

{\ displaystyle S_ {n} (x) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} f_ {k} (x).}

Поскольку ряд $∑ n = 1 ∞ M n {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} M_ {n}}$ $\ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} M_ {n}$ сходится и M n ≥ 0 для каждого n, то по критерию Коши,

∀ ε>0: ∃ N: ∀ m>n>N: ∑ k = n + 1 m M k < ε. {\displaystyle \forall \varepsilon>0: \ существует N: \ forall m>n>N: \ sum _ {k = n +1} ^ {m} M_ {k} <\varepsilon.}

\forall \varepsilon>0: \ exists N: \ forall m>n>N: \ sum _ {k = n + 1} ^ {m} M_ {k} <\varepsilon.

Для выбранный N,

∀ x ∈ A: ∀ m>n>N {\ displaystyle \ forall x \ in A: \ forall m>n>N}

\forall x\in A:\forall m>n>N

| S m (x) - S n x) | = | ∑ k = n + 1 mfk (x) | ≤ (1) ∑ k = n + 1 m | fk (x) | ≤ ∑ k = n + 1 m M k < ε. {\displaystyle \left|S_{m}(x)-S_{n}(x)\right|=\left|\sum _{k=n+1}^{m}f_{k}(x)\right|{\overset {(1)}{\leq }}\sum _{k=n+1}^{m}|f_{k}(x)|\leq \sum _{k=n+1}^{m}M_{k}<\varepsilon.}

{\ displaystyle \ left | S_ {m} (x) -S_ {n} (x) \ right | = \ слева | \ sum _ {k = n + 1} ^ {m} f_ {k} (x) \ right | {\ overset {(1)} {\ leq}} \ sum _ {k = n + 1} ^ {m} | f_ {k} (x) | \ leq \ sum _ {k = n + 1} ^ {m} M_ {k} <\ varepsilon.}

(Неравенство (1) следует из неравенства треугольника .)

Таким образом, последовательность S n (x) является последовательностью Коши в R или C, а по полноте он сходится к некоторому числу S (x), которое зависит от x. При n>N мы можем написать

| S (x) - S n (x) | = | lim m → ∞ S m (x) - S n (x) | = lim m → ∞ | S m (x) - S n (x) | ≤ ε. {\ displaystyle \ left | S (x) -S_ {n} (x) \ right | = \ left | \ lim _ {m \ to \ infty} S_ {m} (x) -S_ {n} (x) \ right | = \ lim _ {m \ to \ infty} \ left | S_ {m} (x) -S_ {n} (x) \ right | \ leq \ varepsilon.}

{\ displaystyle \ left | S (x) -S_ {n} (x) \ right | = \ left | \ lim _ {m \ to \ infty} S_ {m} (x) -S_ {n} (x) \ right | = \ lim _ {m \ to \ infty} \ left | S_ {m} (x) -S_ {n} (x) \ right | \ leq \ varepsilon.}

Поскольку N не зависит от x, это означает, что последовательность S n частичных сумм равномерно сходится к функции S. Следовательно, по определению, ряд $∑ k = 1 ∞ fk (x) {\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} f_ {k} (x)}$ $\ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} f_ {k} (x)$ сходится равномерно.

Аналогично можно доказать, что $∑ k = 1 ∞ | f k (x) | {\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} | f_ {k} (x) |}$ ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} | f_ {k} (x) |}$ сходится равномерно.

Обобщение

Более общая версия М-теста Вейерштрасса выполняется, если общий кодобласть функций (f n) является Банахово пространство, в этом случае предпосылка

| f n (x) | ≤ M n {\ displaystyle | f_ {n} (x) | \ leq M_ {n}}

{\ displaystyle | f_ {n} (x) | \ leq M_ {n}}

следует заменить на

‖ fn (x) ‖ ≤ M n {\ displaystyle \ | f_ {n } (x) \ | \ leq M_ {n}}

{\ displaystyle \ | f_ {n } (x) \ | \ leq M_ {n}}

где $‖ ⋅ ‖ {\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$ $\ | \ cdot \ |$ - норма на Банахово пространство. Пример использования этого теста в банаховом пространстве см. В статье Производная Фреше.

См. Также

Пример M-теста Вейерштрасса

Ссылки

Рудин, Вальтер ( 1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
Рудин, Вальтер (май 1986 г.). Реальный и комплексный анализ. McGraw-Hill Наука / Инженерия / Математика. ISBN 0-07-054234-1.
Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа. McGraw-Hill Science / Engineering / Math.
Whittaker, E.T. ; Уотсон, Г.Н. (1927). Курс современного анализа (четвертое изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 49.