Функции пола и потолка

редактировать

Математические функции, принимающие реальный ввод и округляющие его в меньшую или большую сторону, соответственно

Пол функция

Верхняя функция

В математике и информатике, нижняя функция - это функция, которая принимает в качестве входных данных вещественное число $x {\ displaystyle x}$ $x$ , и дает на выходе наибольшее целое число, меньшее или равное $x {\ displaystyle x }$ $x$ , обозначается $этаж ⁡ (x) {\ displaystyle \ operatorname {floor} (x)}$ $\operatorname {floor} (x)$ или $⌊ x ⌋ {\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}$ $\lfloor x\rfloor$ . Точно так же функция потолка отображает $x {\ displaystyle x}$ $x$ на наименьшее целое число, большее или равное $x {\ displaystyle x}$ $x$ , обозначаемый $ceil ⁡ (x) {\ displaystyle \ operatorname {ceil} (x)}$ $\operatorname {ceil} (x)$ , или $⌈ x ⌉ {\ displaystyle \ lceil x \ rceil}$ $\lceil x\rceil$ .

для например, $этаж ⁡ (2.4) = ⌊ 2.4 ⌋ = 2 {\ displaystyle \ operatorname {floor} (2.4) = \ lfloor 2.4 \ rfloor = 2}$ $\operatorname {floor} (2.4)=\lfloor 2.4\rfloor =2$ и $ceil ⁡ (2.4) = ⌈ 2,4 ⌉ знак равно 3 {\ displaystyle \ operatorname {ceil} (2.4) = \ lceil 2.4 \ rceil = 3}$ $\operatorname {ceil} (2.4)=\lceil 2.4\rceil =3$ , а $⌊ 2 ⌋ = ⌈ 2 ⌉ = 2 {\ displaystyle \ lfloor 2 \ rfloor = \ lceil 2 \ rceil = 2}$ $\lfloor 2\rfloor =\lceil 2\rceil =2$ .

целая часть или целая часть числа x, часто обозначаемая $[x], {\ displaystyle [x],}$ $[x],$ равно $⌊ x ⌋ {\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}$ $\lfloor x\rfloor$ , если x неотрицательно, и $⌈ x ⌉ {\ displaystyle \ lceil x \ rceil}$ $\lceil x\rceil$ иначе. Проще говоря, это целое число, у которого наибольшее абсолютное значение меньше или равно абсолютному значению x.

Содержание

1 Обозначение
- 1.1 Примеры
- 1.2 Набор текста
2 Определение и свойства
- 2.1 Эквивалентность
- 2.2 Отношения между функциями
- 2.3 Коэффициенты
- 2.4 Вложенные подразделения
- 2.5 Непрерывность и расширение серий
3 Приложения
- 3.1 Оператор Mod
- 3.2 Квадратичная взаимность
- 3.3 Округление
- 3.4 Усечение
- 3.5 Количество цифр
- 3.6 Факториалы
- 3.7 Последовательность Битти
- 3.8 Константа Эйлера (γ)
- 3.9 Дзета-функция Римана (ζ)
- 3.10 Формулы для простых чисел
- 3.11 Решенные задачи
- 3.12 Нерешенная проблема
4 Компьютерные реализации
- 4.1 Программное обеспечение электронных таблиц
5 См. Также
6 Примечания
7 Ссылки
8 Внешние ссылки

Обозначения

Понятие целой или целой части x было впервые представил в 1798 году Адриен-Мари Лежандр под именем partie entière («entière» - женская форма французского прилагательного «entier», французского слова «целое число»), когда ему понадобилось концепция для доказательства формулы формулы Лежандра.

Карл Фридрих Гаусс ввел обозначение квадратных скобок $[x] {\ displaystyle [x]}$ $[x]$ в своем третьем доказательстве квадратичная взаимность (1808). Это оставалось стандартом в математике до тех пор, пока Кеннет И. Айверсон не представил в своей книге «Язык программирования» 1962 года названия «пол» и «потолок» и соответствующие обозначения $⌊ x ⌋ {\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}$ $\lfloor x\rfloor$ и $⌈ x ⌉ {\ displaystyle \ lceil x \ rceil}$ $\lceil x\rceil$ . Оба обозначения теперь используются в математике, хотя в этой статье мы будем следовать обозначениям Айверсона.

В математике функция пола также может быть записана жирным шрифтом или в двойных скобках $[[x]] {\ displaystyle [\! [X] \!]}$ $[\![x]\!]$ . Функция потолка имеет другое обозначение с перевернутыми жирными (или двойными) скобками $]] x [[{\ displaystyle] \!] X [\! [}$ $]\!]x[\![$ - хотя обычные перевернутые скобки] x [ также может использоваться.

Для отрицательных значений x термины целая часть или целая часть x иногда вместо этого принимаются за значение функции потолка, т. е. значение x, округленное до целого числа в сторону 0. В языке APL используется ⌊x; другие компьютерные языки обычно используют такие обозначения, как entier (x)(ALGOL ), INT (x)(BASIC, MS Excel ) или floor (x)(C, C ++, R и Python ).

Функция потолка обычно обозначается ceil (x)или меньше. обычно потолок (x)на компьютерных языках, не относящихся к APL, которые имеют обозначение для этой функции. J Programming Language, продолжение APL, который разработан для использования стандартных символов клавиатуры, использует >.для потолка и <.для пола.

Дробная часть - это пилообразная функция, обозначенная ${x} {\ displaystyle \ {x \}}$ $\{x\}$ для действительного x и определяемая формула

{x} = x - ⌊ x ⌋. {\ displaystyle \ {x \} = x- \ lfloor x \ rfloor.}

\{x\}=x-\lfloor x\rfloor.

Для всех x,

0 ≤ {x} < 1. {\displaystyle 0\leq \{x\}<1.}

0\leq \{x\}<1.

Примеры

x	Floor $⌊ x ⌋ {\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}$ $\lfloor x\rfloor$	Потолок $⌈ x ⌉ {\ displaystyle \ lceil x \ rceil}$ $\lceil x\rceil$	Дробная часть ${x} {\ displaystyle \ {x \}}$ $\{x\}$
2	2	2	0
2,4	2	3	0,4
2,9	2	3	0,9
-2,7	-3	-2	0,3
-2	−2	−2	0

Набор текста

Функции пола и потолка обычно набираются с помощью левой и правой квадратных скобок, где верхняя (для функции пола) или нижняя (для функции потолка) отсутствуют горизонтальные полосы ( $⌊ ⌋ {\ displaystyle \ lfloor \, \ rfloor}$ $\lfloor \,\rfloor$ для пола и $⌈ ⌉ {\ displaystyle \ lceil \, \ rceil}$ $\lceil \,\rceil$ для потолка). Эти символы представлены в Unicode:

U + 2308 ⌈ LEFT CEILING (HTML ⌈·⌈, ⌈)
U + 2309 ⌉ RIGHT CEILING (HTML ⌉·⌉), ⌉)
U + 230A ⌊ ЛЕВЫЙ ЭТАЖ (HTML ⌊·⌊, ⌊)
U + 230B ⌋ ПРАВЫЙ ЭТАЖ (HTML ⌋·⌋, ⌋)

В системе набора LaTeX эти символы могут быть указаны с помощью команд \ lfloor, \ rfloor, \ lceil и \ rceil в математическом режиме.

Определение и свойства

Даны действительные числа x и y, целые числа k, m, n и набор целых чисел $Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\mathbb {Z}$ , пол и потолок могут быть определены с помощью набора уравнений

⌊ x ⌋ = max {m ∈ Z ∣ m ≤ x}, {\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor = \ max \ {m \ in \ mathbb { Z} \ середина м \ Leq х \},}

\lfloor x\rfloor =\max\{m\in \mathbb {Z} \mid m\leq x\},

⌈ Икс ⌉ = мин {N ∈ Z ∣ n ≥ х}. {\ Displaystyle \ lceil x \ rceil = \ min \ {п \ in \ mathbb {Z } \ mid n \ geq x \}.}

\lceil x\rceil =\min\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geq x\}.

Поскольку существует ровно одно целое число в полуоткрытом интервале длины один, для любого действительного числа x существуют уникальные целые числа m и n, удовлетворяющие i ng уравнение

x - 1 < m ≤ x ≤ n < x + 1. {\displaystyle x-1

x-1<m\leq x\leq n<x+1.

где $⌊ x ⌋ = m {\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor = m}$ $\lfloor x\rfloor =m$ и $⌈ x ⌉ = n {\ displaystyle \ lceil x \ rceil = n}$ $\lceil x\rceil =n$ также может использоваться как определение пола и потолка.

Эквивалентности

Эти формулы можно использовать для упрощения выражений, включающих полы и потолки.

⌊ x ⌋ = m тогда и только тогда, когда m ≤ x < m + 1, ⌈ x ⌉ = n if and only if n − 1 < x ≤ n, ⌊ x ⌋ = m if and only if x − 1 < m ≤ x, ⌈ x ⌉ = n if and only if x ≤ n < x + 1. {\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor =m\;\;{\t_dv{ if and only if }}m\leq x

{\begin{aligned}\lfloor x\rfloor =m\;\;{\t_dv{ if and only if }}m\leq x<m+1,\\\lceil x\rceil =n\;\;{\t_dv{ if and only if }}n-1<x\leq n,\\\lfloor x\rfloor =m\;\;{\t_dv{ if and only if }}x-1<m\leq x,\\\lceil x\rceil =n\;\;{\t_dv{ if and only if }}x\leq n<x+1.\end{aligned}}

На языке теория порядка, нижняя функция - это остаточное отображение, то есть часть связи Галуа : это верхний сопряженный элемент функции, который вставляет целые числа в реалы.

x < n if and only if ⌊ x ⌋ < n, n < x if and only if n < ⌈ x ⌉, x ≤ n if and only if ⌈ x ⌉ ≤ n, n ≤ x if and only if n ≤ ⌊ x ⌋. {\displaystyle {\begin{aligned}x

{\begin{aligned}x<n\;\;{\t_dv{ if and only if }}\lfloor x\rfloor <n,\\n<x\;\;{\t_dv{ if and only if }}n<\lceil x\rceil,\\x\leq n\;\;{\t_dv{ if and only if }}\lceil x\rceil \leq n,\\n\leq x\;\;{\t_dv{ if and on ly if }}n\leq \lfloor x\rfloor.\end{aligned}}

Эти формулы показывают, как добавление целых чисел к аргументам влияет на функции:

⌊ x + n ⌋ = ⌊ x ⌋ + n, ⌈ x + n ⌉ = ⌈ x ⌉ + n, {x + n} = { Икс }. {\ Displaystyle {\ begin {align} \ lfloor x + n \ rfloor = \ lfloor x \ rfloor + n, \\\ lceil x + n \ rceil = \ lceil x \ rceil + n, \\\ {x + n \} = \ {x \}. \ end {align}}}

{\begin{aligned}\lfloor x+n\rfloor =\lfloor x\rfloor +n,\\\lceil x+n\rceil =\lceil x\rceil +n,\\\{x+n\}=\{x\}.\end{aligned}}

Вышеупомянутое никогда не является истинным, если n не является целым числом; однако для любых x и y выполняются следующие неравенства:

⌊ x ⌋ + ⌊ y ⌋ ≤ ⌊ x + y ⌋ ≤ ⌊ x ⌋ + ⌊ y ⌋ + 1, ⌈ x ⌉ + ⌈ y ⌉ - 1 ≤ ⌈ x + y ⌉ ≤ ⌈ x ⌉ + ⌈ y ⌉. {\ Displaystyle {\ begin {align} \ lfloor x \ rfloor + \ lfloor y \ rfloor \ leq \ lfloor x + y \ rfloor \ leq \ lfloor x \ rfloor + \ lfloor y \ rfloor +1, \\\ lceil x \ rceil + \ lceil y \ rceil -1 \ leq \ lceil x + y \ rceil \ leq \ lceil x \ rceil + \ lceil y \ rceil. \ end {align}}}

{\begin{aligned}\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor \leq \lfloor x+y\rfloor \leq \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1,\\\lceil x\rceil +\lceil y\rceil -1\leq \lceil x+y\rceil \leq \lceil x\rceil +\lceil y\rceil.\end{aligned}}

Отношения между функциями

Из определений ясно, что

⌊ x ⌋ ≤ ⌈ x ⌉, {\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor \ leq \ lceil x \ rceil,}

\lfloor x\rfloor \leq \lceil x\rceil,

с равенством тогда и только если x целое число, то есть

⌈ x ⌉ - ⌊ x ⌋ = {0, если x ∈ Z 1, если x ∉ Z {\ displaystyle \ lceil x \ rceil - \ lfloor x \ rfloor = {\ begin {cases} 0 {\ t_dv {if}} x \ in \ mathbb {Z} \\ 1 {\ t_dv {if}} x \ not \ in \ mathbb {Z} \ end {cases}}}

\lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor ={\begin{cases}0{\t_dv{ if }}x\in \mathbb {Z} \\1{\t_dv{ if }}x\not \in \mathbb {Z} \end{cases}}

Фактически, для целые числа n, функции пола и потолка являются тождеством :

⌊ n ⌋ = ⌈ n ⌉ = n. {\ displaystyle \ lfloor n \ rfloor = \ lceil n \ rceil = n.}

\lfloor n\rfloor =\lceil n\rceil =n.

Отрицание аргумента переключает пол и потолок и меняет знак:

⌊ x ⌋ + ⌈ - x ⌉ = 0 - ⌊ ​​x ⌋ Знак равно ⌈ - Икс ⌉ - ⌈ Икс ⌉ знак равно ⌊ - Икс ⌋ {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} \ lfloor x \ rfloor + \ lceil -x \ rceil = 0 \\ - \ lfloor x \ rfloor = \ lceil -x \ rceil \\ - \ lceil x \ rceil = \ lfloor -x \ rfloor \ end {align}}}

{\begin{aligned}\lfloor x\rfloor +\lceil -x\rceil =0\\-\lfloor x\rfloor =\lceil -x\rceil \\-\lceil x\rceil =\lfloor -x\rfloor \end{aligned}}

и:

⌊ x ⌋ + ⌊ - x ⌋ = {0, если x ∈ Z - 1, если x ∉ Z, {\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor + \ lfloor -x \ rfloor = {\ begin {cases} 0 {\ text {if}} x \ in \ mathbb {Z} \\ - 1 { \ text {if}} x \ not \ in \ mathbb {Z}, \ end {cases}}}

\lfloor x\rfloor +\lfloor -x\rfloor ={\begin{cases}0{\text{if }}x\in \mathbb {Z} \\-1{\text{if }}x\not \in \mathbb {Z},\end{cases}}

⌈ x ⌉ + ⌈ - x ⌉ = {0, если x ∈ Z, 1, если x ∉ Z. {\ displaystyle \ lceil x \ rceil + \ lceil -x \ rceil = {\ begin {cases} 0 {\ text {if}} x \ in \ mathbb {Z} \\ 1 {\ text {if}} x \ not \ in \ mathbb {Z}. \ end {ases}}}

\lceil x\rceil +\lceil -x\rceil ={\begin{cases}0{\text{if }}x\in \mathbb {Z} \\1{\text{if }}x\not \in \mathbb {Z}.\end{cases}}

Отрицание аргумента дополняет дробную часть:

{x} + {- x} = {0, если x ∈ Z 1, если x ∉ Z. {\ displaystyle \ {x \} + \ {- x \} = {\ begin {cases} 0 {\ text {if}} x \ in \ mathbb {Z} \\ 1 {\ text {if}} x \ not \ in \ mathbb {Z}. \ end {ases}}}

\{x\}+\{-x\}={\begin{cases}0{\text{if }}x\in \mathbb {Z} \\1{\text{if }}x\not \in \mathbb {Z}.\end{cases}}

Функции пола, потолка и дробной части являются идемпотентными :

⌊ ⌊ x ⌋ ⌋ = ⌊ x ⌋, ⌈ ⌈ x ⌉ ⌉ = ⌈ x ⌉, {{x}} = {x}. {\ displaystyle {\ begin {align} {\ Big \ lfloor} \ lfloor x \ rfloor {\ Big \ rfloor} = \ lfloor x \ rfloor, \\ {\ Big \ lceil} \ lceil x \ rceil {\ Big \ rceil} = \ lceil x \ rceil, \\ {\ Big \ {} \ {x \} {\ Big \}} = \ {x \}. \ end {align}}}

{\begin{aligned}{\Big \lfloor }\lfloor x\rfloor {\Big \rfloor }=\lfloor x\rfloor,\\{\Big \lceil }\lceil x\rceil {\Big \rceil }=\lceil x\rceil,\\{\Big \{}\{x\}{\Big \}}=\{x\}.\end{aligned}}

Результат из вложенных функций пола или потолка является самая внутренняя функция:

⌊ ⌈ x ⌉ ⌋ = ⌈ x ⌉, ⌈ ⌊ x ⌋ ⌉ = ⌊ x ⌋ {\ displaystyle {\ begin {align} {\ Big \ lfloor} \ lceil x \ rceil {\ Big \ rfloor} = \ lceil x \ rceil, \\ {\ Big \ lceil} \ lfloor x \ rfloor {\ Big \ rceil} = \ lfloor x \ rfloor \ end {align}}}

{\begin{aligned}{\Big \lfloor }\lceil x\rceil {\Big \rfloor }=\lceil x\rceil,\\{\Big \lceil }\lfloor x\rfloor {\Big \rceil }=\lfloor x\rfloor \end{aligned}}

из-за свойства идентичности для целых чисел.

Коэффициенты

Если m и n - целые числа и n 0,

0 ≤ {m n} ≤ 1 - 1 | п |. {\ displaystyle 0 \ leq \ left \ {{\ frac {m} {n}} \ right \} \ leq 1 - {\ frac {1} {| n |}}.}

0\leq \left\{{\frac {m}{n}}\right\}\leq 1-{\frac {1}{|n|}}.

Если n положительное целое число

⌊ x + mn ⌋ = ⌊ ⌊ x ⌋ + mn ⌋, {\ displaystyle \ left \ lfloor {\ frac {x + m} {n}} \ right \ rfloor = \ left \ lfloor {\ frac { \ lfloor x \ rfloor + m} {n}} \ right \ rfloor,}

\left\lfloor {\frac {x+m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\lfloor x\rfloor +m}{n}}\right\rfloor,

⌈ x + mn ⌉ = ⌈ ⌈ x ⌉ + mn ⌉. {\ displaystyle \ left \ lceil {\ frac {x + m} {n}} \ right \ rceil = \ left \ lceil {\ frac {\ lceil x \ rceil + m} {n}} \ right \ rceil.}

\left\lceil {\frac {x+m}{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {\lceil x\rceil +m}{n}}\right\rceil.

Если m положительно

n = ⌈ nm ⌉ + ⌈ n - 1 m ⌉ + ⋯ + ⌈ n - m + 1 m ⌉, {\ displaystyle n = \ left \ lceil {\ frac {n} { m}} \ right \ rceil + \ left \ lceil {\ frac {n-1} {m}} \ right \ rceil + \ dots + \ left \ lceil {\ frac {n-m + 1} {m}} \ right \ rceil,}

n=\left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil +\left\lceil {\frac {n-1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil,

n = nm ⌋ + ⌊ n + 1 m ⌋ + ⋯ + ⌊ n + m - 1 m ⌋. {\ displaystyle n = \ left \ lfloor {\ frac {n} {m}} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor {\ frac {n + 1} {m}} \ right \ rfloor + \ dots + \ left \ lfloor {\ frac {n + m-1} {m}} \ right \ rfloor.}

n=\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor.

Для m = 2 это означает, что

n = ⌊ n 2 ⌋ + ⌈ n 2 ⌉. {\ displaystyle n = \ left \ lfloor {\ frac {n} {2}} \ right \ rfloor + \ left \ lceil {\ frac {n} {2}} \ right \ rceil.}

n=\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil.

В общем, для положительных m (см. тождество Эрмита )

⌈ mx ⌉ = ⌈ x ⌉ + ⌈ x - 1 m ⌉ + ⋯ + ⌈ x - m - 1 m ⌉, {\ displaystyle \ lceil mx \ rceil = \ left \ lceil x \ right \ rceil + \ left \ lceil x - {\ frac {1} {m}} \ right \ rceil + \ dots + \ left \ lceil x - {\ frac {m-1} {m}} \ right \ rceil,}

\lceil mx\rceil =\left\lceil x\right\rceil +\left\lceil x-{\frac {1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil x-{\frac {m-1}{m}}\right\rceil,

⌊ mx ⌋ = ⌊ x ⌋ + ⌊ x + 1 m ⌋ + ⋯ + ⌊ x + m - 1 m ⌋. {\ displaystyle \ lfloor mx \ rfloor = \ left \ lfloor x \ right \ rfloor + \ left \ lfloor x + {\ frac {1} {m}} \ right \ rfloor + \ dots + \ left \ lfloor x + {\ frac {m-1} {m}} \ right \ rfloor.}

\lfloor mx\rfloor =\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor x+{\frac {1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor x+{\frac {m-1}{m}}\right\rfloor.

Для преобразования полов в потолки и наоборот можно использовать следующее (m положительное)

⌈ нм ⌉ = ⌊ n + m - 1 m ⌋ = ⌊ n - 1 m ⌋ + 1, {\ displaystyle \ left \ lceil {\ frac {n} {m}} \ right \ rceil = \ left \ lfloor {\ frac {n + m-1} {m}} \ right \ rfloor = \ left \ lfloor {\ frac {n- 1} {m}} \ right \ rfloor +1,}

\left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil =\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor +1,

⌊ nm ⌋ = ⌈ n - m + 1 m ⌉ = ⌈ n + 1 m ⌉ - 1, {\ displaystyle \ left \ lfloor {\ frac { n} {m}} \ right \ rfloor = \ left \ lceil {\ frac {n-m + 1} {m}} \ right \ rceil = \ left \ lceil {\ frac {n + 1} {m}} \ right \ rceil -1,}

\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor =\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {n+1}{m}}\right\rceil -1,

Для всех m и n целые строго положительные числа:

∑ k = 1 n - 1 ⌊ kmn ⌋ = (m - 1) (n - 1) + gcd (m, n) - 1 2, {\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n-1} \ left \ lfloor {\ frac {km} {n}} \ right \ rfloor = {\ frac {(m-1) (n-1) + \ gcd (m, n) -1} {2}},}

\sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {km}{n}}\right\rfloor ={\frac {(m-1)(n-1)+\gcd(m,n)-1}{2}},

что для положительного и взаимно простого m и n сводится к

∑ k = 1 n - 1 ⌊ kmn ⌋ = 1 2 (m - 1) (п - 1). {\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n-1} \ left \ lfloor {\ frac {km} {n}} \ right \ rfloor = {\ frac {1} {2}} (m-1) (n-1).}

\sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {km}{n}}\right\rfloor ={\frac {1}{2}}(m-1)(n-1).

Поскольку правая часть общего случая симметрична по m и n, отсюда следует, что

⌊ mn ⌋ + ⌊ 2 mn ⌋ + ⋯ + ⌊ (n - 1) mn ⌋ = ⌊ нм ⌋ + ⌊ 2 нм ⌋ + ⋯ + ⌊ (m - 1) нм ⌋. {\ Displaystyle \ left \ lfloor {\ frac {m} {n}} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor {\ frac {2m} {n}} \ right \ rfloor + \ dots + \ left \ lfloor {\ frac {(n-1) m} {n}} \ right \ rfloor = \ left \ lfloor {\ frac {n} {m}} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor {\ frac {2n} {m} } \ right \ rfloor + \ dots + \ left \ lfloor {\ frac {(m-1) n} {m}} \ right \ rfloor.}

\left\lfloor {\frac {m}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n}{m}}\right\rfloor.

В более общем смысле, если m и n положительны,

⌊ xn ⌋ + ⌊ m + xn ⌋ + ⌊ 2 m + xn ⌋ + ⋯ + ⌊ (n - 1) m + xn ⌋ = ⌊ xm ⌋ + ⌊ n + xm ⌋ + ⌊ 2 n + xm ⌋ + ⋯ + ⌊ (т - 1) п + хм ⌋. {\ Displaystyle {\ begin {align} \ left \ lfloor {\ frac {x} {n}} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor {\ frac {m + x} {n}} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor {\ frac {2m + x} {n}} \ right \ rfloor + \ dots + \ left \ lfloor {\ frac {(n-1) m + x} {n}} \ right \ rfloor \ \ = \ left \ lfloor {\ frac {x} {m}} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor {\ frac {n + x} {m}} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor {\ frac {2n + x} {m}} \ right \ rfloor + \ cdots + \ left \ lfloor {\ frac {(m-1) n + x} {m}} \ right \ rfloor. \ End {align}}}

{\begin{aligned}\left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {m+x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m+x}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m+x}{n}}\right\rfloor \\=\left\lfloor {\frac {x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+x} {m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n+x}{m}}\right\rfloor +\cdots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n+x}{m}}\right\rfloor.\end{aligned}}

Иногда это называют законом взаимности.

Вложенные деления

Для положительного целого числа n и произвольных действительных чисел m, x:

⌊ ⌊ x / m ⌋ n ⌋ = ⌊ xmn ⌋ {\ displaystyle \ left \ lfloor {\ frac {\ lfloor x / m \ rfloor} {n}} \ right \ rfloor = \ left \ lfloor {\ frac {x} {mn}} \ right \ rfloor}

\left\lfloor {\frac {\lfloor x/m\rfloor }{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {x}{mn}}\right\rfloor

⌈ x / m ⌉ n ⌉ = ⌈ xmn ⌉. {\ displaystyle \ left \ lceil {\ frac {\ lceil x / m \ rceil} {n}} \ right \ rceil = \ left \ lceil {\ frac {x} {mn}} \ right \ rceil.}

\left\lceil {\frac {\lceil x/m\rceil }{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {x}{mn}}\right\rceil.

Непрерывность и расширение рядов

Ни одна из функций, обсуждаемых в этой статье, не является непрерывной, но все они являются кусочно-линейными : функции $⌊ x ⌋ {\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}$ $\lfloor x\rfloor$ , $⌈ x ⌉ {\ displaystyle \ lceil x \ rceil}$ $\lceil x\rceil$ и ${x} {\ displaystyle \ {x \}}$ $\{x\}$ иметь разрывы в целых числах.

$⌊ x ⌋ {\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}$ $\lfloor x\rfloor$ - верхний полунепрерывный и $⌈ x ⌉ {\ displaystyle \ lceil x \ rceil}$ $\lceil x\rceil$ и ${x} {\ displaystyle \ {x \}}$ $\{x\}$ полунепрерывны снизу.

Поскольку ни одна из функций, обсуждаемых в этой статье, не является непрерывной, ни одна из них не имеет расширения степенного ряда. Поскольку пол и потолок не являются периодическими, они не имеют равномерно сходящихся разложений в ряд Фурье . Функция дробной части имеет разложение в ряд Фурье

{x} = 1 2 - 1 π ∑ k = 1 ∞ sin ⁡ (2 π kx) k {\ displaystyle \ {x \} = {\ frac {1} {2 }} - {\ frac {1} {\ pi}} \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (2 \ pi kx)} {k}}}

\{x\}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}

для x не целое число.

В точках разрыва ряд Фурье сходится к значению, которое является средним его пределов слева и справа, в отличие от функций пола, потолка и дробной части: для фиксированного y и x, кратного y данный ряд Фурье сходится к y / 2, а не к x mod y = 0. В точках непрерывности ряд сходится к истинному значению.

Использование формулы floor (x) = x - {x} дает

⌊ x ⌋ = x - 1 2 + 1 π ∑ k = 1 ∞ sin ⁡ (2 π kx) k {\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor = x - {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {\ pi}} \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin ( 2 \ pi kx)} {k}}}

\lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}

для x не целого числа.

Приложения

Оператор Mod

Для целого числа x и положительного целого числа y операция по модулю, обозначенная x mod y, дает значение остатка при делении x на y. Это определение может быть расширено до действительных x и y, y 0, по формуле

x mod y = x - y ⌊ x y ⌋. {\ displaystyle x {\ bmod {y}} = xy \ left \ lfloor {\ frac {x} {y}} \ right \ rfloor.}

x{\bmod {y}}=x-y\left\lfloor {\frac {x}{y}}\right\rfloor.

Тогда из определения функции пола следует, что эта расширенная операция удовлетворяет много природных свойств. Примечательно, что x mod y всегда находится между 0 и y, т. Е.

, если y положительно,

0 ≤ x mod y < y, {\displaystyle 0\leq x{\bmod {y}}

0\leq x{\bmod {y}}<y,

и если y отрицательно,

0 ≥ x mod y>у. {\ displaystyle 0 \ geq x {\ bmod {y}}>y.}

0\geq x{\bmod {y}}>y.

Квадратичная взаимность

Третье доказательство Гаусса квадратичной взаимности, измененное Эйсштейном шагов.

Пусть p и q - различные положительные нечетные простые числа, и пусть

m = p - 1 2, {\ displaystyle m = {\ frac {p-1} {2}},}

m={\frac {p-1}{2}},

n = q - 1 2. {\ Displaystyle n = {\ frac {q-1} {2}}.}

n={\frac {q-1}{2}}.

Во-первых, лемма Гаусса используется, чтобы показать, что Символы Лежандра задаются выражением

(qp) = (- 1) ⌊ qp ⌋ + ⌊ 2 qp ⌋ + ⋯ + ⌊ mqp ⌋ {\ displaystyle \ left ({\ frac {q} {p}} \ right) = (- 1) ^ {\ left \ lfloor {\ frac {q} {p}} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor {\ frac {2q} {p}} \ right \ rfloor + \ dots + \ left \ lfloor {\ frac {mq} {p}} \ right \ rfloor}}

\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor }

(pq) = (- 1) ⌊ pq ⌋ + ⌊ 2 pq ⌋ + ⋯ + ⌊ npq ⌋. {\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {q}} \ right) = (- 1) ^ {\ left \ lfloor {\ frac { p} {q}} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor {\ frac {2p} {q}} \ right \ rfloor + \ dots + \ left \ lfloor {\ frac {np} {q}} \ right \ rfloor}.}

\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor }.

Второй шаг - использовать геометрический аргумент, чтобы показать, что

⌊ qp ⌋ + ⌊ 2 qp ⌋ + ⋯ + ⌊ mqp ⌋ + ⌊ pq ⌋ + ⌊ 2 pq ⌋ + ⋯ + ⌊ npq ⌋ = мин. {\ Displaystyle \ left \ lfloor {\ frac {q} {p}} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor {\ frac {2q} {p}} \ right \ rfloor + \ dots + \ left \ lfloor {\ frac {mq} {p}} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor {\ frac {p} {q}} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor {\ frac {2p} {q}} \ right \ rfloor + \ dots + \ left \ lfloor {\ frac {np} {q}} \ right \ rfloor = mn.}

\left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor =mn.

Объединение этих формул дает квадратичную взаимность в виде

(pq) (qp) = (- 1) mn = (- 1) p - 1 2 q - 1 2. {\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {q}} \ right) \ left ({\ frac {q} {p}} \ right) = (- 1) ^ {mn} = (- 1) ^ {{\ frac {p-1} {2}} {\ frac {q-1} {2}}}.}

\left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{mn}=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.

Существуют формулы, которые используют floor для выражения квадратичного характера малых чисел по модулю нечетных простых чисел p:

(2 п) знак равно (- 1) ⌊ п + 1 4 ⌋, {\ displaystyle \ left ({\ frac {2} {p}} \ right) = (- 1) ^ {\ left \ lfloor { \ frac {p + 1} {4}} \ right \ rfloor},}

\left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{4}}\right\rfloor },

(3 p) = (- 1) ⌊ p + 1 6 ⌋. {\ displaystyle \ left ({\ frac {3} {p}} \ right) = (- 1) ^ {\ left \ lfloor {\ frac {p + 1} {6}} \ right \ rfloor}.}

\left({\frac {3}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{6}}\right\rfloor }.

Округление

Для произвольного действительного числа $x {\ displaystyle x}$ $x$ , округление $x {\ displaystyle x}$ $x$ до ближайшего целого числа с разрыв связи в сторону положительной бесконечности определяется как $rpi (x) = ⌊ x + 1 2 ⌋ = ⌈ ⌊ 2 x ⌋ 2 ⌉ {\ displaystyle {\ text {rpi}} (x) = \ left \ lfloor x + {\ tfrac {1} {2}} \ right \ rfloor = \ left \ lceil {\ tfrac {\ lfloor 2x \ rfloor} {2}} \ right \ rceil}$ ${\text{rpi}}(x)=\left\lfloor x+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor =\left\lceil {\tfrac {\lfloor 2x\rfloor }{2}}\right\rceil$ ; округление в сторону отрицательной бесконечности дается как $rni (x) = ⌈ x - 1 2 ⌉ = ⌊ ⌈ 2 x ⌉ 2 ⌋ {\ displaystyle {\ text {rni}} (x) = \ left \ lceil x- { \ tfrac {1} {2}} \ right \ rceil = \ left \ lfloor {\ tfrac {\ lceil 2x \ rceil} {2}} \ right \ rfloor}$ ${\text{rni}}(x)=\left\lceil x-{\tfrac {1}{2}}\right\rceil =\left\lfloor {\tfrac {\lceil 2x\rceil }{2}}\right\rfloor$ .

Если разрыв связи не равен 0, то функция округления: $ri (x) = sgn ⁡ (x) ⌊ | х | + 1 2 ⌋ {\ displaystyle {\ text {ri}} (x) = \ operatorname {sgn} (x) \ left \ lfloor | x | + {\ tfrac {1} {2}} \ right \ rfloor}$ ${\text{ri}}(x)=\operatorname {sgn}(x)\left\lfloor |x|+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor$ , а округление в сторону четности, как это обычно бывает в функции ближайшего целого числа, может быть выражено с помощью более громоздкого $⌊ x ⌉ = ⌊ x + 1 2 ⌋ + ⌈ 2 x - 1 4 ⌉ - ⌊ 2 Икс - 1 4 ⌋ - 1 {\ Displaystyle \ lfloor x \ rceil = \ left \ lfloor x + {\ tfrac {1} {2}} \ right \ rfloor + \ left \ lceil {\ tfrac {2x-1} {4}} \ right \ rceil - \ left \ lfloor {\ tfrac {2x-1} {4}} \ right \ rfloor -1}$ $\lfloor x\rceil =\left\lfloor x+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor +\left\lceil {\tfrac {2x-1}{4}}\right\rceil -\left\lfloor {\tfrac {2x-1}{4}}\right\rfloor -1$ , которое является приведенным выше выражением для округление в сторону положительной бесконечности $rpi (x) {\ displaystyle {\ text {rpi}} (x)}$ ${\text{rpi}}(x)$ минус показатель интегральности индикатор для $2 x - 1 4 {\ displaystyle {\ tfrac {2x-1} {4}}}$ $\tfrac{2x-1}4$ .

Усечение

Усечение положительного числа задается как $⌊ Икс ⌋. {\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor.}$ $\lfloor x\rfloor.$ Усечение отрицательного числа определяется выражением $⌈ x ⌉ {\ displaystyle \ lceil x \ rceil}$ $\lceil x\rceil$ . Очевидно, что усечение $0 {\ displaystyle 0}$ $0$ само по себе $0 {\ displaystyle 0}$ $0$ .

Усечение любого действительного числа может быть дано следующим образом: $sgn ⁡ ( x) ⌊ | х | ⌋ {\ displaystyle \ operatorname {sgn} (x) \ lfloor | x | \ rfloor}$ $\operatorname {sgn}(x)\lfloor |x|\rfloor$ , где sgn - знаковая функция .

Количество цифр

Число цифр в базе b положительного целого числа k равно

⌊ log b ⁡ k ⌋ + 1 = ⌈ log b ⁡ (k + 1) ⌉. {\ displaystyle \ lfloor \ log _ {b} {k} \ rfloor + 1 = \ lceil \ log _ {b} {(k + 1)} \ rceil.}

\lfloor \log _{b}{k}\rfloor +1=\lceil \log _{b}{(k+1)}\rceil.

Факторы факториалов

Пусть n - натуральное число, а pa - положительное простое число. Показатель максимальной степени числа p, делящего n! дается версией формулы Лежандра

⌊ np ⌋ + ⌊ np 2 ⌋ + ⌊ np 3 ⌋ + ⋯ = n - ∑ kakp - 1 {\ displaystyle \ left \ lfloor {\ frac {n} { p}} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor {\ frac {n} {p ^ {2}}} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor {\ frac {n} {p ^ {3}}} \ right \ rfloor + \ dots = {\ frac {n- \ sum _ {k} a_ {k}} {p-1}}}

\left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{3}}}\right\rfloor +\dots ={\frac {n-\sum _{k}a_{k}}{p-1}}

где $n = ∑ kakpk {\ displaystyle n = \ sum _ {k} a_ {k} p ^ {k}}$ $n=\sum _{k}a_{k}p^{k}$ - это способ записи n по основанию p. Это конечная сумма, поскольку этажи равны нулю при p>n.

Последовательность Битти

Последовательность Битти показывает, как каждое положительное иррациональное число приводит к разбиению натуральных чисел на две последовательности с помощью функции пола.

константа Эйлера (γ)

Существуют формулы для постоянной Эйлера γ = 0,57721 56649..., которые включают пол и потолок, например,

γ знак равно ∫ 1 ∞ (1 ⌊ Икс ⌋ - 1 x) dx, {\ displaystyle \ gamma = \ int _ {1} ^ {\ infty} \ left ({1 \ over \ lfloor x \ rfloor } - {1 \ над x} \ справа) \, dx,}

\gamma =\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx,

γ = lim n → ∞ 1 n ∑ k = 1 n (⌈ nk ⌉ - nk), {\ displaystyle \ gamma = \ lim _ { n \ to \ infty} {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left (\ left \ lceil {\ frac {n} {k}} \ right \ rceil - {\ frac {n} {k}} \ right),}

\gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right),

γ = ∑ k = 2 ∞ (- 1) k ⌊ log 2 ⁡ k ⌋ k = 1 2 - 1 3 + 2 ( 1 4 - 1 5 + 1 6 - 1 7) + 3 (1 8 - ⋯ - 1 15) +… {\ displaystyle \ gamma = \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} (- 1) ^ { k} {\ frac {\ left \ lfloor \ log _ {2} k \ right \ rfloor} {k}} = {\ tfrac {1} {2}} - {\ tfrac {1} {3}} + 2 \ left ({\ tfrac {1} {4}} - {\ tfrac {1} {5}} + {\ tfrac {1} {6}} - {\ tfrac {1} {7}} \ right) +3 \ left ({\ tfrac {1} {8}} - \ cdots - {\ tfrac {1} {15}} \ right) + \ dots}

\gamma =\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k}}={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}+2\left({\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{7}}\right)+3\left({\tfrac {1}{8}}-\cdots -{\tfrac {1}{15}}\right)+\dots

Дзета-функция Римана (ζ)

Функция дробной части также появляется в интегральных представлениях дзета-функции Римана. Несложно доказать (с помощью интегрирования по частям), что если $ϕ (x) {\ displaystyle \ phi (x)}$ $\phi (x)$ - любая функция с непрерывной производной в отрезке [a, b ],

∑ a < n ≤ b ϕ ( n) = ∫ a b ϕ ( x) d x + ∫ a b ( { x } − 1 2) ϕ ′ ( x) d x + ( { a } − 1 2) ϕ ( a) − ( { b } − 1 2) ϕ ( b). {\displaystyle \sum _{a

\sum _{a<n\leq b}\phi (n)=\int _{a}^{b}\phi (x)\,dx+\int _{a}^{b}\left(\{x\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\phi '(x)\,dx+\left(\{a\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\phi (a)-\left(\{b\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\phi (b).

Пусть $ϕ (n) = n - s {\ displaystyle \ phi (n) = {n} ^ {- s}}$ $\phi (n)={n}^{-s}$ для действительная часть числа s больше 1, и если a и b быть целыми числами, и если позволить b стремиться к бесконечности, получаем

ζ (s) = s ∫ 1 ∞ 1 2 - {x} xs + 1 dx + 1 s - 1 + 1 2. {\ displaystyle \ zeta (s) = s \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {{\ frac {1} {2}} - \ {x \}} {x ^ {s + 1} }} \, dx + {\ frac {1} {s-1}} + {\ frac {1} {2}}.}

\zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {{\frac {1}{2}}-\{x\}}{x^{s+1}}}\,dx+{\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}.

Эта формула действительна для всех s с действительной частью больше -1, (кроме s = 1, где есть полюс) и в сочетании с разложением Фурье для {x} можно использовать для распространения дзета-функции на всю комплексную плоскость и для доказательства ее функционального уравнения.

Для s = σ + it в критической полосе 0 < σ < 1,

ζ (s) = s ∫ - ∞ ∞ e - σ ω (⌊ e ω ⌋ - e ω) e - it ω d ω. {\ displaystyle \ zeta (s) = s \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- \ sigma \ omega} (\ lfloor e ^ {\ omega} \ rfloor -e ^ {\ omega}) e ^ {- it \ omega} \, d \ omega.}

\zeta (s)=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\sigma \omega }(\lfloor e^{\omega }\rfloor -e^{\omega })e^{-it\omega }\,d\omega.

В 1947 году ван дер Поль использовал это представление для создания аналогового компьютера для поиска корней дзета-функции.

Формулы для простых чисел

Функция пола присутствует в нескольких формулах, характеризующих простые числа. Например, поскольку $⌊ нм ⌋ - ⌊ n - 1 м ⌋ {\ displaystyle \ left \ lfloor {\ frac {n} {m}} \ right \ rfloor - \ left \ lfloor {\ frac {n-1 } {m}} \ right \ rfloor}$ $\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor$ равно 1, если m делит n, и 0 в противном случае, из этого следует, что положительное целое число n является простым тогда и только тогда, когда

∑ м знак равно 1 ∞ (⌊ нм ⌋ - ⌊ N - 1 м ⌋) = 2. {\ displaystyle \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} \ left (\ left \ lfloor {\ frac {n} { m}} \ right \ rfloor - \ left \ lfloor {\ frac {n-1} {m}} \ right \ rfloor \ right) = 2.}

\sum _{m=1}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor \right)=2.

Также можно указать формулы для получения простых чисел. Например, пусть p n будет простым числом n, и для любого целого числа r>1 определите действительное число α суммой

α = ∑ m = 1 ∞ p m r - m 2. {\ displaystyle \ alpha = \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} p_ {m} r ^ {- m ^ {2}}.}

\alpha =\sum _{m=1}^{\infty }p_{m}r^{-m^{2}}.

Тогда

pn = ⌊ rn 2 α ⌋ - r 2 n - 1 ⌊ r (n - 1) 2 α ⌋. {\ displaystyle p_ {n} = \ left \ lfloor r ^ {n ^ {2}} \ alpha \ right \ rfloor -r ^ {2n-1} \ left \ lfloor r ^ {(n-1) ^ {2 }} \ alpha \ right \ rfloor.}

p_{n}=\left\lfloor r^{n^{2}}\alpha \right\rfloor -r^{2n-1}\left\lfloor r^{(n-1)^{2}}\alpha \right\rfloor.

Аналогичный результат состоит в том, что существует число θ = 1,3064... (постоянная Миллса ) со свойством, что

⌊ θ 3 ⌋ ⌊ θ 9 ⌋, ⌊ θ 27 ⌋,… {\ displaystyle \ left \ lfloor \ theta ^ {3} \ right \ rfloor, \ left \ lfloor \ theta ^ {9} \ right \ rfloor, \ left \ lfloor \ theta ^ {27} \ right \ rfloor, \ dots}

\left\lfloor \theta ^{3}\right\rfloor,\left\lfloor \theta ^{9}\right\rfloor,\left\lfloor \theta ^{27}\right\rfloor,\dots

все простые.

Существует также число ω = 1.9287800... со свойством, что

⌊ 2 ω ⌋, ⌊ 2 2 ω ⌋, ⌊ 2 2 2 ω ⌋,… {\ Displaystyle \ left \ lfloor 2 ^ {\ omega} \ right \ rfloor, \ left \ lfloor 2 ^ {2 ^ {\ omega}} \ right \ rfloor, \ left \ lfloor 2 ^ {2 ^ {2 ^ {\ omega}}} \ right \ rfloor, \ dots}

\left\lfloor 2^{\omega }\right\rfloor,\left\lfloor 2^{2^{\omega }}\right\rfloor,\left\lfloor 2^{2^{2^{\omega }}}\right\rfloor,\dots

все простые числа.

Пусть π (x) - количество простых чисел меньше чем или равно x. Это прямой вывод из теоремы Вильсона, что

π (n) = ∑ j = 2 n ⌊ (j - 1)! + 1 j - (j - 1)! j ⌋ ⌋. {\ displaystyle \ pi (n) = \ sum _ {j = 2} ^ {n} \ left \ lfloor {\ frac {(j-1)! + 1} {j}} - \ left \ lfloor {\ frac {(j-1)!} {j}} \ right \ rfloor \ right \ rfloor.}

\pi (n)=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor {\frac {(j-1)!+1}{j}}-\left\lfloor {\frac {(j-1)!}{j}}\right\rfloor \right\rfloor.

Также, если n ≥ 2,

π (n) = ∑ j = 2 n ⌊ 1 ∑ k = 2 j ⌊ jk ⌋ kj ⌋ ⌋. {\ displaystyle \ pi (n) = \ sum _ {j = 2} ^ {n} \ left \ lfloor {\ frac {1} {\ sum _ {k = 2} ^ {j} \ left \ lfloor \ left \ lfloor {\ frac {j} {k}} \ right \ rfloor {\ frac {k} {j}} \ right \ rfloor}} \ right \ rfloor.}

\pi (n)=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor {\frac {1}{\sum _{k=2}^{j}\left\lfloor \left\lfloor {\frac {j}{k}}\right\rfloor {\frac {k}{j}}\right\rfloor }}\right\rfloor.

Ни одна из формул в этом разделе не соответствует любое практическое применение.

Решенные задачи

Рамануджан отправил эти задачи в Журнал Индийского математического общества.

Если n - положительное целое число, докажите, что

(я) $⌊ N 3 ⌋ + ⌊ N + 2 6 ⌋ + ⌊ N + 4 6 ⌋ = ⌊ N 2 ⌋ + ⌊ N + 3 6 ⌋, {\ displaystyle \ left \ lfloor {\ tfrac { n} {3}} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor {\ tfrac {n + 2} {6}} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor {\ tfrac {n + 4} {6}} \ right \ rfloor = \ left \ lfloor {\ tfrac {n} {2}} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor {\ tfrac {n + 3} {6}} \ right \ rfloor,}$ $\left\lfloor {\tfrac {n}{3}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+2}{6}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+4}{6}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+3}{6}}\right\rfloor,$

(ii) $⌊ 1 2 + n + 1 2 ⌋ знак равно ⌊ 1 2 + n + 1 4 ⌋, {\ displaystyle \ left \ lfloor {\ tfrac {1} {2}} + {\ sqrt {n + {\ tfrac { 1} {2}}}} \ right \ rfloor = \ left \ lfloor {\ tfrac {1} {2}} + {\ sqrt {n + {\ tfrac {1} {4}}}} \ right \ rfloor, }$ $\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{2}}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{4}}}}\right\rfloor,$

(iii) $n + n + 1 = ⌊ 4 n + 2 ⌋. {\ displaystyle \ left \ lfloor {\ sqrt {n}} + {\ sqrt {n + 1}} \ right \ rfloor = \ left \ lfloor {\ sqrt {4n + 2}} \ right \ rfloor.}$ $\left\lfloor {\sqrt {n}}+{\sqrt {n+1}}\right\rfloor =\left\lfloor {\sqrt {4n+2}}\right\rfloor.$

Нерешенная проблема

Изучение проблемы Варинга привело к нерешенной проблеме:

Существуют ли такие положительные целые числа k ≥ 6, что

3 k - 2 к ⌊ (3 2) к ⌋>2 к - ⌊ (3 2) к ⌋ - 2 {\ displaystyle 3 ^ {k} -2 ^ {k} \ left \ lfloor \ left ({\ tfrac {3} {2 }} \ right) ^ {k} \ right \ rfloor>2 ^ {k} - \ left \ lfloor \ left ({\ tfrac {3} {2}} \ right) ^ {k} \ right \ rfloor -2 }

$3^{k}-2^{k}\left\lfloor \left({\tfrac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor>2 ^ {k} - \ left \ lfloor \ left ({\ tfrac {3} {2}} \ right) ^ {k} \ right \ rfloor -2$ ?

Малер доказал, что может быть только конечное число таких k; ни один из них не известен.

Компьютерные реализации

Функция Int из преобразования с плавающей запятой в C

В большинстве языков программирования простейший метод преобразования числа с плавающей запятой в целое делает не делай фло или или потолок, но усечение. Причина этого историческая, поскольку первые машины использовали дополнение до единиц и усечение было проще реализовать (пол проще в дополнении до двух ). FORTRAN был определен, чтобы требовать этого поведения, и поэтому почти все процессоры реализуют преобразование таким образом. Некоторые считают это неудачным историческим дизайнерским решением, которое привело к ошибкам, связанным с обработкой отрицательных смещений и графикой на отрицательной стороне источника.

A побитовый сдвиг вправо целого числа со знаком $x { \ displaystyle x}$ $x$ by $n {\ displaystyle n}$ $n$ совпадает с $⌊ x 2 n ⌋ {\ displaystyle \ left \ lfloor {\ frac {x } {2 ^ {n}}} \ right \ rfloor}$ $\left\lfloor {\frac {x}{2^{n}}}\right\rfloor$ . Деление на степень 2 часто записывается как сдвиг вправо, но не для оптимизации, как можно было бы предположить, а потому, что требуется минимальное количество отрицательных результатов. Предполагая, что такие сдвиги являются «преждевременной оптимизацией», и замена их разделением может привести к поломке программного обеспечения.

Многие языки программирования (включая C, C ++, C#, Java, PHP, R и Python ) предоставляют стандартные функции для пола и потолка, обычно называемые floorи ceil.

Программное обеспечение электронных таблиц

Большинство программ электронных таблиц поддерживает некоторая форма функции потолок. Хотя детали в разных программах различаются, большинство реализаций поддерживают второй параметр - кратное, до которого округляется данное число. Например, потолок (2, 3)округляет 2 до ближайшего кратного 3, что дает 3. Однако определение того, что означает «округление», отличается от программы к программе.

До Excel 2010 функция потолкав Microsoft Excel была неправильной для отрицательных аргументов; потолок (-4,5) был -5. Это продолжилось до формата файла Office Open XML. Excel 2010 теперь следует стандартному определению. Meanwhile, its roundupfunction continues to round away from zero.

The OpenDocument file format, as used by OpenOffice.org, Libreoffice and others, follows the mathematical definition of ceiling for its ceilingfunction, with an optional parameter for Excel compatibility. For example, CEILING(-4.5)returns −4.