Войти
В математике, и в частности теории представлений групп, регулярное представление группы G - это линейное представление, обеспечиваемое групповым действием группы G над собой посредством трансляции.
. Различают левую регулярное представление λ, заданное левым переносом, и правое регулярное представление ρ, заданное обратным правому сдвигу.
Для конечной группы G левая регулярная представление λ (над полем K) - это линейное представление в K-векторном пространстве V, свободно порожденное элементами G, т.е. е. их можно отождествить с базисом из V. Для g ∈ G, λ g - это линейное отображение, определяемое его действием на основе сдвига слева на g, т. е.
Для правильного регулярного представления ρ должна произойти инверсия, чтобы удовлетворить аксиомам представление. В частности, для g ∈ G, ρ g - это линейное отображение на V, определяемое его действием на основе правого сдвига на g, то есть
В качестве альтернативы эти представления могут быть определены на K-векторе пространство W всех функций G → K. Именно в этой форме регулярное представление обобщается на топологические группы, такие как группы Ли.
. Конкретное определение в терминах W выглядит следующим образом. Для функции f: G → K и элемента g ∈ G,
и
Каждая группа G действует на себя посредством трансляций. Если мы рассматриваем это действие как перестановочное представление, оно характеризуется наличием единственной орбиты и стабилизатора тождественной подгруппы {e} группы G. Регулярное представление группы G для заданного поля K является линейным представлением, полученным путем принятия этого представления перестановки как набора базисных векторов из векторного пространства над K. Значение состоит в том, что в то время как перестановка представление не разлагается - оно транзитивно - регулярное представление вообще распадается на более мелкие представления. Например, если G - конечная группа, а K - поле комплексных чисел , регулярное представление разлагается как прямая сумма неприводимых представлений с каждым неприводимым представление, входящее в разложение, с кратностью его размерности. Количество этих неприводимых элементов равно количеству классов сопряженности группы G.
Вышеупомянутый факт можно объяснить с помощью теории персонажей. Напомним, что характер регулярного представления χ (g) - это количество неподвижных точек группы g, действующих на регулярное представление V. Это означает, что количество неподвижных точек χ (g) равно нулю, когда g не является id и | G | в противном случае. Пусть V имеет разложение ⊕a iVi, где V i - неприводимые представления группы G, а a i - соответствующие кратности. Согласно теории характеров, кратность a i может быть вычислена как
Статья о групповых кольцах формулирует регулярное представление для конечных групп, а также показывает, как регулярное представление может быть принято за модуль.
Говоря более абстрактно, групповое кольцо K [G] рассматривается как модуль над собой. (Здесь можно выбрать левое или правое действие, но это не имеет значения, за исключением обозначений.) Если G конечна и характеристика K не делит | G |, это является полупростым кольцом, и мы смотрим на его левый (правый) кольцевой идеал. Эта теория изучена очень глубоко. В частности, известно, что разложение в прямую сумму регулярного представления содержит представителя каждого класса изоморфизма неприводимых линейных представлений группы G над K. В этом случае можно сказать, что регулярное представление является всеобъемлющим для теории представлений. Модульный случай, когда характеристика K действительно делит | G |, сложнее в основном потому, что с K [G] не полупростым, представление может не быть неприводимым без разбиения в виде прямой суммы.
Для циклической группы C, порожденной g порядка n, матричная форма элемента группы K [C], действующего на K [ C] путем умножения принимает отличительную форму, известную как циркулянтная матрица, в которой каждая строка представляет собой сдвиг вправо от предыдущей (в циклическом порядке, т.е. самый элемент, появляющийся слева), когда ссылаются на естественный базис
Когда поле K содержит примитивный корень n-й степени из единицы, можно диагонализовать представление C, записав n линейно независимых одновременных собственных векторов для всех циркулянтов n × n. Фактически, если ζ - любой корень n-й степени из единицы, элемент
является собственным вектором действия g посредством умножения с собственным значением
и, следовательно, также собственный вектор всех степеней g и их линейных комбинаций.
Это явная форма в данном случае абстрактного результата, что над алгебраически замкнутым полем K (таким как комплексные числа ) регулярное представление G является полностью сводимо при условии, что характеристика K (если это простое число p) не делит порядок G. Это называется теоремой Машке. В этом случае условие характеристики подразумевается существованием примитивного корня n-й степени из единицы, чего не может произойти в случае простой характеристики p, делящей n.
Циркулянт детерминанты впервые были обнаружены в математике девятнадцатого века, и были показаны последствия их диагонализации. А именно, определитель циркулянта является произведением n собственных значений для n собственных векторов, описанных выше. Основная работа Фробениуса по групповым представлениям началась с мотивации поиска аналогичных факторизаций групповых определителей для любого конечного G; то есть определители произвольных матриц, представляющих элементы K [G], действующие умножением на базисные элементы, заданные g в G. Если G не является абелевым, факторизация должна содержать нелинейные множители, соответствующие неприводимые представления группы G степени>1.
Для топологической группы G регулярное представление в указанном выше смысле следует заменить подходящим пространством функций на G, где G действует сдвигом. См. теорему Питера – Вейля для компактного случая. Если G группа Ли, но не компактная и не абелева, это сложный вопрос гармонического анализа. Локально компактный абелев случай является частью теории двойственности Понтрягина.
В теории Галуа показано, что для поля L и конечной группы G автоморфизмов поля L, фиксированное поле K группы G имеет [L: K] = | G |. Фактически, мы можем сказать больше: L, рассматриваемый как K [G] -модуль, является регулярным представлением. Это содержание теоремы о нормальном базисе, где нормальный базис является элементом x из L, таким, что g (x) для g в G является векторным пространством базис для L над K. Такие x существуют, и каждый из них дает K [G] -изоморфизм от L к K [G]. С точки зрения теории алгебраических чисел представляет интерес изучение нормальных целочисленных базисов, где мы пытаемся заменить L и K кольцами целых алгебраических чисел, которые они содержат. Уже в случае гауссовских целых чисел можно увидеть, что такие базисы могут не существовать: a + bi и a - bi никогда не могут образовывать базис Z -модуля Z [i], потому что 1 не может быть целочисленной комбинацией. Причины подробно изучаются в теории модуля Галуа.
Регулярное представление группового кольца таково, что левое и правое регулярные представления дают изоморфные модули (и нам часто не нужно различать случаи). Учитывая алгебру над полем A, сразу не имеет смысла спрашивать об отношении между A как левым модулем над собой и как правым модулем. В групповом случае отображение на базисных элементах g кольца K [G], определенное путем взятия обратного элемента, дает изоморфизм K [G] его противоположному кольцу. В общем случае такая структура называется алгеброй Фробениуса. Как следует из названия, они были введены Фробениусом в девятнадцатом веке. Было показано, что они связаны с топологической квантовой теорией поля в измерениях 1 + 1 с помощью конкретного примера гипотезы кобордизма.
