Алгебра Фробениуса

редактировать

В математике, особенно в области теории представлений и модули теории, Фробениус алгебра является конечномерен унитальной ассоциативной алгеброй с особым видом билинейной формы, которая дает Алгебре особенно хорошие теории двойственности. Алгебры Фробениуса начали изучать в 1930-х годах Ричард Брауэр и Сесил Несбитт и были названы в честь Фердинанда Фробениуса. Тадаши Накаяма открыл истоки богатой теории двойственности ( Накаяма, 1939), ( Накаяма, 1941). Жан Дьедонне использовал это для характеристики алгебр Фробениуса ( Dieudonné 1958). Алгебры Фробениуса были обобщены на квазифробениусовы кольца, те нётеровы кольца, правое регулярное представление которых инъективно. В последнее время интерес к алгебрам Фробениуса возобновился благодаря связям с топологической квантовой теорией поля.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Определение
2 Примеры
3 свойства
4 Теоретико-категориальное определение
5 приложений
- 5.1 Топологические квантовые теории поля
6 Обобщение: расширение Фробениуса
7 См. Также
8 ссылки
9 Внешние ссылки

Определение

Конечномерная ассоциативная алгебра с единицей A, определенная над полем k, называется алгеброй Фробениуса, если A снабжена невырожденной билинейной формой σ : A × A → k, которая удовлетворяет следующему уравнению: σ ( a b, в) = σ ( a, b c). Эта билинейная форма называется формой Фробениуса алгебры.

Эквивалентно, можно оборудовать А с линейным функционалом Л : → K такое, что ядро из Й не содержит ненулевой левый идеала в A.

Фробениусова алгебра называется симметричным, если σ является симметричным, или, что эквивалентно λ удовлетворяет λ ( б) = λ ( б ).

Существует также разные, в основном, связаны понятие симметричной алгебры в виде векторного пространства.

Примеры

Любая матричная алгебра, определенная над полем k, является алгеброй Фробениуса с формой Фробениуса σ ( a, b) = tr ( a b), где tr обозначает след.
Любая конечномерная ассоциативная алгебра с единицей A имеет естественный гомоморфизм в собственное кольцо эндоморфизмов End ( A). Форма билинейная может быть определена на А в том смысле, в предыдущем примере. Если эта билинейная форма невырождена, то она снабжает A структурой алгебры Фробениуса.
Каждая группа кольцо из конечной группы над полем алгебра Фробениуса с фробениусовым формы σ (, б) коэффициентом единичного элемента в виде б. Это частный случай примера 2.
Для поля k четырехмерная k -алгебра k [ x, y ] / ( x ², y ²) является алгеброй Фробениуса. Это следует из характеризации коммутативных локальных колец Фробениуса ниже, поскольку это кольцо является локальным кольцом с максимальным идеалом, порожденным x и y, и единственным минимальным идеалом, порожденным xy.
Для поля к, трехмерный к -алгебра = к [ х, у ] / ( х, у) ² это не алгебра Фробениуса. Гомоморфизм из хА в А индуцируется й ↦ у не может быть продолжен до А гомоморфизма из А в А, показывая, что кольцо не самоинъективно, таким образом, не фробениусов.
Любая конечномерная алгебра Хопфа по теореме Ларсона-Свидлера 1969 года о модулях и интегралах Хопфа.

Характеристики

Прямое произведение и тензорное произведение фробениусовых алгебр Фробениус алгебра.
Конечномерная коммутативная локальная алгебра над полем называется фробениусовой тогда и только тогда, когда правый регулярный модуль инъективен, тогда и только тогда, когда алгебра имеет единственный минимальный идеал.
Коммутативные локальные алгебры Фробениуса - это в точности нульмерные локальные кольца Горенштейна, содержащие их поле вычетов и конечномерные над ним.
Фробениусовы алгебры квазифробениусовы кольца, и, в частности, они левые и правые артинов и левый и правый самоинъективно.
Для поля к, конечномерная, унитальная, ассоциативная алгебра фробениусов тогда и только тогда, когда инъективно право -модуль Hom к (, к) изоморфно правого регулярного представления о A.
Для бесконечного поля k конечномерная унитиальная ассоциативная k -алгебра является алгеброй Фробениуса, если она имеет только конечное число минимальных правых идеалов.
Если Р является конечномерно расширением поля на к, то конечномерная F - алгебра естественно конечномерная к -алгебра с помощью ограничения скаляров, и является Фробениус F - алгеброй тогда и только тогда, когда она является фробениусова к -алгебра. Другими словами, свойство Фробениуса не зависит от поля, пока алгебра остается конечномерной алгеброй.
Точно так же, если F является конечномерным расширением поля к, то каждая к алгебра рождает естественно к F алгебре F ⊗ к и Фробениус к -алгебре тогда и только тогда, когда F ⊗ к есть F -алгебра Фробениуса.
Среди тех конечномерных ассоциативных алгебр с единицей, правое регулярное представление которых инъективно, алгебры Фробениуса A - это в точности те, простые модули M которых имеют ту же размерность, что и их A -двойственные, Hom A ( M, A). Среди этих алгебр A- двойники простых модулей всегда просты.

Теоретико-категориальное определение

В теории категорий понятие объекта Фробениуса является абстрактным определением алгебры Фробениуса в категории. Объект Фробениуса в моноидальной категории состоит из объекта A из C вместе с четырьмя морфизмами ${\ Displaystyle (А, \ му, \ эта, \ дельта, \ varepsilon)}$ $(A, \ mu, \ eta, \ delta, \ varepsilon)$ ${\ displaystyle (C, \ otimes, I)}$ $(C, \ otimes, I)$

{\ displaystyle \ mu: A \ otimes A \ to A, \ qquad \ eta: I \ to A, \ qquad \ delta: A \ to A \ otimes A \ qquad \ mathrm {и} \ qquad \ varepsilon: A \ к I}

\ mu: A \ otimes A \ to A, \ qquad \ eta: I \ to A, \ qquad \ delta: A \ to A \ otimes A \ qquad {\ mathrm {and}} \ qquad \ varepsilon: A \ to я

такой, что

${\ Displaystyle (А, \ му, \ эта) \,}$ $(А, \ му, \ eta) \,$ - моноидный объект в C,
${\ Displaystyle (А, \ дельта, \ varepsilon)}$ $(А, \ дельта, \ варепсилон)$ является comonoid объекта в C,
диаграммы

а также

коммутируют (для простоты диаграммы приведены в случае строгой моноидальной категории C) и известны как условия Фробениуса.

Более компактно, алгебра Фробениуса в C - это так называемый моноидальный функтор Фробениуса A: 1 → C, где 1 - категория, состоящая из одного объекта и одной стрелки.

Алгебра Фробениуса называется изометрической или специальной, если. ${\ displaystyle \ mu \ circ \ delta = \ mathrm {Id} _ {A}}$ $\ mu \ circ \ delta = {\ mathrm {Id}} _ {A}$

Приложения

Алгебры Фробениуса первоначально изучались как часть исследования теории представлений конечных групп и внесли свой вклад в изучение теории чисел, алгебраической геометрии и комбинаторики. Они были использованы для изучения алгебры Хопфа, теории кодирования и кольца когомологий из компактных ориентированных многообразий.

Топологические квантовые теории поля

Произведение и копроизведение на алгебре Фробениуса можно интерпретировать как функтор (1 + 1) -мерной топологической квантовой теории поля, примененной к паре штанов. Дополнительная информация: Топологическая квантовая теория поля.

Недавно было замечено, что они играют важную роль в алгебраической трактовке и аксиоматическом обосновании топологической квантовой теории поля. Коммутативная алгебра Фробениуса однозначно (с точностью до изоморфизма) определяет (1 + 1) -мерную TQFT. Точнее, категория коммутативных K -алгебр Фробениуса эквивалентна категории симметрических сильных моноидальных функторов из 2- Cob (категория 2-мерных кобордизмов между 1-мерными многообразиями) в Vect K (категория векторных пространств над K).

Соответствие между ТКТП и алгебрами Фробениуса дается следующим образом:

Одномерные многообразия представляют собой непересекающиеся объединения окружностей: TQFT связывает векторное пространство с окружностью, а тензорное произведение векторных пространств с несвязным объединением окружностей,
TQFT сопоставляет (функториально) каждому кобордизму между многообразиями отображение между векторными пространствами,
карта, связанная с парой штанов (кобордизм между 1 кругом и 2 кругами) дает карту произведения V ⊗ V → V или карту копроизведения V → V ⊗ V, в зависимости от того, как сгруппированы граничные компоненты - что является коммутативным или кокоммутативный, и
карта, связанная с диском, дает счетчик (след) или единицу (скаляры), в зависимости от группировки границы.

Это соотношение между Фробениус алгеброй и (1 + 1) -мерным TQFTs может быть использовано для объяснения Хованова категорификации из полинома Джонса.

Обобщение: расширение Фробениуса

Пусть B подкольцо разделяя единичный элемент унитальной ассоциативного кольца А. Это также известно как расширение кольца A | B. Такое расширение кольца называется Фробениусом, если

Существует линейное отображение Е: → B, удовлетворяющий условию бимодуля Е ( BAC) = В () с для все Ь, с ∈ B и ∈.
В A есть элементы, обозначенные и такие, что для всех a ∈ A имеем: ${\ Displaystyle \ {х_ {я} \} _ {я = 1} ^ {п}}$ $\ {x_ {i} \} _ {{i = 1}} ^ {n}$ ${\ Displaystyle \ {у_ {я} \} _ {я = 1} ^ {п}}$ $\ {y_ {i} \} _ {{i = 1}} ^ {n}$

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} E (ax_ {i}) y_ {i} = a = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} E (y_ {i } а)}

\ sum _ {{i = 1}} ^ {n} E (ax_ {i}) y_ {i} = a = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} x_ {i} E (y_ { я)

Отображение E иногда называют гомоморфизмом Фробениуса, а элементы - двойственными базами. (В качестве упражнения можно дать эквивалентное определение расширения Фробениуса как объекта алгебры-коалгебры Фробениуса в категории B - B -бимодулей, где только что приведенные уравнения становятся уравнениями коит для коэтификации E.) ${\ displaystyle x_ {i}, y_ {i}}$ $x_ {i}, y_ {i}$

Например, алгебра Фробениуса A над коммутативным кольцом K с ассоциативной невырожденной билинейной формой (-, -) и проективными K-базисами является расширением Фробениуса A | K с E (a) = ( a, 1). Другими примерами расширений Фробениуса являются пары групповых алгебр, ассоциированные с подгруппой конечного индекса, подалгебры Хопфа полупростой алгебры Хопфа, расширения Галуа и некоторые подфакторы алгебры фон Неймана конечного индекса. Другой источник примеров расширений Фробениуса (и скрученных версий) - это некоторые пары подалгебр алгебр Фробениуса, где подалгебра стабилизируется симметризующим автоморфизмом надалгебры. ${\ displaystyle x_ {i}, y_ {i}}$ $x_ {i}, y_ {i}$

Детали примера группового кольца - это следующее приложение элементарных понятий теории групп. Пусть G группа и H подгруппа конечного индекса n в G ; пусть g 1,..., g n. быть представителями левых смежных классов, так что G является объединением непересекающихся смежности г 1 Н,..., г п Н. Над любого коммутативное кольцо к базовому определяет группу алгебра = K [ G ] и B = K [ H ], так что B является подалгеброй А. Определим гомоморфизм Фробениуса E: A → B, положив E ( h) = h для всех h в H и E ( g) = 0 для g не в H : распространим его линейно с элементов базисной группы на все A, так что получаем B - B -бимодульную проекцию

{\ displaystyle E \ left (\ sum _ {g \ in G} n_ {g} g \ right) = \ sum _ {h \ in H} n_ {h} h \ \ \ {\ text {for}} n_ {g} \ in k}

E \ left (\ sum _ {{g \ in G}} n_ {g} g \ right) = \ sum _ {{h \ in H}} n_ {h} h \ \ \ {\ text {for}} n_ {g} \ in k

(Условие ортонормированности следует.) Двойственная база задается формулой, поскольку ${\ displaystyle E (g_ {i} ^ {- 1} g_ {j}) = \ delta _ {ij} 1}$ $E (g_ {i} ^ {{- 1}} g_ {j}) = \ delta _ {{ij}} 1$ ${\ displaystyle x_ {i} = g_ {i}, y_ {i} = g_ {i} ^ {- 1}}$ $x_ {i} = g_ {i}, y_ {i} = g_ {i} ^ {{- 1}}$

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} g_ {i} E \ left (g_ {i} ^ {- 1} \ sum _ {g \ in G} n_ {g} g \ right) = \ sum _ {i} \ sum _ {h \ in H} n_ {g_ {i} h} g_ {i} h = \ sum _ {g \ in G} n_ {g} g}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} g_ {i} E \ left (g_ {i} ^ {- 1} \ sum _ {g \ in G} n_ {g} g \ right) = \ sum _ {i} \ sum _ {h \ in H} n_ {g_ {i} h} g_ {i} h = \ sum _ {g \ in G} n_ {g} g}

Другое двойственное базовое уравнение может быть получено из наблюдения, что G также является несвязным объединением правых смежных классов. ${\ Displaystyle Hg_ {1} ^ {- 1}, \ ldots, Hg_ {n} ^ {- 1}}$ $Hg_ {1} ^ {{- 1}}, \ ldots, Hg_ {n} ^ {{- 1}}$

Также расширения Хопфа-Галуа являются расширениями Фробениуса по теореме Креймера и Такеучи из 1989 года. Простым примером этого является конечная группа G, действующая автоморфизмами на алгебре A с подалгеброй инвариантов:

{\ displaystyle B = \ {x \ in A \ mid \ forall g \ in G, g (x) = x \}.}

{\ displaystyle B = \ {x \ in A \ mid \ forall g \ in G, g (x) = x \}.}

По критерию ДеМейера A является G- Галуа над B, если в A есть элементы, удовлетворяющие: ${\ displaystyle \ {a_ {i} \} _ {i = 1} ^ {n}, \ {b_ {i} \} _ {i = 1} ^ {n}}$ $\ {a_ {i} \} _ {{i = 1}} ^ {n}, \ {b_ {i} \} _ {{i = 1}} ^ {n}$

{\ displaystyle \ forall g \ in G: \ \ \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} g (b_ {i}) = \ delta _ {g, 1_ {G}} 1_ {A }}

\ forall g \ in G: \ \ \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} a_ {i} g (b_ {i}) = \ delta _ {{g, 1_ {G}}} 1_ { A}

откуда также

{\ displaystyle \ forall g \ in G: \ \ \ sum _ {i = 1} ^ {n} g (a_ {i}) b_ {i} = \ delta _ {g, 1_ {G}} 1_ {A }.}

\ forall g \ in G: \ \ \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} g (a_ {i}) b_ {i} = \ delta _ {{g, 1_ {G}}} 1_ { А}.

Тогда A является расширением Фробениуса B с E: A → B, определенным равенством

{\ Displaystyle Е (а) = \ сумма _ {г \ в G} г (а)}

E (a) = \ sum _ {{g \ in G}} g (a)

что удовлетворяет

{\ displaystyle \ forall x \ in A: \ \ sum _ {i = 1} ^ {n} E (xa_ {i}) b_ {i} = x = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} E (b_ {i} x).}

\ forall x \ in A: \ \ \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} E (xa_ {i}) b_ {i} = x = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n } a_ {i} E (b_ {i} x).

(Кроме того, пример расширения отделимой алгебры, поскольку это элемент отделимости, удовлетворяющий ea = ae для всех a в A, а также для. Также пример подкольца глубины два ( B в A), поскольку ${\ textstyle e = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} \ otimes _ {B} b_ {i}}$ ${\ textstyle e = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} \ otimes _ {B} b_ {i}}$ ${\ textstyle \ sum _ {я = 1} ^ {n} a_ {i} b_ {i} = 1}$ ${\ textstyle \ sum _ {я = 1} ^ {n} a_ {i} b_ {i} = 1}$

{\ displaystyle a \ otimes _ {B} 1 = \ sum _ {g \ in G} t_ {g} g (a)}

a \ otimes _ {B} 1 = \ sum _ {{g \ in G}} t_ {g} g (а)

куда

{\ displaystyle t_ {g} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} \ otimes _ {B} g (b_ {i})}

t_ {g} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} a_ {i} \ otimes _ {B} g (b_ {i})

для каждого g в G и a в A.)

Расширения Фробениуса имеют хорошо развитую теорию индуцированных представлений, исследованную в работах Каша и Парейгиса, Накаямы и Цузуку в 1950-х и 1960-х годах. Например, для каждого B -модуля M индуцированный модуль A ⊗ B M (если M - левый модуль) и коиндуцированный модуль Hom B ( A, M) естественно изоморфны как A -модули (в качестве упражнения определяется изоморфизм с учетом E и двойственных базисов). Кольцевая теорема Каша из 1960 г. об эндоморфизмах утверждает, что если A | В это расширение Фробениуса, то и → Конец ( Б), где отображение задается ↦ А, ( х) и А, ( х) = ах для каждого A, X ∈ A. Кольцевые теоремы эндоморфизмов и обратные теории были позже исследованы Мюллером, Моритой, Онодерой и другими.

Смотрите также

использованная литература

Брауэр, Р. ; Несбитт, К. (1937), "О регулярных представлениях алгебр", Proc. Natl. Акад. Sci. USA, 23 (4): 236-240, Bibcode : 1937PNAS... 23..236B, DOI : 10.1073 / pnas.23.4.236, PMC 1076908, PMID 16588158
Демейер Ф., Ингрэм Э. (1971), Сепарабельные алгебры над коммутативными кольцами, Lect. Notes Math, 181, Springer
Дьедонна, Жан (1958), "Замечания о квазифробениусовых кольцах", штат Иллинойс Журнал математики, 2 (3): 346-354, DOI : 10,1215 / IJM / 1255454538, ISSN 0019-2082, МР 0097427
Фробениус Фердинанд Георг (1903), "Теорье дер hyperkomplexen Größen Я", Sitzungsberichte дер Preussischen Akademie дер Wissenschaften (на немецком языке): 504-537, СУЛ 34.0238.02
Кок, Иоахим (2003), алгебры Фробениуса и двумерные топологические квантовые теории поля, студенческие тексты Лондонского математического общества, Кембридж: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-83267-0
Лам, Т.Ю. (1999), Лекции по модулям и кольцам, Тексты для выпускников по математике, 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428-5
Лурье, Якоб (2009), О классификации топологических теорий поля (PDF), arXiv : 0905.0465
Накаяма, Tadasi (1939), "О Frobeniusean алгебр я.", Анналы математики, второй серии, Annals математики, 40 (3): 611-633, Bibcode : 1939AnMat..40..611N, DOI : 10,2307 / 1968946, JSTOR 1968946, MR 0000016
Накаяма, Tadasi (1941), "О Frobeniusean алгебры II.", Анналы математики, второй серии, Annals математики, 42 (1): 1-21, DOI : 10,2307 / 1968984, ЛВП : 10338.dmlcz / 140501, JSTOR 1968984, Руководство по ремонту 0004237
Несбитт, С. (1938), "О регулярных представлений алгебр", Анналы математики, второй серии 39 (3): 634-658, DOI : 10,2307 / 1968639, ISSN 0003-486X, JSTOR 1968639, МР 1503429, PMC 1076908, PMID 16588158
Онодера, Т. (1964), "Некоторые исследования на проективных расширений фробениусовыми", Хоккайдо математический журнал, 18 (1-2): 89-107, DOI : 10,14492 / hokmj / 1530691549

внешние ссылки

Росс-стрит, алгебры Фробениуса и моноидальные категории