Октаэдрическая симметрия

редактировать

Группы точек в трех измерениях
Группа полиэдров, [n, 3], (* n32)
. Инволюционная симметрия. Cs, (*). [] =	. Циклический симметрия. Cnv, (* nn). [n] =	. Двугранная симметрия. Dnh, (* n22). [n, 2] =
. Тетраэдрическая симметрия. Td, (* 332). [3,3] =	. Октаэдрическая симметрия. Oh, (* 432). [4,3] =	. Икосаэдрическая симметрия. Ih, (* 532). [5,3] =

График цикла. Четыре шестиугольных цикла имеют общую инверсию (черный узел наверху). Шестиугольники симметричны, поэтому, например, 3 и 4 находятся в одном цикле.

Правильный октаэдр имеет 24 симметрии вращения (или сохраняющие ориентацию) и 48 симметрий в целом. К ним относятся преобразования, сочетающие отражение и вращение. Куб имеет тот же набор симметрий, поскольку это многогранник, двойственный октаэдру.

Группа сохраняющих ориентацию симметрий - это S 4, симметрическая группа или группа перестановок четырех объектов, поскольку существует ровно одна такая симметрия для каждого перестановка четырех пар противоположных граней октаэдра.

Содержание

1 Подробности
- 1.1 Хиральная октаэдрическая симметрия
- 1.2 Полная октаэдрическая симметрия
- 1.3 Матрицы вращения
- 1.4 Подгруппы полной октаэдрической симметрии
2 Изометрии куба
3 Октаэдрическая симметрия поверхности Больца
4 Твердые тела с октаэдрической киральной симметрией
5 Твердые тела с полной октаэдрической симметрией
6 См. Также
7 Ссылки
8 Внешние ссылки

Подробности

Хиральные и полная (или ахиральная ) октаэдрическая симметрия - это дискретные точечные симметрии (или, эквивалентно, симметрии на сфера ) с наибольшими группами симметрии , совместимыми с трансляционной симметрией. Они входят в число кристаллографических точечных групп кубической кристаллической системы.

Классы сопряженности
Элементы O		Инверсии элементов O
идентичности	0	инверсия	0'
3 × поворот на 180 ° вокруг оси 4-го порядка	7, 16, 23	3-кратное отражение в плоскости, перпендикулярной оси 4-го порядка	7 ', 16', 23 '
8-кратное вращение на 120 ° вокруг оси 3-го порядка	3, 4, 8, 11, 12, 15, 19, 20	8-кратное вращение на 60 °	3 ', 4', 8 ', 11', 12 ', 15', 19 ', 20'
6-кратное вращение на 180 ° вокруг двукратной оси	1 ', 2', 5 ', 6', 14 ', 21'	6-кратное отражение в плоскости, перпендикулярной двукратной оси	1, 2, 5, 6, 14, 21
6-кратное вращение на 90 ° вокруг 4-кратной оси	9 ', 10', 13 ', 17', 18 ', 22'	6-кратное вращение на 90 °	9, 10, 13, 17, 18, 22

Примеры
. $(0, 0) = 0 {\ displaystyle (0,0) = 0}$ ${\ displaystyle (0,0) = 0}$	. $(3, 0) = 7 {\ displaystyle (3,0) = 7}$ ${\ displaystyle (3,0) = 7}$	. $(0, 3) = 3 {\ displaystyle (0,3) = 3}$ ${\ displaystyle (0,3) = 3}$	. $(7, 1) = 1 ′ {\ dis playstyle (7,1) = 1 '}$ $(7,1)=1'$	. $(4, 5) = 9 ′ {\ displaystyle (4,5) = 9'}$ $(4,5)=9'$
. $(7, 0) = 0 ′ {\ displaystyle (7, 0) = 0 '}$ $(7,0)=0'$	. $(4, 0) = 7 ′ {\ displaystyle (4,0) = 7'}$ $(4,0)=7'$	. $(7, 3) = 3 ′ {\ displaystyle (7,3) = 3 '}$ $(7,3)=3'$	. $(0, 1) = 1 {\ displaystyle (0,1) = 1}$ ${\ displaystyle (0,1) = 1}$	. $(3, 5) = 9 {\ displaystyle (3,5) = 9}$ ${\ displaystyle (3,5) = 9}$
Полный список можно найти в статье Викиверситета.

Поскольку гипероктаэдрическая группа размерности 3, полная октаэдрическая группа является сплетением $S 2 ≀ S 3 ≃ S 2 3 ⋊ S 3 {\ displaystyle S_ {2} \ wr S_ {3} \ simeq S_ {2} ^ {3} \ rtimes S_ {3}}$ ${\ displaystyle S_ {2} \ wr S_ {3} \ simeq S_ {2} ^ { 3} \ rtimes S_ {3}}$ ,. и естественный способ идентифицировать его элементы - это пары $(m, n) {\ displaystyle (m, n)}$ $(m, n)$ с $m ∈ [0, 2 3) {\ displaystyle m \ in [0,2 ^ {3})}$ ${\ displaystyle m \ in [0,2 ^ { 3})}$ и $n ∈ [0, 3!) {\ displaystyle n \ in [0,3!)}$ ${\ displaystyle n \ in [0,3!)}$ .. Но поскольку это также прямой продукт $S 4 × S 2 {\ displaystyle S_ {4} \ times S_ { 2}}$ $S_ {4} \ times S_ {2}$ , можно просто идентифицировать элементы тетраэдрической подгруппы T d как $a ∈ [0, 4!) {\ displaystyle a \ in [0,4!)}$ ${\ displaystyle a \ in [0,4!)}$ и их инверсии как $a ′ {\ displaystyle a '}$ $a'$ .

Так, например, тождество $(0, 0) {\ displaystyle (0,0)}$ $(0,0)$ представляется как $0 {\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ и инверсия $( 7, 0) {\ displaystyle (7,0)}$ ${\ displaystyle (7,0)}$ as $0 ′ {\ displaystyle 0 '}$ $0'$ .. $(3, 1) {\ displaystyle (3,1)}$ ${\ displaystyle (3,1)}$ представлен как $6 {\ displaystyle 6}$ $6$ и $(4, 1) {\ displaystyle (4,1)}$ ${\ displaystyle (4,1)}$ как $6 ′ {\ displaystyle 6 '}$ $6'$ .

A rotoreflection - это комбинация вращения и отражения.

Иллюстрация кругового отражения
Отражение $7 ′ {\ displaystyle 7 '}$ $7'$ , примененное к повороту на 120 ° $4 {\ displaystyle 4}$ $4$ , дает поворот на 60 ° $8 ′ {\ displaystyle 8 '}$ $8'$ . . $7 ′ ∘ 4 = 8 ′ {\ displaystyle 7' \ circ 4 = 8 '}$ $7'\circ 4=8'$
Отражение $7 ′ {\ displaystyle 7'}$ $7'$ примененный к повороту на 90 ° $22 ′ {\ displaystyle 22 '}$ $22'$ дает угол поворота на 90 ° $17 {\ displaystyle 17}$ $17$ . . $7 ′ ∘ 22 ′ = 17 {\ displaystyle 7' \ circ 22 '= 17}$ $7'\circ 22'=17$

Хиральная октаэдрическая симметрия

Гирационные оси
C4.	C3.	C2.
3	4	6

O, 432, или [4,3] порядка 24, являются хиральной октаэдрической симметрией или вращательной октаэдрическая симметрия . Эта группа похожа на хиральную тетраэдрическую симметрию T, но оси C 2 теперь являются осями C 4, и, кроме того, имеется 6 C 2 оси через середины граней куба. T d и O изоморфны как абстрактные группы: они оба соответствуют S 4, симметричной группе на 4 объектах. T d - это объединение T и набора, полученного путем объединения каждого элемента O \ T с инверсией. O - группа вращения куба и правильного октаэдра.

Хиральная октаэдрическая симметрия
Ортогональная проекция	Стереографическая проекция
2-кратная	4-кратное	3-кратное	2-кратное

Полная октаэдрическая симметрия

Oh, * 432, [4,3] или м3 · м порядка 48 - ахиральная октаэдрическая симметрия или полная октаэдрическая симметрия . Эта группа имеет те же оси вращения, что и O, но с зеркальными плоскостями, содержащими обе зеркальные плоскости T d и T h. Эта группа изоморфна S 4.C2и является полной группой симметрии куба и октаэдра. Это группа гипероктаэдра для n = 3. См. Также изометрии куба.

Соединение куба и октаэдра

Каждая грань додекаэдра Дисдиакиса является фундаментальная область.

Группа октаэдра O h с фундаментальной областью

С осями 4-го порядка в качестве координатных осей фундаментальная область Ohзадается как 0 ≤ x ≤ y ≤ z. Объект с этой симметрией характеризуется частью объекта в фундаментальной области, например, куб задается z = 1, а октаэдр - x + y + z = 1 (или соответствующие неравенства, чтобы вместо поверхности получить твердое тело). ax + by + cz = 1 дает многогранник с 48 гранями, например додекаэдр дисдякиса.

Грани 8 на 8 объединены в большие грани для a = b = 0 (куб) и 6 на 6 для a = b = c (октаэдр).

9 зеркальных линий полной октаэдрической симметрии можно разделить на две подгруппы 3 и 6 (нарисованные фиолетовым и красным цветом), представляющие две ортогональные подсимметрии: D2h и Td. Симметрия D 2h может быть увеличена вдвое до D 4h путем восстановления двух зеркал из одной из трех ориентаций.

Октаэдрическая симметрия и отражающие подгруппы

Ортографическая. проекция	Стереографическая проекция
Ортографическая. проекция	4-кратная	3-кратная	2-кратная
Oh, [ 4,3], , полная октаэдрическая симметрия (3 + 6 зеркал)

Td, [3,3] = [1,4,3], = , тетраэдрическая подгруппа (6 зеркал)

C3v, [3], , двугранная подгруппа (3 зеркала)

Ортогональная. проекция	Стереографическая проекция
Ортогональная. проекция	4-кратная	3-кратная	2-кратный
D4h, [4,2], подгруппа диэдра (1 + 2 + 2 зеркала)

D2h, [2,2] = [4,3 *], = подгруппа диэдра (1 + 1 + 1 зеркала)

C4v, [4], , двугранная подгруппа (2 + 2 зеркала)

Матрицы вращения

Возьмите набор всех матриц перестановок 3x3 и назначьте знак + или знак - каждой из трех единиц. Всего имеется 6 матриц x 8 перестановок знаков = 48 матриц, дающих полную группу октаэдра. Существует ровно 24 матрицы с детерминантом = +1, и это матрицы вращения киральной октаэдрической группы. Остальные 24 матрицы соответствуют отражению или инверсии.

Для октаэдрической симметрии необходимы три матрицы отражательных генераторов, которые представляют три зеркала диаграммы Кокстера-Дынкина. Продукт отражений производят 3 вращающихся генератора.

[4,3],
	Отражения			Вращения
Имя	R0	R1	R2	R0R1	R1R2	R0R2
Группа
Порядок	2	2	2	4	3	2
Матрица	$[1 0 0 0 1 0 0 0 - 1 ] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 1 0 0 \\ 0 1 0 \\ 0 0 -1 \\\ end {smallmatrix}} \ right]}$ ${\ displaystyle \ left [{\ begin { smallmatrix} 1 0 0 \\ 0 1 0 \\ 0 0 -1 \\\ end {smallmatrix}} \ right]}$	$[1 0 0 0 0 1 0 1 0] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 1 0 0 \\ 0 0 1 \\ 0 1 0 \\\ end {smallmatrix}} \ right]}$ ${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 1 0 0 \\ 0 0 1 \\ 0 1 0 \ \\ end {smallmatrix}} \ right]}$	$[0 1 0 1 0 0 0 0 1] {\ displaystyle \ left [{ \ begin {smallmatrix} 0 1 0 \\ 1 0 0 \\ 0 0 1 \\\ end {smallmatrix}} \ right]}$ $\ left [{\ begin {smallmatrix} 0 1 0 \\ 1 0 0 \\ 0 0 1 \\\ end {smallmatrix}} \ right]$	$[1 0 0 0 0 1 0–1 0] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix } 1 0 0 \\ 0 0 1 \\ 0 -1 0 \\\ end {smallmatrix}} \ right]}$ ${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 1 0 0 \\ 0 0 1 \\ 0 -1 0 \\\ end {smallmatrix}} \ right]}$	$[0 1 0 0 0 1 1 0 0] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 0 1 0 \ \ 0 0 1 \\ 1 0 0 \\\ end {smallmatrix}} \ right]}$ ${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 0 1 0 \\ 0 0 1 \\ 1 0 0 \\\ end {smallmatrix}} \ right]}$	$[0 1 0 1 0 0 0 0 - 1] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 0 1 0 \\ 1 0 0 \\ 0 0 -1 \\\ end {smallmatrix}} \ right]}$ ${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 0 1 0 \ \ 1 0 0 \\ 0 0 -1 \\\ end {smallmatrix}} \ right]}$

Подгруппы полной октаэдрической симметрии

ThЦиклические графы подгрупп порядка 24

Подгруппы, упорядоченные в диаграмме Хассе

Вращательные подгруппы

Отражающие подгруппы

Подгруппы, содержащие инверсия

Schoe.	Coxeter	Orb.	HM	Structure	Order	Index
Oh	[4,3]	* 432	м3 м	S4 ×S2	48	1
Td	[3,3]	* 332	43 м	S4	24	2
D4h	[2,4]	* 224	4 / ммм	Dih 1 × Dih 4	16	3
D2h	[2,2]	* 222	ммм	Dih 1 = Dih 1×Didiv class="ht"	8	6
C4v	[4pting	*44	4mm	Dih 4	8	6
C3v	[3]	* 33	3m	Dih 3=S3	6	8
C2v	[ 2]	* 22	мм2	Dih 2	4	12
Cs=C1v	[]	*	2 или m	Dih 1	2	24
Th	[3,4]	3 * 2	m3	A4 ×S2	24	2
C4h	[4,2]	4*	4 / м	Z4 × Dih 1	8	6
D3d	[2,6]	2 * 3	3m	Dih 6=Z2× Dih 3	12	4
D2d	[2,4]	2 * 2	42m	Dih 4	8	6
C2h= D 1d	[2,2]	2*	2 / м	Z2× Dih 1	4	12
S6	[2,6]	3×	3	Z6=Z2×Z3	6	8
S4	[2,4]	2×	4	Z4	4	12
S2	[2,2]	×	1	S2	2	24
O	[4,3]	432	432	S4	24	2
T	[3,3]	332	23	A4	12	4
D4	[2,4]	224	422	Dih 4	8	6
D3	[2,3]	223	322	Дих 3=S3	6	8
D2	[2,2]	222	222	Дих 2=Z2	4	12
C4	[4]	44	4	Z4	4	12
C3	[3]	33	3	Z3=A3	3	16
C2	[2]	22	2	Z2	2	24
C1	[]	11	1	Z1	1	48

Октаэдрические подгруппы в Обозначение Кокстера

Изометрии куба

48 элементы симметрии куба

Куб имеет 48 изометрий (элементов симметрии), образующих группу симметрии Oh, изоморфную S4 × C 2. Их можно разделить на следующие категории:

O (идентичность и 23 собственных поворота) со следующими классами сопряженности (в скобках даны перестановки диагоналей тела и представление единичного кватерниона ):
- identity (identity; 1)
- вращение вокруг оси от центра грани к центру противоположной грани на угол 90 °: 3 оси, 2 на ось, вместе 6 ((1 2 3 4) и т.д.; ((1 ± i) / √2 и т.д.)
- то же самое на угол 180 °: 3 оси, по 1 на ось, вместе 3 ((1 2) (3 4) и т.д.; i, j, k)
- вращение вокруг оси от центра края к центру противоположного края на угол 180 ° : 6 осей, по 1 на каждую ось, вместе 6 ((1 2) и т.д.; ((i ± j) / √2 и т.д.)
- поворот вокруг диагонали тела на угол 120 °: 4 оси, по 2 на ось, вместе 8 ((1 2 3) и т.д.; (1 ± i ± j ± k) / 2)
То же самое с инверсией (xотображается в - x ) (также 24 изометрии). Обратите внимание, что поворот на угол 180 ° вокруг оси в сочетании с инверсией - это просто отражение в перпендикулярной плоскости. Комбинация инверсии и вращения вокруг диагонали тела на угол 120 ° представляет собой вращение вокруг диагонали тела на угол 60 ° в сочетании с отражением в перпендикулярной плоскости (само вращение не отображает куб сам на себя; пересечение плоскости отражения с кубом представляет собой правильный шестиугольник ).

Изометрию куба можно определить различными способами:

по граням трех заданных смежных граней (скажем, 1, 2 и 3 на матрице) отображаются в
изображением куба с несимметричной маркировкой на одной грани: грань с маркировкой, нормальная или зеркальная, и ориентация
путем перестановки четырех диагоналей тела (возможна каждая из 24 перестановок) в сочетании с переключателем для инверсии куба или нет

Для кубиков с цветами или маркировкой (например, кубики имеют), группа симметрии является подгруппой O h.

Примеры:

C4v, [4], (* 422): если одна грань имеет другой цвет (или две противоположные грани имеют разные цвета Между собой и между четырьмя другими) куб имеет 8 изометрий, как квадрат в 2D.
D2h, [2,2], (* 222): если противоположные грани имеют одинаковые цвета, разные для каждой набор из двух кубов имеет 8 изометрий, например кубоид .
D4h, [4,2], (* 422): если две противоположные грани имеют одинаковый цвет, а все остальные грани имеют один другой цвет, куб имеет 16 изометрий, например квадрат призмы (квадрат).
C2v, [2], (* 22):
- , если две смежные грани имеют одинаковый цвет, и все другие грани имеют один другой цвет, куб имеет 4 изометрии.
- если три грани, две из которых противоположны друг другу, имеют один цвет, а три другие - другого цвета, куб имеет 4 изометрии.
- если две противоположные грани имеют одинаковый цвет, а две другие противоположные грани тоже, а последние две имеют разные цвета, куб имеет 4 изометрии, как чистый лист бумаги с формой с зеркальной симметрией.
Cs, [], (*):
- , если две смежные грани имеют цвет, отличный от ea ch другой, а остальные четыре имеют третий цвет, куб имеет 2 изометрии.
- если две противоположные грани имеют одинаковый цвет, а все остальные грани имеют разные цвета, куб имеет 2 изометрии, как асимметричный кусок чистой бумаги.
C3v, [3], (* 33): если три грани, ни одна из которых не противоположна друг другу, имеют один цвет, а три других - другого цвета, куб имеет 6 изометрий.

Для некоторых больших подгрупп куб с этой группой в качестве группы симметрии невозможно, просто раскрасьте целые грани. На лицах нужно нарисовать какой-то узор.

Примеры:

D2d, [2,4], (2 * 2): если одна грань имеет линейный сегмент, разделяющий грань на два равных прямоугольника, а противоположная сторона имеет то же перпендикулярное направление, куб имеет 8 изометрий; существует плоскость симметрии и 2-кратная ось симметрии вращения с осью под углом 45 ° к этой плоскости, и, как следствие, существует также другая плоскость симметрии, перпендикулярная первой, и другая ось 2-кратной симметрии вращения перпендикулярно первой.
Th, [3,4], (3 * 2): если каждая грань имеет отрезок линии, разделяющий грань на два равных прямоугольника, так что отрезки смежных граней не пересекаются на краю, куб имеет 24 изометрии: четные перестановки диагоналей тела и то же самое в сочетании с инверсией (x отображается в - x).
Td, [3,3], (* 332): если куб состоит из восьми меньших кубов, четырех белых и четырех черных, соединенных поочередно во всех трех стандартных направлениях, куб снова имеет 24 изометрии: на этот раз четные перестановки диагоналей тела и инверсии других правильных вращений.
T, [3,3], (332): если каждая грань имеет одинаковый узор с 2-кратной симметрией вращения, скажем, буква S, так что на всех краях вершина o ne S пересекает сторону другой S, куб имеет 12 изометрий: четные перестановки диагоналей тела.

Полная симметрия куба, O h, [4,3], ( * 432), сохраняется тогда и только тогда, когда все грани имеют одинаковый узор, так что сохраняется полная симметрия квадрата, а для квадрата - группа симметрии, Dih 4, [4], порядка 8.

Полная симметрия куба относительно собственных вращений, O, [4,3], (432), сохраняется тогда и только тогда, когда все грани имеют тот же образец с 4-кратной вращательной симметрией , C 4, [4].

Октаэдрическая симметрия поверхности Больца

В теории римановых поверхностей поверхность Больца, иногда называемая кривой Больца, получается как разветвленная двойное покрытие сферы Римана с местом ветвления на множестве вершин правильного вписанного октаэдра. Его группа автоморфизмов включает гиперэллиптическую инволюцию, переворачивающую два листа покрытия. Фактор по подгруппе порядка 2, порожденной гиперэллиптической инволюцией, дает в точности группу симметрий октаэдра. Среди многих замечательных свойств поверхности Больца - тот факт, что она максимизирует систолу среди всех гиперболических поверхностей рода 2.

Твердые тела с октаэдрической киральной симметрией

Класс	Название	Изображение	Грани	Ребра	Вершины	Двойное имя	Изображение
Архимедово твердое тело. (Каталонское твердое тело )	курносый куб		38	60	24	пятиугольный икоситетраэдр

Твердые тела с полной октаэдрической симметрией

Класс	Имя	Грани	Ребра	Вершины	Двойное имя
Платоново твердое тело	Куб	6	12	8	Октаэдр
Архимедово твердое тело. (двойное Каталонское твердое тело )	Кубооктаэдр	14	24	12	Ромбический додекаэдр
	Усеченный куб	14	36	24	Октаэдр триакиса
	Усеченный октаэдр	14	36	24	Гексаэдр Тетракиса
	Ромбокубооктаэдр	26	48	24	Дельтоидальный икоситетраэдр
	Усеченный кубооктаэдр
Дисциплина 48
Правильный. составной. многогранник	Стелла octangula	8	12	8	Самодвойственный
Правильный. составной. многогранник	Куб и октаэдр	14	24	14	Самодвойственный

См. Также

Ссылки

Питер Р. Кромвель, Многогранники (1997), стр. 295
Симметрии вещей 2008, Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Страсс, ISBN 978-1-56881-220-5
Калейдоскопы: Избранные труды HSM Коксетер, под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони С. Томпсона, Асии Ивика Вайсс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471- 01003-6 [1]
NW Джонсон : Геометрии и преобразования, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Глава 11: Конечные группы симметрии, 11.5 Сферические группы Кокстера

Внешние ссылки