Теория поля Лиувилля

редактировать

В физике, теории поля Лиувилля (или просто теории поля Лиувилля ) - это двумерная конформная теория поля, классическое уравнение движения которой является обобщением уравнения Лиувилля.

Теория Лиувилля определена для всех комплексные значения центрального заряда $c {\ displaystyle c}$ $c$ его алгебры симметрии Вирасоро, но он унитарен, только если

c ∈ (1, + ∞) {\ displaystyle c \ in (1, + \ infty)}

{\ displaystyle c \ in (1, + \ infty)}

и его классический предел равен

c → + ∞ {\ displaystyle c \ to + \ infty}

{\ displaystyle c \ to + \ infty}

Хотя это теория взаимодействия с непрерывным спектром, теория Лиувилля решена. В частности, его трехточечная функция на сфере сфере была определена аналитически.

Содержание

1 Параметры
2 Спектр и корреляционные функции
- 2.1 Спектр
- 2.2 Поля и соотношение отражения
- 2.3 Корреляционные функции и формула DOZZ
- 2.4 Уникальность теории Лиувилля
3 Лагранжева формулировка
- 3.1 Действие и уравнение движения
- 3.2 Конформная симметрия
- 3.3 Интеграл по траекториям
4 Связь с другими конформными теориями поля
- 4.1 Некоторые ограничения теории Лиувилля
- 4.2 Модели WZW
- 4.3 Конформная теория Тоды
- 4.4 Суперсимметричная теория Лиувилля
5 Приложения
- 5.1 Лиувиллевская гравитация
- 5.2 Теория струн
- 5.3 Другие приложения
6 Путаница в именах для $c ≤ 1 { \ displaystyle c \ leq 1}$ ${\ displaystyle c \ leq 1}$
7 Ссылки
8 Внешние ссылки

Параметры

Теория Лиувилля имеет фоновый заряд $Q {\ displaystyle Q}$ $Q$ и константа связи $b {\ displaystyle b}$ $b$ , которые связаны с центральным зарядом $c {\ displaystyle c}$ $c$ на

c = 1 + 6 Q 2, Q = b + 1 b. {\ displaystyle c = 1 + 6Q ^ {2} \ quad, \ quad Q = b + {\ frac {1} {b}} \.}

{\ displaystyle c = 1 + 6Q ^ {2} \ quad, \ quad Q = b + {\ frac {1} {b}} \.}

Состояния и поля характеризуются импульсом $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ , который связан с конформным размером $Δ {\ displaystyle \ Delta}$ $\ Delta$ на

Δ = α (Q - α). {\ displaystyle \ Delta = \ alpha (Q- \ alpha) \.}

{\ displaystyle \ Delta = \ alpha (Q- \ alpha) \.}

Константа связи и импульс являются естественными параметрами для записи корреляционных функций в теории Лиувилля. Однако двойственность

b → 1 b, {\ displaystyle b \ to {\ frac {1} {b}} \,}

{\ displaystyle b \ to {\ frac {1} { b}} \,}

оставляет центральный заряд инвариантным, и поэтому корреляционные функции также остаются неизменными. Конформная размерность инвариантна относительно преобразования отражения

α → Q - α, {\ displaystyle \ alpha \ to Q- \ alpha \,}

{\ displaystyle \ alpha \ to Q - \ alpha \,}

, а корреляционные функции ковариант при отражении.

Спектр и корреляционные функции

Спектр

спектр $S {\ displaystyle {\ mathcal { S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ теории Лиувилля представляет собой диагональную комбинацию модулей Верма алгебры Вирасоро,

S = ∫ c - 1 24 + R + d Δ V Δ ⊗ В ¯ Δ, {\ Displaystyle {\ mathcal {S}} = \ int _ {{\ frac {c-1} {24}} + \ mathbb {R} _ {+}} d \ Delta \ {\ mathcal {V}} _ {\ Delta} \ otimes {\ bar {\ mathcal {V}}} _ {\ Delta} \,}

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = \ int _ {{\ frac {c-1} {24}} + \ mathbb {R} _ {+}} d \ Delta \ {\ mathcal {V}} _ {\ Delta} \ otimes {\ bar {\ mathcal {V}}} _ {\ Delta} \,}

где $V Δ {\ displaystyle {\ mathcal {V}} _ {\ Delta}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {V}} _ {\ Delta}}$ и $V ¯ Δ {\ displaystyle {\ bar {\ mathcal {V}}} _ {\ Delta}}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ mathcal { V}}} _ {\ Delta}}$ обозначают один и тот же модуль Верма, рассматривается как представление лево- и правосторонней алгебры Вирасоро соответственно. В терминах импульсов,

Δ ∈ c - 1 24 + R + {\ displaystyle \ Delta \ in {\ frac {c-1} {24}} + \ mathbb {R} _ {+}}

{\ displaystyle \ Delta \ in {\ frac {c-1} {24}} + \ mathbb {R} _ {+}}

соответствует

α ∈ Q 2 + i R {\ displaystyle \ alpha \ in {\ frac {Q} {2}} + i \ mathbb {R}}

{\ displaystyle \ alpha \ in {\ гидроразрыв {Q} {2}} + я \ mathbb {R}}

Теория Лиувилля унитарна тогда и только тогда, когда $с ∈ (1, + ∞) {\ Displaystyle с \ в (1, + \ infty)}$ ${\ displaystyle c \ in (1, + \ infty)}$ . Спектр теории Лиувилля не включает вакуумное состояние. Состояние вакуума может быть определено, но оно не влияет на операторное разложение произведения.

Поля и соотношение отражения

В теории Лиувилля первичные поля обычно параметризованы их импульсом вместо их конформной размерности и обозначается $V α (z) {\ displaystyle V _ {\ alpha} (z)}$ ${\ displaystyle V _ {\ alpha} (z)}$ . Оба поля $V α (z) {\ displaystyle V _ {\ alpha} (z)}$ ${\ displaystyle V _ {\ alpha} (z)}$ и $VQ - α (z) {\ displaystyle V_ {Q- \ alpha} (z)}$ ${\ displaystyle V_ {Q- \ alpha} (z)}$ соответствуют первичному состоянию представления $V Δ ⊗ V ¯ Δ {\ displaystyle {\ mathcal {V}} _ {\ Delta} \ otimes {\ bar {\ mathcal {V}}} _ {\ Delta}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {V}} _ {\ Delta} \ otimes {\ bar {\ mathcal {V}}} _ {\ Delta}}$ , и связаны соотношением отражения

V α (z) = R (α) VQ - α (z), { \ Displaystyle V _ {\ alpha} (z) = R (\ alpha) V_ {Q- \ alpha} (z) \,}

{\ displaystyle V _ {\ alpha} (z) = R (\ alpha) V_ {Q- \ alpha} (z) \,}

, где коэффициент отражения равен

R (α) = ± λ Q - 2 α Γ (b (2 α - Q)) Γ (1 b (2 α - Q)) Γ (b (Q - 2 α)) Γ (1 b (Q - 2 α)). {\ Displaystyle R (\ альфа) = \ pm \ lambda ^ {Q-2 \ alpha} {\ frac {\ Gamma (b (2 \ alpha -Q)) \ Gamma ({\ frac {1} {b}} (2 \ alpha -Q))} {\ Gamma (b (Q-2 \ alpha)) \ Gamma ({\ frac {1} {b}} (Q-2 \ alpha))}} \.}

{\ displaystyl e R (\ alpha) = \ pm \ lambda ^ {Q-2 \ alpha} {\ frac {\ Gamma (b (2 \ alpha -Q)) \ Gamma ({\ frac {1} {b}} (2 \ alpha -Q))} {\ Gamma (b (Q-2 \ alpha)) \ Gamma ({\ frac {1} {b}} (Q-2 \ alpha))}} \.}

(Знак $+ 1 {\ displaystyle +1}$ $+1$ , если $c ∈ (- ∞, 1) {\ displaystyle c \ in (- \ infty, 1)}$ ${\ displaystyle c \ in (- \ infty, 1)}$ и $- 1 {\ displaystyle -1}$ $-1$ в противном случае, и параметр нормализации $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ является произвольным.)

Корреляционные функции и формула DOZZ

Для $c ∉ (- ∞, 1) {\ displaystyle c \ notin (- \ infty, 1)}$ ${\ displaystyle c \ notin (- \ infty, 1)}$ три -точечная структурная постоянная задается формулой DOZZ (для Дорна-Отто и Замолодчикова-Замолодчикова),

C α 1, α 2, α 3 = [b 2 b - 2 b λ] Q - α 1 - α 2 - α 3 Υ b ′ (0) Υ b (2 α 1) Υ b (2 α 2) Υ b (2 α 3) Υ b (α 1 + α 2 + α 3 - Q) Υ б (α 1 + α 2 - α 3) Υ б (α 2 + α 3 - α 1) Υ б (α 3 + α 1 - α 2), {\ displaystyle C _ {\ alpha _ {1}, \ альфа _ {2}, \ alpha _ {3}} = {\ frac {\ left [b ^ {{\ frac {2} {b}] } -2b} \ lambda \ right] ^ {Q- \ alpha _ {1} - \ alpha _ {2} - \ alpha _ {3}} \ Upsilon _ {b} '(0) \ Upsilon _ {b} (2 \ alpha _ {1}) \ Upsilon _ {b} (2 \ alpha _ {2}) \ Upsilon _ {b} (2 \ alpha _ {3})} {\ Upsilon _ {b} (\ alpha _ {1} + \ alpha _ {2} + \ alpha _ {3} -Q) \ Upsilon _ {b} (\ alpha _ {1} + \ alpha _ {2} - \ alpha _ {3}) \ Ипсилон _ {b} (\ alpha _ {2} + \ alpha _ {3} - \ alpha _ {1}) \ Upsilon _ {b} (\ alpha _ {3} + \ alpha _ {1} - \ alpha _ {2})}} \,}

C_{\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}}={\frac {\left[b^{{\frac {2}{b}}-2b}\lambda \right]^{Q-\alpha _{1}-\alpha _{2}-\alpha _{3}}\Upsilon _{b}'(0)\Upsilon _{b}(2\alpha _{1})\Upsilon _{b}(2\alpha _{2})\Upsilon _{b}(2\alpha _{3})}{\Upsilon _{b}(\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}-Q)\Upsilon _{b}(\alpha _{1}+\alpha _{2}-\alpha _{3})\Upsilon _{b}(\alpha _{2}+\alpha _{3}-\alpha _{1})\Upsilon _{b}(\alpha _{3}+\alpha _{1}-\alpha _{2})}}\,

где специальная функция $Υ b {\ displaystyle \ Upsilon _ {b}}$ ${\ displaystyle \ Upsilon _ {b}}$ является разновидностью функции множественной гаммы.

Для $c ∈ (- ∞, 1) {\ displaystyle c \ in (- \ infty, 1)}$ ${\ displaystyle c \ in (- \ infty, 1)}$ трехточечная структурная константа

C ^ α 1, α 2, α 3 = [(ib) 2 b - 2 b λ] Q - α 1 - α 2 - α 3 Υ ^ b (0) Υ ^ b (2 α 1) Υ ^ b (2 α 2) Υ ^ b (2 α 3) Υ ^ b (α 1 + α 2 + α 3 - Q) Υ ^ b (α 1 + α 2 - α 3) Υ ^ b (α 2 + α 3 - α 1) Υ ^ b (α 3 + α 1 - α 2), {\ Displaystyle {\ Hat {C}} _ ​​{\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ alpha _ {3}} = {\ frac {\ left [(ib) ^ {{\ frac {2} {b}} - 2b} \ lambda \ right] ^ {Q- \ alpha _ {1} - \ alpha _ {2} - \ alpha _ {3}} { \ hat {\ Upsilon}} _ {b} (0) {\ hat {\ Upsilon}} _ {b} (2 \ alpha _ {1}) {\ hat {\ Upsilon}} _ {b} (2 \ alpha _ {2}) {\ hat {\ Upsilon}} _ {b} (2 \ alpha _ {3})} {{\ hat {\ Upsilon}} _ {b} (\ alpha _ {1} + \ alpha _ {2} + \ alpha _ {3} -Q) {\ hat {\ Upsilon}} _ {b} (\ alpha _ {1} + \ alpha _ {2} - \ alpha _ {3}) { \ hat {\ Upsilon}} _ {b} (\ alpha _ {2} + \ alpha _ {3} - \ alpha _ {1}) {\ hat {\ Upsilon}} _ {b} (\ alpha _ { 3} + \ alpha _ {1} - \ alpha _ {2})}} \,}

{ \ displaystyle {\ hat {C}} _ ​​{\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ alpha _ {3}} = {\ frac {\ left [(ib) ^ {{\ frac {2} } {b}} - 2b} \ lambda \ right] ^ {Q- \ alpha _ {1} - \ alpha _ {2} - \ alpha _ {3}} {\ hat {\ Upsilon}} _ {b} (0) {\ hat {\ Upsilon}} _ {b} (2 \ alpha _ {1}) {\ hat {\ Upsilon}} _ {b} (2 \ alpha _ {2}) {\ hat {\ Ипсилон}} _ {b} (2 \ alpha _ {3})} {{\ hat {\ Upsilon}} _ {b} (\ alpha _ {1} + \ alpha _ {2} + \ alpha _ {3 } -Q) {\ hat {\ Upsilon}} _ {b} (\ alpha _ {1} + \ alpha _ {2} - \ alpha _ {3}) {\ hat {\ Upsilon}} _ {b} (\ alpha _ {2} + \ alpha _ {3} - \ alpha _ {1}) {\ hat {\ Upsilon}} _ {b} (\ alpha _ {3} + \ alpha _ {1} - \ альфа _ {2})}} \,}

где

Υ ^ b (x) = 1 Υ ib (- ix + ib). {\ displaystyle {\ hat {\ Upsilon}} _ {b} (x) = {\ frac {1} {\ Upsilon _ {ib} (- ix + ib)}} \.}

{\ displaystyle {\ hat {\ Upsilon}} _ {b} (x) = {\ frac {1} {\ Upsilon _ {ib} (- ix + ib)}} \.}

$N {\ displaystyle N}$ $N$ -точечные функции на сфере могут быть выражены в терминах трехточечных структурных констант и конформных блоков. Функция $N {\ displaystyle N}$ $N$ может иметь несколько различных выражений: их согласие эквивалентно пересечению симметрии четырехточечной функции, которая была проверена. численно и аналитически.

Теория Лиувилля существует не только на сфере, но и на любой римановой поверхности рода $g ≥ 1 {\ displaystyle g \ geq 1}$ ${\ displaystyle g \ geq 1}$ . Технически это эквивалентно модульной инвариантности одноточечной функции тора. Благодаря замечательному тождеству конформных блоков и структурных констант, это свойство модулярной инвариантности может быть выведено из пересечения симметрии четырехточечной функции сферы.

Уникальность теории Лиувилля

Использование конформный бутстрап подход, можно показать, что теория Лиувилля является единственной конформной теорией поля, такой, что

спектр является континуумом без кратностей больше единицы,
корреляционные функции аналитически зависят от $b {\ displaystyle b}$ $b$ и импульсы,
существуют вырожденные поля.

формулировка Лагранжа

Действие и уравнение движения

Теория Лиувилля определяется локальным действием

S [ϕ] = 1 4 π ∫ d 2 xg (g μ ν ∂ μ ϕ ∂ ν ϕ + QR ϕ + λ ′ e 2 b ϕ), {\ displaystyle S [\ phi] = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int d ^ {2} x {\ sqrt {g}} (g ^ {\ mu \ nu} \ partial _ {\ mu} \ phi \ partial _ {\ nu} \ phi + QR \ phi + \ lambda 'e ^ {2b \ phi}) \,}

S[\phi ]={\frac {1}{4\pi }}\int d^{2}x{\sqrt {g}}(g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi +QR\phi +\lambda 'e^{2b\phi })\,

где $g μ ν {\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} }$ $g _ {{\ mu \ nu}}$ - это метрика двумерного пространства , на которой сформулирована теория, $R {\ displaystyle R}$ $R$ - это скаляр Риччи этого пространства, а поле $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ называется полем Лиувилля. Параметр $λ ′ {\ displaystyle \ lambda '}$ $\lambda '$ , который иногда называют космологической постоянной, связан с параметром $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ который появляется в корреляционных функциях как

λ ′ = 4 Γ (1 - b 2) Γ (b 2) λ b {\ displaystyle \ lambda '= 4 {\ frac {\ Gamma (1-b ^ {2}) } {\ Gamma (b ^ {2})}} \ lambda ^ {b}}

\lambda '=4{\frac {\Gamma (1-b^{2})}{\Gamma (b^{2})}}\lambda ^{b}

Уравнение движения, связанное с этим действием, имеет вид

Δ ϕ (x) = 1 2 QR (x) + λ ′ быть 2 б ϕ (x), {\ displaystyle \ Delta \ phi (x) = {\ frac {1} {2}} QR (x) + \ lambda 'be ^ {2b \ phi (x)} \,}

\Delta \phi (x)={\frac {1}{2}}QR(x)+\lambda 'be^{2b\phi (x)}\,

, где $Δ = | г | - 1/2 ∂ μ (| g | 1/2 g μ ν ∂ ν) {\ displaystyle \ Delta = | g | ^ {- 1/2} \ partial _ {\ mu} (| g | ^ {1 / 2} g ^ {\ mu \ nu} \ partial _ {\ nu})}$ ${\ displaystyle \ Delta = | g | ^ {- 1/2} \ partial _ {\ mu} (| g | ^ {1/2} g ^ {\ mu \ nu} \ partial _ {\ nu})}$ - это оператор Лапласа – Бельтрами. Если $g μ ν {\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ $g _ {{\ mu \ nu}}$ - евклидова метрика, это уравнение сводится к

(∂ 2 ∂ x 1 2 + ∂ 2 ∂ x 2 2) ϕ (x 1, x 2) = λ ′ быть 2 b ϕ (x 1, x 2), {\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x_ {1} ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x_ {2} ^ {2}}} \ right) \ phi (x_ {1}, x_ {2}) = \ lambda 'be ^ {2b \ phi (x_ {1}, x_ {2})} \,}

\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}\right)\phi (x_{1},x_{2})=\lambda 'be^{2b\phi (x_{1},x_{2})}\,

что эквивалентно уравнению Лиувилля.

Конформная симметрия

Использование а комплексная система координат $z {\ displaystyle z}$ $z$ и евклидова метрика

g μ ν dx μ dx ν = dzdz ¯ {\ displaystyle g_ { \ mu \ nu} dx ^ {\ mu} dx ^ {\ nu} = dzd {\ bar {z}}}

{\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} dx ^ {\ mu} dx ^ {\ nu} = dzd {\ bar {z}}}

компоненты тензора энергии-импульса подчиняются

T zz ¯ = T z ¯ z = 0, ∂ z ¯ T zz = 0, ∂ z T z ¯ z ¯ = 0. {\ displaystyle T_ {z {\ bar {z}}} = T _ {{\ bar {z}} z} = 0 \ quad, \ quad \ partial _ {\ bar {z}} T_ {zz} = 0 \ quad, \ quad \ partial _ {z} T _ {{\ bar {z}} {\ bar {z}}} = 0 \.}

{\ displaystyle T_ {z {\ bar {z}}} = T _ {{\ bar {z }} z} = 0 \ quad, \ quad \ partial _ {\ bar {z}} T_ {zz} = 0 \ quad, \ quad \ partial _ {z} T _ {{\ bar {z}} {\ bar {z}}} = 0 \.}

Неисчезающие в нуль компоненты:

T = T zz = ( ∂ z ϕ) 2 + Q ∂ z 2 ϕ, T ¯ = T z ¯ z ¯ = (∂ z ¯ ϕ) 2 + Q ∂ z ¯ 2 ϕ. {\ Displaystyle T = T_ {zz} = (\ partial _ {z} \ phi) ^ {2} + Q \ partial _ {z} ^ {2} \ phi \ quad, \ quad {\ bar {T}} = T _ {{\ bar {z}} {\ bar {z}}} = (\ partial _ {\ bar {z}} \ phi) ^ {2} + Q \ partial _ {\ bar {z}} ^ {2} \ phi \.}

{\ displaystyle T = T_ {zz} = (\ partial _ {z} \ phi) ^ {2} + Q \ partial _ {z} ^ {2} \ phi \ quad, \ quad {\ bar {T}} = T_ { {\ bar {z}} {\ bar {z}}} = (\ partial _ {\ bar {z}} \ phi) ^ {2} + Q \ partial _ {\ bar {z}} ^ {2} \ phi \.}

Каждый из этих двух компонентов порождает алгебру Вирасоро с центральным зарядом

c = 1 + 6 Q 2 {\ displaystyle c = 1 + 6Q ^ {2}}

{\ displaystyle c = 1 + 6Q ^ {2}}

Для обеих этих алгебр Вирасоро поле $e 2 α ϕ {\ displaystyle e ^ {2 \ alpha \ phi}}$ ${\ displaystyle e ^ {2 \ alpha \ phi}}$ является первичным полем с конформной размерностью

Δ = α (Q - α) {\ displaystyle \ Delta = \ alpha (Q- \ alpha)}

{\ displaystyle \ Delta = \ alpha (Q- \ alpha)}

Чтобы теория имела конформную инвариантность, поле $e 2 b ϕ {\ displaystyle e ^ {2b \ phi}}$ ${\ displaystyle e ^ {2b \ phi} }$ , который появляется в действии, должен быть маргинальным, т.е. иметь конформную размерность

Δ (b) = 1 {\ displaystyle \ Delta (b) = 1}

{\ displaystyle \ Delta (b) = 1}

Это приводит к соотношению

Q = b + 1 b {\ displaystyle Q = b + {\ frac {1} {b}}}

{\ displaystyle Q = b + {\ frac {1} {b}}}

между фоновым зарядом и константа связи. Если это соотношение соблюдается, то $e 2 b ϕ {\ displaystyle e ^ {2b \ phi}}$ ${\ displaystyle e ^ {2b \ phi} }$ на самом деле в точности маргинальное, и теория конформно инвариантна.

Интеграл по путям

Представление интеграла по путям для $N {\ displaystyle N}$ $N$ -точечной корреляционной функции первичных полей:

⟨∏ i = 1 NV α i (zi)⟩ = ∫ D ϕ e - S [ϕ] ∏ i = 1 N e 2 α i ϕ (zi). {\ displaystyle \ left \ langle \ prod _ {i = 1} ^ {N} V _ {\ alpha _ {i}} (z_ {i}) \ right \ rangle = \ int D \ phi \ e ^ {- S [\ phi]} \ prod _ {i = 1} ^ {N} e ^ {2 \ alpha _ {i} \ phi (z_ {i})} \.}

{\ displaystyle \ left \ langle \ prod _ {i = 1} ^ {N} V _ {\ alpha _ {i}} (z_ {i }) \ right \ rangle = \ int D \ phi \ e ^ {- S [\ phi]} \ prod _ {i = 1} ^ {N} e ^ {2 \ alpha _ {i} \ phi (z_ { i})} \.}

Было трудно определить и вычислить этот интеграл по путям. В представлении интеграла по путям не очевидно, что теория Лиувилля имеет точную конформную инвариантность, и не очевидно, что корреляционные функции инвариантны при $b → b - 1 {\ displaystyle b \ to b ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle b \ to b ^ { -1}}$ и подчиняться соотношению отражения. Тем не менее, представление интеграла по путям можно использовать для вычисления остатков корреляционных функций на некоторых из их полюсов as (т.е. интегралов кулоновского газа), и именно так формула DOZZ была впервые догадывались в 1990-е гг. Только в 2010-х годах была найдена строгая вероятностная конструкция интеграла по путям, которая привела к доказательству формулы DOZZ и конформного бутстрапа.

Связь с другими конформными теориями поля

Некоторые ограничения теории Лиувилля

Когда центральный заряд и конформные размерности передаются соответствующим дискретным значениям, корреляционные функции теории Лиувилля сводятся к корреляционным функциям диагональных (A-серия) минимальных моделей Вирасоро .

С другой стороны, когда центральный заряд отправляется одному, в то время как конформные измерения остаются непрерывными, теория Лиувилля стремится к теории Ранкеля-Уоттса, нетривиальной конформной теории поля (КТП) с непрерывным спектром, трехточечная функция которой не аналитична как функция импульсов. Обобщения теории Ранкеля-Уоттса получаются из теории Лиувилля путем использования пределов типа $b 2 ∉ R, b 2 → Q < 0 {\displaystyle b^{2}\notin \mathbb {R},b^{2}\to \mathbb {Q} _{<0}}$ ${\ displaystyle b ^ {2} \ notin \ mathbb {R}, b ^ {2} \ to \ mathbb {Q} _ { <0}}$ . Итак, для $b 2 ∈ Q < 0 {\displaystyle b^{2}\in \mathbb {Q} _{<0}}$ ${\ displaystyle b ^ {2} \ in \ mathbb {Q} _ {<0}}$ известны два различных CFT с одинаковым спектром: теория Лиувилля, трехточечная функция которой является аналитической, и другая CFT с неаналитической трехточечной функцией.

WZW-модели

Теория Лиувилля может быть получена из $SL 2 (R) {\ displaystyle SL_ {2} (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle SL_ {2} (\ mathbb {R})}$ Wess – Zumino –Модель Виттена посредством квантовой редукции Дринфельда-Соколова. Кроме того, корреляционные функции модели $H 3 + {\ displaystyle H_ {3} ^ {+}}$ ${\ displaystyle H_ { 3} ^ {+}}$ (евклидова версия модели $SL 2 (R) {\ displaystyle SL_ { 2} (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle SL_ {2} (\ mathbb {R})}$ модель WZW) может быть выражено через корреляционные функции теории Лиувилля. Это также верно для корреляционных функций 2d черной дыры $S L 2 / U 1 {\ displaystyle SL_ {2} / U_ {1}}$ ${\ displaystyle SL_ {2} / U_ {1}}$ смежной модели. Более того, существуют теории, которые непрерывно интерполируют между теорией Лиувилля и $H 3 + {\ displaystyle H_ {3} ^ {+}}$ ${\ displaystyle H_ { 3} ^ {+}}$ model.

Теория конформной Тоды

Теория Лиувилля является простейшим примером теории поля Тода, связанной с $A 1 {\ displaystyle A_ {1}}$ $A_ {1}$ матрицей Картана. Более общие конформные теории Тоды можно рассматривать как обобщения теории Лиувилля, лагранжианы которой включают несколько бозонов, а не один бозон $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ , и чьи алгебры симметрии W- алгебры, а не алгебру Вирасоро.

Суперсимметричная теория Лиувилля

Теория Лиувилля допускает два разных суперсимметричных расширения, называемых $N = 1 {\ displaystyle {\ mathcal {N}} = 1}$ ${\ mathcal {N}} = 1$ суперсимметричная теория Лиувилля и $N = 2 {\ displaystyle {\ mathcal {N}} = 2}$ ${\ mathcal {N}} = 2$ суперсимметричная теория Лиувилля.

Приложения

гравитация Лиувилля

В двух измерениях уравнения Эйнштейна сводятся к уравнению Лиувилля, поэтому теория Лиувилля дает квантовая теория гравитации, которая называется лиувиллевской гравитацией . Ее не следует путать с моделью CGHS или гравитацией Джеки-Тейтельбойма.

Теория струн

Теория Лиувилля появляется в контексте теории струн, когда пытается сформулировать некритическую версию теории в формулировке интеграла по путям . Также в контексте теории струн, если она связана со свободным бозонным полем, теорию поля Лиувилля можно рассматривать как теорию, описывающую возбуждения струны в двумерном пространстве (времени).

Другие приложения

Теория Лиувилля связана с другими предметами физики и математики, такими как трехмерная общая теория относительности в отрицательно искривленных пространствах, проблема униформизации римановых поверхностей и другие проблемы конформного отображения. Это также связано с инстантоном функциями распределения в некоторых четырехмерных сверхконформных калибровочных теориях посредством соответствия AGT.

Путаница в именах для

c ≤ 1 {\ displaystyle c \ leq 1}

{\ displaystyle c \ leq 1}

Теория Лиувилля с $c ≤ 1 {\ displaystyle c \ leq 1}$ ${\ displaystyle c \ leq 1}$ впервые появилась как модель зависящая от времени теория струн под названием временноподобная теория Лиувилля . Ее также называют обобщенной минимальной моделью . Впервые она была названа теорией Лиувилля, когда было обнаружено, что она действительно существует и является пространственноподобной, а не временной. По состоянию на 2020 год ни одно из этих трех имен не является общепринятым.

Ссылки

Внешние ссылки

Антти Купиайнен, Введение в теорию Лиувилля, выступление в Институте перспективных исследований, май 2018 г.

Последняя правка сделана 2021-05-27 10:56:20

Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).

Обратная связь: support@alphapedia.ru

Соглашение

О проекте