Альфапедия

Пробел Бэра

редактировать

В математике пробел Бэра является топологическое пространство такое, что каждое пересечение счетного набора открытых плотных множеств в этом пространстве также является плотным. Полные метрические пространства и локально компактные Хаусдорфовы пространства являются примерами пространств Бэра согласно теореме Бэра о категориях. Пространства названы в честь Рене-Луи Бэра, который представил эту концепцию.

Содержание
  • 1 Мотивация
  • 2 Определение
    • 2.1 Определения
    • 2.2 Определение пространства Бэра
  • 3 Достаточные условия
    • 3.1 Теорема категории Бэра
    • 3.2 Другие достаточные условия
  • 4 Примеры
    • 4.1 Не пример
  • 5 Свойства
  • 6 См. Также
  • 7 Ссылки
  • 8 Библиография
  • 9 Внешние ссылки
Мотивация

В произвольном топологическом пространстве, класс закрытых множеств с пустым внутренним состоит в точности из границ dense открытых устанавливает. Эти наборы в определенном смысле «пренебрежимо малы». Некоторые примеры - конечные множества в ℝ, гладкие кривые на плоскости и собственные аффинные подпространства в евклидовом пространстве. Если топологическое пространство является пространством Бэра, то оно «большое», что означает, что оно не является счетным объединением из незначительных подмножеств. Например, трехмерное евклидово пространство не является счетным объединением своих аффинных плоскостей.

Определение

Точное определение пространства Бэра претерпевало небольшие изменения на протяжении всей истории, в основном из-за преобладающих потребностей и точек зрения. Сначала мы даем обычное современное определение, а затем мы даем историческое определение, которое ближе к определению, первоначально данному Бэром.

Определения

В своем первоначальном определении Бэр определил понятие категории (не связанное с теорией категорий ) следующим образом.

Определение : Подмножество топологического пространства называется нигде не плотным или редким, если его закрытие имеет пустой inner.

Обратите внимание, что замкнутое подмножество нигде не является плотным тогда и только тогда, когда его внутренность пуста.

Определение : подмножество топологического пространства X называется скудным в X, скудным подмножеством X или первая категория в X, если это счетное объединение нигде не плотных подмножеств X. Подмножество имеет вторую категорию или nonmeagre в X, если это не так. первой категории в X.
Определение : Топологическое пространство называется скудным (соответственно nonmeagre ), если оно является скудным (соответственно немарким) подмножеством самого себя.
Предупреждение : обратите внимание, что если S является подмножеством X, то когда мы говорим, что S является скудным под пробелом X, то мы имеем в виду, что когда S наделен топология подпространства (индуцированная X), то S - скудное топологическое пространство (т. е. S - скудное подмножество S). Напротив, если мы говорим, что S является скудным подмножеством множества X, то мы имеем в виду, что оно равно счетному объединению нигде не плотных подмножеств X. То же самое применимо к немощным подмножествам и подпространствам.
Определение : Подмножество A X является сходным в X, если его дополнение X ∖ A скудно в X.

Определение пространства Бэра

Определение - Топологическое пространство X называется пространством Бэра, если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

  1. Каждое непустое открытое подмножество X является нестрогим подмножеством X;
  2. Каждое объединенное подмножество X плотно в X;
  3. union любого countable collection of closed нигде плотные подмножества (т.е. каждое замкнутое подмножество имеет пустое внутреннее ) имеет пустое внутреннее пространство;
  4. Каждое пересечение счетного числа плотных открытых множеств в X плотно в X;
    • Для сравнения, в любом топологическом пространстве пересечение любого конечного набора плотных открытых подмножеств снова является плотным открытым
  5. внутреннее (взятое в X) каждого объединения счетного числа закрытых нигде не плотных множеств пусто;
  6. Всякий раз, когда объединение счетного числа замкнутых подмножеств X имеет внутреннюю точку, тогда хотя бы одно из замкнутых подмножеств должно иметь внутреннюю точку;
  7. Дополнение в X каждого скудного подмножества X плотно в X;
  8. Каждая точка в X имеет окрестность, которая является пространством Бэра (в соответствии с любым определяющим условием, отличным от этого).
    • Итак, X является пространством Бэра тогда и только если это «локально пространство Бэра».
Достаточные условия

Теорема Бэра о категориях

Теорема Бэра о категориях дает достаточные условия для топологическое пространство должно быть пространством Бэра. Это важный инструмент в топологии и функциональном анализе.

BCT1 показывает, что каждое из следующих значений является пространством Бэра:

BCT2 показывает, что каждое многообразие - пространство Бэра, даже если оно не паракомпактное и, следовательно, не метризуемое. Например, длинная строка относится ко второй категории.

Другие достаточные условия

  • Произведение полных метрических пространств является пространством Бэра.
  • A топологическое векторное пространство не является простым тогда и только тогда, когда оно является пространством Бэра, что происходит тогда и только тогда, когда каждое замкнутое поглощающее подмножество имеет непустую внутренность.
Примеры
  • Пространство ℝ действительных чисел с обычной топологией является пространством Бэра, а значит, само по себе относится ко второй категории. рациональные числа относятся к первой категории, а иррациональные числа относятся ко второй категории в ℝ.
  • множество Кантора является пространством Бэра, и поэтому сам по себе относится ко второй категории, но к первой категории в интервале [0, 1] с обычной топологией.
  • Вот пример набора второй категории в ℝ с Мера Лебега 0:
    ⋂ m = 1 ∞ ⋃ n = 1 ∞ (rn - (1 2) n + m, rn + (1 2) n + m) {\ displaystyle \ bigcap _ {m = 1} ^ {\ infty} \ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (r_ {n} - ({\ tfrac {1} {2}}) ^ {n + m}, r_ {n } + ({\ tfrac {1} {2}}) ^ {n + m} \ right)}{\ displaystyle \ bigcap _ {m = 1} ^ {\ infty} \ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty } \ left (r_ {n} - ({\ tfrac {1} {2}}) ^ {n + m}, r_ {n} + ({\ tfrac {1} {2}}) ^ {n + m } \ right)}
    где (r n). n = 1 - последовательность , которая перечисляет рациональные числа.
  • . Обратите внимание, что пространство рациональных чисел с обычной топологией, унаследованной от вещественных чисел, не является пространством Бэра, поскольку оно является объединением счетного числа замкнутых множеств без внутренних, синглтонов.

Непример

Один из первых непримеров исходит из индуцированной топологии рациональных чисел ℚ внутри o f действительная прямая ℝ со стандартной евклидовой топологией. Учитывая индексацию рациональных чисел натуральными числами ℕ, так что биекция f: ℕ → ℚ, и пусть 𝒜 = (A n). n = 1, где A n = ℚ ∖ {f (n)}, которое является открытым плотным подмножеством в ℚ. Тогда, поскольку пересечение каждого открытого множества в пусто, пространство ℚ не может быть пространством Бэра.

Свойства
  • Каждое непустое пространство Бэра само по себе относится ко второй категории, и каждое пересечение счетного числа плотных открытых подмножеств X непусто, но обратное ни к одному из них не верно, как показано топологическая непересекающаяся сумма рациональных чисел и единичного интервала [0, 1].
  • Каждое открытое подпространство пространства Бэра является пространством Бэра.
  • Дано семейство из непрерывных функций f n : X → Y с поточечным пределом f: X → Y. Если X - бэровский Тогда точки, в которых f не непрерывна, являются скудным множеством в X, а множество точек, где f непрерывна, плотно в X. Частным случаем этого является принцип равномерной ограниченности.
  • Замкнутое подмножество пространства Бэра не обязательно является Бэром.
  • Произведение двух пространств Бэра не обязательно является Бэром. Однако существуют достаточные условия, которые гарантируют, что произведение произвольного числа пространств Бэра снова будет бэровским.
См. Также
Ссылки
Библиография
  • Бэр, Рене-Луи (1899), Sur les fonctions de variables réelles, Annali di Mat. Сер. 3 3, 1–123.
  • Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства. Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: издательство Gordon and Breach Science. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098.
  • Munkres, James, Topology, 2nd edition, Prentice Hall, 2000.
  • Khaleelulla, S.M. (1982). Написано в берлинском Гейдельберге. Контрпримеры в топологических векторных пространствах. Конспект лекций по математике. 936 . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370.
  • Кёте, Готфрид (1969). Топологические векторные пространства I. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 159 . Перевод Гарлинга, Д.Дж.Х. Нью-Йорк: Springer Science Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR 0248498. OCLC 840293704.
  • Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
  • ; (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
  • Шефер, Гельмут Х. ; (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8(Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
  • Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
  • Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.
Внешние ссылки
  • Энциклопедия математики, статья о пространстве Бэра
  • Энциклопедия математики, статья по теореме Бэра
Последняя правка сделана 2021-05-11 07:18:57
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте