Стохастическое уравнение в частных производных

Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения Навье – Стокса, используемые для моделирования воздушного потока вокруг препятствия
Объем Естественные науки Инженерное дело Астрономия Физика Химия Биология Геология Прикладная математика Механика сплошной среды Теория хаоса Динамические системы Социальные науки Экономика Динамика населения
Классификация
Типы Обычный Частичное Дифференциально-алгебраический Интегро-дифференциал Дробное Линейный Нелинейный По типу переменной Зависимые и независимые переменные Автономный Сложный Связано / развязано Точный Однородный  / неоднородный Функции Заказ Оператор Обозначение
Отношение к процессам Разница (дискретный аналог) Стохастик Стохастический частичный Задерживать
Решение
Существование и уникальность Теорема Пикара – Линделёфа Теорема существования Пеано Теорема существования Каратеодори Теорема Коши – Ковалевского
Общие темы Вронскиан Фазовый портрет Фазовое пространство Ляпунов  / Асимптотика  / Экспоненциальная устойчивость Скорость сходимости Серии  / Интегральные решения Численное интегрирование Дельта-функция Дирака
Методы решения Осмотр Метод характеристик Эйлер Формула экспоненциального отклика Конечная разность   ( Кривошип – Николсон ) Заключительный элемент Бесконечный элемент Конечный объем Галеркин Петров – Галеркин Интегрирующий фактор Интегральные преобразования Теория возмущений Рунге-Кутта Разделение переменных Неопределенные коэффициенты Вариация параметров
Люди Исаак Ньютон Готфрид Лейбниц Леонард Эйлер Эмиль Пикар Юзеф Мария Хене-Вроньски Эрнст Линделёф Рудольф Липшиц Огюстен-Луи Коши Джон Крэнк Филлис Николсон Карл Давид Толме Рунге Мартин Кутта
v т е

Стохастические дифференциальные уравнения в частных производных ( SPDE ) обобщают уравнения в частных производных через случайные силовые члены и коэффициенты, точно так же, как обычные стохастические дифференциальные уравнения обобщают обыкновенные дифференциальные уравнения.

Они имеют отношение к квантовой теории поля, статистической механике и пространственному моделированию.

• 1 Примеры
• 2 Обсуждение
• 3 См. Также
• 4 ссылки
• 5 Дальнейшее чтение
• 6 Внешние ссылки

Одним из наиболее изученных СПДУ является уравнение стохастической теплопроводности, которое формально можно записать как

${\ displaystyle \ partial _ {t} u = \ Delta u + \ xi \ ;,}$

где - лапласиан и обозначает белый шум пространства-времени. Другие примеры также включают стохастические версии известных линейных уравнений, таких как волновое уравнение и уравнение Шредингера. ${\ displaystyle \ Delta}$ ${\ displaystyle \ xi}$

Одна из трудностей - это отсутствие регулярности. В одномерном пространстве решения стохастического уравнения теплопроводности являются только почти 1/2 -гёльдеровскими в пространстве и 1/4-Гёльдеровскими во времени. Для размерностей два и выше решения даже не являются функционально-значными, но могут восприниматься как случайные распределения.

Для линейных уравнений обычно можно найти мягкое решение с помощью полугрупповых методов.

Однако при рассмотрении нелинейных уравнений начинают появляться проблемы. Например

${\ Displaystyle \ partial _ {T} U = \ Delta u + P (u) + \ xi,}$

где - многочлен. В этом случае даже не ясно, как следует разобраться в уравнении. У такого уравнения также не будет функциональнозначного решения, а значит, и поточечного смысла. Хорошо известно, что пространство распределений не имеет продуктовой структуры. Это основная проблема такой теории. Это приводит к необходимости некоторой перенормировки. ${\ displaystyle P}$

Первой попыткой обойти такие проблемы для некоторых конкретных уравнений был так называемый трюк да Пратто-Дебуше, который включал изучение таких нелинейных уравнений, как возмущения линейных. Однако это можно использовать только в очень ограниченных настройках, так как это зависит как от нелинейного фактора, так и от регулярности составляющего шума при движении. В последние годы, поле резко расширилась, и теперь существует большой машины, чтобы гарантировать локальное существование для различных докритических SPDE годов.

• Броуновская поверхность
• Уравнение Кардара – Паризи – Жанга.
• Уравнение Кушнера
• Исчисление Маллявэна
• Фитиль продукт
• Уравнение Закая

• Holden, H.; Эксендал, Б.; Ubøe, J.; Чжан, Т. (2010). Стохастические дифференциальные уравнения с частными производными: моделирование, функциональный подход к белому шуму. Университекст (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. DOI : 10.1007 / 978-0-387-89488-1. ISBN   978-0-387-89487-4.

• "Миникурс по стохастическим уравнениям с частными производными" (PDF). 2006 г.
• Хайрер, Мартин (2009). «Введение в стохастические PDE». arXiv : 0907.4178. Цитировать журнал требует |journal= ( помощь )