Уравнение Майорана

В физике, то уравнение майорановского является релятивистским волновым уравнением. Он назван в честь итальянского физика Этторе Майорана, который предложил его в 1937 году как средство описания фермионов, которые являются их собственными античастицами. Частицы, соответствующие этому уравнению, называются майорановскими частицами, хотя этот термин теперь имеет более широкое значение, относящееся к любой (возможно, нерелятивистской) фермионной частице, которая является своей собственной античастицей (и поэтому электрически нейтральна).

Были предположения, что массивные нейтрино описываются майорановскими частицами; Существуют различные расширения Стандартной модели, которые позволяют это сделать. В статье о майорановских частицах представлен статус экспериментальных поисков, включая подробности о нейтрино. В этой статье основное внимание уделяется математическому развитию теории, уделяя внимание ее дискретным и непрерывным симметриям. Дискретные симметрии - это зарядовое сопряжение, преобразование четности и обращение времени ; непрерывная симметрия является лоренц-инвариантной.

Зарядовое сопряжение играет огромную роль, поскольку это ключевая симметрия, которая позволяет описывать майорановские частицы как электрически нейтральные. Особенно примечателен тот факт, что электрическая нейтральность позволяет свободно выбирать несколько глобальных фаз, по одной для левого и правого киральных полей. Это означает, что без явных ограничений на эти фазы майорановские поля естественно CP-нарушают. Другой аспект электрической нейтральности заключается в том, что левому и правому киральным полям можно придать разные массы. То есть электрический заряд является инвариантом Лоренца, а также константой движения ; тогда как киральность является инвариантом Лоренца, но не константой движения для массивных полей. Таким образом, электрически нейтральные поля менее ограничены, чем заряженные поля. При зарядовом сопряжении две свободные глобальные фазы появляются в массовых членах (поскольку они лоренц-инвариантны), и поэтому масса Майорана описывается сложной матрицей, а не одним числом. Короче говоря, дискретные симметрии уравнения Майорана значительно сложнее, чем симметрии уравнения Дирака, где симметрия электрического заряда ограничивает и устраняет эти свободы. ${\ Displaystyle U (1)}$

• 1 Определение
  • 1.1 Чисто реальная четырехкомпонентная форма
  • 1.2 Зарядно-сопряженная четырехкомпонентная форма
  • 1.3 Сложная двухкомпонентная форма
• 2 Ключевые идеи
• 3 Двухкомпонентное уравнение Майорана
  • 3.1 Уравнение Вейля
  • 3.2 Лоренц-инвариантность
  • 3.3 Дифференциалы
  • 3.4 Массовый член
  • 3.5 Левый и правый операторы Майораны
• 4 Четырехкомпонентное уравнение Майорана
• 5 Сопряжение зарядов и четность
  • 5.1 Четность
• 6 Решения
  • 6.1 Собственные состояния спина
  • 6.2 Собственные состояния импульса
• 7 Электрический заряд
• 8 Кванты поля
  • 8.1 Майорановская частица
• 9 Примечания
• 10 Ссылки
• 11 Дополнительное чтение

Уравнение Майорана можно записать в нескольких различных формах:

• Как уравнение Дирака записано так, что оператор Дирака является чисто эрмитовым, что дает чисто реальные решения.
• Как оператор, связывающий четырехкомпонентный спинор с его сопряженным зарядом.
• Как дифференциальное уравнение 2 × 2, действующее на сложный двухкомпонентный спинор, напоминающее уравнение Вейля с собственно лоренц-ковариантным массовым членом.

Эти три формы эквивалентны и могут быть производными друг от друга. Каждый предлагает немного другое понимание природы уравнения. Первая форма подчеркивает, что можно найти чисто реальные решения. Вторая форма проясняет роль зарядового сопряжения. Третья форма обеспечивает наиболее прямой контакт с теорией представлений группы Лоренца.

Чисто настоящая четырехкомпонентная форма

Традиционной отправной точкой является утверждение, что « уравнение Дирака может быть записано в эрмитовой форме», когда гамма-матрицы взяты в представлении Майорана. Тогда уравнение Дирака записывается как

${\ Displaystyle \ left (\, - я \, {\ гидроразрыва {\ partial} {\ partial t}} - я \, {\ hat {\ alpha}} \ cdot \ nabla + \ beta \, m \, \ вправо) \, \ psi = 0}$

с чисто реальными 4 × 4 симметричными матрицами и чисто мнимыми кососимметричными (необходимыми для обеспечения того, чтобы оператор между (...) был эрмитовым). В этом случае можно найти чисто реальные 4-спинорные решения уравнения; это спиноры Майораны. ${\ displaystyle {\ hat {\ alpha}}}$${\ displaystyle \ beta}$

Зарядно-сопряженная четырехкомпонентная форма

Уравнение Майорана имеет вид

${\ displaystyle i \, {\ partial \! \! \! {\ big /}} \ psi -m \, \ psi _ {c} = 0 ~}$

с оператором производной, записанным в нотации фейнмановской косой черты, чтобы включить гамма-матрицы, а также суммирование по спинорным компонентам. Спинорное является заряд конъюгата из По построению, конъюгаты заряда обязательно дается ${\ displaystyle {\ partial \! \! \! {\ big /}}}$ ${\ textstyle \, \ psi _ {c} \,}$ ${\ textstyle \, \ psi \,.}$

${\ Displaystyle \ psi _ {c} = \ eta _ {c} \, C \, {\ overline {\ psi}} ^ {\ mathsf {T}} ~}$

где обозначает транспонирование, произвольный фазовый множитель обычно принимается, и представляет собой 4 × 4 матрицы, то матрица зарядового сопряжения. Матричное представление зависит от выбора представления гамма-матриц. По соглашению сопряженный спинор записывается как ${\ Displaystyle \, (\ cdot) ^ {\ mathsf {T}} \,}$ ${\ displaystyle \, \ eta _ {c} \,}$${\ Displaystyle \, | \ эта _ {с} | = 1 \,,}$${\ Displaystyle \, \ eta _ {c} = 1 \,,}$${\ Displaystyle \, С \,}$${\ Displaystyle \, С \,}$

${\ displaystyle {\ overline {\ psi}} = \ psi ^ {\ dagger} \, \ gamma ^ {0} ~.}$

Ряд алгебраических тождеств следует из матрицы зарядового сопряжения. Один утверждает, что в любом представлении гамма-матриц, включая представления Дирака, Вейля и Майорана, что и поэтому можно написать ${\ displaystyle C.}$ ${\ displaystyle \, C \, \ gamma _ {\ mu} = - \ gamma _ {\ mu} ^ {\ mathsf {T}} \, C \,}$

${\ Displaystyle \ psi _ {c} = - \ eta _ {c} \, \ gamma ^ {0} \, C \, \ psi ^ {*} ~}$

где является комплексно сопряженным из зарядовой матрицы также обладает свойством, что ${\ Displaystyle \, \ psi ^ {*} \,}$ ${\ Displaystyle \, \ psi \,.}$${\ Displaystyle \, С \,}$

${\ Displaystyle C ^ {- 1} = C ^ {\ dagger} = C ^ {\ mathsf {T}} = - C}$

во всех представлениях (дираковское, киральное, майорановское). Из этого и немного алгебры можно получить эквивалентное уравнение:

${\ displaystyle i \, {\ partial \! \! \! {\ big /}} \ psi _ {c} -m \, \ psi = 0}$

Доказательство  -

Эта форма не совсем очевидна и заслуживает доказательства. Начиная с

${\ displaystyle -i \, {\ partial \! \! \! {\ big /}} \ psi + m \, \ psi _ {c} = 0}$

Развернуть: ${\ Displaystyle \, \ psi _ {c} = C \, {\ overline {\ psi}} ^ {\ mathsf {T}} \,}$

${\ displaystyle -i \, {\ partial \! \! \! {\ big /}} \ psi + m \, C \, {\ overline {\ psi}} ^ {\ mathsf {T}} = 0}$

Умножить на использование: ${\ Displaystyle \, С \,}$${\ Displaystyle \, С ^ {2} = - 1 \,}$

${\ displaystyle -i \, C \, {\ partial \! \! \! {\ big /}} C ^ {- 1} \, C \, \ psi -m \, {\ overline {\ psi}} ^ {\ mathsf {T}} = 0}$

Зарядовое сопряжение переставляет гамма-матрицы:

${\ Displaystyle + я \, {\ partial \! \! \! {\ big /}} ^ {\ mathsf {T}} \, C \, \ psi -m \, (\ gamma ^ {0}) ^ {\ mathsf {T}} \, \ psi ^ {*} = 0}$

Возьмем комплексное сопряжение:

${\ displaystyle -i \, {\ partial \! \! \! {\ big /}} ^ {\ dagger} C ^ {*} \, \ psi ^ {*} - m \, (\ gamma ^ {0 }) ^ {\ dagger} \, \ psi = 0}$

Матрица эрмитова во всех трех представлениях (дираковское, киральное, майорановское): ${\ Displaystyle \, \ gamma ^ {0} \,}$${\ Displaystyle \, (\ гамма ^ {0}) ^ {\ кинжал} = \ гамма ^ {0} \,}$

${\ displaystyle -i \, {\ partial \! \! \! {\ big /}} ^ {\ dagger} C ^ {*} \, \ psi ^ {*} - m \, \ gamma ^ {0} \, \ psi = 0}$

Это также инволюция, принимающая эрмитово сопряжение :${\ displaystyle \, \ gamma ^ {0} \, \ gamma ^ {\ mu} \, \ gamma ^ {0} = \ left (\ gamma ^ {\ mu} \ right) ^ {\ dagger}}$

${\ displaystyle -i \, \ gamma ^ {0} \, {\ partial \! \! \! {\ big /}} \ gamma ^ {0} \, C ^ {*} \, \ psi ^ {* } -m \, \ gamma ^ {0} \, \ psi = 0}$

Умножьте на, обратите внимание на это и используйте: ${\ Displaystyle \, \ gamma ^ {0} \,}$${\ Displaystyle \, (\ гамма ^ {0}) ^ {2} = я \,}$${\ Displaystyle \, С ^ {*} = С \,}$

${\ displaystyle -i \, {\ partial \! \! \! {\ big /}} \ gamma ^ {0} \, C \, \ psi ^ {*} - m \, \ psi = 0}$

Вышеупомянутое - это всего лишь определение конъюгата, поэтому заключаем, что

${\ displaystyle i \, {\ partial \! \! \! {\ big /}} \ psi _ {c} -m \, \ psi = 0}$

Подробное обсуждение физической интерпретации матрицы как зарядового сопряжения можно найти в статье о зарядовом сопряжении. Короче говоря, он участвует в отображении частиц на их античастицы, что включает, среди прочего, изменение направления электрического заряда. Хотя определяется как «зарядовое сопряжение» оператора зарядового сопряжения, имеет не одно, а два собственных значения. Это позволяет определить второй спинор, спинор ELKO. Это обсуждается более подробно ниже. ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle \ psi ^ {c}}$${\ displaystyle \ psi,}$

Сложная двухкомпонентная форма

Индекс L используется в этом пункте, чтобы обозначить левую -handed хиральной спинор.

Оператор майорановский, определяется как ${\ Displaystyle \, \ OperatorName {D _ {\ text {L}}} \,,}$

${\ displaystyle \ operatorname {D _ {\ text {L}}} \, \ Equiv \, i \, {\ overline {\ sigma}} ^ {\ mu} \, \ partial _ {\ mu} + \ eta \, м \, \ омега \, К}$

куда

${\ displaystyle {\ overline {\ sigma}} ^ {\ mu} = \ left [\ sigma ^ {0}, - \ sigma ^ {1}, - \ sigma ^ {2}, - \ sigma ^ {3} \ right] = \ left [I_ {2}, - \ sigma _ {\ text {x}}, - \ sigma _ {\ text {y}}, - \ sigma _ {\ text {z}} \ right] ~}$

это вектор, компоненты которого являются 2 × 2 матрица для и (минус) матрицы Паули для произвольный фазовый множитель, как правило, берется один: является 2 × 2 матрицы, которая может быть интерпретирована как симплектической формы для симплектическая группа, которая представляет собой двойное покрытие из группы Лоренца. это ${\ displaystyle \, I_ {2} \,}$${\ Displaystyle \, \ му = 0 \,}$ ${\ Displaystyle \, \ му \ ин \ {1,2,3 \} \ ;.}$${\ Displaystyle \, \ eta \,}$${\ Displaystyle \, | \ эта | = 1 \,,}$${\ Displaystyle \, \ eta = 1 ~.}$${\ displaystyle \, \ omega \,}$ ${\ Displaystyle \, \ mathrm {Sp} (2, \ mathbb {C}) \,,}$

${\ Displaystyle \ omega = я \, \ sigma _ {2} = {\ begin {bmatrix} 0 amp; 1 \\ - 1 amp; 0 \ end {bmatrix}} ~,}$

который оказывается изоморфным мнимой единице " i ", т.е. и для с транспонированной матрицей, являющейся аналогом комплексного сопряжения. ${\ displaystyle \ omega ^ {2} = - я \,}$${\ displaystyle \, a \, I + b \, \ omega \ cong a + b \, i \ in \ mathbb {C} ~}$${\ Displaystyle \, а, б \ в \ mathbb {R} ~,}$

Наконец, это краткое напоминание о необходимости принимать комплексное сопряжение. Тогда уравнение Майорана для левостороннего комплекснозначного двухкомпонентного спинора имеет вид ${\ Displaystyle \, К \,}$${\ Displaystyle \, \ psi _ {\ текст {L}} \,}$

${\ displaystyle \ operatorname {D _ {\ text {L}}} \ psi _ {\ text {L}} = 0}$

или, что то же самое,

${\ displaystyle i \, {\ overline {\ sigma}} ^ {\ mu} \, \ partial _ {\ mu} \ psi _ {\ text {L}} (x) + \ eta \, m \, \ омега \, \ psi _ {\ text {L}} ^ {*} (x) = 0}$

с на комплексно сопряженное с подстрочным индексом L используется в этом разделе, чтобы обозначить левую -handed хиральной спинор; при преобразовании четности это может быть преобразовано в правый спинор, и, таким образом, уравнение также имеет правую форму. Это относится и к четырехкомпонентному уравнению; более подробная информация представлена ​​ниже. ${\ Displaystyle \, \ psi _ {\ текст {L}} ^ {*} (х) \,}$ ${\ displaystyle \, \ psi _ {\ text {L}} (x) ~.}$

Здесь кратко излагаются некоторые свойства уравнения Майорана, его решения и его лагранжевой формулировки.

• Уравнение майорановского аналогично уравнение Дирака, в том смысле, что она включает в себя четыре спиноров, гамма - матрицы, а также массовые член, но включает в себя заряд конъюгат   в виде спинора. Напротив, уравнение Вейля предназначено для двухкомпонентного спинора без массы.${\ textstyle \ psi _ {c}}$  ${\ textstyle \ psi}$
• Решения уравнения Майорана можно интерпретировать как электрически нейтральные частицы, которые являются собственной античастицей. По соглашению, оператор зарядового сопряжения переводит частицы в их античастицы, и поэтому спинор Майорана обычно определяется как решение, в котором спинор Майорана является «своей собственной античастицей». Поскольку зарядовое сопряжение переносит электрически заряженную частицу в ее античастицу с противоположным зарядом, следует сделать вывод, что спинор Майоаны электрически нейтрален.${\ displaystyle \ psi = \ psi _ {c}.}$
• Уравнение Майорана является лоренц-ковариантным, и из его спиноров можно построить множество лоренцевских скаляров. Это позволяет построить несколько различных лагранжианов для майорановских полей.
• Когда лагранжиан выражается в терминах двухкомпонентных левых и правых киральных спиноров, он может содержать три различных массовых члена: левый и правый массовые члены Майораны и массовый член Дирака. Они проявляются физически как две различные массы; это ключевая идея механизма качелей для описания маломассивных нейтрино с левосторонним взаимодействием со Стандартной моделью, при этом правая компонента соответствует стерильному нейтрино с массами масштаба GUT.
• Дискретные симметрии C, P и T сопряжения непосредственно контролируются свободно выбранным фазовым множителем на операторе зарядового сопряжения. В массовом смысле это проявляется в виде отдельных сложных фаз. Это позволяет записывать как CP-симметричные, так и CP-нарушающие лагранжианы.
• Поля Майорана CPT-инвариантны, но инвариантность в некотором смысле «свободнее», чем для заряженных частиц. Это связано с тем, что заряд обязательно является инвариантным свойством Лоренца и, таким образом, ограничен для заряженных полей. Нейтральные поля Майораны не ограничиваются таким образом и могут смешиваться.

Уравнение Майорана можно записать как в терминах реального четырехкомпонентного спинора, так и в виде сложного двухкомпонентного спинора. Оба могут быть построены из уравнения Вейля с добавлением правильно лоренц-ковариантного массового члена. В этом разделе представлена ​​явная конструкция и формулировка.

Уравнение Вейля

Уравнение Вейля описывает временную эволюцию безмассового комплекснозначного двухкомпонентного спинора. Обычно это записывается как

${\ Displaystyle \ sigma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ psi = 0}$

Написано явно, это

${\ Displaystyle I_ {2} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} + \ sigma _ {x} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial x}} + \ sigma _ {y } {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial y}} + \ sigma _ {z} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial z}} = 0}$

Четырехвектор Паули

${\ Displaystyle \ sigma ^ {\ mu} = (\ sigma ^ {0}, \ sigma ^ {1}, \ sigma ^ {2}, \ sigma ^ {3}) = (I_ {2}, \ sigma _ {x}, \ sigma _ {y}, \ sigma _ {z})}$

то есть вектор, компоненты которого представляют собой единичную матрицу 2 × 2 для μ = 0 и матрицы Паули для μ = 1,2,3. При преобразовании четности получается двойственное уравнение ${\ displaystyle I_ {2}}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} \ to {\ vec {x}} ^ {\ prime} = - {\ vec {x}}}$

${\ displaystyle {\ bar {\ sigma}} ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ psi = 0}$

где. Это две различные формы уравнения Вейля; их решения также различны. Можно показать, что решения имеют левую и правую спиральность и, следовательно, хиральность. Эти две различные формы принято явно обозначать так: ${\ displaystyle {\ bar {\ sigma}} ^ {\ mu} = (I_ {2}, - \ sigma _ {x}, - \ sigma _ {y}, - \ sigma _ {z})}$

${\ Displaystyle \ sigma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ psi _ {\ rm {R}} = 0 \ qquad {\ bar {\ sigma}} ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu } \ psi _ {\ rm {L}} = 0 ~.}$

Лоренц-инвариантность

Уравнение Вейля описывает безмассовую частицу; уравнение Майорана добавляет массовый член. Массу необходимо вводить лоренц-инвариантным образом. Это достигается путем наблюдения, что специальная линейная группа является изоморфна к симплектической группе Оба этих группы двойные покрытий по группе Лоренца Лоренц инвариантности производной члена (из уравнения Вейля) обычно сформулированы в терминах действия группа на спинорах, тогда как лоренц-инвариантность массового члена требует привлечения определяющего соотношения для симплектической группы. ${\ Displaystyle SL (2, \ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Sp} (2, \ mathbb {C}).}$ ${\ displaystyle \ mathrm {SO} (1,3).}$ ${\ Displaystyle SL (2, \ mathbb {C})}$

Двойное накрытие группы Лоренца дается формулой

${\ Displaystyle {\ overline {\ sigma}} _ {\ mu} {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ nu} = S {\ overline {\ sigma}} _ {\ nu} S ^ {\ dagger }}$

где и и является эрмитово транспонированная. Это используется, чтобы связать свойства преобразования дифференциалов при преобразовании Лоренца со свойствами преобразования спиноров. ${\ Displaystyle \ Lambda \ in \ mathrm {SO} (1,3)}$${\ Displaystyle S \ in SL (2, \ mathbb {C})}$${\ Displaystyle S ^ {\ dagger}}$ ${\ Displaystyle х \ mapsto x ^ {\ prime} = \ Lambda x}$

Симплектическая группа определяется как множество всех комплексных матриц 2x2, удовлетворяющих ${\ Displaystyle Sp (2, \ mathbb {C})}$${\ displaystyle S}$

${\ Displaystyle \ omega ^ {- 1} S ^ {T} \ omega = S ^ {- 1}}$

куда

${\ displaystyle \ omega = я \ sigma _ {2} = {\ begin {bmatrix} 0 amp; 1 \\ - 1 amp; 0 \ end {bmatrix}}}$

является кососимметричной матрицей. Он используется для определения симплектической билинейной формы на Дать пару произвольных двух векторов, как ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}.}$${\ Displaystyle и, v \ in \ mathbb {C} ^ {2}}$

${\ displaystyle u = {\ begin {pmatrix} u_ {1} \\ u_ {2} \ end {pmatrix}} \ qquad v = {\ begin {pmatrix} v_ {1} \\ v_ {2} \ end { pmatrix}}}$

симплектическое произведение

${\ displaystyle \ langle u, v \ rangle = - \ langle v, u \ rangle = u_ {1} v_ {2} -u_ {2} v_ {1} = u ^ {T} \ omega v}$

где транспонирование этой формы инвариантно относительно преобразований Лоренца в том смысле, что ${\ displaystyle u ^ {T}}$${\ displaystyle u ~.}$

${\ displaystyle \ langle u, v \ rangle = \ langle Su, Sv \ rangle}$

Матрица перекоса берет матрицы Паули за вычетом их транспонирования:

${\ displaystyle \ omega \ sigma _ {k} \ omega ^ {- 1} = - \ sigma _ {k} ^ {T}}$

для Косая матрица может быть интерпретирована как произведение преобразования четности и транспозиции, действующей на два спинора. Однако, как будет подчеркнуто в следующем разделе, его также можно интерпретировать как один из компонентов оператора зарядового сопряжения, а другой компонент является комплексным сопряжением. Применяя его к преобразованию Лоренца, получаем ${\ displaystyle k = 1,2,3.}$

${\ displaystyle \ sigma _ {\ mu} {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ nu} = (S ^ {- 1}) ^ {\ dagger} \ sigma _ {\ nu} S ^ {- 1 }}$

Эти два варианта описывают ковариационные свойства дифференциалов, действующих на левый и правый спиноры соответственно.

Дифференциалы

При преобразовании Лоренца дифференциальный член преобразуется как ${\ Displaystyle х \ mapsto x ^ {\ prime} = \ Lambda x}$

${\ Displaystyle \ sigma ^ {\ mu} {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {\ mu}}} \ psi _ {\ rm {R}} (x) \ mapsto \ sigma ^ {\ mu} {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {\ prime \ mu}}} \ psi _ {\ rm {R}} (x ^ {\ prime}) = (S ^ {- 1}) ^ {\ кинжал} \ sigma ^ {\ mu} {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {\ mu}}} \ psi _ {\ rm {R}} (x)}$

при условии, что правое поле преобразуется как

${\ Displaystyle \ psi _ {\ rm {R}} (x) \ mapsto \ psi _ {\ rm {R}} ^ {\ prime} (x ^ {\ prime}) = S \ psi _ {\ rm { R}} (x)}$

Точно так же левый дифференциал преобразуется как

${\ displaystyle {\ overline {\ sigma}} ^ {\ mu} {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {\ mu}}} \ psi _ {\ rm {L}} (x) \ mapsto { \ overline {\ sigma}} ^ {\ mu} {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {\ prime \ mu}}} \ psi _ {\ rm {L}} (x ^ {\ prime}) = S {\ overline {\ sigma}} ^ {\ mu} {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {\ mu}}} \ psi _ {\ rm {L}} (x)}$

при условии, что левый спинор преобразуется как

${\ Displaystyle \ psi _ {\ rm {L}} (x) \ mapsto \ psi _ {\ rm {L}} ^ {\ prime} (x ^ {\ prime}) = (S ^ {\ dagger}) ^ {- 1} \ psi _ {\ rm {L}} (x)}$

Доказательство  -

Эти свойства преобразования не особенно "очевидны" и поэтому заслуживают тщательного вывода. Начнем с формы

${\ Displaystyle \ psi _ {\ rm {R}} (x) \ mapsto \ psi _ {\ rm {R}} ^ {\ prime} (x ^ {\ prime}) = R \ psi _ {\ rm { R}} (x)}$

для некоторых неизвестных предстоит определить. Преобразование Лоренца в координатах: ${\ Displaystyle R \ in \ mathrm {SL} (2, \ mathbb {C})}$

${\ displaystyle x ^ {\ prime \ mu} = {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ nu} x ^ {\ nu}}$

или, что то же самое,

${\ displaystyle x ^ {\ nu} = {(\ Lambda ^ {- 1}) ^ {\ nu}} _ {\ mu} x ^ {\ prime \ mu}}$

Это ведет к

${\ Displaystyle {\ begin {выровнено} \ sigma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} ^ {\ prime} \ psi _ {\ rm {R}} (x ^ {\ prime}) amp; = \ sigma ^ {\ mu} {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {\ prime \ mu}}} \ psi _ {\ rm {R}} (x ^ {\ prime}) \\ amp; = \ sigma ^ {\ mu} {\ frac {\ partial x ^ {\ nu}} {\ partial x ^ {\ prime \ mu}}} {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {\ nu}}} R \ psi _ {\ rm {R}} (x) \\ amp; = \ sigma ^ {\ mu} {(\ Lambda ^ {- 1}) ^ {\ nu}} _ {\ mu} {\ frac {\ partial } {\ partial x ^ {\ nu}}} R \ psi _ {\ rm {R}} (x) \\ amp; = \ sigma ^ {\ mu} {(\ Lambda ^ {- 1}) ^ {\ nu}} _ {\ mu} \ partial _ {\ nu} R \ psi _ {\ rm {R}} (x) \ end {align}}}$

Чтобы использовать карту Вейля

${\ displaystyle \ sigma _ {\ mu} {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ nu} = (S ^ {- 1}) ^ {\ dagger} \ sigma _ {\ nu} S ^ {- 1 }}$

необходимо поднять и опустить несколько индексов. Это легче сказать, чем сделать, так как это вызывает идентичность

${\ displaystyle \ eta \ Lambda ^ {T} \ eta = \ Lambda ^ {- 1}}$

где - метрика Минковского плоского пространства. Вышеупомянутая идентичность часто используется для определения элементов, которые One принимает транспонирование: ${\ displaystyle \ eta = {\ t_dv {diag}} (+ 1, -1, -1, -1)}$ ${\ displaystyle \ Lambda \ in \ mathrm {SO} (1,3).}$

${\ Displaystyle {(\ Lambda ^ {- 1}) ^ {\ nu}} _ {\ mu} = {(\ Lambda ^ {- 1T}) _ {\ mu}} ^ {\ nu}}$

написать

${\ Displaystyle {\ begin {align} \ sigma ^ {\ mu} {(\ Lambda ^ {- 1}) ^ {\ nu}} _ {\ mu} \ partial _ {\ nu} R \ psi _ {\ rm {R}} (x) amp; = \ sigma ^ {\ mu} {(\ Lambda ^ {- 1T}) _ {\ mu}} ^ {\ nu} \ partial _ {\ nu} R \ psi _ { \ rm {R}} (x) \\ amp; = \ sigma _ {\ mu} {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ nu} \ partial ^ {\ nu} R \ psi _ {\ rm {R }} (x) \\ amp; = (S ^ {- 1}) ^ {\ dagger} \ sigma _ {\ mu} \ partial ^ {\ mu} S ^ {- 1} R \ psi _ {\ rm { R}} (х) \ конец {выровнено}}}$

Таким образом, восстанавливается исходная форма, если то есть. Выполняя те же манипуляции с левым уравнением, можно сделать вывод, что ${\ Displaystyle S ^ {- 1} R = 1,}$${\ Displaystyle R = S.}$

${\ Displaystyle \ psi _ {\ rm {L}} (x) \ mapsto \ psi _ {\ rm {L}} ^ {\ prime} (x ^ {\ prime}) = L \ psi _ {\ rm { L}} (x)}$

с участием ${\ displaystyle L = (S ^ {\ dagger}) ^ {- 1}.}$

Массовый термин

Комплексно сопряженное из правшей спинорная полевых преобразований как

${\ Displaystyle \ psi _ {\ rm {R}} ^ {*} (x) \ mapsto \ psi _ {\ rm {R}} ^ {\ prime *} (x ^ {\ prime}) = S ^ { *} \ psi _ {\ rm {R}} ^ {*} (x)}$

Определяющее отношение для может быть переписано как Из этого можно сделать вывод, что кососложное поле преобразуется как ${\ Displaystyle \ mathrm {Sp} (2, \ mathbb {C})}$${\ displaystyle \ omega S ^ {*} = (S ^ {\ dagger}) ^ {- 1} \ omega ~.}$

${\ displaystyle m \ omega \ psi _ {\ rm {R}} ^ {*} (x) \ mapsto m \ omega \ psi _ {\ rm {R}} ^ {\ prime *} (x ^ {\ prime }) = (S ^ {\ dagger}) ^ {- 1} m \ omega \ psi _ {\ rm {R}} ^ {*} (x)}$

Это полностью совместимо с ковариантностью дифференциала. Принимая за произвольный комплексный фазовый множитель, линейная комбинация ${\ Displaystyle \ eta = е ^ {я \ фи}}$

${\ displaystyle i \ sigma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ psi _ {\ rm {R}} (x) + \ eta m \ omega \ psi _ {\ rm {R}} ^ {* }(Икс)}$

преобразуется ковариантным образом. Установка этого параметра в ноль дает комплексное двухкомпонентное уравнение Майорана для правого поля. Аналогичным образом левокиральное уравнение Майорана (включая произвольный фазовый множитель) имеет вид ${\ displaystyle \ zeta}$

${\ Displaystyle я {\ overline {\ sigma}} ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ psi _ {\ rm {L}} (x) + \ zeta m \ omega \ psi _ {\ rm { L}} ^ {*} (x) = 0}$

Левая и правая киральные версии связаны преобразованием четности. Как показано ниже, они возводятся в квадрат для оператора Клейна – Гордона только в том случае, если косое комплексное сопряжение можно распознать как его зарядово-сопряженную форму, что более подробно сформулировано ниже. Таким образом, уравнение Майорана можно интерпретировать как уравнение, которое связывает спинор с его зарядово-сопряженной формой. ${\ displaystyle \ eta = \ zeta.}$${\ Displaystyle \ omega \ psi ^ {*} = я \ sigma ^ {2} \ psi}$ ${\ displaystyle \ psi ~;}$

Левый и правый операторы Майораны

Определите пару операторов, операторы Майорана,

${\ Displaystyle D _ {\ rm {L}} = я {\ overline {\ sigma}} ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} + \ zeta m \ omega K \ qquad D _ {\ rm {R}} = i \ sigma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} + \ eta m \ omega K}$

где краткое напоминание о том, что нужно принимать комплексное сопряжение. При преобразованиях Лоренца они преобразуются как ${\ displaystyle K}$

${\ Displaystyle D _ {\ rm {L}} \ mapsto D _ {\ rm {L}} ^ {\ prime} = SD _ {\ rm {L}} S ^ {\ dagger} \ qquad D _ {\ rm {R} } \ mapsto D _ {\ rm {R}} ^ {\ prime} = (S ^ {\ dagger}) ^ {- 1} D _ {\ rm {R}} S ^ {- 1}}$

тогда как спиноры Вейля преобразуются как

${\ Displaystyle \ psi _ {\ rm {L}} \ mapsto \ psi _ {\ rm {L}} ^ {\ prime} = (S ^ {\ dagger}) ^ {- 1} \ psi _ {\ rm {L}} \ qquad \ psi _ {\ rm {R}} \ mapsto \ psi _ {\ rm {R}} ^ {\ prime} = S \ psi _ {\ rm {R}}}$

так же, как указано выше. Таким образом, их согласованные комбинации лоренцевы ковариантны, и можно взять

${\ Displaystyle D _ {\ rm {L}} \ psi _ {\ rm {L}} = 0 \ qquad D _ {\ rm {R}} \ psi _ {\ rm {R}} = 0}$

как пару комплексных 2-спинорных уравнений Майорана.

Оба произведения и являются ковариантными по Лоренцу. Продукт явно ${\ Displaystyle D _ {\ rm {L}} D _ {\ rm {R}}}$${\ Displaystyle D _ {\ rm {R}} D _ {\ rm {L}}}$

${\ Displaystyle D _ {\ rm {R}} D _ {\ rm {L}} = \ left (я \ sigma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} + \ eta m \ omega K \ right) \ left (i {\ overline {\ sigma}} ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} + \ zeta m \ omega K \ right) = - (\ partial _ {t} ^ {2} - {\ vec { \ nabla}} \ cdot {\ vec {\ nabla}} + \ eta \ zeta ^ {*} m ^ {2}) = - (\ square + \ eta \ zeta ^ {*} m ^ {2})}$

Чтобы проверить это, необходимо иметь в виду, что RHS сводится к оператору Клейна – Гордона при условии, что эти два оператора Майораны, таким образом, являются «квадратными корнями» из оператора Клейна – Гордона. ${\ displaystyle \ omega ^ {2} = - 1}$${\ displaystyle Ki = -iK ~.}$ ${\ displaystyle \ eta \ zeta ^ {*} = 1}$${\ displaystyle \ eta = \ zeta ~.}$

Реальная четырехкомпонентная версия уравнения Майорана может быть построена из сложного двухкомпонентного уравнения следующим образом. Учитывая комплексное поле, удовлетворяющее указанным выше условиям, определим ${\ displaystyle \ psi _ {\ rm {L}}}$${\ Displaystyle D _ {\ rm {L}} \ psi _ {\ rm {L}} = 0}$

${\ displaystyle \ chi _ {\ rm {R}} \ Equiv - \ eta \ omega \ psi _ {\ rm {L}} ^ {*}}$

Используя приведенный выше алгебраический аппарат, нетрудно показать, что

${\ displaystyle (я \ sigma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} - \ eta m \ omega K) \ chi _ {\ rm {R}} = 0}$

Определение сопряженного оператора

${\ displaystyle \ delta _ {\ rm {R}} = я \ sigma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} - \ eta m \ omega K}$

Тогда четырехкомпонентное уравнение Майорана имеет вид

${\ displaystyle \ left (D _ {\ rm {L}} \ oplus \ delta _ {\ rm {R}} \ right) \ left (\ psi _ {L} \ oplus \ chi _ {\ rm {R}} \ right) = 0}$

Написав это подробно, можно

${\ displaystyle D _ {\ rm {L}} \ oplus \ delta _ {\ rm {R}} = {\ begin {bmatrix} D _ {\ rm {L}} amp; 0 \\ 0 amp; \ delta _ {\ rm {R }} \ end {bmatrix}} = i {\ begin {bmatrix} I amp; 0 \\ 0 amp; I \ end {bmatrix}} \ partial _ {t} + i {\ begin {bmatrix} - \ sigma ^ {k} amp; 0 \\ 0 amp; \ sigma ^ {k} \ end {bmatrix}} \ nabla _ {k} + m {\ begin {bmatrix} \ eta \ omega K amp; 0 \\ 0 amp; - \ eta \ omega K \ end {bmatrix}}}$

Умножение слева на

${\ displaystyle \ beta = \ gamma ^ {0} = {\ begin {bmatrix} 0 amp; I \\ I amp; 0 \ end {bmatrix}}}$

переводит вышеуказанное в матричную форму, в которой гамма-матрицы в хиральном представлении могут быть распознаны. Это

${\ displaystyle \ beta \ left (D _ {\ rm {L}} \ oplus \ delta _ {\ rm {R}} \ right) = {\ begin {bmatrix} 0 amp; \ delta _ {\ rm {R}} \ \ D _ {\ rm {L}} amp; 0 \ end {bmatrix}} = i \ beta \ partial _ {t} + i {\ begin {bmatrix} 0 amp; \ sigma ^ {k} \\ - \ sigma ^ {k} amp; 0 \ end {bmatrix}} \ nabla _ {k} -m {\ begin {bmatrix} 0 amp; \ eta \ omega K \\ - \ eta \ omega K amp; 0 \ end {bmatrix}}}$

То есть,

${\ displaystyle \ beta \ left (D _ {\ rm {L}} \ oplus \ delta _ {\ rm {R}} \ right) = i \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} -m { \ begin {bmatrix} 0 amp; \ eta \ omega K \\ - \ eta \ omega K amp; 0 \ end {bmatrix}}}$

Применяя это к 4-спинору

${\ Displaystyle \ psi _ {L} \ oplus \ chi _ {\ rm {R}} = {\ begin {pmatrix} \ psi _ {L} \\\ chi _ {\ rm {R}} \ end {pmatrix }} = {\ begin {pmatrix} \ psi _ {L} \\ - \ eta \ omega \ psi _ {L} ^ {*} \ end {pmatrix}}}$

и напоминая о том, что спинор является собственным состоянием массового члена, ${\ displaystyle \ omega ^ {2} = - 1}$

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 amp; \ eta \ omega K \\ - \ eta \ omega K amp; 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ psi _ {L} \\ - \ eta \ omega \ psi _ {L} ^ {*} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ psi _ {L} \\ - \ eta \ omega \ psi _ {L} ^ {*} \ end {pmatrix}} }$

и поэтому для этого конкретного спинора четырехкомпонентное уравнение Майорана сводится к уравнению Дирака

${\ Displaystyle (я \ гамма ^ {\ му} \ partial _ {\ mu} -m) {\ begin {pmatrix} \ psi _ {L} \\ - \ eta \ omega \ psi _ {L} ^ {* } \ end {pmatrix}} = 0}$

Косую матрицу можно отождествить с оператором зарядового сопряжения (в базисе Вейля ). Явно это

${\ displaystyle {\ mathsf {C}} = {\ begin {bmatrix} 0 amp; \ eta \ omega K \\ - \ eta \ omega K amp; 0 \ end {bmatrix}}}$

Для произвольного четырехкомпонентного спинора его зарядово-сопряженный элемент равен ${\ displaystyle \ psi ~,}$

${\ Displaystyle {\ mathsf {C}} \ psi = \ psi ^ {c} = \ eta C {\ overline {\ psi}} ^ {T}}$

с обычной матрицей 4x4, имеющей вид, явно указанный в статье о гамма-матрицах. В заключение 4-компонентное уравнение Майорана можно записать в виде ${\ displaystyle C}$

${\ Displaystyle {\ begin {align} 0 amp; = (я \ гамма ^ {\ му} \ partial _ {\ mu} -m {\ mathsf {C}}) \ psi \\ amp; = i \ gamma ^ {\ mu } \ partial _ {\ mu} \ psi -m \ psi ^ {c} \ end {выровнено}}}$

Оператор зарядового сопряжения появляется непосредственно в 4-компонентной версии уравнения Майорана. Когда спинорное поле является зарядовым сопряженным самому себе, то есть когда тогда уравнение Майорана сводится к уравнению Дирака, и любое решение можно интерпретировать как описывающее электрически нейтральное поле. Однако оператор зарядового сопряжения имеет не одно, а два различных собственных состояния, одним из которых является спинор ELKO ; он не решает уравнение Майорана, а скорее представляет собой его знакомую версию. ${\ Displaystyle \ psi ^ {c} = \ psi,}$

Оператор зарядового сопряжения для четырехкомпонентного спинора определяется как ${\ displaystyle {\ mathsf {C}}}$

${\ Displaystyle {\ mathsf {C}} \ psi = \ psi _ {c} = \ eta C ({\ overline {\ psi}}) ^ {T}}$

Общее обсуждение физической интерпретации этого оператора в терминах электрического заряда дается в статье о зарядовом сопряжении. Дополнительные обсуждения предоставлены Bjorken amp; Drell или Itzykson amp; Zuber. Говоря более абстрактно, это спинорный эквивалент комплексного сопряжения связи электромагнитного поля. В этом можно убедиться следующим образом. Если у кого-то есть единственное реальное скалярное поле, оно не может взаимодействовать с электромагнетизмом; однако пара реальных скалярных полей, представленных в виде комплексного числа, может. Для скалярных полей зарядовое сопряжение такое же, как и комплексное. В дискретные симметрии по калибровочной теории следует из «тривиальной» наблюдение, что ${\ Displaystyle U (1)}$ ${\ Displaystyle U (1)}$

${\ Displaystyle *: U (1) \ к U (1) \ quad e ^ {я \ phi} \ mapsto e ^ {- i \ phi}}$

является автоморфизмом из Для спинорных полей, ситуация более запутанная. Однако, грубо говоря, можно сказать, что поле Майорана электрически нейтрально, и что подходящая комбинация двух полей Майорана может быть интерпретирована как одно электрически заряженное поле Дирака. Приведенный выше оператор зарядового сопряжения соответствует автоморфизму${\ Displaystyle U (1).}$${\ Displaystyle U (1).}$

Выше это матрица 4x4, приведенная в статье о гамма-матрицах. Его явная форма зависит от представления. Оператор не может быть записан как матрица 4x4, поскольку он принимает комплексное сопряжение, а комплексное сопряжение не может быть достигнуто с помощью сложной матрицы 4x4. Его можно записать как реальную матрицу 8x8, предполагая, что она также записывается как чисто реальный 8-компонентный спинор. Позволяя обозначать комплексное сопряжение, чтобы затем можно было написать для четырехкомпонентных спиноров, ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {C}}}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle K}$${\ Displaystyle К (х + iy) = x-iy,}$

${\ displaystyle {\ mathsf {C}} = - \ eta \ gamma ^ {0} CK}$

Нетрудно показать это и это следует из первого тождества, имеющего два собственных значения, которые можно записать как ${\ Displaystyle {\ mathsf {C}} ^ {2} = 1}$${\ displaystyle {\ mathsf {C}} \ gamma ^ {\ mu} {\ mathsf {C}} = - \ gamma ^ {\ mu} ~.}$${\ displaystyle {\ mathsf {C}}}$

${\ Displaystyle {\ mathsf {C}} \ psi ^ {(\ pm)} = \ pm \ psi ^ {(\ pm)}}$

Собственные векторы легко найти в базисе Вейля. Из вышесказанного в этой основе явно ${\ displaystyle {\ mathsf {C}}}$

${\ displaystyle {\ mathsf {C}} = {\ begin {bmatrix} 0 amp; \ eta \ omega K \\ - \ eta \ omega K amp; 0 \ end {bmatrix}}}$

и поэтому

${\ displaystyle \ psi _ {\ rm {Weyl}} ^ {(\ pm)} = {\ begin {pmatrix} \ psi _ {\ rm {L}} \\\ mp \ eta \ omega \ psi _ {\ rm {L}} ^ {*} \ end {pmatrix}}}$

Оба собственных вектора, очевидно, являются решениями уравнения Майорана. Однако только положительный собственный вектор является решением уравнения Дирака:

${\ Displaystyle 0 = (я \ гамма ^ {\ му} \ partial _ {\ mu} -m {\ mathsf {C}}) \ psi ^ {(+)} = (я \ гамма ^ {\ му} \ частичный _ {\ mu} -m) \ psi ^ {(+)}}$

Отрицательный собственный вектор «не работает», у него неправильный знак в массовом члене Дирака. Однако он по-прежнему решает уравнение Клейна – Гордона. Отрицательный собственный вектор называется спинором ELKO.

Доказательство  -

То, что оба собственных состояния решают уравнение Клейна – Гордона, следует из предыдущих тождеств для двухкомпонентных версий. Определяя, как и прежде,

${\ Displaystyle D _ {\ rm {L}} = я {\ overline {\ sigma}} ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} + \ eta m \ omega K \ qquad D _ {\ rm {R}} = i \ sigma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} + \ eta m \ omega K}$

Как было показано ранее

${\ Displaystyle D _ {\ rm {R}} D _ {\ rm {L}} = D _ {\ rm {L}} D _ {\ rm {R}} = - (\ square + m ^ {2})}$

Четырехкомпонентный спинор требует введения

${\ displaystyle \ delta _ {\ rm {L}} = я {\ overline {\ sigma}} ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} - \ eta m \ omega K \ qquad \ delta _ {\ rm {R}} = i \ sigma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} - \ eta m \ omega K}$

которые также подчиняются

${\ displaystyle \ delta _ {\ rm {R}} \ delta _ {\ rm {L}} = \ delta _ {\ rm {L}} \ delta _ {\ rm {R}} = - (\ square + м ^ {2})}$

Следовательно

${\ displaystyle (D _ {\ rm {R}} \ oplus \ delta _ {\ rm {L}}) (D _ {\ rm {L}} \ oplus \ delta _ {\ rm {R}}) = - ( \ square + m ^ {2})}$

Для хирального представления требуется дополнительный фактор: ${\ Displaystyle \ бета = \ гамма ^ {0}}$

${\ displaystyle \ beta (D _ {\ rm {L}} \ oplus \ delta _ {\ rm {R}}) = я \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} -m {\ mathsf {C }} \ qquad \ beta (\ delta _ {\ rm {L}} \ oplus D _ {\ rm {R}}) = i \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} + m {\ mathsf { C}}}$

и таким образом можно сделать вывод, что

${\ displaystyle (D _ {\ rm {R}} \ oplus \ delta _ {\ rm {L}}) (D _ {\ rm {L}} \ oplus \ delta _ {\ rm {R}}) = (я \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} + m {\ mathsf {C}}) (i \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} -m {\ mathsf {C}}) = - (\ квадрат + м ^ {2})}$

То есть оба собственных вектора оператора зарядового сопряжения решают уравнение Клейна – Гордона. Последнюю личность также можно проверить напрямую, отметив то и то${\ Displaystyle {\ mathsf {C}} я = -i {\ mathsf {C}}}$${\ displaystyle {\ mathsf {C}} \ gamma ^ {\ mu} = - \ gamma ^ {\ mu} {\ mathsf {C}} ~.}$

Паритет

При четности левые спиноры переходят в правые. Два собственных вектора оператора зарядового сопряжения, опять же в базисе Вейля, равны

${\ displaystyle \ psi _ {\ rm {R, Weyl}} ^ {(\ pm)} = {\ begin {pmatrix} \ pm \ eta \ omega \ psi _ {\ rm {R}} ^ {*} \ \\ psi _ {\ rm {R}} \ end {pmatrix}}}$

Как и раньше, оба решают четырехкомпонентное уравнение Майорана, но только один также решает уравнение Дирака. Это можно показать, построив двойственное по четности четырехкомпонентное уравнение. Это принимает форму

${\ displaystyle \ beta (\ delta _ {\ rm {L}} \ oplus D _ {\ rm {R}}) = я \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} + m {\ mathsf {C }}}$

куда

${\ displaystyle \ delta _ {\ rm {L}} = я {\ overline {\ sigma}} ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} - \ eta m \ omega K}$

Учитывая двухкомпонентный спинор, определим его сопряженное как. Нетрудно показать то и то, следовательно, если, то еще и, следовательно, то ${\ displaystyle \ psi _ {\ rm {R}}}$${\ displaystyle \ chi _ {\ rm {L}} = - \ eta \ omega \ psi _ {\ rm {R}} ^ {*}.}$${\ Displaystyle D _ {\ rm {R}} \ psi _ {\ rm {R}} = - \ eta \ omega (\ delta _ {\ rm {L}} \ chi _ {\ rm {L}})}$${\ Displaystyle D _ {\ rm {R}} \ psi _ {\ rm {R}} = 0}$${\ displaystyle \ delta _ {\ rm {L}} \ chi _ {\ rm {L}} = 0}$

${\ Displaystyle 0 = (\ дельта _ {\ rm {L}} \ oplus D _ {\ rm {R}}) (\ chi _ {\ rm {L}} \ oplus \ psi _ {\ rm {R}})}$

или эквивалентно

${\ displaystyle 0 = (я \ гамма ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} + m {\ mathsf {C}}) {\ begin {pmatrix} \ chi _ {\ rm {L}} \\\ psi _ {\ rm {R}} \ end {pmatrix}}}$

Это работает, потому что это сводится к уравнению Дирака для ${\ displaystyle {\ mathsf {C}} (\ chi _ {\ rm {L}} \ oplus \ psi _ {\ rm {R}}) = - (\ chi _ {\ rm {L}} \ oplus \ psi _ {\ rm {R}})}$

${\ Displaystyle \ psi _ {\ rm {R, Weyl}} ^ {(-)} = \ chi _ {\ rm {L}} \ oplus \ psi _ {\ rm {R}} = {\ begin {pmatrix } \ chi _ {\ rm {L}} \\\ psi _ {\ rm {R}} \ end {pmatrix}}}$

В заключение и повторим еще раз: уравнение Майорана имеет вид

${\ Displaystyle 0 = (я \ гамма ^ {\ му} \ partial _ {\ mu} -m {\ mathsf {C}}) \ psi = i \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ psi -m \ psi _ {c}}$

Он имеет четыре неэквивалентных, линейно независимых решения. Из них только два также являются решениями уравнения Дирака: а именно и${\ displaystyle \ psi _ {\ rm {L, R}} ^ {(\ pm)}.}$${\ Displaystyle \ psi _ {\ rm {L}} ^ {(+)}}$${\ displaystyle \ psi _ {\ rm {R}} ^ {(-)} ~.}$

Собственные состояния спина

Одной из удобных отправных точек для написания решений является работа в режиме покоя спиноров. Запись квантового гамильтониана с обычным условным обозначением знаков приводит к уравнению Майорана, имеющему вид ${\ Displaystyle Н = я \ частичный _ {т}}$

${\ displaystyle i \ partial _ {t} \ psi = -i {\ vec {\ alpha}} \ cdot \ nabla \ psi + m \ beta \ psi _ {c}}$

В киральном (вейлевском) базисе имеем

${\ displaystyle \ gamma ^ {0} = \ beta = {\ begin {pmatrix} 0 amp; I \\ I amp; 0 \ end {pmatrix}}, \ quad {\ vec {\ alpha}} = {\ begin {pmatrix} {\ vec {\ sigma}} amp; 0 \\ 0 amp; - {\ vec {\ sigma}} \ end {pmatrix}}}$

с в Pauli векторе. Условные обозначения здесь соответствуют гамма-матрицам статей. Подставляя указанное выше собственное состояние сопряжения положительного заряда, мы получаем уравнение для двухкомпонентного спинора ${\ displaystyle {\ vec {\ sigma}}}$ ${\ Displaystyle \ psi _ {Вейль} ^ {(+)}}$

${\ displaystyle i \ partial _ {t} \ psi _ {\ rm {L}} = - i {\ vec {\ sigma}} \ cdot \ nabla \ psi _ {\ rm {L}} + m (i \ сигма _ {2} \ psi _ {\ rm {L}} ^ {*})}$

и аналогично

${\ displaystyle i \ partial _ {t} (i \ sigma _ {2} \ psi _ {\ rm {L}} ^ {*}) = + i {\ vec {\ sigma}} \ cdot \ nabla (i \ sigma _ {2} \ psi _ {\ rm {L}} ^ {*}) + m \ psi _ {\ rm {L}}}$

Эти два фактически являются одним и тем же уравнением, что можно проверить, отметив, что дает комплексное сопряжение матриц Паули: ${\ displaystyle \ sigma _ {2}}$

${\ displaystyle \ sigma _ {2} ({\ vec {k}} \ cdot {\ vec {\ sigma}}) \ sigma _ {2} = - {\ vec {k}} \ cdot {\ vec {\ сигма}} ^ {*}.}$

В плоских волнах решение может быть разработано для энергии-импульса и наиболее легко указано в системе покоя. Решение с раскручивающейся опорной рамой: ${\ displaystyle (k_ {0}, {\ vec {k}})}$

${\ displaystyle \ psi _ {\ rm {L}} ^ {(u)} = {\ begin {pmatrix} e ^ {- imt} \\ e ^ {imt} \ end {pmatrix}}}$

в то время как решение с понижением скорости вращения

${\ displaystyle \ psi _ {\ rm {L}} ^ {(d)} = {\ begin {pmatrix} e ^ {imt} \\ - e ^ {- imt} \ end {pmatrix}}}$

То, что они интерпретируются правильно, можно увидеть, перевыразив их в базисе Дирака как спиноры Дирака. В этом случае они принимают вид

${\ displaystyle \ psi _ {\ rm {Dirac}} ^ {(u)} = {\ begin {bmatrix} e ^ {- imt} \\ 0 \\ 0 \\ - e ^ {imt} \ end {bmatrix }}}$

а также

${\ displaystyle \ psi _ {\ rm {Dirac}} ^ {(d)} = {\ begin {bmatrix} 0 \\ e ^ {- imt} \\ - e ^ {imt} \\ 0 \ end {bmatrix }}}$

Это спиноры покоя. Их можно рассматривать как линейную комбинацию решений уравнения Дирака с положительной и отрицательной энергией. Это единственные два решения; уравнение Майорана имеет только два линейно независимых решения, в отличие от уравнения Дирака, которое имеет четыре. Удвоение степеней свободы уравнения Дирака можно приписать спинорам Дирака, несущим заряд.

Собственные состояния импульса

В общей системе импульсов спинор Майорана можно записать как

Появление обоих и в уравнении Майорана означает, что поле  не может быть связано с заряженным электромагнитным полем без нарушения сохранения заряда, поскольку частицы имеют заряд, противоположный их собственным античастицам. Чтобы удовлетворить этому ограничению, он должен быть электрически нейтральным. Это можно сформулировать более подробно. ${\ textstyle \ psi}$${\ textstyle \ psi _ {c}}$${\ textstyle \ psi}$ ${\ textstyle \ psi}$

Уравнение Дирака можно записать в чисто вещественной форме, если гамма-матрицы взяты в представлении Майорана. Тогда уравнение Дирака можно записать как

${\ displaystyle \ left (-i {\ frac {\ partial} {\ partial t}} - я {\ hat {\ alpha}} \ cdot \ nabla + \ beta m \ right) \ psi = 0}$

с чисто действительными симметричными матрицами и чисто мнимыми кососимметричными матрицами. В этом случае можно найти чисто реальные решения уравнения; это спиноры Майораны. Под действием преобразований Лоренца они преобразуются под (чисто реальной) спиновой группой. Это контрастирует со спинорами Дирака, которые ковариантны только под действием комплексифицированной спиновой группы. Интерпретация состоит в том, что комплексифицированная спиновая группа кодирует электромагнитный потенциал, реальная спин-группа - нет. ${\ displaystyle {\ hat {\ alpha}}}$${\ displaystyle \ beta}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Spin} (1,3).}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Spin} ^ {\ mathbb {C}} (1,3).}$

Это также можно сформулировать по-другому: уравнение Дирака и спиноры Дирака содержат достаточную калибровочную свободу для естественного кодирования электромагнитных взаимодействий. Это можно увидеть, заметив, что электромагнитный потенциал можно очень просто добавить к уравнению Дирака, не требуя каких-либо дополнительных модификаций или расширений либо уравнения, либо спинора. Местоположение этой дополнительной степени свободы определяется оператором зарядового сопряжения, и наложение ограничения Майорана устраняет эту дополнительную степень свободы. После удаления не может быть никакой связи с электромагнитным потенциалом, следовательно, спинор Майорана обязательно электрически нейтрален. Электромагнитная связь может быть получена только добавлением фазового множителя с комплексным числом и связыванием этого фазового множителя с электромагнитным потенциалом. ${\ textstyle \ psi = \ psi _ {c}}$

Вышесказанное можно еще более уточнить, исследуя ситуацию в пространственных измерениях. В этом случае комплексифицированного спина группа имеет двойное покрытие на с окружностью. Подразумевается, что кодирует обобщенные преобразования Лоренца (конечно), в то время как круг можно отождествить с действием калибровочной группы на электрические заряды. То есть действие калибровочной группы комплексифицированной спиновой группы на спинор Дирака может быть разделено на чисто реальную лоренцеву часть и электромагнитную часть. Это может быть дополнительно развито на неплоских (не плоских по Минковскому) спиновых многообразиях. В этом случае на спинорном расслоении действует оператор Дирака. Разложенный на отдельные термины, он включает обычную ковариантную производную. Можно видеть, что поле возникает непосредственно из кривизны комплексифицированной части спинового пучка, поскольку калибровочные преобразования связаны с комплексифицированной частью, а не с реальной спинорной частью. То, что поле соответствует электромагнитному потенциалу, можно увидеть, отметив, что (например) квадрат оператора Дирака равен лапласиану плюс скалярная кривизна (лежащего в основе многообразия, на котором находится спинорное поле) плюс (электромагнитная) напряженность поля. В случае Майораны на спинор Майораны действуют только преобразования Лоренца; комплексообразование роли не играет. Подробное рассмотрение этих тем можно найти у Йоста, а случай излагается у Бликера. К сожалению, ни один из этих текстов не формулирует спинор Майораны в прямой форме. ${\ displaystyle (p, q)}$${\ displaystyle \ mathrm {Spin} ^ {\ mathbb {C}} (p, q)}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {SO} (p, q) \ раз S ^ {1}}$${\ Displaystyle S ^ {1} \ cong U (1)}$${\ Displaystyle \ mathrm {SO} (p, q)}$${\ Displaystyle \ mathrm {U} (1)}$ ${\ displaystyle d + A.}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle F = dA.}$${\ displaystyle (p, q) = (1,3)}$

Кванты уравнения Майорана учитывают два класса частиц: нейтральную частицу и ее нейтральную античастицу. Часто применяемое дополнительное условие соответствует спинору Майораны. ${\ textstyle \ Psi = \ Psi _ {c}}$

Майоранская частица

Основная статья: Майоранская частица

Частицы, соответствующие майорановским спинорам, известны как майорановские частицы из-за указанного выше ограничения самосопряженности. Все фермионы, включенные в Стандартную модель, были исключены как майорановские фермионы (поскольку они имеют ненулевой электрический заряд, они не могут быть античастицами сами по себе), за исключением нейтрино (которое является нейтральным).

Теоретически нейтрино - возможное исключение из этой закономерности. В таком случае возможен безнейтринный двойной бета-распад, а также ряд распадов мезонов и заряженных лептонов с нарушением лептонного числа. В настоящее время проводится ряд экспериментов по выяснению того, является ли нейтрино майорановской частицей.

1. ^ Этторе Майорана, "Teoria Simmetrica Dell» Elettrone E Del позитрон-," Nuovo Cimento 14 (1937) pp.171-184. PDF Оригинальная итальянская версия
2. ^ Асте, Андреас (2010). «Прямая дорога к полям Майорана». Симметрия. 2010 (2): 1776–1809. arXiv : 0806.1690. Bibcode : 2010Symm.... 2.1776A. DOI : 10,3390 / sym2041776.
3. ^ Pal, Palash B. (2011). «Фермионы Дирака, Майораны и Вейля». Американский журнал физики. 79 (5): 485–498. arXiv : 1006.1718. Bibcode : 2011AmJPh..79..485P. DOI : 10.1119 / 1.3549729. S2CID 118685467.  
4. ^ Марш, Эккарт (2012). «Об уравнении Майорана: отношения между его комплексными двухкомпонентными и действительными четырехкомпонентными собственными функциями». ISRN Математическая физика. 2012: 1–17. arXiv : 1207,4685. DOI : 10.5402 / 2012/760239. Статья 760239.
5. ^ Марш, Эккарт (2013). «Новый путь к уравнению Майораны». Симметрия. 5 (4): 271–286. Bibcode : 2013Symm.... 5..271M. DOI : 10,3390 / sym5040271.
6. ^ Itzykson, Клод; Зубер, Жан-Бернар (1980). Квантовая теория поля. Макгроу-Хилл. §2‑1‑2, стр. 49.
7. ^ Андреас Асте, (2010) "Прямая дорога к Майоранским полям", Симметрия 2010 (2) 1776-1809; DOI: 10.3390 / sym2041776 ISSN 2073-8994.
8. ^ Квантовая механика, Е. Абер, Pearson Ed., Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN   978-0-13-146100-0
9. ^ Кембриджский справочник по физическим формулам, Г. Воан, Cambridge University Press, 2010, ISBN   978-0-521-57507-2.
10. ^ Введение в квантовую теорию поля, М. Е. Пескин, Д. В. Шредер, Аддисон-Уэсли, 1995, ISBN   0-201-50397-2
11. ^ Джеймс Д. Бьоркен, Сидней Д. Дрелл, (1964) «Релятивистская квантовая механика», МакГроу-Хилл (см. Главу 5.2, страницы 66-70)
12. ^ Юрген Йост (2002) "Риманова геометрия и геометрический анализ (3-е издание) Springer Universitext. (См. Главу 1.8 для спиновых структур и главу 3.4 для оператора Дирака.)
13. ↑ Дэвид Бликер, (1981) «Калибровочная теория и вариационные принципы» Аддисон-Уэсли (см. Главу 6 о свободном поле Дирака и главу 7 о взаимодействующем поле).
14. ^ А. Франклин, Существуют ли действительно нейтрино ?: Доказательная история (Westview Press, 2004), стр. 186

• « Наследие Майораны в современной физике », Электронный журнал теоретической физики (EJTP) Том 3, выпуск 10 (апрель 2006 г.) Специальный выпуск к столетию со дня рождения Этторе Майорана (1906-1938?). ISSN 1729-5254
• Франк Вильчек, (2009) « Майорана возвращается », Nature Physics Vol. 5 страниц 614–618.