Рывок (физика)

Скорость изменения ускорения во времени.

Рывок
Производные от положения по времени, включая рывок
Общие символы	$j\; \{\backslash \; displaystyle\; j\}$, $ȷ\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; jmath\}\}\}$
В базовых единицах СИ	m /s
Размер	LT

В физика, рывок или толчок - это скорость, с которой ускорение объекта изменяется во времени. Это векторная величина (имеющая как величину, так и направление). Рывок чаще всего обозначается символом $j\; \{\backslash \; displaystyle\; j\}$и выражается в м / с (единиц СИ ) или стандартной гравитации в секунду. (г / с).

• 1 Выражения
• 2 Физиологические эффекты и человеческое восприятие
• 3 Сила, ускорение и рывки
• 4 В идеальной обстановке
• 5 Вращение
• 6 В упруго деформируемом веществе
• 7 В геометрическом проектировании дорог и путей
• 8 В управлении движением
  • 8.1 В производстве
• 9 Другие производные
• 10 См. Также
• 11 Ссылки
• 12 Внешние ссылки

Рывок может быть выражен как первая производная по времени ускорения, вторая производная по времени от скорости и в третий раз производная от позиции :

$ȷ\; \to \; (t)\; =\; da\; \to \; (t)\; dt\; =\; d\; 2\; v\; \to \; (t)\; dt\; 2\; =\; d\; 3\; r\; \to \; (t)\; dt\; 3,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; jmath\}\}\; (t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; \{\backslash \; vec\; \{a\}\}\; (t)\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; vec\; \{v\}\}\; (t)\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^\; \{3\}\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\; (t)\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\; ^\; \{3\}\}\},\}$

где

$a\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{a\}\}\}$- ускорение

$v\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{v\}\}\}$- скорость

$r\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\}$- позиция

$t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$- время

дифференциал третьего порядка уравнения вида

$J\; (x...,\; Икс\; ¨,\; Икс\; \dot{},\; Икс)\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; J\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; overset\; \{...\}\; \{x\}\},\; \{\backslash \; ddot\; \{x\}\},\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\},\; x\; \backslash \; right)\; =\; 0\}$

иногда называют уравнениями рывка. При преобразовании в эквивалентную систему из трех обычных первого порядка нелинейных дифференциальных уравнений, уравнения рывка являются минимальной настройкой для решений, демонстрирующих хаотическое поведение. Это условие вызывает математический интерес к рывковым системам. Системы, включающие производные четвертого порядка или выше, соответственно, называются системами гипердергивания.

Положение человеческого тела регулируется путем уравновешивания сил антагонистических мышц. Уравновешивая заданную силу, например удерживая вес, постцентральная извилина устанавливает контур управления для достижения желаемого равновесия. Если сила изменяется слишком быстро, мышцы не могут расслабиться или напрячься достаточно быстро и перескочить в любом направлении, что приведет к временной потере контроля. Время реакции на изменение силы зависит от физиологических ограничений и уровня внимания мозга: ожидаемое изменение стабилизируется быстрее, чем внезапное уменьшение или увеличение нагрузки.

Чтобы пассажиры транспортного средства не потеряли контроль над движением тела и не получили травм, необходимо ограничить воздействие как максимальной силы (ускорения), так и максимального рывка, поскольку требуется время, чтобы отрегулировать напряжение мышц и адаптироваться к ним. ограниченные стрессовые изменения. Внезапные изменения ускорения могут привести к травмам, например, хлыстовой травме. Чрезмерный рывок также может привести к дискомфорту во время езды даже на уровнях, не вызывающих травм. Инженеры прилагают значительные усилия при проектировании, сводя к минимуму "рывки" на лифтах, трамваях и других транспортных средствах.

Например, рассмотрите эффекты ускорения и рывков при езде в автомобиле:

• Опытные и опытные водители могут ускоряться плавно, но новички часто демонстрируют рывки. При переключении передач в автомобиле с ножным сцеплением ускоряющая сила ограничивается мощностью двигателя, но неопытный водитель может вызвать сильный рывок из-за периодического срабатывания сцепления.
• Ощущение нажатия в сиденья мощного спортивного автомобиля происходит из-за ускорения. Когда автомобиль трогается с места, возникает сильный положительный рывок, так как его ускорение быстро увеличивается. После взлета возникает небольшой устойчивый отрицательный рывок, поскольку сила сопротивления воздуха увеличивается с увеличением скорости автомобиля, постепенно уменьшая ускорение и уменьшая силу, прижимающую пассажира к сиденью. Когда автомобиль достигает максимальной скорости, ускорение достигает 0 и остается постоянным, после чего рывков не происходит, пока водитель не замедлится или не изменит направление.
• При резком торможении или во время столкновения пассажиры рвутся вперед с первоначальным ускорение, которое больше, чем во время остальной части процесса торможения, потому что напряжение мышц быстро восстанавливает контроль над телом после начала торможения или удара. Эти эффекты не моделируются при испытаниях транспортных средств, поскольку трупы и манекены для краш-тестов не имеют активного мышечного контроля.

Для постоянная масса $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$, ускорение $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$прямо пропорционально силе $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$согласно второму закону движения Ньютона :

$F\; =\; m\; \cdot \; a\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; =\; m\; \backslash \; cdot\; a\}$

В классической механике твердого тела существуют отсутствие сил, связанных с производными ускорения; однако физические системы испытывают колебания и деформации в результате рывков. Сообщается, что при разработке телескопа Хаббл НАСА установило ограничения как на рывок, так и на рывок..

Сила Абрахама-Лоренца - это сила отдачи на ускоряющие заряженные частицы, испускающие излучение. Эта сила пропорциональна рывку частицы и квадрату ее заряда. Теория поглотителя Уиллера-Фейнмана - это более продвинутая теория, применимая в релятивистской и квантовой среде и учитывающая собственную энергию.

Разрывы в ускорение не происходит в реальных средах из-за эффектов деформации, квантовой механики и других причин. Однако скачкообразный скачок ускорения и, соответственно, неограниченный рывок возможны в идеальных условиях, таких как идеализированная точечная масса, движущаяся по кусочному плавному, весь непрерывный путь. Скачок-разрыв возникает в точках, где путь не является гладким. Экстраполируя эти идеализированные настройки, можно качественно описать, объяснить и предсказать последствия рывка в реальных ситуациях.

Скачок-разрыв в ускорении может быть смоделирован с использованием дельта-функции Дирака в рывке, масштабированной по высоте прыжка. Интегрирование рывка с течением времени через дельту Дирака дает скачок-разрыв.

Например, рассмотрим путь по дуге радиуса $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$, который по касательной соединяется с прямой линией. Весь путь непрерывен, а его участки гладкие. Теперь предположим, что точечная частица движется с постоянной скоростью по этому пути, поэтому ее тангенциальное ускорение равно нулю. Центростремительное ускорение, задаваемое $v\; 2\; /\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; ^\; \{2\}\; /\; r\}$, перпендикулярно дуге и внутрь. Когда частица проходит соединение частей, она испытывает скачкообразный скачок в ускорении, определяемом выражением $v\; 2\; /\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; ^\; \{2\}\; /\; r\}$, и испытывает рывок, который можно смоделировать дельтой Дирака, масштабированной до скачка-разрыва.

В качестве более наглядного примера прерывистого ускорения рассмотрим идеальную систему пружина-масса с массой, колеблющейся на идеализированной поверхности с трением. Сила, действующая на массу, равна векторной сумме силы пружины и кинетической силы трения. Когда скорость меняет знак (при максимальном и минимальном перемещениях ), величина силы, действующей на массу, изменяется в два раза больше силы трения, поскольку сила пружины является непрерывной, а сила трения меняет направление на противоположное. со скоростью. Скачок ускорения равен силе, действующей на массу, деленную на массу. То есть каждый раз, когда масса проходит через минимальное или максимальное смещение, масса испытывает прерывистое ускорение, и рывок содержит дельту Дирака, пока масса не остановится. Сила статического трения адаптируется к остаточной силе пружины, устанавливая равновесие с нулевой чистой силой и нулевой скоростью.

Рассмотрим пример торможения и замедления автомобиля. Тормозные колодки создают кинетические силы трения и постоянные тормозные моменты на дисках (или барабанах) колес. Скорость вращения линейно уменьшается до нуля с постоянным угловым замедлением. Сила трения, крутящий момент и замедление автомобиля внезапно достигают нуля, что указывает на дельту Дирака в физическом рывке. Дельта Дирака сглаживается реальной окружающей средой, совокупные эффекты которой аналогичны гашению физиологически воспринимаемого рывка. В этом примере не учитываются эффекты скольжения шины, провисания подвески, реального прогиба всех идеально жестких механизмов и т. Д.

Другим примером значительного рывка, аналогичным первому примеру, является разрезание веревки частицей на все кончено. Предположим, что частица колеблется по круговой траектории с ненулевым центростремительным ускорением. Когда веревка перерезана, траектория частицы резко меняется на прямую, а сила во внутреннем направлении внезапно меняется на ноль. Представьте себе мономолекулярное волокно, разрезанное лазером; частица будет испытывать очень высокий уровень рывков из-за чрезвычайно короткого времени резки.

Анимация, показывающая четырехпозиционный внешний привод в Женеве в работе Временная диаграмма на один оборот для угла, угловой скорости, углового ускорения и углового рывка

Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг фиксированной оси в инерциальной системе отсчета . Если его угловое положение равно $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$, угловая скорость, ускорение и рывок могут быть выражены следующим образом:

• Угловая скорость, $\omega \; (\; t)\; знак\; равно\; \theta \; \dot{}\; (T)\; знак\; равно\; d\; \theta \; (t)\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; (t)\; =\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; theta\}\}\; (t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; theta\; (t)\; \}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\}\}$, это производная по времени от $\theta \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; (t)\}$.
• Угловое ускорение, $\alpha \; (T)\; знак\; равно\; \omega \; \dot{}\; (T)\; знак\; равно\; d\; \omega \; (t)\; dt,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; (t)\; =\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; omega\}\}\; (t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; omega\; (t)\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\},\}$- производная по времени от $\omega \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; (t)\}$.
• Угловой рывок, $\zeta \; (t)\; =\; \alpha \; \dot{}\; (t)\; =\; \omega \; ¨\; (t)\; =\; \theta ...\; (т),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; zeta\; (t)\; =\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; alpha\}\}\; (t)\; =\; \{\backslash \; ddot\; \{\backslash \; omega\}\}\; (t)\; =\; \{\backslash \; overset\; \{...\}\; \{\backslash \; theta\}\}\; (t),\}$- производная по времени от $\alpha \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; (t)\}$.

. Угловое ускорение равно крутящему моменту, действующему на тело., деленное на момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения. Изменение крутящего момента приводит к угловому рывку.

Общий случай вращающегося твердого тела может быть смоделирован с использованием кинематической теории винта, которая включает один осевой вектор, угловую скорость $\Omega \; \to \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; Omega\}\}\; (t)\}$и один полярный вектор, линейная скорость $v\; \to \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{\; v\}\}\; (t)\}$. Отсюда угловое ускорение определяется как

$\alpha \; \to \; (t)\; =\; ddt\; \Omega \; \to \; (t)\; =\; \Omega \; \to \; \dot{}\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; alpha\}\}\; (t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\}\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; Omega\}\}\; (t)\; =\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; Omega\}\}\}\; (t)\}$,

и угловой рывок дается выражением

$\zeta \; \to \; (t)\; =\; ddt\; \alpha \; \to \; (t)\; =\; \alpha \; \to \; \dot{}\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; zeta\}\}\; (t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\}\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; alpha\}\}\; (t)\; =\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; alpha\}\}\}\; (t)\}$.

Например, рассмотрим привод в Женеве, устройство, используемое для создания прерывистого вращения ведомого колеса (синее колесо в анимации) путем непрерывного вращения ведущего колеса (красное колесо в анимации). В течение одного цикла ведущего колеса угловое положение $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$ведомого колеса изменяется на 90 градусов, а затем остается постоянным. Из-за конечной толщины вилки ведущего колеса (т. Е. Прорези для ведущего пальца) это устройство создает неоднородность углового ускорения $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$и неограниченное угловое рывок $\zeta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; zeta\}$в ведомом колесе.

Рывок не препятствует использованию привода Geneva в таких приложениях, как кинопроекторы и камеры. В кинопроекторах фильм продвигается покадрово, но проектор работает медленно. шумность и высокая надежность из-за низкой нагрузки на пленку (прогоняется только небольшой участок пленки толщиной несколько миллиметров), умеренной скорости (2,4 м / с, 8,6 км / ч) и низкого трения.

Двойные кулачковые приводы 1/6 на оборот 1/3 на оборот

В системах кулачковых приводов использование двойного кулачка позволяет избежать рывка одиночного кулачка; однако двойной кулачок более громоздкий и более дорогой. Система с двумя кулачками имеет два кулачка на одной оси, которые перемещают вторую ось на доли оборота. На графике показаны шаговые приводы на одну шестую и одну треть оборота за один оборот ведущей оси. Радиальный зазор отсутствует, поскольку два плеча ступенчатого колеса всегда соприкасаются с двойным кулачком. Как правило, можно использовать комбинированные контакты, чтобы избежать рывков (а также износа и шума), связанных с одним толкателем (например, скольжение одного толкателя по пазу и изменение точки его контакта с одной стороны паза на другую можно избежать, если с использованием двух толкателей, скользящих по одному и тому же пазу, по одной стороне каждый).

Волны сжатия Плоская волна Цилиндрическая симметрия

Упругодеформируемая масса деформируется под действием приложенной силы или ускорение); деформация является функцией его жесткости и величины силы. Если изменение силы происходит медленно, рывок невелик, и распространение деформации считается мгновенным по сравнению с изменением ускорения. Искаженное тело действует так, как если бы оно находилось в квазистатическом режиме, и только изменяющаяся сила (ненулевой рывок) может вызвать распространение механических волн (или электромагнитных волн для заряженной частицы); следовательно, для рывка от нуля до большого следует учитывать ударную волну и ее распространение через тело.

Распространение деформации показано на графике «Волны сжатия» в виде плоской волны сжатия через упруго деформируемый материал. Также показаны для углового рывка волны деформации, распространяющиеся по круговой схеме, которые вызывают напряжение сдвига и, возможно, другие моды из вибрации. Отражение волн вдоль границ вызывает конструктивные интерференционные узоры (не показаны), создавая напряжения, которые могут превышать пределы материала. Волны деформации могут вызывать вибрации, которые могут привести к шуму, износу и выходу из строя, особенно в случае резонанса.

Столб с массивной вершиной

Графика с надписью «Столб с массивной вершиной» показывает блок, соединенный с упругим стержнем и массивной вершиной. Полюс изгибается, когда блок ускоряется, и когда ускорение прекращается, вершина будет колебаться (затухающая ) в режиме жесткости полюса. Можно утверждать, что более сильный (периодический) рывок мог бы вызвать большую амплитуду колебаний, потому что небольшие колебания затухают до усиления ударной волной. Можно также утверждать, что более сильный рывок может увеличить вероятность возбуждения резонансной моды, поскольку более крупные волновые компоненты ударной волны имеют более высокие частоты и коэффициенты Фурье.

.

Синусоидальный профиль ускорения

Чтобы уменьшить амплитуду возбужденных волн напряжения и вибраций, можно ограничить рывки, сформировав движение и сделав ускорение непрерывным с уклонами как можно более пологими. Из-за ограничений абстрактных моделей алгоритмы уменьшения вибраций включают более высокие производные, такие как толчок, или предлагают непрерывные режимы как для ускорения, так и для рывков. Одна из концепций ограничения рывков состоит в синусоидальном формировании ускорения и замедления с нулевым ускорением между ними (см. Рисунок с заголовком «Профиль синусоидального ускорения»), при котором скорость кажется синусоидальной при постоянной максимальной скорости. Рывок, однако, останется прерывистым в точках, где ускорение входит и выходит из нулевой фазы.

A кривая перехода пути ограничивает рывки. Переход показан красным цветом между синей прямой линией и зеленой дугой.

Дороги и пути спроектированы таким образом, чтобы ограничить рывки, вызванные изменением их кривизны. На железных дорогах проектировщики используют 0,35 м / с как расчетную цель и 0,5 м / с как максимум. Кривые перехода трека ограничивают рывки при переходе от прямой линии к кривой или наоборот. Напомним, что при движении с постоянной скоростью по дуге рывок равен нулю в тангенциальном направлении и отличен от нуля в нормальном направлении внутрь. Кривые перехода постепенно увеличивают кривизну и, как следствие, центростремительное ускорение.

Спираль Эйлера, теоретически оптимальная переходная кривая, линейно увеличивает центростремительное ускорение и приводит к постоянному рывку (см. Рисунок). В реальных приложениях плоскость пути наклонена (наклон ) вдоль криволинейных участков. Наклон вызывает вертикальное ускорение, которое учитывается при проектировании с точки зрения износа пути и насыпи. Wiener Kurve (Венская кривая) - это запатентованная кривая, предназначенная для минимизации этого износа.

Американские горки также разработаны с переходами гусениц для ограничения рывков. При входе в петлю значения ускорения могут достигать 4g, и езда в такой среде с высоким ускорением возможна только с переходами между трассами. S-образные кривые, такие как восьмерки, также используют переходы дорожек для плавных поездок.

В управлении движением основное внимание при проектировании уделяется прямому, линейному движению с необходимостью переместить систему из одного устойчивого положения в другое (точка -точечное движение). Конструктивная проблема с точки зрения рывка - это вертикальный рывок; рывок от тангенциального ускорения фактически равен нулю, поскольку линейное движение не вращательное.

Приложения управления движением включают пассажирские лифты и обрабатывающие инструменты. Ограничение вертикального рывка считается важным для удобства езды на лифте. ISO 18738 определяет методы измерения качества езды лифта в отношении рывков, ускорения, вибрации и шума; однако в стандарте указаны уровни приемлемого или неприемлемого качества езды. Сообщается, что большинство пассажиров оценивают вертикальный рывок со скоростью 2,0 м / с как приемлемый и 6,0 м / с как недопустимый. Для больниц рекомендуется 0,7 м / с.

Основная цель разработки управления движением - минимизировать время перехода без превышения пределов скорости, ускорения или рывков. Рассмотрим профиль управления движением третьего порядка с квадратичными фазами нарастания и спада по скорости (см. Рисунок).

Этот профиль движения состоит из следующих семи сегментов:

1. Нарастание ускорения - предел положительного рывка; линейное увеличение ускорения до положительного предела ускорения; квадратичное увеличение скорости
2. Верхний предел ускорения - нулевой рывок; линейное увеличение скорости
3. Замедление разгона - ограничение отрицательного рывка; линейное снижение ускорения; (отрицательное) квадратичное увеличение скорости, приближающееся к желаемому пределу скорости
4. Предел скорости - нулевой рывок; нулевое ускорение
5. Нарастание замедления - отрицательный предел рывка; линейное снижение ускорения до отрицательного предела ускорения; (отрицательное) квадратичное уменьшение скорости
6. Нижний предел замедления - нулевой рывок; линейное уменьшение скорости
7. Темп замедления - предел положительного рывка; линейное увеличение разгона до нуля; квадратичное снижение скорости; приближение к желаемой позиции с нулевой скоростью и нулевым ускорением

Период времени четвертого сегмента (постоянная скорость) зависит от расстояния между двумя положениями. Если это расстояние настолько мало, что пропуск четвертого сегмента будет недостаточно, тогда второй и шестой сегменты (постоянное ускорение) могут быть уменьшены в равной степени, и предел постоянной скорости не будет достигнут. Если эта модификация недостаточно сокращает пройденное расстояние, то первый, третий, пятый и седьмой сегменты могут быть сокращены на равную величину, и пределы постоянного ускорения не будут достигнуты.

Используются другие стратегии профиля движения, такие как минимизация квадрата рывка для заданного времени перехода и, как обсуждалось выше, профили ускорения синусоидальной формы. Профили движения предназначены для конкретных приложений, включая машины, средства передвижения, цепные тали, автомобили и робототехнику.

На производстве

Рывок является важным фактором производственных процессов. Быстрые изменения ускорения режущего инструмента могут привести к преждевременному износу инструмента и привести к неравномерному резанию; следовательно, современные контроллеры движения включают функции ограничения рывков. В машиностроении рывок, помимо скорости и ускорения, учитывается при разработке профилей кулачков из-за трибологических последствий и способности приводимого в действие тела следовать профилю кулачка без вибрации. Рывок часто рассматривается, когда вызывает беспокойство вибрация. Устройство, измеряющее рывок, называется «измеритель рывка».

Другие производные по времени также были названы, как snap или jounce (четвертая производная), crackle (пятая производная) и pop (шестая производная). Однако производные по времени от позиции более высокого порядка, чем четыре, появляются редко.

Термины «щелчок», «треск» и «треск» - «четвертая, пятая и шестая производные от позиции» - были вдохновлены рекламными талисманами Щелчки, треск и треск.

• Геомагнитный рывок
• Удар (механика)
• Янк

• Sprott JC (2003). Хаос и анализ временных рядов. Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-850839-5.
• Спротт Дж. К. (1997). «Некоторые простые хаотические рывки» (PDF). Am J Phys. 65 (6): 537–43. Bibcode : 1997AmJPh..65..537S. doi : 10,1119 / 1,18585. Архивировано из оригинального (PDF) 13.06.2010. Проверено 28 сентября 2009 г.
• Blair G (2005). «Изготовление кулачка» (PDF). Технология гоночных двигателей (10). Проверено 29 сентября 2009 г.

• Какой термин используется для третьей производной позиции?, описание рывка в FAQ по физике Usenet
• Математика профилей управления движением
• Elevator-Ride-Quality
• Брошюра производителя лифта
• Патент Wiener Kurve
• (на немецком языке) Описание Wiener Kurve