В математике, А алгебра Хопфа, названная в честь Heinz Хопфа, является структурой, которая является одновременно ( унитальным ассоциативной) алгебра и (counital coassociative) коалгебра, с совместимостью этих структур делают его биалгебру, и что, кроме того оснащено антиавтоморфизмом удовлетворяющие определенному свойству. Теория представлений алгебры Хопфа особенно хороша, поскольку существование совместимого коумножения, коэлита и антипода позволяет строить тензорные произведения представлений, тривиальных представлений и двойственных представлений.
Алгебры Хопфа естественным образом встречаются в алгебраической топологии, откуда они возникли и связаны с концепцией H-пространства, в теории схем групп, в теории групп (через концепцию группового кольца ) и во многих других местах, что делает их, вероятно, наиболее распространенными. знакомый тип биалгебры. Алгебры Хопфа также изучаются сами по себе, с большой работой над конкретными классами примеров, с одной стороны, и проблемами классификации, с другой. У них есть самые разные приложения, начиная от физики конденсированного состояния и квантовой теории поля до теории струн и феноменологии LHC.
Формально алгебра Хопфа - это (ассоциативная и коассоциативная) биалгебра H над полем K вместе с K- линейным отображением S: H → H (называемым антиподом), такая что следующая диаграмма коммутирует :
Здесь Δ - коумножение биалгебры, - ее умножение, η - ее единица, а ε - ее счетчик. В нотации Sumless Sweedler это свойство также может быть выражено как
Что же касается алгебры, можно заменить, лежащий в основе поля K с коммутативным кольцом R в приведенном выше определении.
Определение алгебры Хопфа является самодвойственным (что отражено в симметрии вышеприведенной диаграммы), поэтому, если можно определить двойственное к H (что всегда возможно, если H конечномерно), то это автоматически алгебра Хопфа..
Зафиксировав основу для лежащего в основе векторного пространства, можно определить алгебру в терминах структурных констант для умножения:
для совместного умножения:
и антипод:
Тогда ассоциативность требует, чтобы
в то время как соассоциативность требует, чтобы
Связующая аксиома требует, чтобы
Антиподом S иногда требуется, чтобы иметь K -линейные обратный, который является автоматическим в конечномерном случае, или если Н является коммутативным или кокоммутативен (или в более общем случае квазитреугольном ).
В общем, S является антигомоморфизмом, поэтому S 2 является гомоморфизмом, который, следовательно, является автоморфизмом, если S был обратимым (что может потребоваться).
Если S 2 = id H, то алгебра Хопфа называется инволютивной (а основная алгебра с инволюцией является * -алгеброй ). Если H конечномерно полупросто над полем нулевой характеристики, коммутативно или кокоммутативно, то оно инволютивно.
Если биалгебра B допускает антипод S, то S единственна («биалгебра допускает не более 1 структуры алгебры Хопфа»). Таким образом, антипод не создает никакой дополнительной структуры, которую мы можем выбрать: быть алгеброй Хопфа - это свойство биалгебры.
Антипод является аналогом отображения инверсии на группе, которое переводит g в g −1.
Подалгебру из алгебры Хопфа H подалгебра Хопфа, если это subcoalgebra из H и антипод S отображает A в A. Другими словами, подалгебра Хопфа A является алгеброй Хопфа сама по себе, когда умножение, коумножение, коумножение и антипод H ограничены до A (и, кроме того, тождество 1 H требуется, чтобы находиться в A). Теорема Николса – Зеллера о свободе установила (в 1989 г.), что естественный A- модуль H не имеет конечного ранга, если H конечномерно: это обобщение теоремы Лагранжа для подгрупп. Как следствие этой и интегральной теории, подалгебра Хопфа полупростой конечномерной алгебры Хопфа автоматически полупроста.
Подалгебра Хопфа A называется нормальной справа в алгебре Хопфа H, если она удовлетворяет условию устойчивости ad r ( h) ( A) ⊆ A для всех h в H, где правое сопряженное отображение ad r определяется формулой ad г ( ч) () = S ( ч (1)) ах (2) для всех а в А, ч в H. Точно так же подалгебра Хопфа A остается нормальной в H, если она устойчива относительно сопряженного слева отображения, заданного формулой ad l ( h) ( a) = h (1) aS ( h (2)). Два условия нормальности эквивалентны, если антипод S биективен, и в этом случае A называется нормальной подалгеброй Хопфа.
Нормальная подалгебра Хопфа в H удовлетворяет условию (равенства подмножеств H): HA + = +Н, где + обозначает ядро коединицы на K. Из этого условия нормальности следует, что HA + - идеал Хопфа в H (т. Е. Идеал алгебры в ядре коединицы, коидеальная и устойчивая коалгебра относительно антипода). Как следствие, возникает фактор-алгебра Хопфа H / HA + и эпиморфизм H → H / A +H, теория, аналогичная теории нормальных подгрупп и фактор-групп в теории групп.
Хопфа порядок вывода над областью целостности R с полем частных K представляет собой порядок в алгебре Хопфа H над K, который закрыт под алгебры и коалгебра операций: в частности, коумножение Δ отображает вывода для вывода ⊗ вывода.
Группы, как элемент является ненулевым элементом х таким образом, что Δ ( х) = х ⊗ х. Группоподобные элементы образуют группу с инверсией, задаваемой антиподом. Для примитивного элемента x выполняется Δ ( x) = x ⊗1 + 1⊗ x.
В зависимости от | Умножение | Графство | Антипод | Коммутативный | Кокоммутативный | Замечания | |
---|---|---|---|---|---|---|---|
групповая алгебра KG | группа G | Δ ( g) = g ⊗ g для всех g в G | ε ( g) = 1 для всех g в G | S ( g) = g −1 для всех g в G | тогда и только тогда, когда G абелева | да | |
функции f из конечной группы в K, K G (с поточечным сложением и умножением) | конечная группа G | Δ ( f) ( x, y) = f ( xy) | ε ( f) = f (1 г) | S ( е) ( х) = е ( х - 1) | да | тогда и только тогда, когда G абелева | |
Представительные функции на компактной группе | компактная группа G | Δ ( f) ( x, y) = f ( xy) | ε ( f) = f (1 г) | S ( е) ( х) = е ( х - 1) | да | тогда и только тогда, когда G абелева | Наоборот, всякая коммутативная инволютивная редуцированная алгебра Хопфа над C с конечным интегралом Хаара возникает таким образом, что дает одну формулировку двойственности Таннаки – Крейна. |
Регулярные функции на алгебраической группе | Δ ( f) ( x, y) = f ( xy) | ε ( f) = f (1 г) | S ( е) ( х) = е ( х - 1) | да | тогда и только тогда, когда G абелева | Наоборот, всякая коммутативная алгебра Хопфа над полем возникает из групповой схемы таким образом, что дает антиэквивалентность категорий. | |
Тензорная алгебра T ( V) | векторное пространство V | Δ ( x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x, x в V, Δ (1) = 1 ⊗ 1 | ε ( х) = 0 | S ( x) = - x для всех x в 'T 1 ( V) (и расширен до более высоких тензорных степеней) | Если и только если dim ( V) = 0,1 | да | симметрическая алгебра и внешняя алгебра (которые являются факторами тензорной алгебры) также являются алгебрами Хопфа с таким определением коумножения, коединицы и антипода. |
Универсальная обертывающая алгебра U (g) | Алгебра Ли g | Δ ( x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x для каждого x в g (это правило совместимо с коммутаторами и, следовательно, может быть однозначно распространено на все U) | ε ( x) = 0 для всех x в g (опять же, продолжено на U) | S ( х) = - х | тогда и только тогда, когда g абелева | да | |
Алгебра Хопфа Свидлера H = K [ c, x ] / c 2 = 1, x 2 = 0 и xc = - cx. | K - поле с характеристикой, отличной от 2 | Δ ( c) = c ⊗ c, Δ ( x) = c ⊗ x + x ⊗ 1, Δ (1) = 1 ⊗ 1 | ε ( c) = 1 и ε ( x) = 0 | S ( c) = c −1 = c и S ( x) = - cx | нет | нет | Основное векторное пространство порождается {1, c, x, cx } и, таким образом, имеет размерность 4. Это наименьший пример алгебры Хопфа, которая одновременно некоммутативна и некокоммутативна. |
кольцо симметричных функций | через полные однородные симметричные функции h k ( k ≥ 1): Δ ( ч к) знак равно 1 ⊗ ч К + ч 1 ⊗ ч к −1 +... + ч к −1 ⊗ ч 1 + ч к ⊗ 1. | ε ( h k) = 0 | S ( h k) = (−1) k e k | да | да |
Обратите внимание, что функции на конечной группе можно отождествить с групповым кольцом, хотя их более естественно рассматривать как двойственные - групповое кольцо состоит из конечных сумм элементов и, таким образом, соединяется с функциями на группе, вычисляя функцию на суммированном элементы.
Алгебра когомологий (над полем) группы Ли - это алгебра Хопфа: умножение обеспечивается чашечным произведением, а коумножение
групповым умножением. Это наблюдение было фактически источником понятия алгебры Хопфа. Используя эту структуру, Хопф доказал структурную теорему для алгебры когомологий групп Ли.
Теорема (Хопф) Пусть - конечномерная градуированная коммутативная градуированная кокоммутативная алгебра Хопфа над полем характеристики 0. Тогда (как алгебра) является свободной внешней алгеброй с образующими нечетной степени.
Все приведенные выше примеры либо коммутативны (т. Е. Умножение коммутативно ), либо ко-коммутативно (т. Е. Δ = T ∘ Δ, где твист-отображение T: H ⊗ H → H ⊗ H определяется формулой T ( x ⊗ y) = y ⊗ x). Другими интересными алгебрами Хопфа являются определенные «деформации» или « квантования » алгебр из примера 3, которые не являются ни коммутативными, ни ко-коммутативными. Эти алгебры Хопфа часто называют квантовыми группами, термин, который до сих пор определяется нечетко. Они важны в некоммутативной геометрии, идея заключается в следующем: стандартная алгебраическая группа хорошо описывается своей стандартной алгеброй Хопфа регулярных функций; тогда мы можем думать о деформированной версии этой алгебры Хопфа как о некой «нестандартной» или «квантованной» алгебраической группе (которая вообще не является алгебраической группой). Хотя кажется, что нет прямого способа определять или манипулировать этими нестандартными объектами, можно по-прежнему работать с их алгебрами Хопфа и действительно отождествлять их с их алгебрами Хопфа. Отсюда и название «квантовая группа».
Пусть A - алгебра Хопфа, а M и N - A -модули. Тогда M ⊗ N также является A -модулем, причем
для m ∈ M, n ∈ N и ∆ ( a) = ( a 1, a 2). Кроме того, мы можем определить тривиальное представление как базовое поле K с
для м ∈ K. Наконец, можно определить двойственное представление A: если M - A -модуль, а M * - его двойственное пространство, то
где F ∈ M * и т ∈ M.
Связь между Δ, ε и S гарантирует, что некоторые естественные гомоморфизмы векторных пространств действительно являются гомоморфизмами A -модулей. Например, естественные изоморфизмы векторных пространств M → M ⊗ K и M → K ⊗ M также являются изоморфизмами A -модулей. Кроме того, отображение векторных пространств M * ⊗ M → K с f ⊗ m → f ( m) также является гомоморфизмом A -модулей. Однако отображение M ⊗ M * → K не обязательно является гомоморфизмом A -модулей.
Градуированные алгебры Хопфа часто используются в алгебраической топологии : они представляют собой естественную алгебраическую структуру на прямой сумме всех групп гомологий или когомологий H-пространства.
Локально компактные квантовые группы обобщают алгебры Хопфа и несут топологию. Алгебра всех непрерывных функций на группе Ли является локально компактной квантовой группой.
Квазихопфовые алгебры являются обобщениями алгебр Хопфа, где коассоциативность сохраняется только с точностью до твиста. Они были использованы при изучении уравнений Книжника – Замолодчикова.
Алгебры мультипликаторов Хопфа, введенные Альфонсом Ван Даэлем в 1994 году, являются обобщениями алгебр Хопфа, в которых коумножение алгебры (с единицей или без нее) на алгебру мультипликаторов тензорной алгебры произведения алгебры с самим собой.
Групповые (ко) алгебры Хопфа, введенные В. Г. Тураевым в 2000 г., также являются обобщениями алгебр Хопфа.
Слабые алгебры Хопфа или квантовые группоиды являются обобщениями алгебр Хопфа. Подобно алгебрам Хопфа, слабые алгебры Хопфа образуют самодуальный класс алгебр; т. е. если H - (слабая) алгебра Хопфа, то H * - двойственное пространство линейных форм на H (по отношению к структуре алгебры-коалгебры, полученной естественным спариванием с H и ее структурой коалгебры-алгебры). Слабая алгебра Хопфа H обычно считается
Частично аксиомы выбраны так, что категория H -модулей является жесткой моноидальной категорией. Единичный H -модуль - это упомянутая выше сепарабельная алгебра H L.
Например, алгебра конечных группоидов является слабой алгеброй Хопфа. В частности, группоидом алгебра на [N] с одной парой обратима стрелки е IJ и е ц между I и J в [ п ] изоморфна алгебре Н из п х п матриц. Структура слабой алгебры Хопфа на этой конкретной H задается копроизведением ∆ ( e ij) = e ij ⊗ e ij, countit ε ( e ij) = 1 и антиподом S ( e ij) = e ji. Сепарабельные подалгебры H L и H R совпадают и в данном частном случае являются нецентральными коммутативными алгебрами (подалгеброй диагональных матриц).
Ранние теоретические вклады в слабые алгебры Хопфа можно найти, а также в
См. Алгеброид Хопфа
Группы могут быть аксиоматизированы с помощью тех же диаграмм (то есть операций), что и алгебра Хопфа, где G рассматривается как множество, а не модуль. В этом случае:
В этой философии группу можно рассматривать как алгебру Хопфа над « полем с одним элементом ».
Определение алгебры Хопфа естественным образом распространяется на произвольные сплетенные моноидальные категории. Алгебра Хопфа в такой категории - это шестерка, в которой - объект, а
- морфизмы в такие, что
Типичные примеры следующие.