Теория возмущений

редактировать

В математике и физике теория возмущений включает математические методы поиска приблизительного решения проблемы, начиная с точного решения связанной, более простой проблемы. Важнейшей особенностью метода является средний шаг, который разбивает проблему на «решаемую» и «пертурбативную» части. Теория возмущений широко используется, когда рассматриваемая проблема не имеет известного точного решения, но может быть выражена как «небольшое» изменение известной решаемой проблемы. Теория возмущений используется в широком диапазоне областей и достигает своих наиболее сложных и продвинутых форм в квантовой теории поля. Теория возмущений для квантовой механики делает первый шаг на этом пути. Эта область в целом остается активно и интенсивно исследуемой во многих дисциплинах.

Содержание

1 Терминология
2 Прототипный пример
3 Пертурбативное расширение
4 Примеры
5 История
- 5.1 Начало изучения движения планет
6 Порядок возмущений
7 В химии
8 См. Также
9 Ссылки
10 Внешние ссылки

Терминология

Теория возмущений разрабатывает выражение для желаемого решения в терминах формального степенного ряда в некотором "маленьком" параметре - известном как ряд возмущений - который количественно определяет отклонение от точно решаемой проблемы. Главный член в этом степенном ряду - это решение точно решаемой задачи, а дополнительные члены описывают отклонение решения из-за отклонения от исходной задачи. Формально для приближения к полному решению A мы имеем ряд по малому параметру (здесь называется ε), например, следующий:

A = A 0 + ε 1 A 1 + ε 2 A 2 + ⋯ {\ displaystyle A = A_ {0} + \ varepsilon ^ {1} A_ {1} + \ varepsilon ^ {2} A_ {2} + \ cdots}

A = A_ {0} + \ varepsilon ^ {1} A_ {1} + \ varepsilon ^ {2} A_ {2} + \ cdots

В этом примере A 0 будет известное решение точно решаемой начальной задачи и A 1, A 2,... представляют первого порядка, второго порядка и члены высшего порядка, которые могут быть найдены итеративно с помощью механистической процедуры. При малых ε эти члены высшего порядка в ряду обычно (но не всегда!) Становятся все меньше и меньше.

Приблизительное «пертурбативное решение» получается путем усечения ряда, часто с сохранением только первых нескольких членов и выражением окончательного решения как суммы начального (точного) решения и «первого порядка» пертурбативная поправка

A ≈ A 0 + ε A 1. {\ displaystyle A \ приблизительно A_ {0} + \ varepsilon A_ {1} ~.}

A \ приблизительно A_ {0} + \ varepsilon A_ {1} ~.

Прототипный пример

Самое раннее использование того, что сейчас назвали бы теорией возмущений, заключалось в работе с иначе неразрешимыми математическими проблемы небесной механики : например, орбита Луны, которая движется заметно иначе, чем простой кеплеровский эллипс из-за конкурирующей гравитации Земли и Солнце.

Методы возмущений начинаются с упрощенной формы исходной задачи, которая достаточно проста для точного решения. В небесной механике это обычно кеплеровский эллипс. При ньютоновской гравитации эллипс точно правильный, когда есть только два гравитирующих тела (скажем, Земля и Луна ), но не совсем правильный, когда их три или более объекты (скажем, Земля, Луна, Солнце и остальная часть солнечной системы ) и не совсем корректны, когда указывается гравитационное взаимодействие используя формулировки из общей теории относительности.

пертурбативного разложения

Помня приведенный выше пример, можно следовать общему рецепту для получения ряда возмущений. пертурбативное расширение создается путем добавления последовательных поправок к упрощенной задаче. Поправки получены путем обеспечения согласованности между невозмущенным решением и уравнениями, полностью описывающими систему. Напишите $D {\ displaystyle D}$ $D$ для этого набора уравнений; то есть пусть символ $D {\ displaystyle D}$ $D$ заменяет проблему, которую нужно решить. Нередко это дифференциальные уравнения, отсюда и буква «Д».

Процесс обычно механический, хотя и трудоемкий. Сначала нужно написать уравнения $D {\ displaystyle D}$ $D$ так, чтобы они разделились на две части: некоторый набор уравнений $D 0 {\ displaystyle D_ {0}}$ $D_ {0}$ , которая может быть решена точно, и некоторая оставшаяся часть $ε D 1 {\ displaystyle \ varepsilon D_ {1}}$ ${ \ displaystyle \ varepsilon D_ {1}}$ для небольшого $ε ≪ 1 {\ displaystyle \ varepsilon \ 11 1}$ $\ varepsilon \ ll 1$ . Решение $A 0 {\ displaystyle A_ {0}}$ $A_ {0}$ (до $D 0 {\ displaystyle D_ {0}}$ $D_ {0}$ ) известно, и каждый ищет общее решение $A {\ displaystyle A}$ $A$ to $D = D 0 + ε D 1 {\ displaystyle D = D_ {0} + \ varepsilon D_ {1}}$ ${\ displaystyle D = D_ {0} + \ varepsilon D_ {1}}$ .

One выполняется путем "поворота рукоятки" или "затыкания и пыхтения": введите приближение $A ≈ A 0 + ε A 1 {\ displaystyle A \ приблизительно A_ {0} + \ varepsilon A_ {1}}$ ${\ displaystyle A \ приблизительно A_ {0} + \ varepsilon A_ {1}}$ в $ε D 1 {\ displaystyle \ varepsilon D_ {1}}$ ${ \ displaystyle \ varepsilon D_ {1}}$ . Это приводит к уравнению для $A 1 {\ displaystyle A_ {1}}$ $A_{1}$ , которое в общем случае может быть записано в замкнутой форме как сумма по интегралам по $A 0 {\ displaystyle A_ {0}}$ $A_ {0}$ . Таким образом, получена коррекция первого порядка $A 1 {\ displaystyle A_ {1}}$ $A_{1}$ и, таким образом, $A ≈ A 0 + ε A 1 {\ displaystyle A \ приблизительно A_ { 0} + \ varepsilon A_ {1}}$ ${\ displaystyle A \ приблизительно A_ {0} + \ varepsilon A_ {1}}$ - хорошее приближение к $A {\ displaystyle A}$ $A$ . Это хорошее приближение именно потому, что проигнорированные части имели размер $ε 2 {\ displaystyle \ varepsilon ^ {2}}$ $\ varepsilon ^ {2}$ . Затем процесс можно повторить, чтобы получить исправления $A 2 {\ displaystyle A_ {2}}$ $A_ {2}$ и так далее.

На практике этот процесс быстро превращается в огромное количество терминов, которыми становится чрезвычайно трудно управлять вручную. Исаак Ньютон, как сообщается, сказал относительно проблемы с орбитой Луны, что «от этого у меня болит голова». Эта неуправляемость вынудила теорию возмущений развиться в высокое искусство управления и записи этих членов высшего порядка. Одним из фундаментальных достижений в управлении расширением являются диаграммы Фейнмана, которые позволяют схематически записывать ряды возмущений.

Примеры

Теория возмущений использовалась в большом количестве различных областей физики и прикладной математики. Примеры «набора уравнений» $D {\ displaystyle D}$ $D$ включают алгебраические уравнения, дифференциальные уравнения (например, уравнения движение и обычно волновые уравнения ), термодинамическая свободная энергия в статистической механике, перенос излучения и гамильтоновы операторы в квантовая механика.

Примеры видов решений, которые обнаруживаются пертурбативно, включают решение уравнения (например, траектория частицы), среднее статистическое некоторых физических величина (например, средняя намагниченность), энергия основного состояния квантово-механической задачи.

Примеры точно решаемых задач, которые можно использовать в качестве отправных точек, включают линейные уравнения, включая линейные уравнения движения (гармонический осциллятор, линейное волновое уравнение ), статистические или квантово-механические системы невзаимодействующих частиц (или в общем, гамильтонианы или свободные энергии, содержащие только члены, квадратичные по всем степеням свободы).

Примеры систем, которые могут быть решены с помощью возмущений, включают системы с нелинейным вкладом в уравнения движения, взаимодействия между частицами, члены более высоких степеней в гамильтониане / свободной энергии.

Для физических задач, связанных с взаимодействием между частицами, члены ряда возмущений могут отображаться (и изменяться) с помощью диаграмм Фейнмана.

История

Теория возмущений была впервые разработана для решения иначе трудноразрешимые проблемы в вычислении движения планет в солнечной системе. Например, закон всемирного тяготения Ньютона объясняет гравитацию между двумя астрономическими телами, но когда добавляется третье тело, проблема заключалась в следующем: «Как каждое тело тянет за каждое?» Уравнение Ньютона позволяло анализировать массу только двух тел. Постепенно возрастающая точность астрономических наблюдений привела к возрастающим требованиям к точности решений уравнений гравитации Ньютона, что привело к появлению нескольких выдающихся математиков 18 и 19 веков, таких как Лагранж и Лапласа, чтобы расширить и обобщить методы теории возмущений.

Эти хорошо разработанные методы возмущений были приняты и адаптированы для решения новых проблем, возникающих в ходе развития квантовой механики в атомной и субатомной физике 20 века. Поль Дирак разработал квантовую теорию возмущений в 1927 году, чтобы оценить, когда частица будет испускаться в радиоактивных элементах. Позже это было названо золотым правилом Ферми. Теория возмущений в квантовой механике довольно доступна, поскольку квантовая система обозначений позволяет записывать выражения в довольно компактной форме, что облегчает их понимание. Это привело к взрыву приложений, от эффекта Зеемана до сверхтонкого расщепления в атоме водорода.

. Несмотря на более простые обозначения, теория возмущений применялась к Квантовая теория поля все еще легко выходит из-под контроля. Ричард Фейнман разработал знаменитую диаграмму Фейнмана, заметив, что многие термины повторяются регулярно. Эти термины могут быть заменены точками, линиями, волнистыми линиями и подобными знаками, каждый из которых обозначает член, знаменатель, интеграл и т. Д.; таким образом, сложные интегралы могут быть записаны в виде простых диаграмм, без какой-либо двусмысленности в том, что они означают. Однозначное соответствие между диаграммами и конкретными интегралами - вот что придает им силу. Хотя первоначально она была разработана для квантовой теории поля, оказывается, что диаграммная техника широко применима ко всем пертурбативным рядам (хотя, возможно, не всегда так полезна).

Во второй половине 20 века, по мере развития теории хаоса, стало ясно, что невозмущенные системы, как правило, полностью интегрируемые системы, а возмущенные системы - не. Это быстро привело к изучению «почти интегрируемых систем», каноническим примером которых является КАМ-тор. В то же время было также обнаружено, что многие (довольно специальные) нелинейные системы, которые ранее были доступны только с помощью теории возмущений, фактически являются полностью интегрируемыми. Это открытие было весьма драматичным, поскольку позволило дать точные решения. Это, в свою очередь, помогло прояснить смысл пертурбативного ряда, поскольку теперь можно было сравнивать результаты ряда с точными решениями.

Улучшенное понимание динамических систем, пришедшее из теории хаоса, помогло пролить свет на то, что было названо проблемой малого знаменателя или проблемой малого делителя . В XIX веке было замечено (Пуанкаре и, возможно, ранее), что иногда члены 2-го и более высокого порядка в пертурбативном ряду имеют «малые знаменатели». То есть они имеют общий вид $ψ n V ϕ m / (ω n - ω m) {\ displaystyle \ psi _ {n} V \ phi _ {m} / (\ omega _ {n} - \ omega _ {m})}$ ${\ displaystyle \ psi _ {n} V \ phi _ {m} / (\ omega _ {n} - \ omega _ {m})}$ где $ψ n {\ displaystyle \ psi _ {n}}$ $\ psi_n$ , $V {\ displaystyle V}$ $V$ и $ϕ m {\ displaystyle \ phi _ {m}}$ $\ phi _ {m}$ - некоторые сложные выражения, относящиеся к решаемой проблеме, и $ω n {\ displaystyle \ omega _ {n}}$ $\ omega _ {n}$ и $ω m {\ displaystyle \ omega _ {m}}$ $\ omega_m$ - действительные числа; очень часто это энергия из нормальных режимов. Проблема малого делителя возникает, когда разница $ω n - ω m {\ displaystyle \ omega _ {n} - \ omega _ {m}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {n} - \ omega _ {m}}$ мала, что приводит к увеличению пертурбативной коррекции, становится таким же или, возможно, большим, чем член нулевого порядка. Эта ситуация сигнализирует о крахе теории возмущений: она перестает работать на этом этапе и не может быть расширена или суммирована дальше. Формально пертурбативный ряд представляет собой асимптотический ряд : полезное приближение для нескольких членов, но в конечном итоге неточное. Прорыв в теории хаоса был объяснением того, почему это произошло: малые делители возникают всякий раз, когда теория возмущений применяется к хаотической системе. Один сигнализирует о присутствии другого.

Начало изучения движения планет

Поскольку планеты очень удалены друг от друга и их масса мала по сравнению с массой Солнца, гравитационные силы между планетами можно пренебречь, и движение планет в первом приближении считается происходящим по орбитам Кеплера, которые определяются уравнениями задачи двух тел, причем два тела - это планета и Солнце.

Поскольку астрономические данные стали известны с гораздо большей точностью, возникла необходимость рассмотреть, как движение одной планеты вокруг Солнца зависит от других планет. Отсюда возникла проблема трех тел ; Таким образом, при исследовании системы Луна – Земля – Солнце в качестве малого параметра было выбрано отношение масс Луны и Земли. Лагранж и Лаплас были первыми, кто выдвинул точку зрения о том, что константы, описывающие движение планеты вокруг Солнца, как бы "возмущаются" движением других планет. и изменяются как функция времени; отсюда и название «теория возмущений».

Теория возмущений была исследована классиками - Лапласом, Пуассоном, Гауссом - в результате из которых вычисления могли быть выполнены с очень высокой точностью. Открытие планеты Нептун в 1848 году Урбеном Леверье на основании отклонений в движении планеты Уран (он отправил координаты на Иоганн Готфрид Галле, который успешно наблюдал Нептун в свой телескоп), явился триумфом теории возмущений.

Порядки возмущений

Стандартное изложение теории возмущений дается в терминах порядка какие возмущения выполняются: теория возмущений первого порядка или теория возмущений второго порядка, и являются ли возмущенные состояния вырожденными, что требует сингулярного возмущения. В единственном случае следует проявлять особую осторожность, и теория становится немного более сложной.

В химии

Многие из ab initio методов квантовой химии напрямую используют теорию возмущений или являются тесно связанными методами. Неявная теория возмущений работает с полным гамильтонианом с самого начала и никогда не определяет оператор возмущения как таковой. Теория возмущений Меллера – Плессе использует в качестве возмущения разницу между гамильтонианом Хартри – Фока и точным нерелятивистским гамильтонианом. Энергия нулевого порядка - это сумма орбитальных энергий. Энергия первого порядка - это энергия Хартри – Фока, и электронная корреляция включается во втором порядке или выше. Вычисления до второго, третьего или четвертого порядка очень распространены, и код включен в большинство ab initio программ квантовой химии. Связанный, но более точный метод - это метод связанных кластеров.

См. Также

Ссылки

Внешние ссылки

Ван ден Эйнден, Эрик. «Введение в теорию регулярных возмущений» (PDF).

«Метод возмущений нескольких масштабов».

Альтернативный подход к квантовой теории возмущений Мартинес-Карранса, Дж.; Сото-Эгибар, Ф.; Моя-Сесса, Х. (2012). «Альтернативный анализ теории возмущений в квантовой механике». Европейский физический журнал D. 66 : 22. arXiv : 1110.0723. Bibcode : 2012EPJD... 66... 22M. doi : 10.1140 / epjd / e2011-20654-5. S2CID 117362666.