Возмущение собственных значений

В математике проблема возмущения собственных значений заключается в нахождении собственных векторов и собственных значений системы, которая возмущена из системы с известными собственными векторами и собственными значениями. Это полезно для изучения того, насколько чувствительны собственные векторы и собственные значения исходной системы к изменениям в системе. Этот тип анализа популяризировал лорд Рэлей в его исследовании гармонических колебаний струны, возмущенной небольшими неоднородностями.

Выводы в этой статье, по сути, самодостаточны и могут быть найдены во многих текстах по числовой линейной алгебре или числовому функциональному анализу.

• 1 Пример
• 2 Шага
• 3 Сводка
• 4 Результаты
• 5 Наличие собственных векторов
• 6 См. Также
• 7 Ссылки
• 8 Дополнительная литература
  • 8.1 Книги
  • 8.2 Журнальные статьи

Предположим, у нас есть решения обобщенной задачи на собственные значения,

$K\; 0\; x\; 0\; i\; =\; \lambda \; 0\; i\; M\; 0\; x\; 0\; i.\; (0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{K\}\; \_\; \{0\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; =\; \backslash \; lambda\; \_\; \{0i\}\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \_\; \{0\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}.\; \backslash \; qquad\; (0)\}$

где $K\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{K\}\; \_\; \{0\}\}$и $M\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \_\; \{\; 0\}\}$- матрицы. То есть нам известны собственные значения λ 0i и собственные векторы x0iдля i = 1,..., N. Также требуется, чтобы собственные значения были различными. Теперь предположим, что мы хотим немного изменить матрицы. То есть мы хотим найти собственные значения и собственные векторы

$K\; xi\; =\; \lambda \; i\; M\; xi\; (1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{K\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{i\}\; =\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; qquad\; (1)\}$

где

$K\; =\; K\; 0\; +\; \delta \; KM\; =\; M\; 0\; +\; \delta \; M\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathbf\; \{K\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{K\}\; \_\; \{0\}\; +\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{K\}\; \backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{M\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \_\; \{0\}\; +\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \backslash \; end\; \{выровнено\}\}\}$

с возмущениями $\delta \; K\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{K\}\}$и $\delta \; M\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\}$намного меньше, чем $K\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{K\}\}$и $M\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\}$соответственно. Затем мы ожидаем, что новые собственные значения и собственные векторы будут похожи на исходные, плюс небольшие возмущения:

$\lambda \; i\; =\; \lambda \; 0\; i\; +\; \delta \; \lambda \; ixi\; =\; x\; 0\; i\; +\; \delta \; xi\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; =\; \backslash \; lambda\; \_\; \{0i\}\; +\; \backslash \; delta\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; \backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{i\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; +\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{x\; \}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Мы предполагаем, что матрицы симметричны и положительно определены, и предполагаем, что мы масштабировали собственные векторы такие, что

$x\; 0\; j\; \top \; M\; 0\; x\; 0\; i\; =\; \delta \; ij\; (2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0j\}\; ^\; \{\backslash \; top\}\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \_\; \{0\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{ij\}\; \backslash \; qquad\; (2)\}$

где δ ij - дельта Кронекера. Теперь мы хотим решить уравнение

$K\; x\; i\; =\; \lambda \; i\; M\; x\; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{K\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{i\}\; =\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{i\}.\}$

Подставляя, получаем

$(К\; 0\; +\; \delta \; К)\; (Икс\; 0\; я\; +\; \delta \; xi)\; знак\; равно\; (\lambda \; 0\; я\; +\; \delta \; \lambda \; я)\; (M\; 0\; +\; \delta \; M)\; (x\; 0\; я\; +\; \delta \; xi),\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbf\; \{K\}\; \_\; \{0\}\; +\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{K\})\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; +\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{i\})\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; lambda\; \_\; \{0i\}\; +\; \backslash \; delta\; \backslash \; лямбда\; \_\; \{i\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{M\}\; \_\; \{0\}\; +\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; +\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{x\; \}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; right),\}$

который расширяется до

$K\; 0\; x\; 0\; i\; +\; \delta \; K\; x\; 0\; i\; +\; K\; 0\; \delta \; xi\; +\; \delta \; K\; \delta \; xi\; =\; =\; \lambda \; 0\; i\; M\; 0\; x\; 0\; i\; +\; \lambda \; 0\; i\; M\; 0\; \delta \; xi\; +\; \lambda \; 0\; i\; \delta \; M\; x\; 0\; i\; +\; \delta \; \lambda \; i\; M\; 0\; x\; 0\; i\; +\; \lambda \; 0\; i\; \delta \; M\; \delta \; xi\; +\; \delta \; \lambda \; i\; \delta \; M\; x\; 0\; i\; +\; \delta \; \lambda \; i\; M\; 0\; \delta \; xi\; +\; \delta \; \lambda \; i\; \delta \; M\; \delta \; xi.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathbf\; \{K\}\; \_\; \{0\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; +\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{K\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{K\; \}\; \_\; \{0\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{i\}\; +\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{K\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{i\}\; =\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \backslash \; lambda\; \_\; \{0i\}\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \_\; \{0\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; +\; \backslash \; lambda\; \_\; \{0i\}\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \_\; \{0\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{i\}\; +\; \backslash \; lambda\; \_\; \{0i\; \}\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; +\; \backslash \; delta\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \_\; \{0\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; +\; \backslash \; lambda\; \_\; \{0i\; \}\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{i\}\; +\; \backslash \; delta\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; +\; \backslash \; delta\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \_\; \{0\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{i\}\; +\; \backslash \; delta\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{i\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Отмена с (0) ($K\; 0\; x\; 0\; i\; =\; \lambda \; 0\; i\; M\; 0\; x\; 0\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{K\}\; \_\; \{0\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\; \}\; \_\; \{0i\}\; =\; \backslash \; lambda\; \_\; \{0i\}\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \_\; \{0\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\}$) оставляет

$\delta \; K\; x\; 0\; i\; +\; K\; 0\; \delta \; xi\; +\; \delta \; K\; \delta \; xi\; =\; \lambda \; 0\; i\; M\; 0\; \delta \; xi\; +\; \lambda \; 0\; i\; \delta \; M\; x\; 0\; i\; +\; \delta \; \lambda \; i\; M\; 0\; x\; 0\; i\; +\; \lambda \; 0\; i\; \delta \; M\; \delta \; xi\; +\; \delta \; \lambda \; i\; \delta \; M\; x\; 0\; i\; +\; \delta \; \lambda \; i\; M\; 0\; \delta \; xi\; +\; \delta \; \lambda \; i\; \delta \; M\; \delta \; xi.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{K\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{K\}\; \_\; \{0\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{i\}\; +\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{K\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{i\}\; =\; \backslash \; lambda\; \_\; \{0i\}\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \_\; \{0\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{i\}\; +\; \backslash \; lambda\; \_\; \{0i\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; +\; \backslash \; delta\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \_\; \{0\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; +\; \backslash \; lambda\; \_\; \{0i\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{i\}\; +\; \backslash \; delta\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; +\; \backslash \; delta\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\; \}\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \_\; \{0\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{i\}\; +\; \backslash \; delta\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{i\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Удаление членов высшего порядка упрощается до

$K\; 0\; \delta \; xi\; +\; \delta \; K\; x\; 0\; i\; =\; \lambda \; 0\; i\; M\; 0\; \delta \; xi\; +\; \lambda \; 0\; i\; \delta \; M\; x\; 0\; i\; +\; \delta \; \lambda \; i\; M\; 0\; x\; 0\; i.\; (3)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{K\}\; \_\; \{0\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{i\}\; +\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{K\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; =\; \backslash \; lambda\; \_\; \{0i\}\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \_\; \{0\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{i\}\; +\; \backslash \; lambda\; \_\; \{0i\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \backslash \; mathrm\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; +\; \backslash \; delta\; \backslash \; lambda\; \_\; \{\; i\}\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \_\; \{0\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}.\; \backslash \; qquad\; (3)\}$

Когда матрица симметрична, невозмущенные собственные векторы ортогональны, поэтому мы используем их в качестве основы для возмущенные собственные векторы. То есть мы хотим построить

$\delta \; xi\; =\; \sum \; j\; =\; 1\; N\; \epsilon \; ijx\; 0\; j\; (4)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{i\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{\; N\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ij\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0j\}\; \backslash \; qquad\; (4)\}$

где ε ij - небольшие константы, которые необходимо определить. Подстановка (4) в (3) и перестановка дает

$K 0 ∑ j = 1 N ε ijx 0 j + δ K x 0 i = λ 0 i M 0 ∑ j = 1 N ε ijx 0 j + λ 0 i δ M x 0 i + δ λ i M 0 x 0 i (5) ∑ j = 1 N ε ij K 0 x 0 j + δ K x 0 i = λ 0 i M 0 ∑ j = 1 N ε ijx 0 j + λ 0 i δ M x 0 i + δ λ i M 0 x 0 i Применяя K 0 к сумме ∑ j = 1 N ε ij λ 0 j M 0 x 0 j + δ K x 0 i = λ 0 i M 0 ∑ j = 1 N ε ijx 0 j + λ 0 i δ M x 0 i + δ λ i M 0 x 0 i Используя уравнение. (1) {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {K} _ {0} \ sum _ {j = 1} ^ {N} \ varepsilon _ {ij} \ mathbf {x} _ {0j} + \ дельта \ mathbf {K} \ mathbf {x} _ {0i} = \ lambda _ {0i} \ mathbf {M} _ {0} \ sum _ {j = 1} ^ {N} \ varepsilon _ {ij} \ mathbf {x} _ {0j} + \ lambda _ {0i} \ delta \ mathbf {M} \ mathbf {x} _ {0i} + \ delta \ lambda _ {i} \ mathbf {M} _ {0} \ mathbf {x} _ {0i} (5) \\\ sum _ {j = 1} ^ {N} \ varepsilon _ {ij} \ mathbf {K} _ {0} \ mathbf {x} _ {0j } + \ delta \ mathbf {K} \ mathbf {x} _ {0i} = \ lambda _ {0i} \ mathbf {M} _ {0} \ sum _ {j = 1} ^ {N} \ varepsilon _ {ij} \ mathbf {x} _ {0j} + \ lambda _ {0i} \ delta \ mathbf {M} \ mathbf {x} _ {0i} + \ delta \ lambda _ {i} \ mathbf {M} _ {0} \ mathbf {x} _ {0i} {\ text {Применение}} \ mathbf {K} _ {0} {\ text {к сумме}} \\\ sum _ {j = 1} ^ { N} \ varepsilon _ {ij} \ lambda _ {0j} \ mathbf {M} _ {0} \ mathbf {x} _ {0j} + \ delta \ mathbf {K} \ mathbf {x} _ {0i} = \ lambda _ {0i} \ mathbf {M} _ {0} \ sum _ {j = 1} ^ {N} \ varepsilon _ {ij} \ mathbf {x} _ {0j} + \ lambda _ {0i} \ delta \ mathbf {M} \ mathbf {x} _ {0i} + \ delta \ lambda _ {i} \ mathbf {M} _ {0} \ mathbf {x} _ {0i} {\ text {Использование Eq. }} (1) \ end {align}}}$

Поскольку собственные векторы являются M0-ортогональными, когда M0является положительно определенным, мы можем удалить суммирование, умножив слева на $x\; 0\; i\; \top \; \{\; \backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; ^\; \{\backslash \; top\}\}$:

$Икс\; 0\; я\; \top \; \epsilon \; II\; \lambda \; 0\; я\; М\; 0\; Икс\; 0\; я\; +\; Икс\; 0\; я\; \top \; \delta \; К\; Икс\; 0\; я\; =\; \lambda \; 0\; ix\; 0\; я\; \top \; M\; 0\; \epsilon \; iix\; 0\; i\; +\; \lambda \; 0\; ix\; 0\; i\; \top \; \delta \; M\; x\; 0\; i\; +\; \delta \; \lambda \; ix\; 0\; i\; \top \; M\; 0\; x\; 0\; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; ^\; \{\backslash \; top\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ii\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{0i\}\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \_\; \{0\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; ^\; \{\backslash \; top\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{K\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; =\; \backslash \; lambda\; \_\; \{0i\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; ^\; \{\backslash \; top\}\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \_\; \{0\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ii\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; +\; \backslash \; lambda\; \_\; \{0i\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; ^\; \{\backslash \; top\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{M\; \}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; +\; \backslash \; delta\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; ^\; \{\backslash \; top\}\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \_\; \{0\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\; \}.\}$

Снова используя уравнение (1):

$x\; 0\; i\; \top \; K\; 0\; \epsilon \; iix\; 0\; i\; +\; x\; 0\; i\; \top \; \delta \; K\; x\; 0\; i\; =\; \lambda \; 0\; ix\; 0\; i\; \top \; M\; 0\; \epsilon \; iix\; 0\; я\; +\; \lambda \; 0\; ix\; 0\; я\; \top \; \delta \; М\; х\; 0\; я\; +\; \delta \; \lambda \; ix\; 0\; я\; \top \; М\; 0\; х\; 0\; я.\; (6)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; ^\; \{\backslash \; top\}\; \backslash \; mathbf\; \{K\}\; \_\; \{0\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ii\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; ^\; \{\backslash \; top\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{K\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; =\; \backslash \; lambda\; \_\; \{0i\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; ^\; \{\backslash \; top\}\; \backslash \; mathbf\; \{M\; \}\; \_\; \{0\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ii\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; +\; \backslash \; lambda\; \_\; \{0i\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; ^\; \{\backslash \; top\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; +\; \backslash \; delta\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; ^\; \{\backslash \; top\}\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \_\; \{0\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}.\; \backslash \; qquad\; (6)\}$

Два члена, содержащие ε ii, равны, потому что умножение слева (1) на $x\; 0\; i\; \top \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; ^\; \{\backslash \; top\}\}$дает

$x\; 0\; i\; \top \; K\; 0\; x\; 0\; i\; =\; \lambda \; 0\; ix\; 0\; i\; \top \; M\; 0\; x\; 0\; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; ^\; \{\backslash \; top\}\; \backslash \; mathbf\; \{K\}\; \_\; \{0\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; =\; \backslash \; lambda\; \_\; \{0i\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\; \}\; ^\; \{\backslash \; top\}\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \_\; \{0\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}.\}$

Отмена этих членов в (6) оставляет

$x\; 0\; i\; \top \; \delta \; K\; x\; 0\; i\; =\; \lambda \; 0\; ix\; 0\; i\; \top \; \delta \; M\; x\; 0\; i\; +\; \delta \; \lambda \; ix\; 0\; i\; \top \; M\; 0\; x\; 0\; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; ^\; \{\backslash \; top\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{K\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; =\; \backslash \; lambda\; \_\; \{0i\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; ^\; \{\backslash \; top\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; +\; \backslash \; delta\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; ^\; \{\backslash \; top\}\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \_\; \{\; 0\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}.\}$

Перегруппировка дает

$\delta \; \lambda \; i\; =\; x\; 0\; i\; \top \; (\delta \; K\; -\; \lambda \; 0\; i\; \delta \; M)\; x\; 0\; ix\; 0\; i\; \top \; M\; 0\; x\; 0\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; ^\; \{\backslash \; top\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{K\}\; -\; \backslash \; lambda\; \_\; \{0i\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\}\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; ^\; \{\backslash \; top\}\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \_\; \{0\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; \}\}\}$

Но согласно (2) этот знаменатель равен 1. Таким образом,

$\delta \; \lambda \; i\; =\; x\; 0\; i\; \top \; (\delta \; K\; -\; \lambda \; 0\; i\; \delta \; M)\; x\; 0\; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; ^\; \{\backslash \; top\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{K\}\; -\; \backslash \; lambda\; \_\; \{0i\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}.\}$

Затем, умножив уравнение (5) слева на $x\; 0\; k\; \top \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0k\}\; ^\; \{\backslash \; top\}\}$:

$\epsilon \; ik\; =\; x\; 0\; k\; \top \; (\delta \; K\; -\; \lambda \; 0\; i\; \delta \; M)\; x\; 0\; i\; \lambda \; 0\; i\; -\; \lambda \; 0\; k,\; i\; \ne \; k.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ik\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0k\}\; ^\; \{\backslash \; top\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{K\}\; -\; \backslash \; lambda\; \_\; \{0i\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{\; M\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\}\; \{\backslash \; lambda\; \_\; \{0i\}\; -\; \backslash \; lambda\; \_\; \{0k\}\}\},\; \backslash \; qquad\; i\; \backslash \; neq\; k.\}$

Или изменив имя индексы:

$\epsilon \; ij\; =\; x\; 0\; j\; \top \; (\delta \; K\; -\; \lambda \; 0\; i\; \delta \; M)\; x\; 0\; i\; \lambda \; 0\; i\; -\; \lambda \; 0\; j,\; i\; \ne \; j.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ij\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0j\}\; ^\; \{\backslash \; top\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{K\}\; -\; \backslash \; lambda\; \_\; \{0i\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{\; M\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\}\; \{\backslash \; lambda\; \_\; \{0i\}\; -\; \backslash \; lambda\; \_\; \{0j\}\}\},\; \backslash \; qquad\; i\; \backslash \; neq\; j.\}$

Чтобы найти ε ii, используйте тот факт, что:

$xi\; \top \; M\; xi\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash \; top\}\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{i\}\; =\; 1\}$

подразумевает:

$\epsilon \; ii\; =\; -\; 1\; 2\; x\; 0\; i\; \top \; \delta \; M\; x\; 0\; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ii\}\; =\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; ^\; \{\backslash \; top\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\; \}.\}$

$\lambda \; i\; =\; \lambda \; 0\; i\; +\; x\; 0\; i\; \top \; (\delta \; K\; -\; \lambda \; 0\; i\; \delta \; M)\; x\; 0\; ixi\; =\; x\; 0\; i\; (1\; -\; 1\; 2\; x\; 0\; i\; \top \; \delta \; M\; x\; 0\; я)\; +\; \sum \; J\; знак\; равно\; 1\; J\; \ne \; я\; N\; Икс\; 0\; J\; \top \; (\delta \; К\; -\; \lambda \; 0\; я\; \delta \; M)\; Икс\; 0\; я\; \lambda \; 0\; я\; -\; \lambda \; 0\; jx\; 0\; J\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; =\; \backslash \; lambda\; \_\; \{0i\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; ^\; \{\backslash \; top\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{K\}\; -\; \backslash \; lambda\; \_\; \{0i\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; \backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{i\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; ^\; \{\backslash \; top\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\; \backslash \; atop\; j\; \backslash \; neq\; i\}\; ^\; \{N\; \}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0j\}\; ^\; \{\backslash \; top\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{K\}\; -\; \backslash \; lambda\; \_\; \{0i\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; mathbf\; \{x\; \}\; \_\; \{0i\}\}\; \{\backslash \; lambda\; \_\; \{0i\}\; -\; \backslash \; lambda\; \_\; \{0j\}\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0j\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

для бесконечно малого $\delta \; K\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{K\}\}$и $\delta \; M\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\}$(члены высшего порядка в (3) пренебрежимо малы)

Это означает, что можно эффективно выполнять анализ чувствительности на λ i как функцию изменений в записях матриц. (Напомним, что матрицы симметричны, поэтому изменение Kkℓтакже изменит Kℓk, следовательно, член (2 - δ kℓ).)

$∂ λ i ∂ K (k ℓ) = ∂ ∂ К (k ℓ) (λ 0 i + x 0 i ⊤ (δ K - λ 0 i δ M) x 0 i) = x 0 i (k) x 0 i (ℓ) (2 - δ k ℓ) ∂ λ i ∂ M (k ℓ) = ∂ ∂ M (k ℓ) (λ 0 i + x 0 i ⊤ (δ K - λ 0 i δ M) x 0 i) = λ ix 0 i (k) x 0 я (ℓ) (2 - δ к ℓ). {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial \ lambda _ {i}} {\ partial \ mathbf {K} _ {(k \ ell)}}} = {\ frac {\ partial} { \ partial \ mathbf {K} _ {(k \ ell)}}} \ left (\ lambda _ {0i} + \ mathbf {x} _ {0i} ^ {\ top} \ left (\ delta \ mathbf {K } - \ lambda _ {0i} \ delta \ mathbf {M} \ right) \ mathbf {x} _ {0i} \ right) = x_ {0i (k)} x_ {0i (\ ell)} \ left (2 - \ delta _ {k \ ell} \ right) \\ {\ frac {\ partial \ lambda _ {i}} {\ partial \ mathbf {M} _ {(k \ ell)}}} = {\ frac {\ partial} {\ partial \ mathbf {M} _ {(k \ ell)}}} \ left (\ lambda _ {0i} + \ mathbf {x} _ {0i} ^ {\ top} \ left (\ delta \ mathbf {K} - \ lambda _ {0i} \ delta \ mathbf {M} \ right) \ mathbf {x} _ {0i} \ right) = \ lambda _ {i} x_ {0i (k)} x_ {0i (\ ell)} \ left (2- \ delta _ {k \ ell} \ right). \ End {align}}}$

Аналогично

$\partial \; xi\; \partial \; K\; (k\; \ell )\; =\; \sum \; j\; =\; 1\; j\; \ne \; i\; N\; x\; 0\; j\; (k)\; x\; 0\; i\; (\ell )\; (2\; -\; \delta \; k\; \ell )\; \lambda \; 0\; i\; -\; \lambda \; 0\; jx\; 0\; j\; \partial \; xi\; \partial \; M\; (k\; \ell )\; =\; -\; x\; 0\; ix\; 0\; i\; (k)\; x\; 0\; i\; (\ell )\; 2\; (2\; -\; \delta \; k\; \ell )\; -\; \sum \; j\; =\; 1\; j\; \ne \; i\; N\; \lambda \; 0\; ix\; 0\; j\; (k)\; x\; 0\; i\; (\ell )\; \lambda \; 0\; i\; -\; \lambda \; 0\; jx\; 0\; j\; (2\; -\; \delta \; k\; \ell ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{K\}\; \_\; \{(k\; \backslash \; ell)\}\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\; \backslash \; atop\; j\; \backslash \; neq\; i\}\; ^\; \{N\}\; \{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{0j\; (k)\}\; x\_\; \{0i\; (\backslash \; ell)\}\; \backslash \; left\; (2-\; \backslash \; delta\; \_\; \{k\; \backslash \; ell\}\; \backslash \; right)\}\; \{\; \backslash \; lambda\; \_\; \{0i\}\; -\; \backslash \; lambda\; \_\; \{0j\}\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0j\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \_\; \{(k\; \backslash \; ell)\}\}\}\; =\; -\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0i\}\; \{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{0i\; (k)\}\; x\_\; \{0i\; (\backslash \; ell)\}\}\; \{2\}\}\; (2-\; \backslash \; delta\; \_\; \{k\; \backslash \; ell\})\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\; \backslash \; atop\; j\; \backslash \; neq\; i\}\; ^\; \{N\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; lambda\; \_\; \{0i\}\; x\_\; \{0j\; (k)\}\; x\_\; \{0i\; (\backslash \; ell)\}\}\; \{\backslash \; lambda\; \_\; \{0i\}\; -\; \backslash \; lambda\; \_\; \{0j\}\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{0j\}\; \backslash \; left\; (2-\; \backslash \; delta\; \_\; \{k\; \backslash \; ell\}\; \backslash \; right).\; \backslash \; end\; \{выровнено\}\; \}\}$

Обратите внимание, что в приведенном выше примере мы предположили, что как невозмущенная, так и возмущенная системы включают симметричные матрицы, что гарантирует существование $N\; \{\; \backslash \; displaystyle\; N\}$линейно независимые собственные векторы. Проблема собственных значений, включающая несимметричные матрицы, не обязательно имеет $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$линейно независимых собственных векторов, хотя достаточным условием является то, что $K\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{K\}\; \}$и $M\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\}$быть одновременно диагонализуемыми.

• Теория возмущений (квантовая механика)
• Теорема Бауэра – Фике

1. ^Rayleigh, JWS (1894). Теория звука. I (2-е изд.). Лондон: Макмиллан. С. 115–118. ISBN 1-152-06023-6.
2. ^Trefethen, Lloyd N. (1997). Числовая линейная алгебра. SIAM (Филадельфия, Пенсильвания). п. 258. ISBN 0-89871-361-7.

Книги

• Ren-Cang Li (2014). "Матричная теория возмущений". В Hogben, Leslie (ed.). Справочник по линейной алгебре (Второе изд.). ISBN 1466507284.
• Реллих, Ф., и Берковиц, Дж. (1969). Теория возмущений задач на собственные значения. CRC Press.
• Bhatia, R. (1987). Границы возмущения собственных значений матрицы. SIAM.

Журнальные статьи

• Саймон Б. (1982). Большие порядки и суммируемость теории возмущений собственных значений: математический обзор. International Journal of Quantum Chemistry, 21 (1), 3-25.
• Крэндалл, М.Г., и Рабиновиц, П.Х. (1973). Бифуркация, возмущение простых собственных значений и линеаризованная устойчивость. Архив для рациональной механики и анализа, 52 (2), 161-180.
• Стюарт, Г. У. (1973). Границы ошибок и возмущений для подпространств, связанных с некоторыми проблемами собственных значений. Обзор SIAM, 15 (4), 727-764.
• Löwdin, P.O. (1962). Исследования по теории возмущений. IV. Решение проблемы собственных значений с помощью формализма проекционного оператора. Журнал математической физики, 3 (5), 969-982.