Теорема Бауэра – Фике

В математике теорема Бауэра – Фике является стандартным результатом в теория возмущений для собственного значения комплексной диагонализуемой матрицы. По сути, он устанавливает абсолютную верхнюю границу отклонения одного возмущенного собственного значения матрицы от правильно выбранного собственного значения точной матрицы. Неформально говоря, здесь говорится, что чувствительность собственных значений оценивается числом обусловленности матрицы собственных векторов.

Теорема была доказана Фридрихом Л. Бауэром и CT Fike в 1960 году.

• 1 Установка
• 2 Теорема Бауэра – Фике
• 3 Альтернативная формулировка
• 4 Относительная граница
• 5 Случай нормальных матриц
• 6 Ссылки

Далее мы предполагаем, что:

• A ∈ C - это диагонализуемая матрица ;
• V ∈ C - невырожденная матрица собственных векторов такая, что A = VΛV, где Λ - диагональная матрица.
• Если X ∈ C обратимо, его номер условия в p-norm обозначается κ p (X) и определяется по формуле:

$\kappa \; p\; (X)\; =\; \Vert \; X\; \Vert \; p\; \Vert \; X\; -\; 1\; \Vert \; p.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; \_\; \{p\}\; (X)\; =\; \backslash \; |\; X\; \backslash \; |\; \_\; \{p\}\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; X\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{p\}.\}$

Теорема Бауэра – Фике. Пусть μ - собственное значение оператора A + δA. Тогда существует λ ∈ Λ (A) такое, что:

$|\; \lambda \; -\; \mu \; |\; \le \; \kappa \; п\; (V)\; \Vert \; \delta \; A\; \Vert \; p\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; lambda\; -\; \backslash \; mu\; |\; \backslash \; leq\; \backslash \; kappa\; \_\; \{p\}\; (V)\; \backslash \; |\; \backslash \; delta\; A\; \backslash \; |\; \_\; \{p\}\}$

Доказательство. Можно предположить, что μ ∉ Λ (A), в противном случае возьмем λ = μ, и результат тривиально верен, поскольку κ p (V) ≥ 1. Поскольку μ является собственным значением A + δA, имеем det (A + δA - μI) = 0, поэтому

$0\; =\; det\; (A\; +\; \delta \; A\; -\; \mu \; I)\; =\; det\; (V\; -\; 1)\; det\; (A\; +\; \delta \; A\; -\; \mu \; I)\; det\; (V)\; =\; det\; (V\; -\; 1\; (A\; +\; \delta \; A\; -\; \mu \; I)\; V)\; =\; det\; (V\; -\; 1\; AV\; +\; V\; -\; 1\; \delta \; AV\; -\; V\; -\; 1\; \mu \; IV)\; =\; det\; (\Lambda \; +\; V\; -\; 1\; \delta \; AV\; -\; \mu \; I)\; =\; det\; (\Lambda \; -\; \mu \; I)\; det\; ((\Lambda \; -\; \mu \; I)\; -\; 1\; V\; -\; 1\; \delta \; AV\; +\; I)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; 0\; =\; \backslash \; det\; (A\; +\; \backslash \; delta\; A-\; \backslash \; mu\; I)\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; det\; (V\; ^\; \{-\; 1\})\; \backslash \; det\; (A\; +\; \backslash \; delta\; A-\; \backslash \; mu\; I)\; \backslash \; det\; (V)\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; det\; \backslash \; left\; (V\; ^\; \{-\; 1\}\; (A\; +\; \backslash \; delta\; A-\; \backslash \; mu\; I)\; V\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; det\; \backslash \; left\; (V\; ^\; \{-\; 1\}\; AV\; +\; V\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; delta\; AV-V\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; mu\; IV\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; det\; \backslash \; left\; (\backslash \; Lambda\; +\; V\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; delta\; AV-\; \backslash \; mu\; I\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; det\; (\backslash \; Lambda\; -\; \backslash \; mu\; I)\; \backslash \; det\; \backslash \; left\; ((\backslash \; Lambda\; -\; \backslash \; mu\; I)\; ^\; \{-\; 1\}\; V\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; delta\; AV\; +\; I\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Однако наше предположение, μ ∉ Λ (A), означает, что: det (Λ - μI) ≠ 0, поэтому мы можем записать:

$det\; ((\; \Lambda \; -\; \mu \; I)\; -\; 1\; В\; -\; 1\; \delta \; AV\; +\; I)\; знак\; равно\; 0.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; det\; \backslash \; left\; ((\backslash \; Lambda\; -\; \backslash \; mu\; I)\; ^\; \{-\; 1\}\; V\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; delta\; AV\; +\; I\; \backslash \; right)\; =\; 0.\}$

Это показывает, что −1 является собственным значением

$(\Lambda \; -\; \mu \; I)\; -\; 1\; V\; -\; 1\; \delta \; AV.\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; Lambda\; -\; \backslash \; mu\; I)\; ^\; \{-\; 1\}\; V\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; delta\; AV.\}$

Поскольку все p-нормы являются согласованными матричными нормами, мы имеем | λ | ≤ || A || p, где λ - собственное значение A. В данном случае это дает нам:

$1\; =\; |\; -\; 1\; |\; \le \; \Vert \; (\Lambda \; -\; \mu \; I)\; -\; 1\; V\; -\; 1\; \delta \; AV\; \Vert \; p\; \le \; \Vert \; (\Lambda \; -\; \mu \; I)\; -\; 1\; \Vert \; p\; \Vert \; V\; -\; 1\; \Vert \; p\; \Vert \; V\; \Vert \; p\; \Vert \; \delta \; A\; \Vert \; p\; =\; \Vert \; (\Lambda \; -\; \mu \; I)\; -\; 1\; \Vert \; п\; \kappa \; п\; (V)\; \Vert \; \delta \; A\; \Vert \; p\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; =\; |\; -1\; |\; \backslash \; leq\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; (\backslash \; Lambda\; -\; \backslash \; mu\; I)\; ^\; \{-\; 1\}\; V\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; delta\; AV\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{p\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; (\backslash \; Lambda\; -\; \backslash \; mu\; I)\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{p\}\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; V\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{p\}\; \backslash \; |\; V\; \backslash \; |\; \_\; \{p\}\; \backslash \; |\; \backslash \; delta\; A\; \backslash \; |\; \_\; \{p\}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; (\backslash \; Lambda\; -\; \backslash \; mu\; I)\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{\; p\}\; \backslash \; \backslash \; kappa\; \_\; \{p\}\; (V)\; \backslash \; |\; \backslash \; delta\; A\; \backslash \; |\; \_\; \{p\}\}$

Но (Λ - μI) - диагональная матрица, p-норма которой легко вычисляется:

$\Vert \; (\Lambda \; -\; \mu \; I)\; -\; 1\; \Vert \; p\; =\; max\; \Vert \; x\; \Vert \; p\; \ne \; 0\; \Vert \; (\Lambda \; -\; \mu \; I)\; -\; 1\; x\; \Vert \; p\; \Vert \; x\; \Vert \; p\; =\; max\; \lambda \; \in \; \Lambda \; (A)\; 1\; |\; \lambda \; -\; \mu \; |\; =\; 1\; min\; \lambda \; \in \; \Lambda \; (A)\; |\; \lambda \; -\; \mu \; |\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; \backslash \; left\; (\backslash \; Lambda\; -\; \backslash \; mu\; I\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{p\}\; \backslash \; =\; \backslash \; max\; \_\; \{\backslash \; |\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{x\}\}\; \backslash \; |\; \_\; \{p\}\; \backslash \; neq\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; \backslash \; |\; \backslash \; left\; (\backslash \; Lambda\; -\; \backslash \; mu\; I\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; 1\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{x\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{p\}\}\; \{\backslash \; |\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{x\}\}\; \backslash \; |\; \_\; \{p\}\}\}\; =\; \backslash \; max\; \_\; \{\backslash \; lambda\; \backslash \; in\; \backslash \; Lambda\; (A)\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{|\; \backslash \; lambda\; -\; \backslash \; mu\; |\}\}\; \backslash \; =\; \{\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; min\; \_\; \{\backslash \; lambda\; \backslash \; in\; \backslash \; Lambda\; (A)\}\; |\; \backslash \; lambda\; -\; \backslash \; mu\; |\}\}\}$

откуда:

$min\; \lambda \; \in \; \Lambda \; (A)\; |\; \lambda \; -\; \mu \; |\; \le \; \kappa \; p\; (V)\; \Vert \; \delta \; A\; \Vert \; p.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; min\; \_\; \{\backslash \; lambda\; \backslash \; in\; \backslash \; Lambda\; (A)\}\; |\; \backslash \; lambda\; -\; \backslash \; mu\; |\; \backslash \; leq\; \backslash \; \backslash \; kappa\; \_\; \{p\}\; (V)\; \backslash \; |\; \backslash \; delta\; A\; \backslash \; |\; \_\; \{p\}.\}$

Теорема также может быть переформулирована, чтобы лучше подходить для численных методов. Фактически, имея дело с реальными проблемами собственной системы, можно часто иметь точную матрицу A, но знать только приблизительную пару собственное значение-собственный вектор (λ, v ) и необходимо ограничить ошибку. Следующая версия поможет вам.

Теорема Бауэра – Фике (альтернативная формулировка). Пусть (λ, v ) будет приближенной парой собственное значение-собственный вектор, и r = A v - λ v . Тогда существует λ ∈ Λ (A) такое, что:

$|\; \lambda \; -\; \lambda \; a\; |\; \le \; \kappa \; п\; (В)\; \Vert \; р\; \Vert \; п\; \Vert \; ва\; \Vert \; п\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; lambda\; -\; \backslash \; lambda\; ^\; \{a\}\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; leq\; \backslash \; kappa\; \_\; \{p\}\; (V)\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; |\; \{\; \backslash \; boldsymbol\; \{r\}\}\; \backslash \; |\; \_\; \{p\}\}\; \{\backslash \; left\; \backslash \; |\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{v\}\}\; ^\; \{a\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{p\}\}\}\}$

Доказательство. Мы можем предположим, что λ ∉ Λ (A), в противном случае возьмем λ = λ, и результат тривиально верен, поскольку κ p (V) ≥ 1. Значит (A - λI) существует, поэтому мы можем написать:

$va\; знак\; равно\; (A\; -\; \lambda \; a\; I)\; -\; 1\; r\; =\; V\; (D\; -\; \lambda \; a\; I)\; -\; 1\; V\; -\; 1\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{v\}\}\; ^\; \{a\}\; =\; \backslash \; left\; (A-\; \backslash \; lambda\; ^\; \{a\}\; I\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; 1\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{r\}\}\; =\; V\; \backslash \; left\; (D-\; \backslash \; lambda\; ^\; \{a\}\; I\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; 1\}\; V\; ^\; \{-\; 1\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{r\}\}\}$

поскольку A диагонализуема; взяв p-норму обеих частей, получаем:

$\Vert \; va\; \Vert \; p\; =\; \Vert \; V\; (D\; -\; \lambda \; a\; I)\; -\; 1\; V\; -\; 1\; r\; \Vert \; p\; \le \; \Vert \; V\; \Vert \; p\; \Vert \; (D\; -\; \lambda \; a\; I)\; -\; 1\; \Vert \; p\; \Vert \; V\; -\; 1\; \Vert \; p\; \Vert \; r\; \Vert \; p\; =\; \kappa \; p\; (V)\; \Vert \; (D\; -\; \lambda \; a\; I)\; -\; 1\; \Vert \; p\; \Vert \; r\; \Vert \; p.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{v\}\}\; ^\; \{a\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{p\}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; V\; \backslash \; left\; (D-\; \backslash \; lambda\; ^\; \{a\}\; I\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; 1\}\; V\; ^\; \{-\; 1\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{r\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{p\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; |\; V\; \backslash \; |\; \_\; \{p\}\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; \backslash \; left\; (D-\; \backslash \; lambda\; ^\; \{a\}\; I\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{p\}\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; V\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{p\}\; \backslash \; |\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{r\}\}\; \backslash \; |\; \_\; \{p\}\; =\; \backslash \; kappa\; \_\; \{p\}\; (V)\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; \backslash \; left\; (D-\; \backslash \; lambda\; ^\; \{a\}\; I\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{p\}\; \backslash \; |\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{r\}\}\; \backslash \; |\; \_\; \{p\}.\}$

Однако

$(D\; -\; \lambda \; a\; I)\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (D-\; \backslash \; lambda\; ^\; \{a\}\; I\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; 1\}\}$

- диагональная матрица, и ее p-норма легко вычисляется:

$\Vert \; (D\; -\; \lambda \; a\; I)\; -\; 1\; \Vert \; p\; =\; max\; \Vert \; x\; \Vert \; p\; \ne \; 0\; \Vert \; (D\; -\; \lambda \; a\; I)\; -\; 1\; x\; \Vert \; p\; \Vert \; X\; \Vert \; p\; =\; max\; \lambda \; \in \; \sigma \; (A)\; 1\; |\; \lambda \; -\; \lambda \; a\; |\; =\; 1\; min\; \lambda \; \in \; \sigma \; (A)\; |\; \lambda \; -\; \lambda \; a\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; \backslash \; left\; (D-\; \backslash \; lambda\; ^\; \{a\}\; I\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{p\}\; =\; \backslash \; max\; \_\; \{\backslash \; |\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{x\}\}\; \backslash \; |\; \_\; \{p\}\; \backslash \; neq\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; \backslash \; |\; \backslash \; left\; (D-\; \backslash \; lambda\; ^\; \{a\}\; I\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; 1\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{x\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{\; p\}\}\; \{\backslash \; |\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{x\}\}\; \backslash \; |\; \_\; \{p\}\}\}\; =\; \backslash \; max\; \_\; \{\backslash \; lambda\; \backslash \; in\; \backslash \; sigma\; (A)\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; left\; |\; \backslash \; lambda\; -\; \backslash \; lambda\; ^\; \{a\}\; \backslash \; right\; |\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; min\; \_\; \{\backslash \; lambda\; \backslash \; in\; \backslash \; sigma\; (A)\}\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; lambda\; -\; \backslash \; lambda\; ^\; \{a\}\; \backslash \; right\; |\}\}\}$

откуда:

$min\; \lambda \; \in \; \lambda \; (A)\; |\; \lambda \; -\; \lambda \; a\; |\; \le \; \kappa \; p\; (V)\; \Vert \; r\; \Vert \; p\; \Vert \; v\; a\; \Vert \; p.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; min\; \_\; \{\backslash \; lambda\; \backslash \; in\; \backslash \; lambda\; (A)\}\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; lambda\; -\; \backslash \; lambda\; ^\; \{a\}\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; leq\; \backslash \; kappa\; \_\; \{p\}\; (V)\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; |\; \{\; \backslash \; boldsymbol\; \{r\}\}\; \backslash \; |\; \_\; \{p\}\}\; \{\backslash \; left\; \backslash \; |\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{v\}\}\; ^\; \{a\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{p\}\}\}.\}$

Обе формулировки теоремы Бауэра – Фике дают абсолютную оценку. Следующее следствие полезно всякий раз, когда требуется относительная оценка:

Следствие. Предположим, что A обратима и что μ является собственным значением A + δA. Тогда существует λ ∈ Λ (A) такое, что:

$|\; \lambda \; -\; \mu \; |\; |\; \lambda \; |\; \le \; \kappa \; п\; (V)\; \Vert \; A\; -\; 1\; \delta \; A\; \Vert \; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{|\; \backslash \; lambda\; -\; \backslash \; mu\; |\}\; \{|\; \backslash \; lambda\; |\}\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; kappa\; \_\; \{p\}\; (V)\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; A\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; delta\; A\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{p\}\}$

Примечание. || AδA || формально можно рассматривать как относительную вариацию A, так же как | λ - μ | / | λ | - относительное изменение λ.

Доказательство. Так как μ является собственным значением оператора A + δA и det (A) ≠ 0, умножая его на −A слева, получаем:

$-\; A\; -\; 1\; (A\; +\; \delta \; A)\; v\; =\; -\; \mu \; A\; -\; 1\; v.\; \{\backslash \; displaystyle\; -A\; ^\; \{-\; 1\}\; (A\; +\; \backslash \; delta\; A)\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{v\}\}\; =\; -\; \backslash \; mu\; A\; ^\; \{-\; 1\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{v\}\}.\}$

Если мы установим:

$A\; a\; =\; \mu \; A\; -\; 1,\; (\delta \; A)\; a\; =\; -\; A\; -\; 1\; \delta \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; ^\; \{a\}\; =\; \backslash \; mu\; A\; ^\; \{-\; 1\},\; \backslash \; qquad\; (\backslash \; delta\; A)\; ^\; \{a\; \}\; =\; -\; A\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; delta\; A\}$

тогда имеем:

$(A\; a\; +\; (\delta \; A)\; a\; -\; I)\; v\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (A\; ^\; \{a\}\; +\; (\backslash \; delta\; A)\; ^\; \{a\}\; -I\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{v\}\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{0\}\}\}$

, что означает, что 1 является собственным значением A + (δA), с v как собственный вектор. Теперь собственные значения A равны μ / λ i, тогда как у него такое же, как у A. Применение теоремы Бауэра – Фике к A + (δA) с собственным значением 1 дает нам:

$min\; \lambda \; \in \; \Lambda \; (A)\; |\; \mu \; \lambda \; -\; 1\; |\; =\; min\; \lambda \; \in \; \Lambda \; (A)\; |\; \lambda \; -\; \mu \; |\; |\; \lambda \; |\; \le \; \kappa \; п\; (В)\; \Vert \; A\; -\; 1\; \delta \; A\; \Vert \; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; min\; \_\; \{\backslash \; lambda\; \backslash \; in\; \backslash \; Lambda\; (A)\}\; \backslash \; left\; |\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\}\; \{\backslash \; lambda\}\}\; -\; 1\; \backslash \; right\; |\; =\; \backslash \; min\; \_\; \{\backslash \; lambda\; \backslash \; in\; \backslash \; Lambda\; (A)\}\; \{\backslash \; frac\; \{|\; \backslash \; lambda\; -\; \backslash \; mu\; |\}\; \{|\; \backslash \; lambda\; |\}\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; kappa\; \_\; \{p\}\; (V)\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; A\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; delta\; A\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{p\}\}$

Если A нормальный, V является унитарным матрица, поэтому:

$\Vert \; V\; \Vert \; 2\; =\; \Vert \; V\; -\; 1\; \Vert \; 2\; =\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; V\; \backslash \; |\; \_\; \{2\}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; V\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{2\}\; =\; 1,\}$

, так что κ 2 (V) = 1. Тогда теорема Бауэра – Фике принимает вид:

$\exists \; \lambda \; \in \; \Lambda \; (A):\; |\; \lambda \; -\; \mu \; |\; \le \; \Vert \; \delta \; A\; \Vert \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; exists\; \backslash \; lambda\; \backslash \; in\; \backslash \; Lambda\; (A):\; \backslash \; quad\; |\; \backslash \; lambda\; -\; \backslash \; mu\; |\; \backslash \; leq\; \backslash \; |\; \backslash \; delta\; A\; \backslash \; |\; \_\; \{2\}\}$

Или альтернативно формулировка:

$\exists \; \lambda \; \in \; \Lambda \; (A):\; |\; \lambda \; -\; \lambda \; a\; |\; \le \; \Vert \; р\; \Vert \; 2\; \Vert \; ва\; \Vert \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; exists\; \backslash \; lambda\; \backslash \; in\; \backslash \; Lambda\; (A):\; \backslash \; quad\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; lambda\; -\; \backslash \; lambda\; ^\; \{a\}\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; |\; \{\; \backslash \; boldsymbol\; \{r\}\}\; \backslash \; |\; \_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; left\; \backslash \; |\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{v\}\}\; ^\; \{a\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{2\}\}\}\}$

что, очевидно, остается верным, если A a Эрмитова матрица. В этом случае, однако, имеет место гораздо более сильный результат, известный как теорема Вейля о собственных значениях. В эрмитовом случае можно также переформулировать теорему Бауэра – Фике в виде, что отображение A ↦ Λ (A), которое отображает матрицу в ее спектр, является нерасширяющей функцией относительно расстояния Хаусдорфа на множестве компактных подмножеств C.

• Bauer, FL; Фике, К. Т. (1960). «Нормы и теоремы исключения». Нумер. Математика. 2 (1): 137–141. doi : 10.1007 / BF01386217.
• Eisenstat, S.C.; Ипсен, И. К. Ф. (1998). «Три абсолютных границы возмущения для собственных значений матрицы подразумевают относительные границы». Журнал SIAM по матричному анализу и приложениям. 20 (1): 149–158. CiteSeerX 10.1.1.45.3999. doi :10.1137/S0895479897323282.