Золотое правило Ферми

редактировать

В квантовой физике, золотое правило Ферми представляет собой формулу, которая описывает скорость перехода (вероятность перехода в единицу времени) от одной энергии собственного состояния квантовой системы к группе энергии собственных состояний в континууме, в результате слабого возмущения. Эта скорость перехода фактически не зависит от времени (до тех пор пока сила возмущения не зависит от времени) и пропорциональна прочности связи между начальным и конечным состояниями системы (описывается квадрат матричного элемента из возмущение), а также плотность состояний. Это также применимо, когда конечное состояние является дискретным, то есть оно не является частью континуума, если в процессе есть некоторая декогеренция, такая как релаксация или столкновение атомов или подобный шум в возмущении, и в этом случае плотность состояний заменяется величиной, обратной ширине полосы декогеренции.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Общие
2 Ставка и ее вывод
- 2.1 Постановка проблемы
- 2.2 Дискретный спектр конечных состояний
- 2.3 Непрерывный спектр конечных состояний
3 Приложения
- 3.1 Полупроводники
- 3.2 Сканирующая туннельная микроскопия
- 3.3 Квантовая оптика
- 3.4 Эксперимент Дрексхага
4 См. Также
5 ссылки
6 Внешние ссылки

Общий

Несмотря на то, что названа в честь Энрико Ферми, большая часть работ, ведущих к «золотому правилу», принадлежит Полю Дираку, который 20 лет назад сформулировал практически идентичное уравнение, включающее три компонента постоянной, матричный элемент возмущения и энергию разница. Это название было дано ему потому, что Ферми назвал его «золотым правилом № 2» из-за его важности.

В большинстве случаев использование термина «золотое правило Ферми» относится к «золотому правилу № 2», однако «золотое правило № 1» Ферми имеет аналогичную форму и учитывает вероятность непрямых переходов в единицу времени.

Ставка и ее вывод

Золотое правило Ферми описывает систему, которая начинается с собственного состояния невозмущенного гамильтониана H 0 и учитывает влияние возмущающего гамильтониана H ', примененного к системе. Если H 'не зависит от времени, система переходит только в те состояния в континууме, которые имеют ту же энергию, что и начальное состояние. Если H ' колеблется синусоидально как функция времени (т.е. это гармоническое возмущение) с угловой частотой ω, переход происходит в состояния с энергиями, которые отличаются на ħω от энергии начального состояния. ${\ displaystyle | я \ rangle}$ $| я \ rangle$

В обоих случаях вероятность перехода в единицу времени из начального состояния в набор конечных состояний по существу постоянна. В первом приближении она задается формулой ${\ displaystyle | я \ rangle}$ $| я \ rangle$ ${\ displaystyle | f \ rangle}$ $| f \ rangle$

{\ displaystyle \ Gamma _ {i \ to f} = {\ frac {2 \ pi} {\ hbar}} \ left | \ langle f | H '| i \ rangle \ right | ^ {2} \ rho (E_ {f}),}

{\ displaystyle \ Gamma _ {i \ to f} = {\ frac {2 \ pi} {\ hbar}} \ left | \ langle f | H '| i \ rangle \ right | ^ {2} \ rho (E_ {f}),}

где это матричный элемент (в Бра и кет ) возмущения Н» между конечными и начальными состояниями, и это плотность состояний (число состояний континуума, деленное на в бесконечно малом интервале энергий к) при энергии из конечные состояния. Эта вероятность перехода также называется «вероятностью распада» и связана с обратной величиной среднего времени жизни. Таким образом, вероятность нахождения системы в состоянии пропорциональна. ${\ displaystyle \ langle f | H '| я \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle f | H '| я \ rangle}$ ${\ displaystyle \ rho (E_ {f})}$ ${\ displaystyle \ rho (E_ {f})}$ ${\ displaystyle dE}$ $dE$ ${\ displaystyle E}$ $E$ ${\ displaystyle E + dE}$ ${\ displaystyle E + dE}$ ${\ displaystyle E_ {f}}$ $E_ {f}$ ${\ displaystyle | f \ rangle}$ $| f \ rangle$ ${\ displaystyle e ^ {- \ Gamma _ {я \ к f} t}}$ ${\ displaystyle e ^ {- \ Gamma _ {я \ к f} t}}$

Стандартный способ вывести уравнение - начать с зависящей от времени теории возмущений и принять предел для поглощения в предположении, что время измерения намного больше, чем время, необходимое для перехода.

Вывод в теории нестационарных возмущений
Основная статья: Теория возмущений (квантовая механика) § Теория возмущений, зависящая от времени Постановка задачи Золотое правило является прямым следствием уравнения Шредингера, решенного до низшего порядка по возмущению H ' гамильтониана. Полный гамильтониан представляет собой сумму из «исходного» Гамильтон Н 0 и возмущения:. В картине взаимодействия мы можем разложить временную эволюцию произвольного квантового состояния в терминах собственных энергетических состояний невозмущенной системы с. ${\ displaystyle H = H_ {0} + H '(t)}$ ${\ displaystyle H = H_ {0} + H '(t)}$ ${\ displaystyle \| п \ rangle}$ $\| n \ rangle$ ${\ displaystyle H_ {0} \| n \ rangle = E_ {n} \| n \ rangle}$ ${\ displaystyle H_ {0} \| n \ rangle = E_ {n} \| n \ rangle}$ Дискретный спектр конечных состояний Сначала рассмотрим случай, когда конечные состояния дискретны. Расширение состояния в возмущенной системе в момент времени t равно. Коэффициенты a n ( t) - это еще неизвестные функции времени, дающие амплитуды вероятности в картине Дирака. Это состояние подчиняется зависящему от времени уравнению Шредингера: ${\ displaystyle \| \ psi (t) \ rangle = \ sum _ {n} a_ {n} (t) e ^ {- iE_ {n} t / \ hbar} \| n \ rangle}$ ${\ displaystyle \| \ psi (t) \ rangle = \ sum _ {n} a_ {n} (t) e ^ {- iE_ {n} t / \ hbar} \| n \ rangle}$ ${\ displaystyle H \| \ psi (t) \ rangle = i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \| \ psi (t) \ rangle.}$ ${\ displaystyle H \| \ psi (t) \ rangle = i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \| \ psi (t) \ rangle.}$ Разлагая гамильтониан и состояние, мы видим, что в первом порядке ${\ displaystyle \ left (H_ {0} + H '- \ mathrm {i} \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ right) \ sum _ {n} a_ {n} (t) \| n \ rangle e ^ {- \ mathrm {i} tE_ {n} / \ hbar} = 0,}$ ${\ displaystyle \ left (H_ {0} + H '- \ mathrm {i} \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ right) \ sum _ {n} a_ {n} (t) \| n \ rangle e ^ {- \ mathrm {i} tE_ {n} / \ hbar} = 0,}$ где E n и \| п ⟩ являются стационарные собственные значения и собственные функции Н 0. Это уравнение можно переписать в виде системы дифференциальных уравнений, определяющих временную эволюцию коэффициентов: ${\ Displaystyle а_ {п} (т)}$ ${\ Displaystyle а_ {п} (т)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {i} \ hbar {\ frac {da_ {k} (t)} {dt}} = \ sum _ {n} \ langle k \| H '\| n \ rangle a_ {n} (t) e ^ {\ mathrm {i} t (E_ {k} -E_ {n}) / \ hbar}.}$ ${\ displaystyle \ mathrm {i} \ hbar {\ frac {da_ {k} (t)} {dt}} = \ sum _ {n} \ langle k \| H '\| n \ rangle a_ {n} (t) e ^ {\ mathrm {i} t (E_ {k} -E_ {n}) / \ hbar}.}$ Это уравнение точное, но обычно не может быть решено на практике. Для слабого постоянного возмущения H ', которое включается при t = 0, мы можем использовать теорию возмущений. А именно, если, очевидно то, что просто говорит о том, что система остается в исходном состоянии. ${\ displaystyle H '= 0}$ ${\ displaystyle H '= 0}$ ${\ Displaystyle а_ {п} (т) = \ дельта _ {п, я}}$ ${\ Displaystyle а_ {п} (т) = \ дельта _ {п, я}}$ ${\ displaystyle i}$ $я$ Для состояний, становится ненулевое значение из - за, и они считаются малыми из - за слабое возмущение. Коэффициент, равный единице в невозмущенном состоянии, будет иметь слабый вклад от. Следовательно, можно подставить форму нулевого порядка в приведенное выше уравнение, чтобы получить первую поправку для амплитуд: ${\ Displaystyle к \ neq я}$ $к \ neq я$ ${\ Displaystyle а_ {к} (т)}$ ${\ Displaystyle а_ {к} (т)}$ ${\ displaystyle H '\ neq 0}$ ${\ displaystyle H '\ neq 0}$ ${\ Displaystyle а_ {я} (т)}$ $а_ {i} (т)$ ${\ displaystyle H '}$ $ЧАС'$ ${\ Displaystyle а_ {п} (т) = \ дельта _ {п, я}}$ ${\ Displaystyle а_ {п} (т) = \ дельта _ {п, я}}$ ${\ Displaystyle а_ {к} (т)}$ ${\ Displaystyle а_ {к} (т)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {i} \ hbar {\ frac {da_ {k} (t)} {dt}} = \ langle k \| H '\| i \ rangle e ^ {\ mathrm {i} t (E_ {k } -E_ {i}) / \ hbar},}$ ${\ displaystyle \ mathrm {i} \ hbar {\ frac {da_ {k} (t)} {dt}} = \ langle k \| H '\| i \ rangle e ^ {\ mathrm {i} t (E_ {k } -E_ {i}) / \ hbar},}$ интеграл которого можно выразить как ${\ Displaystyle \ mathrm {я} \ hbar a_ {k} (t) = \ int \ langle k \| H '\| i \ rangle e ^ {\ mathrm {i} \ omega _ {ki} t} dt}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {я} \ hbar a_ {k} (t) = \ int \ langle k \| H '\| i \ rangle e ^ {\ mathrm {i} \ omega _ {ki} t} dt}$ с, для состояния с в я (0) = 1, в к (0) = 0, переход в состояние с более K ( т). ${\ Displaystyle \ омега _ {ки} \ эквив (E_ {k} -E_ {i}) / \ hbar}$ ${\ Displaystyle \ омега _ {ки} \ эквив (E_ {k} -E_ {i}) / \ hbar}$ Вероятность перехода из начального состояния (i-го) в конечное (f-е) определяется выражением ${\ displaystyle w_ {fi} = \| a_ {f} (t) \| ^ {2} = {\ frac {1} {\ hbar ^ {2}}} \ left \| \ int \ langle f \| H '\| я \ rangle e ^ {\ mathrm {i} \ omega _ {fi} t} dt \ right \| ^ {2}}$ ${\ displaystyle w_ {fi} = \| a_ {f} (t) \| ^ {2} = {\ frac {1} {\ hbar ^ {2}}} \ left \| \ int \ langle f \| H '\| я \ rangle e ^ {\ mathrm {i} \ omega _ {fi} t} dt \ right \| ^ {2}}$ Важно изучить периодическое возмущение с заданной частотой, поскольку произвольные возмущения могут быть построены из периодических возмущений разных частот. Поскольку должен быть эрмитовым, мы должны предположить, что где - не зависящий от времени оператор. Решение для этого случая: ${\ displaystyle \ omega}$ $\омега$ ${\ Displaystyle H '(т)}$ ${\ Displaystyle H '(т)}$ ${\ displaystyle H '(t) = Fe ^ {- \ mathrm {i} \ omega t} + F ^ {\ dagger} e ^ {\ mathrm {i} \ omega t}}$ ${\ displaystyle H '(t) = Fe ^ {- \ mathrm {i} \ omega t} + F ^ {\ dagger} e ^ {\ mathrm {i} \ omega t}}$ ${\ displaystyle F}$ $F$ ${\ displaystyle a_ {f} (t) = - \ langle f \| F \| i \ rangle {\ frac {e ^ {\ mathrm {i} (\ omega _ {fi} - \ omega) t}} {\ hbar (\ omega _ {fi} - \ omega)}} - \ langle f \| F ^ {\ dagger} \| i \ rangle {\ frac {e ^ {\ mathrm {i} (\ omega _ {fi} + \ omega) t}} {\ hbar (\ omega _ {fi} + \ omega)}}.}.$ ${\ displaystyle a_ {f} (t) = - \ langle f \| F \| i \ rangle {\ frac {e ^ {\ mathrm {i} (\ omega _ {fi} - \ omega) t}} {\ hbar (\ omega _ {fi} - \ omega)}} - \ langle f \| F ^ {\ dagger} \| i \ rangle {\ frac {e ^ {\ mathrm {i} (\ omega _ {fi} + \ omega) t}} {\ hbar (\ omega _ {fi} + \ omega)}}.}.$ Это выражение действительно только тогда, когда знаменатели в приведенном выше выражении не равны нулю, т. Е. Для данного начального состояния с энергией энергия конечного состояния должна быть такой, что не только знаменатели должны быть ненулевыми, но и не должны быть равными нулю. маленький, потому что должен быть маленьким. ${\ displaystyle E_ {i}}$ $E_ {i}$ ${\ displaystyle E_ {f} -E_ {i} \ neq \ pm \ hbar \ omega.}$ ${\ displaystyle E_ {f} -E_ {i} \ neq \ pm \ hbar \ omega.}$ ${\ displaystyle a_ {f}}$ $а_ {f}$ Непрерывный спектр конечных состояний Поскольку непрерывный спектр лежит выше дискретного, и это ясно из предыдущего раздела, главную роль играют энергии, лежащие около энергии резонанса, т. Е. Когда. В этом случае достаточно оставить только первый срок. Если предположить, что возмущения включаются с течением времени, то тогда ${\ displaystyle E_ {f} -E_ {i}gt; 0}$ ${\ displaystyle E_ {f} -E_ {i}gt; 0}$ ${\ displaystyle E_ {f}}$ $E_ {f}$ ${\ displaystyle E_ {i} + \ hbar \ omega}$ ${\ displaystyle E_ {i} + \ hbar \ omega}$ ${\ displaystyle \ omega _ {fi} \ приблизительно \ omega}$ ${\ displaystyle \ omega _ {fi} \ приблизительно \ omega}$ ${\ Displaystyle а_ {е} (т)}$ ${\ Displaystyle а_ {е} (т)}$ ${\ displaystyle t = 0}$ $t = 0$ ${\ displaystyle a_ {f} (t) = - {\ frac {\ mathrm {i}} {\ hbar}} \ int _ {0} ^ {t} \ langle f \| H '\| i \ rangle e ^ { \ mathrm {i} \ omega _ {fi} t} dt = - \ langle f \| F \| i \ rangle {\ frac {e ^ {\ mathrm {i} (\ omega _ {fi} - \ omega) t} -1} {\ hbar (\ omega _ {fi} - \ omega)}}}$ ${\ displaystyle a_ {f} (t) = - {\ frac {\ mathrm {i}} {\ hbar}} \ int _ {0} ^ {t} \ langle f \| H '\| i \ rangle e ^ { \ mathrm {i} \ omega _ {fi} t} dt = - \ langle f \| F \| i \ rangle {\ frac {e ^ {\ mathrm {i} (\ omega _ {fi} - \ omega) t} -1} {\ hbar (\ omega _ {fi} - \ omega)}}}$ Квадрат модуля упругости равен ${\ displaystyle a_ {f}}$ $а_ {f}$ ${\ displaystyle \| a_ {f} \| ^ {2} = 4 \| \ langle f \| F \| i \ rangle \| ^ {2} {\ frac {\ sin ^ {2} (\ omega _ {fi} - \ omega) t / 2} {\ hbar ^ {2} (\ omega _ {fi} - \ omega) ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle \| a_ {f} \| ^ {2} = 4 \| \ langle f \| F \| i \ rangle \| ^ {2} {\ frac {\ sin ^ {2} (\ omega _ {fi} - \ omega) t / 2} {\ hbar ^ {2} (\ omega _ {fi} - \ omega) ^ {2}}}}$ Для больших это уменьшится до ${\ displaystyle t}$ $т$ ${\ displaystyle \| a_ {f} \| ^ {2} = {\ frac {2 \ pi} {\ hbar}} \| \ langle f \| F \| i \ rangle \| ^ {2} \ delta (E_ {f} - E_ {i} - \ hbar \ omega) t,}$ ${\ displaystyle \| a_ {f} \| ^ {2} = {\ frac {2 \ pi} {\ hbar}} \| \ langle f \| F \| i \ rangle \| ^ {2} \ delta (E_ {f} - E_ {i} - \ hbar \ omega) t,}$ линейная зависимость от. ${\ displaystyle t}$ $т$ Вероятность перехода из i-го состояния в конечные состояния, лежащие в интервале (плотность состояний в бесконечно малом элементе вокруг) равна. Таким образом, вероятность перехода в единицу времени определяется выражением ${\ displaystyle d \ nu _ {f}}$ ${\ displaystyle d \ nu _ {f}}$ ${\ displaystyle E_ {f}}$ $E_ {f}$ ${\ displaystyle dw_ {fi} = \| a_ {f} \| ^ {2} d \ nu _ {f}}$ ${\ displaystyle dw_ {fi} = \| a_ {f} \| ^ {2} d \ nu _ {f}}$ ${\ displaystyle {\ frac {dw_ {fi}} {t}} = {\ frac {2 \ pi} {\ hbar}} \| \ langle f \| F \| i \ rangle \| ^ {2} \ delta (E_ { f} -E_ {i} - \ hbar \ omega) d \ nu _ {f}.}$ ${\ displaystyle {\ frac {dw_ {fi}} {t}} = {\ frac {2 \ pi} {\ hbar}} \| \ langle f \| F \| i \ rangle \| ^ {2} \ delta (E_ { f} -E_ {i} - \ hbar \ omega) d \ nu _ {f}.}$ Зависимость от времени исчезла, и следует постоянная скорость затухания золотого правила. Как константа, она лежит в основе экспоненциальных законов распада частиц радиоактивности. (Однако в течение слишком долгого времени вековой рост членов a k ( t) делает недействительной теорию возмущений низшего порядка, для которой требуется a k ≪ a i.)

Вывод в теории нестационарных возмущений

Основная статья: Теория возмущений (квантовая механика) § Теория возмущений, зависящая от времени

Постановка задачи

Золотое правило является прямым следствием уравнения Шредингера, решенного до низшего порядка по возмущению H ' гамильтониана. Полный гамильтониан представляет собой сумму из «исходного» Гамильтон Н 0 и возмущения:. В картине взаимодействия мы можем разложить временную эволюцию произвольного квантового состояния в терминах собственных энергетических состояний невозмущенной системы с. ${\ displaystyle H = H_ {0} + H '(t)}$ ${\ displaystyle H = H_ {0} + H '(t)}$ ${\ displaystyle | п \ rangle}$ $| n \ rangle$ ${\ displaystyle H_ {0} | n \ rangle = E_ {n} | n \ rangle}$ ${\ displaystyle H_ {0} | n \ rangle = E_ {n} | n \ rangle}$

Дискретный спектр конечных состояний

Сначала рассмотрим случай, когда конечные состояния дискретны. Расширение состояния в возмущенной системе в момент времени t равно. Коэффициенты a n ( t) - это еще неизвестные функции времени, дающие амплитуды вероятности в картине Дирака. Это состояние подчиняется зависящему от времени уравнению Шредингера: ${\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle = \ sum _ {n} a_ {n} (t) e ^ {- iE_ {n} t / \ hbar} | n \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle = \ sum _ {n} a_ {n} (t) e ^ {- iE_ {n} t / \ hbar} | n \ rangle}$

{\ displaystyle H | \ psi (t) \ rangle = i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} | \ psi (t) \ rangle.}

{\ displaystyle H | \ psi (t) \ rangle = i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} | \ psi (t) \ rangle.}

Разлагая гамильтониан и состояние, мы видим, что в первом порядке

${\ displaystyle \ left (H_ {0} + H '- \ mathrm {i} \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ right) \ sum _ {n} a_ {n} (t) | n \ rangle e ^ {- \ mathrm {i} tE_ {n} / \ hbar} = 0,}$ ${\ displaystyle \ left (H_ {0} + H '- \ mathrm {i} \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ right) \ sum _ {n} a_ {n} (t) | n \ rangle e ^ {- \ mathrm {i} tE_ {n} / \ hbar} = 0,}$ где E n и | п ⟩ являются стационарные собственные значения и собственные функции Н 0.

Это уравнение можно переписать в виде системы дифференциальных уравнений, определяющих временную эволюцию коэффициентов: ${\ Displaystyle а_ {п} (т)}$ ${\ Displaystyle а_ {п} (т)}$

{\ displaystyle \ mathrm {i} \ hbar {\ frac {da_ {k} (t)} {dt}} = \ sum _ {n} \ langle k | H '| n \ rangle a_ {n} (t) e ^ {\ mathrm {i} t (E_ {k} -E_ {n}) / \ hbar}.}

{\ displaystyle \ mathrm {i} \ hbar {\ frac {da_ {k} (t)} {dt}} = \ sum _ {n} \ langle k | H '| n \ rangle a_ {n} (t) e ^ {\ mathrm {i} t (E_ {k} -E_ {n}) / \ hbar}.}

Это уравнение точное, но обычно не может быть решено на практике.

Для слабого постоянного возмущения H ', которое включается при t = 0, мы можем использовать теорию возмущений. А именно, если, очевидно то, что просто говорит о том, что система остается в исходном состоянии. ${\ displaystyle H '= 0}$ ${\ displaystyle H '= 0}$ ${\ Displaystyle а_ {п} (т) = \ дельта _ {п, я}}$ ${\ Displaystyle а_ {п} (т) = \ дельта _ {п, я}}$ ${\ displaystyle i}$ $я$

Для состояний, становится ненулевое значение из - за, и они считаются малыми из - за слабое возмущение. Коэффициент, равный единице в невозмущенном состоянии, будет иметь слабый вклад от. Следовательно, можно подставить форму нулевого порядка в приведенное выше уравнение, чтобы получить первую поправку для амплитуд: ${\ Displaystyle к \ neq я}$ $к \ neq я$ ${\ Displaystyle а_ {к} (т)}$ ${\ Displaystyle а_ {к} (т)}$ ${\ displaystyle H '\ neq 0}$ ${\ displaystyle H '\ neq 0}$ ${\ Displaystyle а_ {я} (т)}$ $а_ {i} (т)$ ${\ displaystyle H '}$ $ЧАС'$ ${\ Displaystyle а_ {п} (т) = \ дельта _ {п, я}}$ ${\ Displaystyle а_ {п} (т) = \ дельта _ {п, я}}$ ${\ Displaystyle а_ {к} (т)}$ ${\ Displaystyle а_ {к} (т)}$

{\ displaystyle \ mathrm {i} \ hbar {\ frac {da_ {k} (t)} {dt}} = \ langle k | H '| i \ rangle e ^ {\ mathrm {i} t (E_ {k } -E_ {i}) / \ hbar},}

{\ displaystyle \ mathrm {i} \ hbar {\ frac {da_ {k} (t)} {dt}} = \ langle k | H '| i \ rangle e ^ {\ mathrm {i} t (E_ {k } -E_ {i}) / \ hbar},}

интеграл которого можно выразить как

{\ Displaystyle \ mathrm {я} \ hbar a_ {k} (t) = \ int \ langle k | H '| i \ rangle e ^ {\ mathrm {i} \ omega _ {ki} t} dt}

{\ Displaystyle \ mathrm {я} \ hbar a_ {k} (t) = \ int \ langle k | H '| i \ rangle e ^ {\ mathrm {i} \ omega _ {ki} t} dt}

с, для состояния с в я (0) = 1, в к (0) = 0, переход в состояние с более K ( т). ${\ Displaystyle \ омега _ {ки} \ эквив (E_ {k} -E_ {i}) / \ hbar}$ ${\ Displaystyle \ омега _ {ки} \ эквив (E_ {k} -E_ {i}) / \ hbar}$

Вероятность перехода из начального состояния (i-го) в конечное (f-е) определяется выражением

{\ displaystyle w_ {fi} = | a_ {f} (t) | ^ {2} = {\ frac {1} {\ hbar ^ {2}}} \ left | \ int \ langle f | H '| я \ rangle e ^ {\ mathrm {i} \ omega _ {fi} t} dt \ right | ^ {2}}

{\ displaystyle w_ {fi} = | a_ {f} (t) | ^ {2} = {\ frac {1} {\ hbar ^ {2}}} \ left | \ int \ langle f | H '| я \ rangle e ^ {\ mathrm {i} \ omega _ {fi} t} dt \ right | ^ {2}}

Важно изучить периодическое возмущение с заданной частотой, поскольку произвольные возмущения могут быть построены из периодических возмущений разных частот. Поскольку должен быть эрмитовым, мы должны предположить, что где - не зависящий от времени оператор. Решение для этого случая: ${\ displaystyle \ omega}$ $\омега$ ${\ Displaystyle H '(т)}$ ${\ Displaystyle H '(т)}$ ${\ displaystyle H '(t) = Fe ^ {- \ mathrm {i} \ omega t} + F ^ {\ dagger} e ^ {\ mathrm {i} \ omega t}}$ ${\ displaystyle H '(t) = Fe ^ {- \ mathrm {i} \ omega t} + F ^ {\ dagger} e ^ {\ mathrm {i} \ omega t}}$ ${\ displaystyle F}$ $F$

{\ displaystyle a_ {f} (t) = - \ langle f | F | i \ rangle {\ frac {e ^ {\ mathrm {i} (\ omega _ {fi} - \ omega) t}} {\ hbar (\ omega _ {fi} - \ omega)}} - \ langle f | F ^ {\ dagger} | i \ rangle {\ frac {e ^ {\ mathrm {i} (\ omega _ {fi} + \ omega) t}} {\ hbar (\ omega _ {fi} + \ omega)}}.}.

{\ displaystyle a_ {f} (t) = - \ langle f | F | i \ rangle {\ frac {e ^ {\ mathrm {i} (\ omega _ {fi} - \ omega) t}} {\ hbar (\ omega _ {fi} - \ omega)}} - \ langle f | F ^ {\ dagger} | i \ rangle {\ frac {e ^ {\ mathrm {i} (\ omega _ {fi} + \ omega) t}} {\ hbar (\ omega _ {fi} + \ omega)}}.}.

Это выражение действительно только тогда, когда знаменатели в приведенном выше выражении не равны нулю, т. Е. Для данного начального состояния с энергией энергия конечного состояния должна быть такой, что не только знаменатели должны быть ненулевыми, но и не должны быть равными нулю. маленький, потому что должен быть маленьким. ${\ displaystyle E_ {i}}$ $E_ {i}$ ${\ displaystyle E_ {f} -E_ {i} \ neq \ pm \ hbar \ omega.}$ ${\ displaystyle E_ {f} -E_ {i} \ neq \ pm \ hbar \ omega.}$ ${\ displaystyle a_ {f}}$ $а_ {f}$

Непрерывный спектр конечных состояний

Поскольку непрерывный спектр лежит выше дискретного, и это ясно из предыдущего раздела, главную роль играют энергии, лежащие около энергии резонанса, т. Е. Когда. В этом случае достаточно оставить только первый срок. Если предположить, что возмущения включаются с течением времени, то тогда ${\ displaystyle E_ {f} -E_ {i}gt; 0}$ ${\ displaystyle E_ {f} -E_ {i}gt; 0}$ ${\ displaystyle E_ {f}}$ $E_ {f}$ ${\ displaystyle E_ {i} + \ hbar \ omega}$ ${\ displaystyle E_ {i} + \ hbar \ omega}$ ${\ displaystyle \ omega _ {fi} \ приблизительно \ omega}$ ${\ displaystyle \ omega _ {fi} \ приблизительно \ omega}$ ${\ Displaystyle а_ {е} (т)}$ ${\ Displaystyle а_ {е} (т)}$ ${\ displaystyle t = 0}$ $t = 0$

{\ displaystyle a_ {f} (t) = - {\ frac {\ mathrm {i}} {\ hbar}} \ int _ {0} ^ {t} \ langle f | H '| i \ rangle e ^ { \ mathrm {i} \ omega _ {fi} t} dt = - \ langle f | F | i \ rangle {\ frac {e ^ {\ mathrm {i} (\ omega _ {fi} - \ omega) t} -1} {\ hbar (\ omega _ {fi} - \ omega)}}}

{\ displaystyle a_ {f} (t) = - {\ frac {\ mathrm {i}} {\ hbar}} \ int _ {0} ^ {t} \ langle f | H '| i \ rangle e ^ { \ mathrm {i} \ omega _ {fi} t} dt = - \ langle f | F | i \ rangle {\ frac {e ^ {\ mathrm {i} (\ omega _ {fi} - \ omega) t} -1} {\ hbar (\ omega _ {fi} - \ omega)}}}

Квадрат модуля упругости равен ${\ displaystyle a_ {f}}$ $а_ {f}$

{\ displaystyle | a_ {f} | ^ {2} = 4 | \ langle f | F | i \ rangle | ^ {2} {\ frac {\ sin ^ {2} (\ omega _ {fi} - \ omega) t / 2} {\ hbar ^ {2} (\ omega _ {fi} - \ omega) ^ {2}}}}

{\ displaystyle | a_ {f} | ^ {2} = 4 | \ langle f | F | i \ rangle | ^ {2} {\ frac {\ sin ^ {2} (\ omega _ {fi} - \ omega) t / 2} {\ hbar ^ {2} (\ omega _ {fi} - \ omega) ^ {2}}}}

Для больших это уменьшится до ${\ displaystyle t}$ $т$

{\ displaystyle | a_ {f} | ^ {2} = {\ frac {2 \ pi} {\ hbar}} | \ langle f | F | i \ rangle | ^ {2} \ delta (E_ {f} - E_ {i} - \ hbar \ omega) t,}

{\ displaystyle | a_ {f} | ^ {2} = {\ frac {2 \ pi} {\ hbar}} | \ langle f | F | i \ rangle | ^ {2} \ delta (E_ {f} - E_ {i} - \ hbar \ omega) t,}

линейная зависимость от. ${\ displaystyle t}$ $т$

Вероятность перехода из i-го состояния в конечные состояния, лежащие в интервале (плотность состояний в бесконечно малом элементе вокруг) равна. Таким образом, вероятность перехода в единицу времени определяется выражением ${\ displaystyle d \ nu _ {f}}$ ${\ displaystyle d \ nu _ {f}}$ ${\ displaystyle E_ {f}}$ $E_ {f}$ ${\ displaystyle dw_ {fi} = | a_ {f} | ^ {2} d \ nu _ {f}}$ ${\ displaystyle dw_ {fi} = | a_ {f} | ^ {2} d \ nu _ {f}}$

{\ displaystyle {\ frac {dw_ {fi}} {t}} = {\ frac {2 \ pi} {\ hbar}} | \ langle f | F | i \ rangle | ^ {2} \ delta (E_ { f} -E_ {i} - \ hbar \ omega) d \ nu _ {f}.}

{\ displaystyle {\ frac {dw_ {fi}} {t}} = {\ frac {2 \ pi} {\ hbar}} | \ langle f | F | i \ rangle | ^ {2} \ delta (E_ { f} -E_ {i} - \ hbar \ omega) d \ nu _ {f}.}

Зависимость от времени исчезла, и следует постоянная скорость затухания золотого правила. Как константа, она лежит в основе экспоненциальных законов распада частиц радиоактивности. (Однако в течение слишком долгого времени вековой рост членов a k ( t) делает недействительной теорию возмущений низшего порядка, для которой требуется a k ≪ a i.)

Только величина матричного элемента входит в золотое правило Ферми. Однако фаза этого матричного элемента содержит отдельную информацию о переходном процессе. Он появляется в выражениях, которые дополняют золотое правило в подходе к полуклассическому уравнению Больцмана к переносу электронов. ${\ displaystyle \ langle f | H '| я \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle f | H '| я \ rangle}$

Хотя Золотое правило обычно формулируется и выводится в терминах выше, волновая функция конечного состояния (континуума) часто довольно расплывчато описывается и неправильно нормируется (и при выводе используется нормализация). Проблема в том, что для создания континуума не может быть пространственного ограничения (которое обязательно дискретировало бы спектр), и поэтому волновые функции континуума должны иметь бесконечную протяженность, а это, в свою очередь, означает, что нормализация бесконечна, а не единица. Если взаимодействия зависят от энергии состояния континуума, но не от каких-либо других квантовых чисел, принято нормировать волновые функции континуума с помеченной энергией, записывая где - дельта-функция Дирака, и фактически коэффициент квадратного корня плотности состояний входит в. В этом случае волновая функция континуума имеет размерность [энергия], и теперь действует Золотое правило. ${\ displaystyle \ langle f | f \ rangle = \ int d ^ {3} r | f (\ mathbf {r}) | ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ langle f | f \ rangle = \ int d ^ {3} r | f (\ mathbf {r}) | ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ epsilon}$ $\ epsilon$ ${\ displaystyle | \ epsilon \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ epsilon \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle \ epsilon | \ epsilon '\ rangle = \ delta (\ epsilon - \ epsilon')}$ ${\ displaystyle \ langle \ epsilon | \ epsilon '\ rangle = \ delta (\ epsilon - \ epsilon')}$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ дельта$ ${\ displaystyle | \ epsilon _ {я} \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ epsilon _ {я} \ rangle}$ ${\ displaystyle 1 / \ surd}$ ${\ displaystyle 1 / \ surd}$

{\ displaystyle \ Gamma _ {я \ to \ epsilon _ {i}} = {\ frac {2 \ pi} {\ hbar}} | \ langle \ epsilon _ {i} | H '| i \ rangle | ^ { 2}.}

{\ displaystyle \ Gamma _ {я \ to \ epsilon _ {i}} = {\ frac {2 \ pi} {\ hbar}} | \ langle \ epsilon _ {i} | H '| i \ rangle | ^ { 2}.}

где относится к состоянию континуума с той же энергией, что и дискретное состояние. Например, правильно нормированные волновые функции континуума для случая свободного электрона вблизи атома водорода доступны в Бете и Солпитере. ${\ displaystyle \ epsilon _ {я}}$ $\ epsilon _ {i}$ ${\ displaystyle i}$ $я$

Нормализованный вывод в теории нестационарных возмущений
Основная статья: Теория возмущений (квантовая механика) § Теория возмущений, зависящая от времени Следующее перефразирует трактовку Коэна-Таннуджи. Как и прежде, полный гамильтониан представляет собой сумму из «исходного» Гамильтон Н 0 и возмущения:. Мы все еще можем разложить временную эволюцию произвольного квантового состояния с точки зрения собственных состояний энергии невозмущенной системы, но теперь они состоят из дискретных состояний и состояний континуума. Мы предполагаем, что взаимодействия зависят от энергии состояния континуума, но не от каких-либо других квантовых чисел. Разложение по релевантным состояниям в картине Дирака равно ${\ displaystyle H = H_ {0} + H '}$ ${\ displaystyle H = H_ {0} + H '}$ ${\ displaystyle \| \ psi (t) \ rangle = a_ {i} e ^ {- \ mathrm {i} \ omega _ {i} t} \| i \ rangle + \ int _ {C} d \ epsilon a _ {\ epsilon} e ^ {- \ mathrm {i} \ omega t} \| \ epsilon \ rangle.}$ ${\ displaystyle \| \ psi (t) \ rangle = a_ {i} e ^ {- \ mathrm {i} \ omega _ {i} t} \| i \ rangle + \ int _ {C} d \ epsilon a _ {\ epsilon} e ^ {- \ mathrm {i} \ omega t} \| \ epsilon \ rangle.}$ где и - энергии состояний. Интеграл берется по континууму, т. Е. Находится в континууме. ${\ displaystyle \ omega _ {i} = \ epsilon _ {i} / \ hbar, \ omega = \ epsilon / \ hbar}$ ${\ displaystyle \ omega _ {i} = \ epsilon _ {i} / \ hbar, \ omega = \ epsilon / \ hbar}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {i}, \ epsilon}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {i}, \ epsilon}$ ${\ Displaystyle \| я \ rangle, \| \ epsilon \ rangle}$ ${\ Displaystyle \| я \ rangle, \| \ epsilon \ rangle}$ ${\ displaystyle \ epsilon \ in C}$ ${\ displaystyle \ epsilon \ in C}$ ${\ displaystyle \| \ epsilon \ rangle}$ ${\ displaystyle \| \ epsilon \ rangle}$ Подставляя в нестационарное уравнение Шредингера ${\ Displaystyle H \| \ psi (t) \ rangle = \ mathrm {i} \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \| \ psi (t) \ rangle}$ ${\ Displaystyle H \| \ psi (t) \ rangle = \ mathrm {i} \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \| \ psi (t) \ rangle}$ и предварительное умножение на производит ${\ Displaystyle \ langle я \|}$ ${\ Displaystyle \ langle я \|}$ ${\ displaystyle {\ frac {da_ {i} (t)} {dt}} = - \ mathrm {i} \ int _ {C} d \ epsilon \ Omega _ {i \ epsilon} e ^ {- \ mathrm { i} (\ omega - \ omega _ {i}) t} a _ {\ epsilon} (t),}$ ${\ displaystyle {\ frac {da_ {i} (t)} {dt}} = - \ mathrm {i} \ int _ {C} d \ epsilon \ Omega _ {i \ epsilon} e ^ {- \ mathrm { i} (\ omega - \ omega _ {i}) t} a _ {\ epsilon} (t),}$ где, а предварительное умножение на дает ${\ displaystyle \ Omega _ {я \ epsilon} = \ langle i \| H '\| \ epsilon \ rangle / \ hbar}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {я \ epsilon} = \ langle i \| H '\| \ epsilon \ rangle / \ hbar}$ ${\ displaystyle \ langle \ epsilon '\|}$ ${\ displaystyle \ langle \ epsilon '\|}$ ${\ displaystyle {\ frac {da _ {\ epsilon} (t)} {dt}} = - \ mathrm {i} \ Omega _ {\ epsilon i} e ^ {\ mathrm {i} (\ omega - \ omega _ {i}) t} a_ {i} (t).}$ ${\ displaystyle {\ frac {da _ {\ epsilon} (t)} {dt}} = - \ mathrm {i} \ Omega _ {\ epsilon i} e ^ {\ mathrm {i} (\ omega - \ omega _ {i}) t} a_ {i} (t).}$ Мы воспользовались нормализацией. Интегрируя последнее и подставляя первое, ${\ displaystyle \ langle \ epsilon '\| \ epsilon \ rangle = \ delta (\ epsilon' - \ epsilon)}$ ${\ displaystyle \ langle \ epsilon '\| \ epsilon \ rangle = \ delta (\ epsilon' - \ epsilon)}$ ${\ displaystyle {\ frac {da_ {i} (t)} {dt}} = - \ int _ {C} d \ epsilon \ Omega _ {i \ epsilon} \ Omega _ {\ epsilon i} \ int _ { 0} ^ {t} dt'e ^ {- \ mathrm {i} (\ omega - \ omega _ {i}) (t-t ')} a_ {i} (t').}$ ${\ displaystyle {\ frac {da_ {i} (t)} {dt}} = - \ int _ {C} d \ epsilon \ Omega _ {i \ epsilon} \ Omega _ {\ epsilon i} \ int _ { 0} ^ {t} dt'e ^ {- \ mathrm {i} (\ omega - \ omega _ {i}) (t-t ')} a_ {i} (t').}$ Здесь можно увидеть, что время зависит от всех более ранних времен, то есть не является марковским. Мы применяем марковское приближение, т.е. оно зависит только от времени (которое менее ограничительно, чем приближение ≈1, использованное выше, и допускает сильное возмущение) ${\ displaystyle da_ {i} / dt}$ ${\ displaystyle da_ {i} / dt}$ ${\ displaystyle t}$ $т$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ $а_ {i}$ ${\ displaystyle t '}$ $т '$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ $а_ {i}$ ${\ displaystyle t}$ $т$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ ${\ displaystyle {\ frac {da_ {i} (t)} {dt}} = - \ int _ {C} d \ epsilon \| \ Omega _ {i \ epsilon} \| ^ {2} a_ {i} (t) \ int _ {0} ^ {t} dTe ^ {- \ mathrm {i} \ Delta T}.}$ ${\ displaystyle {\ frac {da_ {i} (t)} {dt}} = - \ int _ {C} d \ epsilon \| \ Omega _ {i \ epsilon} \| ^ {2} a_ {i} (t) \ int _ {0} ^ {t} dTe ^ {- \ mathrm {i} \ Delta T}.}$ где и. Интегрируя, ${\ Displaystyle Т = т-т '}$ ${\ Displaystyle Т = т-т '}$ ${\ displaystyle \ Delta = \ omega - \ omega _ {i}}$ ${\ displaystyle \ Delta = \ omega - \ omega _ {i}}$ ${\ displaystyle T}$ $Т$ ${\ displaystyle {\ frac {da_ {i} (t)} {dt}} = 2 \ pi \ hbar \ int _ {C} d \ epsilon \| \ Omega _ {i \ epsilon} \| ^ {2} a_ { i} (t) {\ frac {e ^ {- \ mathrm {i} \ Delta t / 2} \ sin (\ Delta t / 2)} {\ pi \ hbar \ Delta}},}$ ${\ displaystyle {\ frac {da_ {i} (t)} {dt}} = 2 \ pi \ hbar \ int _ {C} d \ epsilon \| \ Omega _ {i \ epsilon} \| ^ {2} a_ { i} (t) {\ frac {e ^ {- \ mathrm {i} \ Delta t / 2} \ sin (\ Delta t / 2)} {\ pi \ hbar \ Delta}},}$ Дробь справа представляет собой зарождающуюся дельта-функцию Дирака, что означает, что она стремится к as (игнорируя ее мнимую часть, которая приводит к несущественному сдвигу энергии, в то время как действительная часть вызывает распад). Ну наконец то ${\ displaystyle \ delta (\ epsilon - \ epsilon _ {i})}$ ${\ displaystyle \ delta (\ epsilon - \ epsilon _ {i})}$ ${\ Displaystyle т \ к \ infty}$ $t \ to \ infty$ ${\ displaystyle {\ frac {da_ {i} (t)} {dt}} = 2 \ pi \ hbar \| \ Omega _ {i \ epsilon _ {i}} \| ^ {2} a_ {i} (t) }$ ${\ displaystyle {\ frac {da_ {i} (t)} {dt}} = 2 \ pi \ hbar \| \ Omega _ {i \ epsilon _ {i}} \| ^ {2} a_ {i} (t) }$ которое имеет решения:, т. е. убыль населенности в начальном дискретном состоянии есть где ${\ Displaystyle а_ {я} (т) = \ ехр (- \ Гамма _ {я \ к \ эпсилон _ {я}} т / 2)}$ ${\ Displaystyle а_ {я} (т) = \ ехр (- \ Гамма _ {я \ к \ эпсилон _ {я}} т / 2)}$ ${\ Displaystyle Р_ {я} (т) = \| а_ {я} (т) \| ^ {2} = \ ехр (- \ Гамма _ {я \ к \ эпсилон _ {я}} т)}$ ${\ Displaystyle Р_ {я} (т) = \| а_ {я} (т) \| ^ {2} = \ ехр (- \ Гамма _ {я \ к \ эпсилон _ {я}} т)}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {я \ to \ epsilon _ {i}} = 2 \ pi \ hbar \| \ Omega _ {i \ epsilon _ {i}} \| ^ {2} = {\ frac {2 \ pi} {\ hbar}} \| \ langle i \| H '\| \ epsilon \ rangle \| ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {я \ to \ epsilon _ {i}} = 2 \ pi \ hbar \| \ Omega _ {i \ epsilon _ {i}} \| ^ {2} = {\ frac {2 \ pi} {\ hbar}} \| \ langle i \| H '\| \ epsilon \ rangle \| ^ {2}}$

Нормализованный вывод в теории нестационарных возмущений

Основная статья: Теория возмущений (квантовая механика) § Теория возмущений, зависящая от времени

Следующее перефразирует трактовку Коэна-Таннуджи. Как и прежде, полный гамильтониан представляет собой сумму из «исходного» Гамильтон Н 0 и возмущения:. Мы все еще можем разложить временную эволюцию произвольного квантового состояния с точки зрения собственных состояний энергии невозмущенной системы, но теперь они состоят из дискретных состояний и состояний континуума. Мы предполагаем, что взаимодействия зависят от энергии состояния континуума, но не от каких-либо других квантовых чисел. Разложение по релевантным состояниям в картине Дирака равно ${\ displaystyle H = H_ {0} + H '}$ ${\ displaystyle H = H_ {0} + H '}$

{\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle = a_ {i} e ^ {- \ mathrm {i} \ omega _ {i} t} | i \ rangle + \ int _ {C} d \ epsilon a _ {\ epsilon} e ^ {- \ mathrm {i} \ omega t} | \ epsilon \ rangle.}

{\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle = a_ {i} e ^ {- \ mathrm {i} \ omega _ {i} t} | i \ rangle + \ int _ {C} d \ epsilon a _ {\ epsilon} e ^ {- \ mathrm {i} \ omega t} | \ epsilon \ rangle.}

где и - энергии состояний. Интеграл берется по континууму, т. Е. Находится в континууме. ${\ displaystyle \ omega _ {i} = \ epsilon _ {i} / \ hbar, \ omega = \ epsilon / \ hbar}$ ${\ displaystyle \ omega _ {i} = \ epsilon _ {i} / \ hbar, \ omega = \ epsilon / \ hbar}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {i}, \ epsilon}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {i}, \ epsilon}$ ${\ Displaystyle | я \ rangle, | \ epsilon \ rangle}$ ${\ Displaystyle | я \ rangle, | \ epsilon \ rangle}$ ${\ displaystyle \ epsilon \ in C}$ ${\ displaystyle \ epsilon \ in C}$ ${\ displaystyle | \ epsilon \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ epsilon \ rangle}$

Подставляя в нестационарное уравнение Шредингера

{\ Displaystyle H | \ psi (t) \ rangle = \ mathrm {i} \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} | \ psi (t) \ rangle}

{\ Displaystyle H | \ psi (t) \ rangle = \ mathrm {i} \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} | \ psi (t) \ rangle}

и предварительное умножение на производит ${\ Displaystyle \ langle я |}$ ${\ Displaystyle \ langle я |}$

{\ displaystyle {\ frac {da_ {i} (t)} {dt}} = - \ mathrm {i} \ int _ {C} d \ epsilon \ Omega _ {i \ epsilon} e ^ {- \ mathrm { i} (\ omega - \ omega _ {i}) t} a _ {\ epsilon} (t),}

{\ displaystyle {\ frac {da_ {i} (t)} {dt}} = - \ mathrm {i} \ int _ {C} d \ epsilon \ Omega _ {i \ epsilon} e ^ {- \ mathrm { i} (\ omega - \ omega _ {i}) t} a _ {\ epsilon} (t),}

где, а предварительное умножение на дает ${\ displaystyle \ Omega _ {я \ epsilon} = \ langle i | H '| \ epsilon \ rangle / \ hbar}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {я \ epsilon} = \ langle i | H '| \ epsilon \ rangle / \ hbar}$ ${\ displaystyle \ langle \ epsilon '|}$ ${\ displaystyle \ langle \ epsilon '|}$

{\ displaystyle {\ frac {da _ {\ epsilon} (t)} {dt}} = - \ mathrm {i} \ Omega _ {\ epsilon i} e ^ {\ mathrm {i} (\ omega - \ omega _ {i}) t} a_ {i} (t).}

{\ displaystyle {\ frac {da _ {\ epsilon} (t)} {dt}} = - \ mathrm {i} \ Omega _ {\ epsilon i} e ^ {\ mathrm {i} (\ omega - \ omega _ {i}) t} a_ {i} (t).}

Мы воспользовались нормализацией. Интегрируя последнее и подставляя первое, ${\ displaystyle \ langle \ epsilon '| \ epsilon \ rangle = \ delta (\ epsilon' - \ epsilon)}$ ${\ displaystyle \ langle \ epsilon '| \ epsilon \ rangle = \ delta (\ epsilon' - \ epsilon)}$

{\ displaystyle {\ frac {da_ {i} (t)} {dt}} = - \ int _ {C} d \ epsilon \ Omega _ {i \ epsilon} \ Omega _ {\ epsilon i} \ int _ { 0} ^ {t} dt'e ^ {- \ mathrm {i} (\ omega - \ omega _ {i}) (t-t ')} a_ {i} (t').}

{\ displaystyle {\ frac {da_ {i} (t)} {dt}} = - \ int _ {C} d \ epsilon \ Omega _ {i \ epsilon} \ Omega _ {\ epsilon i} \ int _ { 0} ^ {t} dt'e ^ {- \ mathrm {i} (\ omega - \ omega _ {i}) (t-t ')} a_ {i} (t').}

Здесь можно увидеть, что время зависит от всех более ранних времен, то есть не является марковским. Мы применяем марковское приближение, т.е. оно зависит только от времени (которое менее ограничительно, чем приближение ≈1, использованное выше, и допускает сильное возмущение) ${\ displaystyle da_ {i} / dt}$ ${\ displaystyle da_ {i} / dt}$ ${\ displaystyle t}$ $т$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ $а_ {i}$ ${\ displaystyle t '}$ $т '$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ $а_ {i}$ ${\ displaystyle t}$ $т$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$

{\ displaystyle {\ frac {da_ {i} (t)} {dt}} = - \ int _ {C} d \ epsilon | \ Omega _ {i \ epsilon} | ^ {2} a_ {i} (t) \ int _ {0} ^ {t} dTe ^ {- \ mathrm {i} \ Delta T}.}

{\ displaystyle {\ frac {da_ {i} (t)} {dt}} = - \ int _ {C} d \ epsilon | \ Omega _ {i \ epsilon} | ^ {2} a_ {i} (t) \ int _ {0} ^ {t} dTe ^ {- \ mathrm {i} \ Delta T}.}

где и. Интегрируя, ${\ Displaystyle Т = т-т '}$ ${\ Displaystyle Т = т-т '}$ ${\ displaystyle \ Delta = \ omega - \ omega _ {i}}$ ${\ displaystyle \ Delta = \ omega - \ omega _ {i}}$ ${\ displaystyle T}$ $Т$

{\ displaystyle {\ frac {da_ {i} (t)} {dt}} = 2 \ pi \ hbar \ int _ {C} d \ epsilon | \ Omega _ {i \ epsilon} | ^ {2} a_ { i} (t) {\ frac {e ^ {- \ mathrm {i} \ Delta t / 2} \ sin (\ Delta t / 2)} {\ pi \ hbar \ Delta}},}

{\ displaystyle {\ frac {da_ {i} (t)} {dt}} = 2 \ pi \ hbar \ int _ {C} d \ epsilon | \ Omega _ {i \ epsilon} | ^ {2} a_ { i} (t) {\ frac {e ^ {- \ mathrm {i} \ Delta t / 2} \ sin (\ Delta t / 2)} {\ pi \ hbar \ Delta}},}

Дробь справа представляет собой зарождающуюся дельта-функцию Дирака, что означает, что она стремится к as (игнорируя ее мнимую часть, которая приводит к несущественному сдвигу энергии, в то время как действительная часть вызывает распад). Ну наконец то ${\ displaystyle \ delta (\ epsilon - \ epsilon _ {i})}$ ${\ displaystyle \ delta (\ epsilon - \ epsilon _ {i})}$ ${\ Displaystyle т \ к \ infty}$ $t \ to \ infty$

{\ displaystyle {\ frac {da_ {i} (t)} {dt}} = 2 \ pi \ hbar | \ Omega _ {i \ epsilon _ {i}} | ^ {2} a_ {i} (t) }

{\ displaystyle {\ frac {da_ {i} (t)} {dt}} = 2 \ pi \ hbar | \ Omega _ {i \ epsilon _ {i}} | ^ {2} a_ {i} (t) }

которое имеет решения:, т. е. убыль населенности в начальном дискретном состоянии есть где ${\ Displaystyle а_ {я} (т) = \ ехр (- \ Гамма _ {я \ к \ эпсилон _ {я}} т / 2)}$ ${\ Displaystyle а_ {я} (т) = \ ехр (- \ Гамма _ {я \ к \ эпсилон _ {я}} т / 2)}$ ${\ Displaystyle Р_ {я} (т) = | а_ {я} (т) | ^ {2} = \ ехр (- \ Гамма _ {я \ к \ эпсилон _ {я}} т)}$ ${\ Displaystyle Р_ {я} (т) = | а_ {я} (т) | ^ {2} = \ ехр (- \ Гамма _ {я \ к \ эпсилон _ {я}} т)}$

{\ displaystyle \ Gamma _ {я \ to \ epsilon _ {i}} = 2 \ pi \ hbar | \ Omega _ {i \ epsilon _ {i}} | ^ {2} = {\ frac {2 \ pi} {\ hbar}} | \ langle i | H '| \ epsilon \ rangle | ^ {2}}

{\ displaystyle \ Gamma _ {я \ to \ epsilon _ {i}} = 2 \ pi \ hbar | \ Omega _ {i \ epsilon _ {i}} | ^ {2} = {\ frac {2 \ pi} {\ hbar}} | \ langle i | H '| \ epsilon \ rangle | ^ {2}}

Приложения

Полупроводники

Золотое правило Ферми можно использовать для расчета вероятности перехода электрона, который возбуждается фотоном из валентной зоны в зону проводимости в полупроводнике с прямой запрещенной зоной, а также для случаев, когда электрон рекомбинирует с дыркой и излучает фотон. Рассмотрим фотон с частотой и волновым вектором, где соотношение световой дисперсии есть и - показатель преломления. ${\ displaystyle \ omega}$ $\омега$ ${\ displaystyle {\ textbf {q}}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {q}}}$ ${\ Displaystyle \ омега = (с / п) \ влево | {\ textbf {q}} \ вправо |}$ ${\ Displaystyle \ омега = (с / п) \ влево | {\ textbf {q}} \ вправо |}$ ${\ displaystyle n}$ $п$

Используя кулоновскую калибровку, где и, векторный потенциал электромагнитной волны определяется как где результирующее электрическое поле равно ${\ Displaystyle \ набла \ cdot {\ textbf {A}} = 0}$ ${\ Displaystyle \ набла \ cdot {\ textbf {A}} = 0}$ ${\ displaystyle V = 0}$ $V = 0$ ${\ displaystyle {\ textbf {A}} = A_ {0} {\ vec {\ epsilon}} e ^ {i ({\ textbf {q}} \ cdot {\ textbf {r}} - \ omega t)} + C}$ ${\ displaystyle {\ textbf {A}} = A_ {0} {\ vec {\ epsilon}} e ^ {i ({\ textbf {q}} \ cdot {\ textbf {r}} - \ omega t)} + C}$

{\ displaystyle {\ textbf {E}} = - \ partial {\ textbf {A}} / \ partial t = i \ omega A_ {0} {\ vec {\ epsilon}} e ^ {i ({\ textbf { q}} \ cdot {\ textbf {r}} - \ omega t)}}

{\ displaystyle {\ textbf {E}} = - \ partial {\ textbf {A}} / \ partial t = i \ omega A_ {0} {\ vec {\ epsilon}} e ^ {i ({\ textbf { q}} \ cdot {\ textbf {r}} - \ omega t)}}

Для заряженной частицы в валентной зоне гамильтониан имеет вид

{\ displaystyle H = {\ frac {({\ textbf {p}} - Q {\ textbf {A}}) ^ {2}} {2m_ {0}}} + V ({\ textbf {r}}) }

{\ displaystyle H = {\ frac {({\ textbf {p}} - Q {\ textbf {A}}) ^ {2}} {2m_ {0}}} + V ({\ textbf {r}}) }

где - потенциал кристалла. Если наша частица является электроном () и мы рассматриваем процесс с участием одного фотона и первого порядка по. В результате гамильтониан ${\ Displaystyle V ({\ textbf {r}})}$ ${\ Displaystyle V ({\ textbf {r}})}$ ${\ Displaystyle Q = -e}$ ${\ Displaystyle Q = -e}$ ${\ displaystyle {\ textbf {A}}}$ ${\ textbf {A}}$

{\ displaystyle H = H_ {0} + H '= \ left [{\ frac {{\ textbf {p}} ^ {2}} {2m_ {0}}} + V ({\ textbf {r}}) \ right] + \ left [{\ frac {e} {2m_ {0}}} ({\ textbf {p}} \ cdot {\ textbf {A}} + {\ textbf {A}} \ cdot {\ textbf {p}}) \ right]}

{\ displaystyle H = H_ {0} + H '= \ left [{\ frac {{\ textbf {p}} ^ {2}} {2m_ {0}}} + V ({\ textbf {r}}) \ right] + \ left [{\ frac {e} {2m_ {0}}} ({\ textbf {p}} \ cdot {\ textbf {A}} + {\ textbf {A}} \ cdot {\ textbf {p}}) \ right]}

где - возмущение ЭМ волны. ${\ displaystyle H '}$ $ЧАС'$

Отсюда у нас есть вероятность перехода, основанная на зависящей от времени теории возмущений, которая

{\ displaystyle \ Gamma _ {if} = {\ frac {2 \ pi} {\ hbar}} | \ langle f | H '| i \ rangle | ^ {2} \ delta (E_ {f} -E_ {i } \ pm \ hbar \ omega)}

{\ displaystyle \ Gamma _ {if} = {\ frac {2 \ pi} {\ hbar}} | \ langle f | H '| i \ rangle | ^ {2} \ delta (E_ {f} -E_ {i } \ pm \ hbar \ omega)}

{\ displaystyle H '\ приблизительно {\ гидроразрыва {eA_ {0}} {m_ {0}}} {\ vec {\ epsilon}} \ cdot {\ vec {p}}}

{\ displaystyle H '\ приблизительно {\ гидроразрыва {eA_ {0}} {m_ {0}}} {\ vec {\ epsilon}} \ cdot {\ vec {p}}}

где - вектор поляризации света. Из возмущения видно, что суть расчета лежит в матричных элементах, показанных в скобке. ${\ displaystyle {\ vec {\ epsilon}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ epsilon}}}$

Для начального и конечного состояний в валентной зоне и зоне проводимости соответственно, у нас есть и, и, если оператор не действует на спин, электрон остается в том же спиновом состоянии, и, следовательно, мы можем записать волновые функции как блоховские волны, так что ${\ displaystyle | я \ rangle = \ Psi _ {v, {\ textbf {k}} _ {i}, s_ {i}} ({\ textbf {r}})}$ ${\ displaystyle | я \ rangle = \ Psi _ {v, {\ textbf {k}} _ {i}, s_ {i}} ({\ textbf {r}})}$ ${\ displaystyle | f \ rangle = \ Psi _ {c, {\ textbf {k}} _ {f}, s_ {f}} ({\ textbf {r}})}$ ${\ displaystyle | f \ rangle = \ Psi _ {c, {\ textbf {k}} _ {f}, s_ {f}} ({\ textbf {r}})}$ ${\ displaystyle H '}$ $ЧАС'$

{\ displaystyle \ Psi _ {v, {\ textbf {k}} _ {i}} ({\ textbf {r}}) = {\ frac {1} {\ sqrt {N \ Omega _ {0}}} } u_ {n_ {v}, {\ textbf {k}} _ {i}} ({\ textbf {r}}) e ^ {i {\ textbf {k}} _ {i} \ cdot {\ textbf { р}}}}

{\ displaystyle \ Psi _ {v, {\ textbf {k}} _ {i}} ({\ textbf {r}}) = {\ frac {1} {\ sqrt {N \ Omega _ {0}}} } u_ {n_ {v}, {\ textbf {k}} _ {i}} ({\ textbf {r}}) e ^ {i {\ textbf {k}} _ {i} \ cdot {\ textbf { р}}}}

{\ displaystyle \ Psi _ {c, {\ textbf {k}} _ {f}} ({\ textbf {r}}) = {\ frac {1} {\ sqrt {N \ Omega _ {0}}} } u_ {n_ {c}, {\ textbf {k}} _ {f}} ({\ textbf {r}}) e ^ {i {\ textbf {k}} _ {f} \ cdot {\ textbf { р}}}}

{\ displaystyle \ Psi _ {c, {\ textbf {k}} _ {f}} ({\ textbf {r}}) = {\ frac {1} {\ sqrt {N \ Omega _ {0}}} } u_ {n_ {c}, {\ textbf {k}} _ {f}} ({\ textbf {r}}) e ^ {i {\ textbf {k}} _ {f} \ cdot {\ textbf { р}}}}

где - количество элементарных ячеек с объемом. Используя эти волновые функции и немного математики, сосредоточив внимание на излучении ( фотолюминесценции ), а не на поглощении, мы приходим к скорости перехода ${\ displaystyle N}$ $N$ ${\ displaystyle \ Omega _ {0}}$ $\ Omega _ {0}$

{\ displaystyle \ Gamma _ {cv} = {\ frac {2 \ pi} {\ hbar}} \ left ({\ frac {eA_ {0}} {m_ {0}}} \ right) ^ {2} | {\ vec {\ epsilon}} \ cdot {\ boldsymbol {\ mu}} _ {cv} ({\ textbf {k}}) | ^ {2} \ delta (E_ {c} -E_ {v} - \ hbar \ omega)}

{\ displaystyle \ Gamma _ {cv} = {\ frac {2 \ pi} {\ hbar}} \ left ({\ frac {eA_ {0}} {m_ {0}}} \ right) ^ {2} | {\ vec {\ epsilon}} \ cdot {\ boldsymbol {\ mu}} _ {cv} ({\ textbf {k}}) | ^ {2} \ delta (E_ {c} -E_ {v} - \ hbar \ omega)}

где - матричный элемент дипольного момента перехода качественно является математическим ожиданием и в этой ситуации принимает вид ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mu}} _ {cv}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mu}} _ {cv}}$ ${\ displaystyle \ langle c | ({\ text {charge}}) \ times ({\ text {distance}}) | v \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle c | ({\ text {charge}}) \ times ({\ text {distance}}) | v \ rangle}$

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mu}} _ {cv} = - {\ frac {i \ hbar} {\ Omega _ {0}}} \ int _ {\ Omega _ {0}} d {\ textbf { r}} 'u_ {n_ {c}, {\ textbf {k}}} ^ {*} ({\ textbf {r}}') \ nabla u_ {n_ {v}, {\ textbf {k}}} ({\ textbf {r}} ')}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mu}} _ {cv} = - {\ frac {i \ hbar} {\ Omega _ {0}}} \ int _ {\ Omega _ {0}} d {\ textbf { r}} 'u_ {n_ {c}, {\ textbf {k}}} ^ {*} ({\ textbf {r}}') \ nabla u_ {n_ {v}, {\ textbf {k}}} ({\ textbf {r}} ')}

Наконец, мы хотим узнать общую скорость перехода. Следовательно, нам нужно просуммировать по всем начальным и конечным состояниям (т.е. интеграл от зоны Бриллюэна в k- пространстве) и учесть вырождение спина, которое с помощью некоторой математики приводит к ${\ displaystyle \ Gamma (\ omega)}$ $\ Гамма (\ омега)$

${\ displaystyle \ Gamma (\ omega) = {\ frac {4 \ pi} {\ hbar}} \ left ({\ frac {eA_ {0}} {m_ {0}}} \ right) ^ {2} | {\ vec {\ epsilon}} \ cdot {\ boldsymbol {\ mu}} _ {cv} | ^ {2} \ rho _ {cv} (\ omega)}$ ${\ displaystyle \ Gamma (\ omega) = {\ frac {4 \ pi} {\ hbar}} \ left ({\ frac {eA_ {0}} {m_ {0}}} \ right) ^ {2} | {\ vec {\ epsilon}} \ cdot {\ boldsymbol {\ mu}} _ {cv} | ^ {2} \ rho _ {cv} (\ omega)}$

где - совместная плотность состояний валентной проводимости (т.е. плотность пары состояний; одно занятое валентное состояние, одно пустое состояние проводимости). В 3D это ${\ displaystyle \ rho _ {cv} (\ omega)}$ ${\ displaystyle \ rho _ {cv} (\ omega)}$

{\ displaystyle \ rho _ {cv} (\ omega) = 2 \ pi \ left ({\ frac {2m ^ {*}} {\ hbar ^ {2}}} \ right) ^ {3/2} {\ sqrt {\ hbar \ omega -E_ {g}}}}

{\ displaystyle \ rho _ {cv} (\ omega) = 2 \ pi \ left ({\ frac {2m ^ {*}} {\ hbar ^ {2}}} \ right) ^ {3/2} {\ sqrt {\ hbar \ omega -E_ {g}}}}

но совместная DOS отличается для 2D, 1D и 0D.

Наконец, отметим, что в общем виде золотое правило Ферми для полупроводников можно выразить как

{\ displaystyle \ Gamma _ {vc} = {\ frac {2 \ pi} {\ hbar}} \ int _ {\ text {BZ}} {\ frac {d {\ textbf {k}}} {4 \ pi ^ {3}}} | H_ {vc} '| ^ {2} \ delta (E_ {c} ({\ textbf {k}}) - E_ {v} ({\ textbf {k}}) - \ hbar \ omega)}

{\ displaystyle \ Gamma _ {vc} = {\ frac {2 \ pi} {\ hbar}} \ int _ {\ text {BZ}} {\ frac {d {\ textbf {k}}} {4 \ pi ^ {3}}} | H_ {vc} '| ^ {2} \ delta (E_ {c} ({\ textbf {k}}) - E_ {v} ({\ textbf {k}}) - \ hbar \ omega)}

Сканирующая туннельная микроскопия

Основная статья: Сканирующий туннельный микроскоп § Принцип работы

В сканирующем туннельном микроскопе для определения туннельного тока используется золотое правило Ферми. Это принимает форму

{\ displaystyle w = {\ frac {2 \ pi} {\ hbar}} | M | ^ {2} \ delta (E _ {\ psi} -E _ {\ chi})}

w = {\ frac {2 \ pi} {\ hbar}} | M | ^ {2} \ delta (E _ {{\ psi}} - E _ {{\ chi}})

где - матричный элемент туннелирования. ${\ displaystyle M}$ $M$

Квантовая оптика

При рассмотрении переходов уровней энергии между двумя дискретными состояниями золотое правило Ферми записывается как

{\ displaystyle \ Gamma _ {я \ к f} = {\ frac {2 \ pi} {\ hbar}} | \ langle f | H '| i \ rangle | ^ {2} g (\ hbar \ omega), }

{\ displaystyle \ Gamma _ {я \ к f} = {\ frac {2 \ pi} {\ hbar}} | \ langle f | H '| i \ rangle | ^ {2} g (\ hbar \ omega), }

где - плотность состояний фотона при данной энергии, - энергия фотона, - угловая частота. Это альтернативное выражение основано на том факте, что существует континуум конечных (фотонных) состояний, то есть диапазон разрешенных энергий фотонов непрерывен. ${\ displaystyle g (\ hbar \ omega)}$ ${\ displaystyle g (\ hbar \ omega)}$ ${\ displaystyle \ hbar \ omega}$ $\ hbar \ omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\омега$

Дрексхаге эксперимент

Как диаграмма направленности, так и полная излучаемая мощность (пропорциональная скорости затухания) диполя зависят от его расстояния от зеркала.

Золотое правило Ферми предсказывает, что вероятность распада возбужденного состояния зависит от плотности состояний. Это можно увидеть экспериментально, измерив скорость распада диполя около зеркала: поскольку наличие зеркала создает области с более высокой и более низкой плотностью состояний, измеренная скорость распада зависит от расстояния между зеркалом и диполем.

Смотрите также

Экспоненциальный распад - Плотность вероятности
Список вещей, названных в честь Энрико Ферми - статья со списком в Википедии
Распад частиц
Функция Sinc - специальная математическая функция, определяемая как sin (x) / x
Теория нестационарных возмущений
Правило Сарджента