Магнитный момент электрона

В атомной физике магнитный момент, или более конкретно магнитный дипольный момент электрона, является магнитным моментом электрона , вызванным его внутренними свойствами спина и электрический заряд. Значение магнитного момента электрона составляет примерно -9,284764 × 10 J /T. Магнитный момент электрона измерен с точностью до 7,6 частей на 10.

• 1 Магнитный момент электрона
  • 1,1 Формальное определение
  • 1,2 Спиновый магнитный дипольный момент
  • 1,3 Орбитальный магнитный диполь момент
  • 1,4 Полный магнитный дипольный момент
• 2 Пример: атом водорода
• 3 Спин электрона в теориях Паули и Дирака
• 4 Измерение
• 5 См. также
• 6 Ссылки
• 7 Библиография

Электрон - это заряженная частица с зарядом -1e, где e в данном контексте является единицей элементарного заряда. Его угловой момент происходит от двух типов вращения: вращения и орбитального движения. Согласно классической электродинамике, вращающееся электрически заряженное тело создает магнитный диполь с магнитными полюсами равной величины, но противоположной полярностью. Эта аналогия верна, поскольку электрон действительно ведет себя как крошечный стержневой магнит . Одним из следствий является то, что внешнее магнитное поле оказывает крутящий момент на магнитный момент электрона в зависимости от его ориентации по отношению к полю.

Если электрон визуализируется как классическая заряженная частица, вращающаяся вокруг оси с угловым моментом L, его магнитный дипольный момент μ определяется выражением :

$\mu \; =\; -\; e\; 2\; me\; L,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mu\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{-e\}\; \{~\; 2\; \backslash ,\; m\; \_\; \{\backslash \; text\; \{e\}\}\; ~\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; \backslash ,,\}$

где m e - масса покоя электрона . Обратите внимание, что угловой момент Lв этом уравнении может быть спиновым угловым моментом, орбитальным угловым моментом или полным угловым моментом. Оказывается, классический результат отличается пропорциональным коэффициентом для спинового магнитного момента . В результате классический результат корректируется путем умножения его на безразмерный поправочный коэффициент g, известный как g-фактор :

$\mu \; =\; g\; (-\; e)\; 2\; m\; e\; L.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mu\}\}\; =\; g\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{(-e)\}\; \{~\; 2\; \backslash ,\; m\; \_\; \{\backslash \; text\; \{e\}\}\; ~\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; \backslash ,.\; \}$

Обычно магнитный момент выражают через приведенную постоянную Планка ħ и магнетон Бора μB:

$\mu \; =\; -\; g\; \mu \; BL\; \hslash .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mu\}\}\; =\; -\; g\; \backslash ,\; \backslash \; mu\; \_\; \{\backslash \; text\; \{B\}\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{~\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; ~\}\; \{\backslash \; hbar\}\}\; \backslash ,.\}$

Поскольку магнитный момент квантуется в единицах μ B, соответственно, угловой момент квантуется в единицах.

Формальное определение

Классические понятия, такие как центр заряда и масса, однако, трудно уточнить для квантовой элементарной частицы. На практике определение, используемое экспериментаторами, происходит от форм-факторов $F\; i\; (q\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{i\}\; (q\; ^\; \{2\})\}$, встречающихся в матричный элемент

$⟨pf\; |\; j\; \mu \; |\; pi⟩\; =\; u\; ¯\; (pf)\; \{F\; 1\; (q\; 2)\; \gamma \; \mu \; +\; i\; \sigma \; \mu \; \nu \; 2\; meq\; \nu \; F\; 2\; (q\; 2)\; +\; i\; ϵ\; \mu \; \nu \; \rho \; \sigma \; \sigma \; \rho \; \sigma \; q\; \nu \; F\; 3\; (q\; 2)\; +\; 1\; 2\; мне\; (q\; \mu \; -\; q\; 2\; 2\; m\; \gamma \; \mu )\; \gamma \; 5\; F\; 4\; (q\; 2)\}\; u\; (pi)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; p\_\; \{f\}\; |\; j\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; |\; p\_\; \{i\}\; \backslash \; rangle\; =\; \{\backslash \; bar\; \{u\}\}\; (p\_\; \{f\})\; \backslash \; left\; \backslash \; \{F\_\; \{1\}\; (q\; ^\; \{2\})\; \backslash \; gamma\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{~\; i\; \backslash \; sigma\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; ~\}\; \{~\; 2\; \backslash ,\; m\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{e\}\}\; ~\}\}\; q\; \_\; \{\backslash \; nu\}\; F\_\; \{2\}\; (q\; ^\; \{2\})\; +\; i\; \backslash \; epsilon\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\; \backslash \; rho\; \backslash \; sigma\; \}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; rho\; \backslash \; sigma\}\; q\; \_\; \{\backslash \; nu\}\; F\_\; \{3\}\; (q\; ^\; \{2\})\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{~\; 2\; \backslash ,\; m\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{e\}\}\; ~\}\}\; \backslash \; left\; (q\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{q\; ^\; \{2\}\}\; \{2m\}\}\; \backslash \; gamma\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; gamma\; \_\; \{5\}\; F\_\; \{4\}\; (q\; ^\; \{2\})\; \backslash \; right\; \backslash \}\; u\; (p\_\; \{i\})\}$

оператора электромагнитного тока между двумя состояниями на оболочке. Здесь $u\; (pi)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (p\_\; \{i\})\}$и $u\; ¯\; (pf)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{u\}\}\; (p\_\; \{f\})\; \}$- это 4-спинорное решение уравнения Дирака, нормализованное так, что $u\; ¯\; u\; =\; 2\; me\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{u\}\}\; u\; =\; 2m\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{e\}\}\}$и $q\; \mu \; =\; pf\; \mu \; -\; pi\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; q\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; =\; p\_\; \{f\}\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; -p\_\; \{i\}\; ^\; \{\; \backslash \; mu\}\}$- передача импульса от тока электрону. $q\; 2\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; ^\; \{2\}\; =\; 0\}$форм-фактор $F\; 1\; (0)\; =\; -\; e\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{1\}\; (0)\; =\; -\; e\}$- заряд электрона, $\mu \; =\; [F\; 1\; (0)\; +\; F\; 2\; (0)]\; /\; [2\; me]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; =\; [\backslash ,\; F\_\; \{1\}\; (\; 0)\; +\; F\_\; \{2\}\; (0)\; \backslash ,]\; /\; [\backslash ,\; 2\; \backslash ,\; m\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{e\}\}\; \backslash ,]\}$- его статический магнитный дипольный момент, а $-\; F\; 3\; (0)\; /\; [2\; me]\; \{\backslash \; displaystyle\; -F\_\; \{3\}\; (0)\; /\; [\backslash ,\; 2\; \backslash ,\; m\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{e\}\}\; \backslash ,]\}$дает формальное определение электрического дипольного момента электрона. Оставшийся форм-фактор $F\; 4\; (q\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{4\}\; (q\; ^\; \{2\})\}$, если он не равен нулю, будет анапольным моментом.

Спиновый магнитный дипольный момент

Спиновый магнитный момент является внутренним для электрона. Это

$\mu \; s\; =\; -\; g\; s\; \mu \; B\; S\; \hslash .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mu\}\}\; \_\; \{\backslash \; text\; \{s\}\}\; =\; -\; g\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{s\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; mu\; \_\; \{\backslash \; text\; \{B\}\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{~\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; ~\}\; \{\backslash \; hbar\}\}\; \backslash ,.\}$

Здесь S - спиновый угловой момент электрона. Спин g-фактор приблизительно равен двум: $g\; s\; \approx \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{s\}\}\; \backslash \; приблизительно\; 2\}$. Магнитный момент электрона примерно вдвое больше, чем он должен быть в классической механике. Множитель два означает, что электрон оказывается в два раза более эффективным в создании магнитного момента, чем соответствующее классическое заряженное тело.

Спиновый магнитный дипольный момент составляет приблизительно один μ B, потому что $gs\; \approx \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{s\}\}\; \backslash \; приблизительно\; 2\}$а электрон - частица со спином ⁄ 2 (S = ⁄ 2):

$\mu \; s\; \approx \; 2\; e\; \hslash \; 2\; mec\; (\hslash \; 2)\; \hslash \; =\; \mu \; B.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{s\}\}\; \backslash \; приблизительно\; 2\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{e\; \backslash \; hbar\}\; \{~\; 2\; \backslash ,\; m\; \_\; \{\backslash \; text\; \{e\}\}\; \backslash ,\; c\; ~\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash ,\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\}\; \{\backslash \; hbar\}\}\; =\; \backslash \; mu\; \_\; \{\backslash \; text\; \{B\}\}\; \backslash ,.\}$

z-компонента электрона магнитный момент равен

$(\mu \; s)\; z\; =\; -\; gs\; \mu \; B\; ms,\; \{\backslash \; displaystyle\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mu\}\}\; \_\; \{\backslash \; text\; \{s\}\})\; \_\; \{z\}\; =\; -\; g\; \_\; \{\backslash \; text\; \{\; s\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; mu\; \_\; \{\backslash \; text\; \{B\}\}\; \backslash ,\; m\; \_\; \{\backslash \; text\; \{s\}\}\; \backslash ,,\}$

где m s - квантовое число спина. Обратите внимание, что μ - отрицательная константа, умноженная на спин, поэтому магнитный момент антипараллелен спиновому угловому моменту.

Спин g-фактор gs= 2 происходит из уравнения Дирака, фундаментального уравнения, связывающего спин электрона с его электромагнитными свойствами. Сведение уравнения Дирака для электрона в магнитном поле к его нерелятивистскому пределу приводит к уравнению Шредингера с поправочным членом, который учитывает взаимодействие собственного магнитного момента электрона с магнитным полем, дающим правильную энергию.

Для спина электрона наиболее точное значение для спина g-фактора было экспериментально определено как значение

2,00231930436182 (52).

Обратите внимание, что это всего на две тысячные больше, чем значение из уравнения Дирака. Небольшая поправка известна как аномальный магнитный дипольный момент электрона; он возникает из-за взаимодействия электрона с виртуальными фотонами в квантовой электродинамике. Фактически, одним из знаменитых достижений теории квантовой электродинамики является точное предсказание g-фактора электрона. Наиболее точное значение магнитного момента электрона составляет

−9,284764620 (57) × 10 Дж / Тл.

Орбитальный магнитный дипольный момент

Вращение электрона вокруг оси через другой объект, например как ядро, порождает орбитальный магнитный дипольный момент. Предположим, что угловой момент орбитального движения равен L . Тогда орбитальный магнитный дипольный момент равен

$\mu \; L\; =\; -\; g\; L\; \mu \; B\; L\; \hslash .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mu\}\}\; \_\; \{L\}\; =\; -\; g\; \_\; \{\backslash \; text\; \{L\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; mu\; \_\; \{\backslash \; text\; \{B\}\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{~\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; ~\; \}\; \{\backslash \; hbar\}\}\; \backslash ,.\}$

Здесь g L - орбитальный g-фактор, а μ B - Боровский магнетон. Значение g L в точности равно единице по квантово-механическому аргументу, аналогичному выводу классического гиромагнитного отношения.

полного магнитного дипольного момента

полного магнитный дипольный момент, возникающий как из спина, так и из орбитального углового момента электрона, связан с полным угловым моментом J аналогичным уравнением:

$\mu \; J\; =\; g\; J\; \mu \; BJ\; \hslash .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mu\}\}\; \_\; \{\backslash \; text\; \{J\}\}\; =\; g\; \_\; \{\backslash \; text\; \{J\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; mu\; \_\; \{\backslash \; text\; \{B\}\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{~\; \backslash \; mathbf\; \{\; J\}\; ~\}\; \{\backslash \; hbar\}\}\; \backslash ,.\}$

g-фактор gJизвестен как g-фактор Ланде, который может быть связан с g L и g S квантовой механикой. Подробнее см. g-фактор Ланде.

Для атома водорода, электрон, занимающий атомную орбиталь Ψ n,, m, магнитный дипольный момент определяется как

$\mu \; L\; =\; -\; g\; L\; \mu \; B\; \hslash \; ⟨\Psi \; n,\; \ell ,\; m\; |\; L\; |\; N,\; \ell ,\; m⟩\; =\; -\; \mu \; B\; \ell \; (\ell \; +\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{\backslash \; text\; \{L\}\}\; =\; -\; g\; \_\; \{\backslash \; text\; \{L\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{\backslash \; text\; \{B\}\}\}\; \{\backslash \; hbar\}\}\; \backslash \; langle\; \backslash \; Psi\; \_\; \{n,\; \backslash \; ell,\; m\}\; |\; L\; |\; \backslash \; Psi\; \_\; \{n,\; \backslash \; ell,\; m\}\; \backslash \; rangle\; =\; -\; \backslash \; mu\; \_\; \{\backslash \; text\; \{B\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; ell\; (\backslash \; ell\; +1)\}\}.\}.$

Здесь L - орбитальный угловой момент, n, ℓ и m - главный, азимутальный и магнитные квантовые числа соответственно. Компонент z орбитального магнитного дипольного момента для электрона с магнитным квантовым числом mℓопределяется выражением

$(\mu \; L)\; z\; =\; -\; \mu \; B\; m\; \ell .\; \{\backslash \; displaystyle\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mu\}\}\; \_\; \{\backslash \; text\; \{L\}\})\; \_\; \{z\}\; =\; -\; \backslash \; mu\; \_\; \{\backslash \; text\; \{B\}\}\; m\; \_\; \{\backslash \; ell\}.\}$

Отсюда заряд электрона e < 0. The necessity of introducing half-integral спин экспериментально восходит к результатам эксперимента Штерна – Герлаха. Пучок атомов проходит через сильное неоднородное магнитное поле, которое затем разделяется на N частей в зависимости от собственного углового момента атомов. Было обнаружено, что для атомов серебра пучок разделялся на две части - поэтому основное состояние не могло быть целым, потому что даже если бы собственный угловой момент атомов был как можно меньше 1, пучок будет разбит на 3 части, соответствующие атомам с L z = -1, 0 и +1. Вывод состоит в том, что чистый собственный угловой момент атомов серебра равен ⁄ 2. . Паули создал теорию, которая объяснила это расщепление, введя двухкомпонентную волновую функцию и соответствующий поправочный член в гамильтониан <215.>, представляющий полуклассическую связь этой волновой функции с приложенным магнитным полем, как так:

$H\; =\; 1\; 2\; м\; [\sigma \; \cdot \; (p\; -\; ec\; A)\; ]\; 2\; +\; e\; \varphi .\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2m\}\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{p\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{e\}\; \{c\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{\; A\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; ^\; \{2\}\; +\; e\; \backslash \; phi.\}$

Здесь A - это векторный магнитный потенциал, а ϕ электрический потенциал, оба представляют электромагнитное поле, и σ = (σ x, σ y, σ z) - матрицы Паули. При возведении в квадрат первого члена обнаруживается остаточное взаимодействие с магнитным полем наряду с обычным классическим гамильтонианом заряженной частицы, взаимодействующей с приложенным полем:

$H\; =\; 1\; 2\; m\; (p\; -\; ec\; A)\; 2\; +\; e\; \varphi \; -\; e\; \hslash \; 2\; mc\; \sigma \; \cdot \; B.\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2m\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{p\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{e\}\; \{c\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; e\; \backslash \; phi\; -\; \{\backslash \; frac\; \{e\; \backslash \; hbar\}\; \{2mc\}\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{B\}.\}$

Этот гамильтониан теперь является матрицей 2 × 2, поэтому уравнение Шредингера на его основе необходимо использовать двухкомпонентную волновую функцию. Паули представил сигма-матрицы 2 × 2 как чистую феноменологию - теперь у Дирака был теоретический аргумент, который подразумевал, что спин каким-то образом был следствием включения теории относительности в квантовую механику. При введении внешнего электромагнитного 4-потенциала в уравнение Дирака аналогичным образом, известного как минимальная связь, он принимает форму (в натуральных единицах ħ = с = 1)

$[-\; я\; \gamma \; \mu \; (\partial \; \mu \; +\; т.е.\; A\; \mu )\; +\; m]\; \psi \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [-i\; \backslash \; gamma\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; mu\; \}\; +\; ieA\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; right)\; +\; m\; \backslash \; right]\; \backslash \; psi\; =\; 0\; \backslash ,\}$

где $\gamma \; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \backslash \; gamma\; ^\; \{\backslash \; mu\}\}$- это гамма-матрицы (известные как матрицы Дирака ), а i - мнимая единица. Второе применение оператора Дирака теперь будет воспроизводить член Паули точно так же, как раньше, потому что пространственные матрицы Дирака, умноженные на i, имеют те же свойства возведения в квадрат и коммутации, что и матрицы Паули. Более того, значение гиромагнитного отношения электрона, стоящего перед новым членом Паули, объясняется из первых принципов. Это было главным достижением уравнения Дирака, которое вселило в физиков большую веру в его общую правильность. Теорию Паули можно рассматривать как низкоэнергетический предел теории Дирака следующим образом. Сначала уравнение записывается в виде связанных уравнений для 2-спиноров с восстановленными единицами:

$((mc\; 2\; -\; E\; +\; e\; \varphi )\; c\; \sigma \; \cdot \; (p\; -\; ec\; A)\; -\; c\; \sigma \; \cdot \; (p\; -\; ec\; A)\; (mc\; 2\; +\; E\; -\; e\; \varphi ))\; (\psi \; +\; \psi \; -)\; =\; (0\; 0).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; (mc\; ^\; \{2\}\; -E\; +\; e\; \backslash \; phi)\; c\; \backslash \; sigma\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{p\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{e\}\; \{c\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{A\; \}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; -\; c\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{p\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{e\}\; \{c\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (mc\; ^\; \{2\}\; +\; Ee\; \backslash \; phi\; \backslash \; right)\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; \backslash \; psi\; \_\; \{+\}\; \backslash \backslash \backslash \; psi\; \_\; \{-\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}.\}$

так что

$(E\; -\; e\; \varphi )\; \psi \; +\; -\; c\; \sigma \; \cdot \; (p\; -\; ec\; A)\; \psi \; -\; =\; mc\; 2\; \psi \; +\; -\; (E\; -\; e\; \varphi )\; \psi \; -\; +\; с\; \sigma \; \cdot \; (п\; -\; ec\; A)\; \psi \; +\; =\; mc\; 2\; \psi \; -\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; (Ee\; \backslash \; phi)\; \backslash \; psi\; \_\; \{+\}\; -\; c\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{p\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{e\}\; \{c\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; psi\; \_\; \{-\}\; =\; mc\; ^\; \{2\}\; \backslash \; psi\; \_\; \{+\}\; \backslash \backslash \; -\; (Ee\; \backslash \; phi)\; \backslash \; psi\; \_\; \{-\}\; +\; c\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{p\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{e\}\; \{c\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; psi\; \_\; \{+\}\; =\; mc\; ^\; \{2\}\; \backslash \; psi\; \_\; \{-\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Предполагая, что поле слабое, а движение электрона нерелятивистское, мы имеем полную энергию электрона примерно равной его энергии покоя, а импульс, уменьшающийся до классического значения,

$E\; -\; e\; \varphi \; \approx \; mc\; 2\; p\; \approx \; mv\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; Ee\; \backslash \; phi\; \backslash \; приблизительно\; mc\; ^\; \{2\}\; \backslash \backslash \; p\; \backslash \; приблизительно\; mv\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

, поэтому второе уравнение можно записать как

$\psi \; -\; \approx \; 1\; 2\; mc\; \sigma \; \cdot \; (п\; -\; ec\; A)\; \psi \; +\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{-\}\; \backslash \; ок\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2mc\}\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{p\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{e\}\; \{c\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; psi\; \_\; \{+\}\}$

который имеет порядок ⁄ c - таким образом при типичных энергиях и скоростях нижние компоненты спинора Дирака в стандартном представлении значительно подавлены по сравнению с верхними компонентами. Подстановка этого выражения в первое уравнение дает после некоторой перестановки

$(E\; -\; mc\; 2)\; \psi \; +\; =\; 1\; 2\; m\; [\sigma \; \cdot \; (p\; -\; ec\; A)]\; 2\; \psi \; +\; +\; e\; \varphi \; \psi \; +\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\; E-mc\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; psi\; \_\; \{+\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2m\}\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{p\}\; -\; \{\; \backslash \; frac\; \{e\}\; \{c\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; ^\; \{2\}\; \backslash \; psi\; \_\; \{+\}\; +\; e\; \backslash \; phi\; \backslash \; psi\; \_\; \{+\}\}$

Оператор слева представляет энергия частицы уменьшается на ее энергию покоя, которая является просто классической энергией, поэтому мы восстановим теорию Паули, если отождествим его 2-спинор с верхними компонентами спинора Дирака в нерелятивистском приближении. Дальнейшее приближение дает уравнение Шредингера как предел теории Паули. Таким образом, уравнение Шредингера можно рассматривать как далеко нерелятивистское приближение уравнения Дирака, когда можно пренебречь спином и работать только при низких энергиях и скоростях. Это также было большим триумфом для нового уравнения, поскольку оно прослеживало загадочное i, которое появляется в нем, и необходимость сложной волновой функции обратно к геометрии пространства-времени через алгебру Дирака. Это также подчеркивает, почему уравнение Шредингера, хотя на первый взгляд имеет форму уравнения диффузии, на самом деле представляет собой распространение волн.

Следует особо подчеркнуть, что это разделение спинора Дирака на большие и малые компоненты явно зависит от низкоэнергетического приближения. Весь спинор Дирака представляет собой неприводимое целое, и компоненты, которыми мы только что пренебрегли, чтобы прийти к теории Паули, принесут новые явления в релятивистском режиме - антивещество и идею создания и уничтожения частиц.

В общем случае (если некоторая линейная функция электромагнитного поля не обращается в нуль тождественно), три из четырех компонентов спинорной функции в уравнении Дирака могут быть алгебраически исключены, давая эквивалентный частичный четвертый порядок дифференциальное уравнение только для одного компонента. Кроме того, этот оставшийся компонент можно сделать реальным с помощью калибровочного преобразования.

Существование аномального магнитного момента электрона было экспериментально обнаружено магнитно-резонансный метод. Это позволяет определять сверхтонкое расщепление уровней энергии электронной оболочки в атомах протия и дейтерия, используя измеренную резонансную частоту для нескольких переходов.

Магнитный момент электрона был измерен с использованием одноэлектронной квантовой циклотронной и квантовой неразрушающей спектроскопии. Частота вращения электрона определяется g-фактором.

$\nu \; s\; =\; g\; 2\; \nu \; c\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; \_\; \{s\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{g\}\; \{2\}\}\; \backslash \; nu\; \_\; \{\; c\}\}$

$g\; 2\; =\; \nu \; ¯\; c\; +\; \nu \; ¯\; a\; \nu \; ¯\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{g\}\; \{2\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; bar\; \{\backslash \; nu\}\}\; \_\; \{c\}\; +\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; nu\}\}\; \_\; \{a\}\}\; \{\{\backslash \; bar\; \{\backslash \; nu\}\}\; \_\; \{c\}\}\}\}$

• Электронное высыпание
• Магнетон Бора
• Ядерный магнитный момент
• Магнитный момент нейтрона
• Магнитный момент протона
• Аномальный магнитный дипольный момент
• Электрический дипольный момент электрона
• Тонкая структура
• Сверхтонкая структура

• Сергей Вонсовский (1975). Магнетизм элементарных частиц. Издательство Мир.
• Син-Итиро Томонага (1997). История спина. University of Chicago Press.