Детали в спектре излучения атома
Интерференционные полосы, показывающие тонкую структуру (расщепление) охлажденного
источник дейтерия, видимый через
интерферометр Фабри – Перо.
В атомной физике тонкая структура описывает расщепление спектральных линий из атомов из-за спина электрона и релятивистских поправок к нерелятивистскому уравнению Шредингера. Впервые он был точно измерен для атома водорода Альбертом А. Майкельсоном и Эдвардом В. Морли в 1887 году, заложив основу для теоретического рассмотрения Арнольд Зоммерфельд, вводя постоянную тонкой структуры.
Содержание
- 1 Предпосылки
- 1.1 Общая структура
- 1.2 Релятивистские поправки
- 2 Атом водорода
- 2.1 Кинетическая энергия релятивистская поправка
- 2.2 Спин-орбитальная связь
- 2.3 Термин Дарвина
- 2.4 Общий эффект
- 2.5 Точные релятивистские энергии
- 3 См. также
- 4 Ссылки
- 5 Внешние ссылки
Предпосылки
Общая структура
Общая структура линейчатых спектров - это линейчатые спектры, предсказанные квантовой механикой нерелятивистских электронов без спина. Для водородного атома энергетические уровни грубой структуры зависят только от главного квантового числа n. Однако более точная модель учитывает релятивистские и спиновые эффекты, которые нарушают вырождение уровней энергии и расщепляют спектральные линии. Масштаб расщепления тонкой структуры относительно энергий грубой структуры порядка (Zα), где Z - атомный номер , а α - постоянная тонкой структуры, a безразмерное число, равное примерно 1/137.
Релятивистские поправки
Поправки на энергию тонкой структуры могут быть получены с использованием теории возмущений. Для выполнения этого расчета необходимо добавить три корректирующих члена к гамильтониану : релятивистская поправка ведущего порядка к кинетической энергии, поправка, обусловленная спин-орбитальной связью, и член Дарвина, обусловленный квантовыми флуктуациями. движение или zitterbewegung электрона.
Эти поправки также могут быть получены из нерелятивистского предела уравнения Дирака, поскольку теория Дирака естественным образом включает в себя относительность и спин взаимодействия.
Атом водорода
В этом разделе обсуждаются аналитические решения для атома водорода, поскольку проблема решается аналитически и является базовой моделью для расчета уровней энергии в более сложных атомах..
Релятивистская поправка кинетической энергии
В грубой структуре предполагается, что член кинетической энергии гамильтониана принимает ту же форму , что и в классической механике, которая для один электрон означает
где V - потенциальная энергия, - импульс, а - масса покоя электрона.
Однако, рассматривая более точную теорию природы с помощью специальной теории относительности, мы должны использовать релятивистскую форму кинетической энергии,
где первый член - это полная релятивистская энергия, а второй член - остаток энергия электрона (- скорость света ). Раскладывая квадратный корень для больших значений , мы находим
Хотя в этой серии есть бесконечное количество терминов, более поздние члены намного меньше, чем более ранние, и поэтому мы можем игнорировать все, кроме первых двух. Поскольку первый член выше уже является частью классического гамильтониана, поправка первого порядка к гамильтониану равна
Используя это как возмущение, мы можем вычислить поправки к энергии первого порядка из-за релятивистские эффекты.
где - это невозмущенная волновая функция. Вспоминая невозмущенный гамильтониан, получаем
Мы можем использовать этот результат для дальнейшего вычисления релятивистской поправки:
Для атома водорода
, и ,
где - элементарный заряд, - диэлектрическая проницаемость, - Радиус Бора, - это главное квантовое число, - азимутальное квантовое число и - расстояние электрона от ядра. Следовательно, релятивистская поправка первого порядка для атома водорода равна
где мы использовали:
При окончательном вычислении порядок величины релятивистской поправки к основному состоянию составляет .
Спин-орбитальная связь
Для водорода -подобный атом с pro тонн (для водорода), орбитальный угловой момент и спин электрона , член спин-орбиты определяется как:
где - спин g-фактор.
Коррекция орбиты вращения может быть понята путем перехода от стандартной системы отсчета (где электрон вращается вокруг ядра ) в одно, где электрон неподвижен, а ядро вращается вокруг него. В этом случае орбитальное ядро функционирует как эффективная токовая петля, которая, в свою очередь, будет генерировать магнитное поле. Однако сам электрон обладает магнитным моментом из-за его собственного углового момента. Два магнитных вектора: и соединяются вместе, так что существует определенная стоимость энергии в зависимости от их взаимного расположения. Это приводит к энергетической поправке вида
Обратите внимание, что к вычислению необходимо добавить важный коэффициент 2, называемый прецессией Томаса, который исходит из релятивистского вычисления, которое снова меняется на рамка электрона от рамки ядра.
Поскольку
математическое ожидание для гамильтониана:
Таким образом порядок величины спин-орбитальной связи составляет .
При приложении слабых внешних магнитных полей спин-орбитальная связь способствует эффект Зеемана.
член Дарвина
В нерелятивистском разложении уравнения Дирака есть последний член. Он упоминается как термин Дарвина, так как он был впервые получен Чарльзом Гальтоном Дарвином и выражается как:
Термин Дарвина влияет только на s-орбитали. Это потому, что волновая функция электрона с исчезает в начале координат, поэтому дельта-функция не действует. та же энергия, что и 2p-орбиталь, за счет увеличения 2s-состояния на 9,057 × 10 эВ.
Термин Дарвина изменяет эффективный потенциал на ядре. Его можно интерпретировать как размытие электростатического взаимодействия между электроном и ядро из-за zitterbewegung, или быстрых квантовых колебаний электрона. Это можно продемонстрировать коротким расчетом.
Квантовые флуктуации позволяют создать виртуальный электрон -позитронные пары, срок службы которых оценивается по принципу неопределенности . Расстояние, на которое частицы могут перемещаться за это время, составляет , длина волны Комптона. Электроны атома взаимодействуют с этими парами. Это дает колеблющееся положение электрона . Используя разложение Тейлора, можно оценить влияние на потенциал :
Усреднение по колебаниям
дает средний потенциал
Аппроксимация , это дает возмущение потенциала из-за флуктуаций:
Для сравнения с приведенным выше выражением подставьте кулоновский потенциал :
Это немного отличается.
Другой механизм, влияющий только на s-состояние, - это сдвиг Лэмба, дополнительная, меньшая поправка, возникающая в квантовой электродинамике, которую не следует путать с дарвиновским срок. Термин Дарвина дает s-состоянию и p-состоянию одинаковую энергию, но лэмбовский сдвиг делает s-состояние более высоким по энергии, чем p-состояние.
Суммарный эффект
Полный гамильтониан определяется как
где - гамильтониан из кулоновской взаимодействие.
Суммарный эффект, полученный суммированием трех компонентов, дается следующим выражением:
где - полный угловой момент ( , если и в противном случае). Стоит отметить, что это выражение было впервые получено Зоммерфельдом на основе старой теории Бора ; т.е. до того, как была сформулирована современная квантовая механика.
Энергетическая диаграмма атома водорода для n = 2 с поправкой на тонкую структуру и магнитное поле. В первом столбце показан нерелятивистский случай (только кинетическая энергия и кулоновский потенциал), релятивистская поправка к кинетической энергии добавляется во втором столбце, третий столбец включает всю тонкую структуру, а третий добавляет
зеемановский эффект (зависимость от магнитного поля).
Точные релятивистские энергии
Релятивистские поправки (Дирака) к уровням энергии атома водорода из модели Бора. Коррекция тонкой структуры предсказывает, что
линия Лаймана-альфа (испускаемая при переходе от n = 2 к n = 1) должна разделиться на дублет.
Общий эффект также может быть получен с помощью Уравнение Дирака. В этом случае электрон считается нерелятивистским. Точные значения энергии даются как
Это выражение, которое содержит все члены более высокого порядка, которые не учитывались в других вычислениях, расширяется до первого порядка, чтобы получить поправки на энергию, полученные из возмущения теория. Однако это уравнение не содержит поправок на сверхтонкую структуру , которые обусловлены взаимодействиями со спином ядра. Другие поправки из квантовой теории поля, такие как лэмбовский сдвиг и аномальный магнитный дипольный момент электрона, не включены.
См. Также
Ссылки
- Griffiths, David J. (2004). Введение в квантовую механику (2-е изд.). Прентис Холл. ISBN 0-13-805326-X.
- Либофф, Ричард Л. (2002). Введение в квантовую механику. Эддисон-Уэсли. ISBN 0-8053-8714-5.
Внешние ссылки