Теорема о замкнутом графике (функциональный анализ)

В математике, особенно в функционального анализа и топологии, теорема о замкнутом графике является фундаментальным результатом, утверждающим, что линейный оператор с замкнутым графом будет, при определенных условиях быть непрерывным. Исходный результат был многократно обобщен, поэтому сейчас существует множество теорем, называемых «теоремами о замкнутом графике».

• 1 Определения
  • 1.1 Графы и замкнутые графы
  • 1.2 Линейные операторы
  • 1.3 Замкнутые линейные операторы
• 2 Характеризация замкнутых графов (общая топология)
  • 2.1 Основные свойства карт с замкнутыми графами
• 3 Примеры и контрпримеры
  • 3.1 Непрерывные, но не замкнутые отображения
  • 3.2 Замкнутые, но не непрерывные отображения
• 4 Теоремы о замкнутых графах
  • 4.1 Между банаховыми пространствами
• 5 Теорема Бореля о графах
• 6 Связанные результаты
• 7 См. Также
• 8 Ссылки
• 9 Библиография

Графики и замкнутые графики

Определение и обозначения : график функции f: X → Y - это множество

Gr f: = {(x, f (x)): x ∈ X} = {(x, y) ∈ X × Y: y = f (x)}.

Предположение : Если X и Y являются топологическими пространствами, то X × Y всегда будет наделен топология продукта .

Определение : Если X и Y - топологические пространства, D ⊆ X и f: D → Y - функция, то мы говорим, что f имеет замкнутый график (соотв. последовательно замкнутый граф ) в X × Y, если график f, Gr f, является замкнутым (соответственно последовательно замкнутым ) подмножество X × Y. Если D = X или если X ясен из контекста, мы можем опустить запись «в X × Y»

Линейные операторы

Определение и обозначение : A частичное отображение, обозначаемое f: X ↣ Y, если отображение из подмножества X, обозначаемое dom f, в Y. Если мы пишем f: D ⊆ X → Y, то мы имеем в виду, что f: X ↣ Y - частичное отображение и dom f = D.

Определение и обозначение : Если мы говорим, что f: D ⊆ X → Y является замкнутым (соответственно последовательно замкнутым ) или имеет замкнутый граф (соответственно, имеет последовательно замкнутый граф ), то мы подразумеваем, что график f замкнут (соответственно, замкнутый последовательно) в X × Y (а не в D × Y).

Определение : если мы говорим, что f: D ⊆ X → Y является линейным или линейным оператором, то мы имеем в виду что X и Y - это векторные пространства, D ⊆ X - векторное подпространство X, f: D → Y - линейное отображение.

C потерянные линейные операторы

Предположение : в дальнейшем мы будем предполагать, что X и Y являются топологическими векторными пространствами (TVS).

Определение : линейный оператор f: D ⊆ X → Y называется замкнутым или замкнутым линейным оператором, если его график замкнут в X × Y.

Замыкаемые отображения и замыкания

Определение : мы говорим, что линейный оператор f: D ⊆ X → Y замыкается в X × Y, если существует векторное подпространство E ⊆ X, содержащее S и функцию (соответственно. многофункциональность) F: E → Y, график которого равен замыканию множества Gr f в X × Y. Такое F называется замыканием f в X × Y, обозначается f и обязательно расширяет f.

Определение : Если f: D ⊆ X → Y - закрываемый линейный оператор, то ядро ​​или существенная область f является подмножеством C ⊆ D такое, что замыкание в X × Y графика ограничения f | C : C → Y f на C равно замыканию графика f в X × Y (т. е. замыкание Gr f в X × Y равно замыканию Gr f | C в X × Y).

Замкнутые карты против замкнутых линейных операторов

При чтении литературы в функциональном анализе, если f: X → Y является линейным отображением между топологическими векторными пространствами (TVS), то «f закрыто» почти всегда будет означать, что его график замкнут. Однако выражение «f замкнуто» может, особенно в литературе о топологии множества точек, вместо этого означать следующее:

Определение : отображение f: X → Y между топологическими пространствами называется закрытая карта, если изображение замкнутого подмножества X является замкнутым подмножеством Y.

Эти два определения «замкнутой карты» не эквивалентны. Если что-то неясно, то рекомендуется, чтобы читатель проверил, как «замкнутая карта» определяется в литературе, которую он читает.

Пусть X и Y - топологические пространства.

Функция с замкнутым графиком

Если f: X → Y - функция, то следующие условия эквивалентны:

1. f имеет замкнутый график (в X × Y);
2. (определение) график f, Gr f, является замкнутым подмножеством X × Y;
3. для любого x ∈ X и net x•= (x i)i ∈ I в X такое, что x • → x в X, если y ∈ Y таково, что сеть f (x •): = (f (x i))i ∈ I → y в Y, тогда y = f (x);
   • Сравните это с определением непрерывности в терминах сетей, которое, напомним, следующее: для любого x ∈ X и сети x • = (x i)i ∈ I в X такое, что x • → x в X, f (x •) → f (x) в Y.
   • Таким образом, чтобы показать, что функция f имеет замкнутый график, мы можем предположить, что f (x •) сходится в Y к некоторому y ∈ Y (а затем показать, что y = f (x)), а чтобы показать, что f непрерывна, мы не можем предполагать, что f (x •) сходится в Y к некоторому y ∈ Y, и вместо этого мы должны доказать, что это верно (и, более того, мы должны более конкретно что f (x •) сходится к f (x) в Y).

и если Y является Hausdorff компактным пространством, то мы можем добавить к этому списку:

4. f является непрерывным;

и если и X, и Y - пробелы с первым счетом, тогда мы можем добавить к этому списку:

5. f имеет последовательно замкнутый граф (в X × Y);

Функция с последовательно замкнутым графом

Если f : X → Y - функция, тогда следующие эквивалентны:

1. f имеет последовательно замкнутый граф (в X × Y);
2. (определение) график f является последовательно замкнутым подмножеством X × Y;
3. для любого x ∈ X и последовательности x•= (x i). i = 1 в X, такой что x • → x в X, если y ∈ Y таково, что сеть f (x •): = (f (x i)). i = 1 → y в Y, то y = f (x);

Основные свойства отображений с замкнутыми графами

Для линейного оператора f: D (f) ⊆ X → Y между банаховыми пространствами легко проверяются следующие свойства:

• Если A замкнуто, то A - λId D (f) замкнуто, где λ - скаляр, а Id D (f) - тождественная функция ;
• Если f замкнуто, то его ядро ​​ (или нулевое пространство) является замкнутым векторным подпространством X;
• Если f замкнуто и инъективно, то его обратный f также closed;
• Линейный оператор f допускает замыкание тогда и только тогда, когда для любого x ∈ X и каждой пары последовательностей x • = (x i). i = 1 и y • = (y i). i = 1 в D (f), оба сходятся к x в X, так что оба f (x •) = (f ( x i)). i = 1 и f (y •) = (f (y i)). i = 1 сходятся в Y, имеем limi → ∞ fx i = limi → ∞ fy i.

Непрерывные, но не замкнутые отображения

• Пусть X обозначает действительные числа ℝ с обычной евклидовой топологией, а Y обозначает ℝ с недискретной топологией (где заметим, что Y не хаусдорфова и что каждая функция со значениями в Y непрерывна). Пусть f: X → Y определяется формулой f (0) = 1 и f (x) = 0 для всех x ≠ 0. Тогда f: X → Y непрерывен, но его график не замкнут в X × Y.
• Если X - произвольное пространство, то тождественное отображение Id: X → X непрерывно, но его график, представляющий собой диагональ Gr Id: = {(x, x): x ∈ X}, замкнут в X × X, если и только если X хаусдорфово. В частности, если X не хаусдорфово, то Id: X → X непрерывно, но не замкнуто.
• Если f: X → Y - непрерывное отображение, график которого не замкнут, то Y не является хаусдорфовым пространством.

Замкнутые, но не непрерывные отображения

• Пусть (X, 𝜏) - TVS Хаусдорфа и пусть 𝜐 - векторная топология на X, которая строго тоньше. Тогда тождественное отображение Id: (X, 𝜏) → (X, 𝜐) - замкнутый разрывной линейный оператор.
• Рассмотрим производный оператор A = d / dx, где X = Y = C ([a, b]) - это банахово пространство всех непрерывных функций на интервале [a, b]. Если взять его область определения D (f) как C ([a, b]), то f - замкнутый оператор, который не ограничен. С другой стороны, если D (f) = C ([a, b]), то f больше не будет закрытым, но будет закрываемым, причем закрытие будет его расширением, определенным на C ([ а, б]).
• Пусть X и Y оба обозначают действительные числа ℝ с обычной евклидовой топологией. Пусть f: X → Y определяется формулой f (0) = 0 и f (x) = 1 / x для всех x ≠ 0. Тогда f: X → Y имеет замкнутый граф (и последовательно замкнутый граф) в X × Y = ℝ, но он не является непрерывным (поскольку он имеет разрыв в точке x = 0).
• Пусть X обозначает действительные числа ℝ с обычной евклидовой топологией, пусть Y обозначает ℝ с дискретная топология , и пусть Id: X → Y будет тождественным отображением (т.е. Id (x): = x для каждого x ∈ X). Тогда Id: X → Y является линейным отображением, график которого замкнут в X × Y, но явно не непрерывен (поскольку одноэлементные множества открыты в Y, но не в X).

Теорема о замкнутом графике может быть обобщена с банаховых пространств на более абстрактные топологические векторные пространства следующими способами:

Теорема - линейный оператор из бочки. пространство X в пространство Фреше Y является непрерывным тогда и только тогда, когда его граф замкнут.